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初中数学题目改编
惠阳区良井中学
编者：张立鹏
一、原题是九年级下册（人教版）P23 探究 1。

原题考查目标：会运用二次函数解决实际问题，根据问题找等量关系求出函数解析式，再求出二次函数最值时的自变量的值
新题：某件衣服现在的售价为每件60元，每个月可卖出300件。

市场调查放映；如调整价格，每涨价1元，每月要少卖10；每降价 1元，每月可多卖出20件，已知这种衣服的进价为每件40 元，当衣服的售价
为 x 元，每月的销售量为y 件，
（ 1）写出y 与 x 的函数关系式及x 的取值范围
（2）要使利润最大应该涨价还是降价？如果涨价应涨多少，降价应降多少，怎么定价？
（3）
考查目标：本问题是一道较复杂的市场营销问题，培养学生分类讨论的数学思想方法，通过本问题的设计，让学生体会二次函数模型在同一个问题中的不同情况下是不同的，培养学生考虑问题的完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

分析：（ 1）调整价格包括涨价和降价两种情况。

（ 2）设每件涨价x 元。

则月售出商品的利润y 随之变化。

我们先来确定y 随 x 变化的函数式。

涨
价 x 元时，每月少卖10x 件，实际卖出（300-10x ）件，销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付
40(300-10x)元。

设每件降价X 元，则每月可多卖20x 件，实际卖出（300+20x ）件。

销售额为（6- x）（ 300+20x）元，买进商品需付40 （ 300+20x ）元。

答案：
解（ 1）当涨价时： y=300-10(x-60)=900-10x， x>60
当降价时： y=20(60-x)+300=1500-20x， 40≤ x≤ 60（ 3分）
（ 2）设每件涨价 x 元，每月少卖 10x 件，实际卖出（300 － 10x ）件。

由题意可得
y = （ 60＋ x ） (300 － 10x)－40（300－10x），即
y =－10x2+100x+6000。

（0≤ x≤ 30.）
当 X=5 时， y 最大 =6250 元。

即售价为65元时，利润最大。

（2分）
设每件降价x 元，每月多卖20x 件，实际卖出（300+20x ）件，由题意可得
y = ( 60－x )( 300+20x )－40 ( 300+20x )，
即 y =－20x2+100x+6000
当 x=2.5 时，即售价为 57.5 元时，利润最大为6125元。

（2分）
新题的特点：本题的变化不大，知识添设了问题（1），难度适当加大了，能更好培养学生考虑问题的
完善性，养成前面分析问题的良好习惯，提升解决问题的能力。

二、原题是九年级上册（人教版）P45探究 1。

原题：有一个人患了流感，经过两轮传染后有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了X 个人。

依题意得
1+x+x（ 1+x） =121
解得 x1=10 ， x2=-12 （舍去）
答：平均一个人传染了10 个人
原题考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元
二次方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境-- 建立模型 -- 求解 -- 解释与应用的过程”，获
得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

改编题：某幼儿园有两个小朋友患了流感, 经过两轮传染后共有160人被传染了。

（ 1）每轮传染中平均一个人传染了几个人?
（ 2）若流感得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人数会不会超过1500 人？
考查目标：本题考查用一元二次方程解决实际问题，从生活中的实际问题入手，探索和学习用一元二次
方程解决传染的问题，让学生进一步经历“问题情境-- 建立模型 -- 求解 -- 解释与应用的过程”，获得更
多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键。

分析：开始有两个人患了流感, 第一轮的传染源就是这两个个人, 他们分别传染了x 个人 , 用代数式表示,第一轮后共有_____ 人患了流感 ; 第二轮传染中, 这些人中的每个人又传染了x 个人 ,
用代数式表示, 第二轮后共有____________ 人患了流感 .
答案：
解：（ 1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 . 由题意得
2(1+x)2=160+2（2分）
(1+x)2=81
1+x=± 9
x1=-10（舍去），x2=8
所以每轮传染中平均一个人传染了8个人（2 分）
（ 2）由（ 1）可知道经过两轮传染后有162患流感，所以三轮后有
162+162× 8=1458<1500 所以不会超过 1500 人A（ 3分）D
改编题的特点：新题的难度比原题有所加大，探索的空间比较广阔，使学生在学习原题的基础上进一步
加深学习已有的知识分析题目，鼓励学生大胆的质疑和创新，从不同的角度去思考问题。

三、原题是八年级下册（人教版）P108 例题 2
原题：如图，梯形ABCD中。

BC//AD,DE//AB,DE=DC, ∠ A=100° , 求梯形其它三个内角的度数。

设计的意图：梯形问题的化归方向；掌握等腰梯形的应用方法
解：∵ BC∥ AD， DE∥ AB
∴四边形ABED是平行四边形
∴ AB=DE
B E
C F
又 DE=DC
∴ AB=DC
梯形 ABCD是等腰梯形
E
∴∠ C=∠ B=180° - ∠ A=80°
∠ DAC=∠ A=100°
改编题：
已知，如图所示的等腰梯形ABCD中， AD∥ BC， AC⊥ BD，AD+BC=10， DE⊥ BC
于 E，求 DE的长 .
考查目标：本题可通过平移腰AC，使得AD+BC的值
在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决，
还有平行四边形的判定方法
解：过点 D 做 DF ∥ AC 交 BC的延长线于点 F
∵ AD∥BC ，
∴四边形 ACDF是平行四边形（2 分）
∴ AC=DF，
BF=BC+CF=AD+BC=10
A D
∵ AC⊥BD，∴ DF⊥BD
∴ △ BDF是等腰直角三角形（3 分）
∵ DE⊥ BC
∴ DE=BE=EF=5（2 分）B C 新题的特点：等腰梯形与平行四边形的知识相结合, 比原题增加了难度。

四、九年级上册（人教版），P102 第五题
原题：如图 ,PA 、 PB是圆 O的切线 ,A 、 B 为切点 ,AC 是圆 O 的直径 , ∠ BAC=25° , 求∠ P 的度数
查目标：切线性质的运用，圆心角性质定理
解∵∠ COB=2 ∠ BAC=50°
∴∠ AOB=180°-∠ COB=130°
∵OA ⊥ PA,OB ⊥ PB
∴∠ P=360°-∠ PAO- ∠ PBO- ∠ AOB=50°
新题：如图，在⊙ O 中 D 点 A 、O、B 在同一条直线上， OB ⊥ CB,OC//AD ，
考
OA ＝r。

（1）求证： CD=BC
（ 2）求AD OC的值；D
C
（ 3）若 AD ＋ OC ＝9
r，求 CD 的长。

1
2 3
2
A B
考查目标：切线的性质定理的运用，三角形相似，线段成比例相关内容，O
综合考查学生的综合能力。

证明：（ 1）连接 OD ，
∵ OC//AD ,例 3 图
∴∠ DAO= ∠ COB, ∠ ADO= ∠ DOC
∴∠ DOC= ∠ BOC, ∵ DO=BO,CO=CO
∴⊿ CDO ≌⊿ CBO(SAS),
∴∠ CDO= ∠ CBO=90o
即 DC 是⊙ O 的切线。

∵OB⊥CB
即 BC 为⊙O 的切线
CD=BC（3 分）（ 2）连结 BD
∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 900
∵∠ OBC ＝ 900，∴∠ ADB ＝∠ OBC
又∠ A ＝∠ 3，∴△ ADB ∽△ OBC
AD AB
∴
OB OC
∴AD OC OB AB2r 2（3分）（ 3）由（ 2）知AD OC2r 2，又知AD＋OC＝9 r
∴ AD 、 OC 是关于x的方程x292
rx 2r 20 的两根
r 2
解此方程得1， x24r
x2
∵OC ＞r，∴ OC ＝4r
∴CD＝OC 2OD 216r 2r 215r（3 分）本题的特点：此题把三角形全等的判定、切线的性质、三角形相似、一元二次方程结合一起考查，考查学生的综合能力。