材料成型理论基础习题解答2013(1)

5
由
Sx Sy
106 28
.56 .03

Sz

18.71

则
σ Sx l S y m Sz n 26.04 （MPa）
τ2 S2 σ2
S 111.76
τ 108.68 （MPa）
S 111.76
故
τ

108.68

γxy )
2εz
(c)
z x y z xy
可得：
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16
（a）式左边

x


1 2
x2 y2 y



0



1 2
z
z2 x
y






y 00 0
3
则所求的应变球张量
0.067
εmδij


0
0
0 0.067
0
0
0

103
0.067
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11
再根据
εij

εij
εmδij

ε

x
εm γyx
γzx
γxy εy εm
γzy
γxz γyz


求得应变偏张量
εz εm
解：由应力平衡微分方程
σij 0(i, j x, y, z) xi
代入已知条件，可得：
6 y2

3c1x2
3c2 y2

c3 x 2

0

2c3xy 3c2xy 0
因为应力是坐标的连续函数, 取(1,1)、(0，1)、(1，0)
cc2112 c3 3
50 50 80


ij 50 0 75 （MPa），
80 75 30
试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n 1 2
的斜切面上的全应力、正应力和切应力。
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4
解：设全应力为S，Sx、Sy、Sz分别为S在三轴中的分量，
S x

xl

yxm
等效应力在主轴坐标系中定义为
1 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2
3J 2
在任意坐标系中定义为
1 2
(
x

y
)2

(
y

z
)2

(
z

x
)2

6(
2 xy

2 yz

2 zx
)
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3
7. 已知受力物体内一点的应力张量为
0.15
根据公式
0.05 0.2 0.2
0.15
0.2


103
0.2
m

1 3
(
x
y
z )
和应变球张量表达式
εm 0
εmδi j


0
εm
0
0

求应变球张量
0 0 εm
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10
1 εm 3 (εx εy εz ) 1 (0.2 0.2 0.2) 103 0.067103

1 2 0 1
2
∵（a）式左边=左边 ∴（a）式成立。
由上推理可知，该应变场存在。
注意：待验证的应变场必须满足应变协调方程式（15-19）和式（15-21）中 的所有等式。如其中有一式不满足，则该应变场就不存在。
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20
16章作业
7.如图所示为一薄壁管承受拉扭的复合载荷作用而屈服，管壁


x

, xy

yx

y z 0
yz zy zx xz 0
………………①
由平面应力莫尔圆，可得：


1

x
y 2


2 0

3

x
y 2

x
y 2
2
xy2

2

x
y 2
2
xy2

2

2 2 4 2 2 4
……………②
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22
将②式代入Tresca和Mises屈服准则可得
2 2


S


4
S

1
……………Tresca屈服准则
2 2
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7
15章作业
10
3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？ 答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏 张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。
9. 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为
u (20 0.2xy 0.1z) 103 v (10 0.1x 0.2yz) 103

γzy

1 2
(0.2 y
0.2xz) 103

0.2 103

εz

0.2xy 103

0.2 103, γzx

γxz

1 2
(0.2 yz

0.1) 103

0.15
103

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9
则A点的应变张量
0.2 εij 0.05
x
（a）式右边 2εx 0 yz
∵（a）式左边=右边 ∴（a）式成立。
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17
（b）式左边

y

0
z



1 2
z2 y x




1 2
x2 y2 y






0 0 y 1
dεx

dε σ
σ x

1 2
σy σz

得
0.1

d
50

1 2
150
350
，由此可解得，
d 0.1 200
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26
所以其余分量为
d
xy

d
yx

3 2
d

xy

0
d y

d
y

1 2


zx
n

S y xyl y m zy n
Sz
xzl

yzm

z
n

将题设条件代入上式，可得：
Sx Sy
106 28
.56 .03

Sz

18.71

S Sx2 S y2 Sz2 111 .76 （MPa）
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受均匀的拉应力和切应力，试写出此情况的Tresca和Mises屈
服准则表达式。
解：此属平面应力问题，建立如图 F 所示的坐标系
M
τ
στ
τσ
F
τ
M
y
yx
xy x
相应的应力莫尔圆如图b所示
(y,yx)
O
x
图a 平面应力状态
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o 3
1
(x,xy)
21
筒壁表面上任意一点的应力
(ε1 ε2 )2 (ε2 ε3 )2 (ε3 ε1)2
可求等效应变
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14
10. 试判断下列应变场能否存在： （1）
x

xy 2 , y

x2 y, z

xy, xy
0,
yz

1 2
(z2

y), zx

1 (x2 2

y2)
（2）
x x2 y2, y y2, z 0, xy xy, yz zx 0
？结果不同

0.4 ε ε
ln(1 δ
ε)

ε

0.492

ε

0.242
即还要增加伸长率0.242才发生颈缩。
2）根据失稳点特性， n b b n 0.4
已有伸长率 =0.25
0.4 ln(1 ε1) ln(1 ε2 ) ε1δ 0.2 5 ε2 0.193
y
（b）式右边
2εy xz
0
∵（b）式左边≠右边 ∴（b）式不成立。
同理可以验证（c）式左边=0≠右边=1，故（c）式也不成立。
由上推理可知，该应变场不存在。
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18
（2）题：解法一：与（1）题同。
解法二：
εz γyz γzx 0
此为平面应变状态。则在坐标平面xoy内，必须满足应变协调方程

γ
2 yz
γz2x

0.10510 6
I3
εxεyεz
2γxyγyzγzx

εz
γx2y

ε
x
γ
2 yz

ε yγz2x
0.81011
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13
代入特征方程
3－I1 2－I 2－I3 0 ， 1 ， 2 3
可求。
然后根据
ε 2 3

S


3
S

1
……………Mises屈服准则
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23
8. 已知材料的真实应力-应变曲线方程为Y B0.4，
若试样已有伸长率 =0.25, ，试问试验还要增加多少 才会发生颈缩？
解： 1）根据失稳点特性， n b
b n 0.4 已有伸长率 =0.25
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2
14章作业
7
9
6. 等效应力有何特点？写出其数学表达式。
答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来， 但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而 与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等 效应力也是一个不变量。其数学表达式如下：
)求得应变分量
z

w z
,
zx
xz

1 ( w 2 x

u z
)
代入题设条件，可得
εx

0.2 y 103

0.2 103, γxy

γyx

1 (0.2x 2
0.1) 103

0.05 103

εy

0.2z 103

0.2103, γyz
13章作业 14章作业 15章作业 16章作业 17章作业 18章作业
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1
13章作业
2.设有一简单立方结构的双 晶体，如图13-34所示，如果
该金属的滑移系是{100} <100>，试问在应力作用下， 该双晶体中哪一个晶体 首先
发生滑移？为什么？
答：晶体Ⅰ首先发生滑移，因为Ⅰ受力的方向接近软取向，而Ⅱ接近硬取向。
（式15-19）
2 γxy xy

1 2

2εx y 2

2εy x2

(a)
将题设条件代入，可得：
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（a）式左边

2 γxy xy

2 xy
xy
1
（a）式右边

1

2
2
x2 y2 y 2
2 y2 x2
0.267
εij


0.05
0.15
0.05 0.133
0.2
0.15
0.2

103
0.133
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12
先求三个应变张量不变量
I1 εx εy εz 0.2 103
I2 εxεy εyεz εzεx

γx2y

0.125δ
d
zx
（MPa） 为所求。
σ 26.04
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6
9. 某受力物体内应力场为： x 6xy 2 c1x3 ， y 32 c2xy2 ，
xy c2 y 3 c3 x 2 y ， z yz zx 0 ，
试从满足平衡微分方程的条件中求系数c1、c2、c3

x
z

0.1 200
150

1 50
2
350
0.025
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27
d
yz

d
zy

3 2
d

yz

0
dεz

dε σ
σ z

1 2
σx σy


0.1 200
δ
350

1 2
50
150
w (20 0.2xyz) 10 3
试求：点Ａ（１，１，－１）的应变分量、应变球张量、应 变偏张量、主应变、等效应变
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8
解：由几何方程
x

u x
,

xy

源自文库

yx

1 2
( u y

v x
)


y

v y
,

yz

zy

1 2
( v z

w y
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解：
（1）题：将题设条件代入应变协调方程式（15-21）：


x
( γzx y

γxy z

γyz x
)

2εx yz
(a)


y
( γxy z

γyz x

γzx y
)

2εy zx
(b)


( γyz
γzx
即还要增加伸长率0.193才发生颈缩。
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17章作业
3.已知塑性状态下某质点的应力张量为
50 0 5
ij


0
150
0

（MPa），应变增量
5 0 350
d x 0.1
（为一无限小）。试求应变增量的其余分量。
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解：由levy-mises方程可知