广东省深圳市助力教育2017-2018学年高一数学必修4专题讲义：向量数乘运算及其几何意义(无答案)

向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1、向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：
(1)|λa |＝|λ||a |；(2)λa (a ≠0)的方向⎩
⎪⎨⎪⎧
当λ＞0时，与a 方向相同，当λ＜0时，与a 方向相反.
特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 2、向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μ a )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a ；
(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb . 3、共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λ a . 4、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .
常考题型
题型一、向量的线性运算
例1、化简下列各式：
(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)1
2⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .
变式训练
化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)1
6[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ).
题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量
例2、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .
变式训练
如图所示，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝1
3CD ，试用a ，b
表示OM ，ON ，MN .
题型三、共线向量定理的应用
例3、(1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．
(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP ＝x OA ＋y OB ，求x ＋y 的值．
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
变式训练
如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．
课堂小测
1、设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A ．a 与λa 的方向相同
B ．a 与－λa 的方向相反
C ．a 与λ2a 的方向相同
D ．|λa |＝λ|a | 2、13⎣⎡⎦⎤1
2
(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b 3．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)．
①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－1
10e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.
4、已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．
5、如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别为K ，L ，且A AK ＝e 1，AL ＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ，CD .
同步练习
1、下列运算正确的个数是（ ）
①()326a a -⋅=-；②()()2+23a b b a a --=；③()()
+22+0a b b a -=． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2、已知4=a d ，5=b d ，3=-c d ，则23-+a b c 等于( ) A ．10d B ．10-d C ．20d D ．20-d
3、在△ABC 中，AB a =，AC b =，D 是BC 的中点，则AD 等于（ ） A.12a b -
B.12a b +
C.1122a b +
D.1
2
a b -+ 4、下面四种说法：
①对于实数m 和向量a ，b ，恒有()m m m -=-a b a b ；②对于实数m ，n 和向量a ，恒有()m n m n -=-a a a ； ③对于实数m 和向量a ，b ，若m m =a b ，则=a b ；④对于实数m ，n 和向量a ，若m n =a a ，则m n =． 其中正确说法的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 5、如图，已知4
3
AP AB =
，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于( )
A ．1433OA O
B -
B ．1433OA OB +
C ．1433OA OB -+ D. 1433
OA OB -- 6、设λμ∈R ，，下面叙述不正确的是（ ）
A ．()()a a λμλμ=
B ．()a a a λμλμ+=+
C ．()
a b a b λλλ+=+ D ．a λ与a 的方向相同()0λ≠ 7、设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为（ ）
A ．94-
B ．49-
C ．3
8
- D ．不存在 8、如图, △ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．
的是 ( ) A.
B.
C.
D.2CG FG =-
9、化简()()2332-+-=a b b a __________．
10、已知a ，b 是不共线的向量，若1AB λ=+a b ，2AC λ=+a b (1λ，2λ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则
21λλ=________．
11、若点M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB 共线的是 ．（填写序号）
（1）AB BC AC ++； （2）AM MB BC ++； （3）AM BM CM ++； （4）3AM AC +. 12、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：
（1）3a e =，6b e =； （2）8a e =，14b e =-； （3），
； （4）
，
．
13、两个不共线的向量1e 、2e ，若向量1223=-a e e ，1223=+b e e ，1229=-c e e ，问是否存在这样的实数λ、
μ，使向量λμ=+d a b 与向量c 共线？
14、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且，求证：M 、N 、C 三
点共线．。