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初中数学题目改编

惠阳区良井中学

编者：张立鹏

一、原题是九年级下册（人教版）P23 探究 1。

原题考查目标：会运用二次函数解决实际问题，根据问题找等量关系求出函数解析式，再求出二次函数最值时的自变量的值

新题：某件衣服现在的售价为每件60元，每个月可卖出300件。市场调查放映；如调整价格，每涨价1元，每月要少卖10；每降价 1元，每月可多卖出20件，已知这种衣服的进价为每件40 元，当衣服的售价

为 x 元，每月的销售量为y 件，

（ 1）写出y 与 x 的函数关系式及x 的取值范围

（2）要使利润最大应该涨价还是降价？如果涨价应涨多少，降价应降多少，怎么定价？

（3）

考查目标：本问题是一道较复杂的市场营销问题，培养学生分类讨论的数学思想方法，通过本问题的设计，让学生体会二次函数模型在同一个问题中的不同情况下是不同的，培养学生考虑问题的完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

分析：（ 1）调整价格包括涨价和降价两种情况。

（ 2）设每件涨价x 元。则月售出商品的利润y 随之变化。我们先来确定y 随 x 变化的函数式。涨

价 x 元时，每月少卖10x 件，实际卖出（300-10x ）件，销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付

40(300-10x)元。设每件降价X 元，则每月可多卖20x 件，实际卖出（300+20x ）件。销售额为（6- x）（ 300+20x）元，买进商品需付40 （ 300+20x ）元。

答案：

解（ 1）当涨价时： y=300-10(x-60)=900-10x， x>60

当降价时： y=20(60-x)+300=1500-20x， 40≤ x≤ 60（ 3分）

（ 2）设每件涨价 x 元，每月少卖 10x 件，实际卖出（300 － 10x ）件。由题意可得

y = （ 60＋ x ） (300 － 10x)－40（300－10x），即

y =－10x2+100x+6000。（0≤ x≤ 30.）

当 X=5 时， y 最大 =6250 元。即售价为65元时，利润最大。（2分）

设每件降价x 元，每月多卖20x 件，实际卖出（300+20x ）件，由题意可得

y = ( 60－x )( 300+20x )－40 ( 300+20x )，

即 y =－20x2+100x+6000

当 x=2.5 时，即售价为 57.5 元时，利润最大为6125元。（2分）

新题的特点：本题的变化不大，知识添设了问题（1），难度适当加大了，能更好培养学生考虑问题的

完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

二、原题是九年级上册（人教版）P45探究 1。

原题：有一个人患了流感，经过两轮传染后有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了X 个人。依题意得

1+x+x（ 1+x） =121

解得 x1=10 ， x2=-12 （舍去）

答：平均一个人传染了10 个人

原题考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元

二次方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境-- 建立模型 -- 求解 -- 解释与应用的过程”，获

得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

改编题：某幼儿园有两个小朋友患了流感, 经过两轮传染后共有160人被传染了。

（ 1）每轮传染中平均一个人传染了几个人?

（ 2）若流感得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人数会不会超过1500 人？

考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元二次

方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境-- 建立模型 -- 求解 -- 解释与应用的过程”，获得更

多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

分析：开始有两个人患了流感, 第一轮的传染源就是这两个个人, 他们分别传染了x 个人 , 用代数式表示,第一轮后共有_____ 人患了流感 ; 第二轮传染中, 这些人中的每个人又传染了x 个人 ,

用代数式表示, 第二轮后共有____________ 人患了流感 .

答案：

解：（ 1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 . 由题意得

2(1+x)2=160+2（2分）

(1+x)2=81

1+x=± 9

x1=-10（舍去），x2=8

所以每轮传染中平均一个人传染了8个人（2 分）

（ 2）由（ 1）可知道经过两轮传染后有162患流感，所以三轮后有

162+162× 8=1458<1500 所以不会超过 1500 人A（ 3分）D

改编题的特点：新题的难度比原题有所加大，探索的空间比较广阔，使学生在学习原题的基础上进一步

加深学习已有的知识分析题目，鼓励学生大胆的质疑和创新，从不同的角度去思考问题。

三、原题是八年级下册（人教版）P108 例题 2

原题：如图，梯形ABCD中。 BC//AD,DE//AB,DE=DC, ∠ A=100° , 求梯形其它三个内角的度数。

设计的意图：梯形问题的化归方向；掌握等腰梯形的应用方法

解：∵ BC∥ AD， DE∥ AB

∴四边形ABED是平行四边形

∴ AB=DE

B E

C F

又 DE=DC

∴ AB=DC

梯形 ABCD是等腰梯形

E

∴∠ C=∠ B=180° - ∠ A=80°

∠ DAC=∠ A=100°

改编题：

已知，如图所示的等腰梯形ABCD中， AD∥ BC， AC⊥ BD，AD+BC=10， DE⊥ BC

于 E，求 DE的长 .

考查目标：本题可通过平移腰AC，使得AD+BC的值

在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决，

还有平行四边形的判定方法

解：过点 D 做 DF ∥ AC 交 BC的延长线于点 F

∵ AD∥BC ，

∴四边形 ACDF是平行四边形（2 分）

∴ AC=DF，

BF=BC+CF=AD+BC=10

A D

∵ AC⊥BD，∴ DF⊥BD

∴ △ BDF是等腰直角三角形（3 分）

∵ DE⊥ BC

∴ DE=BE=EF=5（2 分）B C 新题的特点：等腰梯形与平行四边形的知识相结合, 比原题增加了难度。