2017理论力学超典型例题

Qj
Байду номын сангаас
δW
δqj
j
（4）将Q 、T（或L）代入拉格朗日方程，得到k个独立的二阶微分方
程，即系统的运动微分方程组。
只令 δ qt 0, ，而其余的 δ q j 0 ( j t )，从而写成
δW
式中
t
t
Qt δ q t
δ W 表示仅虚位移δqt非零时系统上主动力的虚功之和。于是，求
Qt
得对应广义坐标qt的广义力
δ W
δ qt
t
(t 1 , 2 ,..., k )
拉格朗日方程应用举例
应用拉格郎日方程建立系统的运动微分方程时，一般步骤如下： （1）选定研究对象，确定该系统的自由度数目，并恰当地选择同样数 目的广义坐标。
（2）用广义坐标、广义速度和时间的函数表示出系统的动能。
（3）求广义力。比较方便而且常用的是从式 求得。 特别是当主动力有势时，则只须写出势能V或拉格朗日函数L=T-V，然 后求偏导数。
例题6-7
根据虚位移原理的平衡方程，有
mg F mg
δ W F δ xC mg δ y D mg δ y E F 2l (cos 1 δ 1 cos 2 δ 2 ) mgl sin 1 δ 1 mgl (2 sin 1 δ 1 sin 2 δ 2 ) 0
把 (a)和(b)分别代入 (1)和(2), 再把 NA 和 NB 的值代入式 (3)
C N A M x (1) C N B Mg M y ( 2) N B l sin N Al cos (3) I C
例题
最后得杆 AB 的角加速度
3g sin 4l
cos 1 l 2 sin 1 l
C N A M x (1)
cos l 2 sin C l x (a )
3g sin 4l (c)
把(c) 和(d)的表达式在 = 1 时的值代入 上式，得关系
3g 3g l sin 1 cos 1 l (cos 0 cos 1 ) sin 1 4l 2l
求广义力的方法
● 应用虚功
δW (F ) Q
i 1 i j 1
n
k
j
δqj 0
特别指出，求广义力时并不一定要从定义即出发。在解决具体问题 是时，从元功出发直接求广义力往往更为方便。注意到各广义坐标 q1 ,
q2 , …, qk是彼此独立的，因此为求某个广义力Qt可以取一组特殊的虚位移，
从而求得平衡时的角度1 和 2
F mg
mg
1 arctan
2F 3mg
2F 2 arctan mg
求广义力的方法
● 应用广义力定义
xi y i z i Q j ( Fix Fiy Fiz ) q j q j q j i 1
n
( j 1 , 2 , ..., k )

0 aCx cos aCy sin a AC sin
即
l aCx cos - aCy sin sin 0 2
（4）
这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件.
例题
由动静法写出杆的动态平衡方程,有
Fx 0, Fy 0, mC ( F ) 0,
vA
A
vC

3g l
例题4
2. 求杆刚刚到达地面时的地面约束力 由刚体的平面运动微分方程得
mg N maC N l 1 ml 2 2 12
aA
N
A
C

aC mg
aC aA art arn
将上式沿铅垂方向投影，得
aC art 1 l 2
联立求解得
N 1 mg 4
整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的 夹角 1 2 1 cos ( cos 0 )
3
3g (cos 0 cos ) 2l (d )
例题4
长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当 杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和 地面约束力。
vA
A
vC
d d d 利用关系 dt d d

(c)
把上式化成积分
3g d sin d 0 4l 0
求得杆 AB 的角速度
3g (cos 0 cos ) 2l (d )
例题
杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度 1: 当杆即将脱离墙时，NA→0。以NA = 0代 入(1)，再根据(a)得
例题
aA = aAn + aA = aCx + aCy + aAC + aACn 在绳 BO 刚剪断的瞬时,杆的角速度ω = 0 ,角加速度 ε≠0.因此 aACn = AC · ω2 = 0 而
aAC = lε/2
又 aAn = 0,加速度各分量的方向如图(c)所示.把 aA 投影到点 A 轨迹的法线 AO 上,就得到
例题
由动静法写出杆的动态平衡方程,有
Fx 0, Fy 0, mC ( F ) 0,
maCx T cos 0 maCy mg T sin 0 J Cz T l sin 0 2
（ 1） （ 2） （ 3）
且对于细杆 , JCz´ = ml2/12. 利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心 C 作基点,则点 A 的加速度为 aA = aAn + aA = aCx + aCy + aAC + aACn
拉格朗日方程应用举例
d T T ( ) Qj j dt q q j
d L j dt q L 0 q j
( j 1 , 2, ..., k )
完整系统的拉氏方程是一组对应于广义坐标q1， q2，…， qk的k个独 立二阶微分方程，式中消去了全部理想约束的未知约束力。
例题
匀质细杆 AB 的质量是 M ,长度是 2l ,放在铅直面内,两端分别 沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位 置与墙成交角 0 ,初角速度等于零;试求杆沿铅直墙壁下滑时 的角速度和角加速度 ,以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成 的角度 1 .。
例题
解：
在 A 端脱离墙壁以前,受力如图所示。 杆作平面运动,取坐标系 Oxyz ,则杆的运 动微分方程可写成
即
( 2 F cos 1 3mg sin 1 )l δ 1 ( 2 F cos 2 mg sin 2 )l δ 2 0
例题6-7
因为 1 和 2 是彼此独立的，所以上式可以分
解成两个独立方程
2 F cos 1 3mg sin 1 0 2 F cos 2 mg sin 2 0
C N A M x C N B Mg M y N B l sin N Al cos I C
(1) ( 2) (3)
例题
由几何关系知 xC l sin yC l cos
( 4) (5)
将式(4)和(5)对时间求导,得
cos , C l x sin C l y cos l 2 sin C l x sin l 2 cos C l y (a ) ( b)
例题6-7
图中两根匀质刚杆各长 2l ，质量为 m ，在 B 端用铰链连接，
A 端用铰链固定，而自由端 C 有水平力 F 作用，求系统在
铅直面内的平衡位置。
mg F mg
例题6-7
解： 本例的系统具有两个自由度，它的位置可以
用角 1 和 2 (以顺时针为正)来表示。各主动力的 作用点有关坐标是
C

例题4
解: 由质心运动定理可知，直杆在倒下过程中其质心 将铅直下落。 1. 求杆刚刚到达地面时的角速度 杆刚刚到达地面时，A点为瞬心
vC 1 l 2 2 T 1 mvC 1 J C 2 1 ml 2 2 2 2 6
C

由动能定理得：
1 ml 2 2 1 mgl 6 2
mg F mg
y D l cos 1 y E 2l cos 1 l cos 2 xC 2l sin 1 2l sin 2
这就是约束方程。
当角 1 和 2 获得变分 1 和 2 时，各点的有关虚位移是
δ y D l sin 1 δ 1 δ y E l ( 2 sin 1 δ 1 sin 2 δ 2 ) δ xC 2l (cos 1 δ 1 cos 2 δ 2 )
a At
T a C
y
ε
aCx
x
y
G
例题
杆的惯性力合成为一个作用在质心 的力 RQ 和一个力偶,两者都在运动平面 内， RQ 的两个分量大小分别是
a At
T a C
y
ε
x
RxQ = maCx , RyQ = maCy
力偶矩 MCQ 的大小是
C aCx
y
G
MCQ = JCz´ε
旋向与ε相反( 如图b)
maCx T cos 0 maCy mg T sin 0 J Cz T l sin 0 2
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4）
l aCx cos - aCy sin sin 0 2
联立求解方程(1)～(4),就可求出
mg sin 2 3 T mg 2 2 4 sin cos 13
例题
用长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l 、质量是 m 的匀质细杆悬在点 O (图 a )。当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳 子 AO 的拉力。 解： 绳子 BO 剪断后,杆 AB 将开始在铅直面内 作平面运动。由于受到绳 OA 的约束，点 A 将在铅直平面内作圆周运动.在绳子 BO 刚剪断 的瞬时，杆 AB 上的实际力只有绳子 AO 的拉 力 T 和杆的重力 G。 在引入杆的惯性力之前 , 须对杆作加速度 分析。取坐标系 Axyz 如图所示。