北师大版数学选修1-1：第三章§1 变化的快慢与变化率

1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )
A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量
B ．t 0称为函数值增量
C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量
D.Δs Δt
称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．
2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )
A ．0.40
B ．0.41
C ．0.43
D ．0.44
解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )
＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
3.函数y ＝1x
在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx
＝－1x 0（x 0＋Δx ）
. 答案：－1x 0（x 0＋Δx ）
4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数
关系为s ＝18
t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt
＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于12.
答案：12
[A 级 基础达标]
1.在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx
为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2
B ．Δx －1Δx
－2 C ．Δx ＋2
D ．2＋Δx －1Δx
解析：选C.Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx
＝Δx ＋2.
2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )中的平均速度等于( )
A ．6＋Δt
B ．6＋Δt ＋9Δt
C ．3＋Δt
D ．9＋Δt
解析：选A.v ＝Δs Δt ＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt
＝[（3＋Δt ）2＋3]－（32＋3）Δt
＝6＋Δt . 3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )
A ．①②③④
B ．②①③④
C ．②①④③
D ．②④①③
解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．
4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．
解析：Δs Δt
＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h. 答案：100 km/h
5.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．
解析：∵v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0
＝k OA ； v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1
＝k AB ； v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2
＝k BC . 又∵k BC ＞k AB ＞k OA ，∴v 3＞v 2＞v 1.
答案：v 3＞v 2＞v 1
6.求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13
，哪点附近的平均变化率最大．
解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx
＝（1＋Δx ）2－1Δx
＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx
＝（2＋Δx ）2－4Δx
＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx
＝（3＋Δx ）2－9Δx
＝6＋Δx . 令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193
，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大． [B 级 能力提升]
7.(2012·九江测试)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )
A ．8πR (ΔR )
B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2
C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2
D ．4π(ΔR )2
解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.
8.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )
A ．t ＝1
B ．t ＝2
C ．t ＝3
D ．t ＝4
解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，
当Δt 趋于0时，Δs Δt
＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2.
9.求函数f (x )＝x 2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．
解析：k 1＝Δy 1Δx 1＝f （2）－f （1）2－1
＝22－121＝3， k 2＝Δy 2Δx 2＝f （1.1）－f （1）1.1－1
＝1.12－120.1＝2.1， k 3＝Δy 3Δx 3＝f （1.01）－f （1）1.01－1
＝1.012－120.01＝2.01.
猜想x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.
答案：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.
10.已知自由落体的运动方程为s ＝12
gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；
(2)落体在t 0时的瞬时速度；
(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；
(4)落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度．
解：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的位移增量为
Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20
，因此，落体在这段时间内的平均速度为 v ＝Δs Δt ＝12g （t 0＋Δt ）2－12gt 20Δt ＝12g ·Δt （2t 0＋Δt ）Δt
＝12
g (2t 0＋Δt )． (2)落体在t 0时的瞬时速度即Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于gt 0这一速度． (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s ，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v ＝12
g (2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m /s)．
(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度为v ＝9.8×2＝19.6(m /s)．
11.(创新题)质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋
a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2
Δt
＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s.。