补码运算加减乘除原理

首先我们来看为什么要使用补码运算法：

因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反= [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上.虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补= [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

接下来我们来看补码运算原理：

在计算机里，如果我们要计算5-3的值，我们既可以用5减去3，也可以用5

加上13。这是为什么呢？

这就像我们的钟表，它从1点走到12点之后，又回到了1点。我们的计算机

也是，从0走到15之后，再往下走就又回到了0，就像我们转了一个圈一

样。我们从5这个位置往回退3个格，就完成了5-3这个计算。我们也可以

从5这个位置往前走，一直走到15，这时我们走了10个格，然后我们继续往

前走，走到0，然后到1，然后就走到了2。这样，我们往前走了13个格之

后，也到了2这个位置。

所以说，在我们这个计算机中，减3和加13是一样的。而3+13=16，我们说

在模16的系统下，3和13是互补的。

这样，我们计算5-3就可以换成5+13。3的二进制表示为0011，5的二进制

表示为0101。这样，0101-0011就可以表示为0101+（-0011）。

我们在计算机中都是把负数用其补码表示，-0011的补码就是10000-0011

（即16-3，也就是13）。10000-0011=1+1111-0011=1+（1111-0011）

=1+1100=1101。

我们总说补码是“按位取反再加一”，看了上面这个式子相信大家就会明白

了，其实就是把10000-0011换成了1111-0011再加1的形式。然后，0101-

0011就换成了0101+1101，它们计算出来的结果为10010。由于我们的计算机

只有四个bit，所以结果为0010。即，在模16的计算机中，5-3=5+13=2。

然后是二进制乘法除法原理：

乘法原理：

就是左移（进位）8次，每次最高位为1则加进去，8位移完就得出乘积了

实际上和我们做10进制的乘法是一样的，只不过这里的进制是2罢了

比如5×6，转成二进制就是0101×0110

十进制乘法大家都会做，我们他当成十进制101×110来计算下看看

4位乘积＝被乘数×千位被＋被乘数×百位＋被乘数×十位＋被乘数×个位

既0101×0110＝101×0000＋101×100＋101×10＋101×0 变化下：

4位乘积＝被乘数×千位数×1000＋被乘数×百位数×100＋被乘数×10位数×10＋被乘数×个位数

既0101×0110＝101×（0×1000）＋101×（1×100）＋101×（1×10）＋101×0 再变化下：

4位乘积＝被乘数×千位数×10×10×10＋被乘数×百位数×10×10＋被乘数×10位数×10＋被乘数×个位数

既0101×0110＝101×（0×10×10×10）＋101×（1×10×10）＋101×（1×10）＋101×0＝（（（101×0）×10）＋（101×1））×10＋（101×1））×10＋101×0 我们可以看到，实际上乘法结果就是被乘数乘以每一位乘以模（10）的N次方的累计和（其实左移位就是进位啦，看得出来吗？）

而换成2进制的话很简单，把10读成二进制2就行了，结果还是：

4位乘积＝被乘数×千位数×10×10×10＋被乘数×百位数×10×10＋被乘数×10位数×10＋被乘数×个位数

既0101×0110＝101×（0×10×10×10）＋101×（1×10×10）＋101×（1×10）＋101×0＝（（（101×0）×2）＋（101×1））×2＋（101×1））×2＋101×0

由于乘2就是移位（进位），把上面的公式中乘2换成左移位就行了

二进制数除法运算按下列三条法则：

1、0÷0=0

2、0÷1=0（1÷0是无意义的）

3、1÷1=1

例： (111011)2 ÷ (1011)2算式如下：

1 1 1 0 1 1

÷ 1 0 1 1 商1

----------------------

1 1 1 最后一个1是1110 1 1 “0”后面的1落下来的。

÷ 1 0 1 1 商0

----------------------

1 1 1 1 最后一个1是上面落下来的

÷ 1 0 1 1 商1

-------------------------------

1 0 0 余数100

所以(111011)2 ÷ (1011)2 商为(101)2，余数为(100)2

所谓二进制除法其实一直是在做减法而已。二进制减法向高位借1得2，所以(10)2 - (1)2 = 1