定点补码的加减法规则
2补码加减法运算详解
[x]补 ＋[ y ] 补 0. 1 0 1 1 1. 1 0 1 1
解:
[x]补＝0.1011,
[ x ＋y ] 补
计算机组成原理
1 0. 0 1 1 0
所以
x＋y＝0.0110
4
3.补码减法
补码减法运算的公式： [ x －y ] 补＝[ x ] 补－[ y ] 补＝[ x ] 补＋[ －y ] 补
V ＝C f ⊕C o
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。 此逻辑表达式也可用异或门实现。 V＝C1⊕Co 判断电路
c0 x0 y0 c1 x1 y1
FA
z0
V
FA
z1
11
计算机组成原理
(3)双符号位法 一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就 会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将 随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。 双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义： 0 x<1 -1 x<0 0 x<2 n -2 x<0 n （mod 2
机器定点小数表示 发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理 7
例：x=+0.1011, y=+0.1001,
解： [x]补=0.1011 [x]补 + [y]补 [x+y]补
两数差的补码等于两数补码之差
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。 证明：
计算机系统 补码加减法运算
进位
A + B= 01010
3. 反码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
1. 移码表示法
定义 [x]移 = 2n + x（2n＞x ≥ 2n）
x 为真值，n 为 整数的位数
移码在数轴上的表示
0
2n 2n+1–1
+ [B]补 = 1 . 1 0 1 1
– 0.0101
[A]补 + [B]补 = 1 0 . 0 1 1 0 = [A + B]补 0.0110
∴A+B= 0.0110
例 ３.19 设 A = –9，B = –5
求 [A+B]补 解： [A]补 = 1 0 1 1 1
+ [B]补 = 1 1 0 1 1
+ [-B]补 = 1 0 1 0 1
[A]移 + [-B]补 = 1 0 0 0 0
3. 移码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
3.2.2 加减法运算的溢出处理(补码运算） 当运算结果超出机器数所能表示的
范围时，称为溢出。显然，两个异号数 相加或两个同号数相减，其结果是不会 溢出的。仅当两个同号数相加或者两个 异号数相减时，才有可能发生溢出的情 况，一旦溢出，运算结果就不正确了， 因此必须将溢出的情况检查出来。 今以4位二进制补码正整数加法运算为 例说明如下：
101101
⑥-14+1= -13 10010
+00001 10011
在上例中，①、②、⑤和⑥得出正确结 果，③和④为溢出。
•今以fA,fB表示两操作数(A、B)的符号位， fS为结果的符号位。符号位fA、fB直接参 与运算，它所产生的进位以Cf表示。在 以2n+1为模的运算中符号位有进位，并不 一定表果C=Cf, 运算结果正确，其中C为数值最高位的 进位，Cf为符号位的进位。如果C≠Cf， 则为溢出，所以溢出条件=C Cf。例3.11 中的③和④即为这种情况。其逻辑电路 见图3.2。
有关补码的知识及运算规则
1.第一篇数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为(-127~-0 +0~127)共256个.? 有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits( 1 )?10-? ( 1 )10?=? ( 1 )10?+ ( -1 )10?= ?( 0 )10(00000001)原?+ (10000001)原?= (10000010)原?= ( -2 )?显然不正确.? 因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:?( 1 )10?-? ( 1 )?10=? ( 1 )?10+ ( -1 )?10= ?( 0 )10?(00000001)?反+ (11111110)反?=? (11111111)反?=? ( -0 ) ?有问题.( 1 )10?-? ( 2)10?=? ( 1 )10?+ ( -2 )10?= ?( -1 )10(00000001)?反+ (11111101)反?=? (11111110)反?=? ( -1 )?正确问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:(-128~0~127)共256个.注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) ?补码的加减运算如下:( 1 )?10-? ( 1 )?10=? ( 1 )10?+ ( -1 )10?= ?( 0 )10(00000001)补?+ (11111111)补?=? (00000000)补?= ( 0 )?正确( 1 )?10-? ( 2)?10=? ( 1 )10?+ ( -2 )10?= ?( -1 )10(00000001)?补+ (11111110)?补=? (11111111)补?= ( -1 ) ?正确?? 所以补码的设计目的是:???? ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计? 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。
3.2定点加、减法运算-计算机系统原理-刘均-清华大学出版社
扩展参加运算的数据的符号位。
3.2.1补码定点加、减法
3）利用数据编码的最高位（符号位）和次高位（数 据最高位）的进位状况判断
◦ 两个补码数进行加减时，若最高数值位向符号位 的进位值Cn-1与符号位产生的进位Cn输出值不一样， 则表明产生了溢出。这种溢出判断的逻辑表达式 为：
◦ 解：[X]补=0.1010101，[Y]补=1.1101101,[-Y]补 =0.0010011
◦ [X+Y]补=0.1010101+1.1101101=0.1000010 ◦ [X-Y]补=0.1010101+0.0010011=0.1101000
3.2.1补码定点加、减法
[例3-2]在8位补码机中计算40-12。
Y]补的加法运算，并设置标志寄存器中溢出、进位等标志。 ◦ ④控制信号F->X有效，将加法器F的输出结果送入寄存器X。减法运算结束。
3.2.2补码加减法运算器
利用图示的补码加减法运算器实现加法[X+Y]补的逻辑操作步骤如下：
◦ ①将运算数据[X]补输入寄存器X，[Y]补输入寄存器Y。 ◦ ②控制信号X->F有效，Y->F有效，且1->F无效，将[X]补和[Y]补送入加法器F的两个输入端。 ◦ ③加法器完成[X+Y]补的加法运算，并设置标志寄存器中溢出、进位等标志位。 ◦ ④控制信号F->X有效，将加法器F的输出结果送入寄存器X。加法运算结束。
◦ 补码的加减法公式是： ◦ [X+Y]补=[X]补＋[Y]补 ◦ [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 ◦ 公式的正确性可以从补码的编码规则得到
证明。在补码编码制方法下，补码的减法 运算统一采用加法处理，只需用加法器就 可以实现加减运算，有效地减少了硬件的 数量。
补码加减法运算
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
T通常采用一个 “与非”门或一 个“或非”门的 时间延迟来作为 度量单位。
20
(1)对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1的时间延迟为5T。
Ci+1
Si
≥1
=1
&
&
=1
计算机组成原理
Ci
Ai Bi
21
(2)n位行波进位加法器的延迟时间ta为： 考虑溢出检测时，有： ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月26日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
定点数加减法及其溢出判断原理
定点数加减法及其溢出判断原理定点数补码加减法及其溢出判断原理补码加减运算补码的数学表⽰设X为⼀个数的真值，M=2n(n为机器位数)，则在数学表⽰上[X]补=M+X (modM),−2n−1≤X<2n−1补码加法[X]补+[Y]补=M+X+M+Y(modM)=M+X+Y(modM)=[X+Y]补可见，补码加法直接使⽤加法器相加即可补码减法[X]补−[Y]补=M+X−M−Y=X−Y(modM)=M+X+M−Y(modM)=[X]补+[−Y]补补码减法可以转化为补码加法，这也是计算机可以只设计加法器⽽不⼀定需要减法器的原因如何将[Y]补与[−Y]补进⾏转化是补码减法的重点设[Y]补=Y n Y n−1…Y1（1）当0≤Y<2n−1时[Y]补=[Y]原=0,Y n−1Y n−2…Y1[−Y]原=1,Y n−1Y n−2…Y1Y为正，-Y为负，则[−Y]补=1,¯Y n−1¯Y n−2…¯Y1+1（2）当 −2n−1<Y<0 时[Y]补=1,Y n−1Y n−2…Y1[Y]原=1,¯Y n−1¯Y n−2…¯Y1+1[−Y]原=0,¯Y n−1¯Y n−2…¯Y1+1Y为负，-Y为正，则[−Y]补=[−Y]原=0,¯Y n−1¯Y n−2…¯Y1+1综上所述：机器负数转换⽅法为[−Y]补=∼[Y]补+1溢出判断溢出产⽣的原因由于机器存放数字的⼆级制数码位数有限，当进⾏模M加法时会出现异常的符号改变现象，称为溢出。
溢出分为以下两种：1. 正溢：两个整数相加得到⼀个负数2. 负溢：两个负数相加得到⼀个负数溢出检测假设加法情况如下：操作数A:[X]补=X n X n−1…X1操作数B:[Y]补=Y n Y n−1…Y1两数和：[S]补=S n S n−1…S1⽅法⼀：直接检测当A>0,B>0但S<0时或A<0,B<0但S>0时显然发⽣了溢出，表⽰为：溢出=X n Y n ¯S n+¯X n¯Y n Sn⽅法⼆：进位检测假设两数运算时产⽣的进位分别是C n C n−1…C1那么根据刚才的讨论可以得到1. 当A>0,B>0但S<0时，A n=0,B n=0,S n=1,即n-1位发⽣进位，n位不可能进位，C n−1=1，C n=0;此时正溢2. 当A<0,B<0但S>0时，A n=1,B n=1,S n=0,即n位发⽣进位，n-1位不可能进位，C n=1，C n−1=0;此时负溢3. 当A>0,B>0但S>0时，A n=0,B n=0,S n=0,即均不进位，C n−1=0，C n=0;此时不溢出4. 当A<0,B<0但S<0时，A n=1,B n=1,S n=1,即均进位，C n−1=1，C n=1;此时不溢出综上所述，那么可以得到溢出=C n−1⊕C n⽅法三：双进位检测在运算时临时将两操作数的符号位复制⼀位补在最⾼位+1的位置这样运算就会变成操作数A:[X]补=X n X n X n−1…X1操作数B:[Y]补=Y n Y n Y n−1…Y1两数和：[S]补=S n2S n1S n−1…S1根据S n2S n1的不同结果，我们就可以判断是否发⽣溢出，这个原理与进位检测其实是相同的S n2S n1=00;⽆溢出S n2S n1=01;正溢S n2S n1=10;负溢S n2S n1=11;⽆溢出为了节约存储位数，最后保存结果时会忽略最⾼位的S n2的计算结果，仅在运算时扩充为双符号位Processing math: 100%。
计算机原理(岳乡成)补码加减法运算(公开课)
范围，计算结果错误，就是所谓的溢出。
如何判断两个数在补码运算中是否会产生溢出： 判断的方法：双进位溢出判断法。 说明：使用这方法，要引入两个符号cs和cs+1，cs用来表示参加运算 的两个有符号数中数值位的最高位是否有向符号位进位的情况，有 进位，则cs=1，否则cs=0。Cs+1用来表示符号位是否有向更高位进位 的情况，有进位，则cs+1=1，否则cs+1=0。通过判断cs与cs+1的状态来 判断是否产生溢出，如果cs与cs+1相同（即cs与cs+1同时为0，或同时 为1），则不产生溢出；如果cs与cs+1相异（即cs和cs+1一个为0，一个 为1），则产生溢出。
计算机组成原理
9
计算机组成原理
3
2.补码减法
补码减法运算的规则：
[ x －y ]补＝[ x ]补－[ y ]补＝[ x ]补＋[－y ]补(mod 2n)
两数差的补码等于两数补码之差
减法运算化为加法完成。关键是求[-Y]补
计算机组成原理
4
例： 解：
x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=? [x]补=1.0011 + [y]补=1.1010 [-y]补=0.0110
计算机组成原理
第三章复习1 补码加减法运算及溢 出的判断
计算机组成原理
1
1.补码加法运算 补码加法的规则: [ x ] 补＋[ y ] 补＝[ x ＋y ] 补
(mod 2n)
任意两数的补码之和等于该两数之和的补码，这是补码加法的理论基础。
补码加法的特点： （1）符号位要作为数的一部分一起参加运算； （2）在模2的意义下相加，即符号位之前多出的位为模，做丢失处理。
补码的加减法运算
[x－y]补= [x]补+ [-y]补 = 0.1 1 0 1+ 1.1 0 1 0= 0.0 1 1 1 所以 x－y＝＋0.0111 例2： x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=? 解： [x]补=1.0011 [y]补=1.1010 [-y]补=0.0110 [x-y]补= [x]补 + [-y]补 = 1.0 0 1 1+ 0.0110= 1.1 0 0 1 所以 x－y = 0.0111
补
例1:
码
加
法
运
算
x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
[x]补＝0.1001,
所以
解:
[y]补＝0.0101
[x＋y ]补=[x]补＋[y]补=0.1 0 0 1+ 0.0 1 0 1 = 0.1 1 1 0
x＋y＝＋0.1110 y＝－0.0101, 求 x＋y。
[y]补＝1.1011
课
堂
总
结
补码加减法的运算规则
参加运算的数都用补码表示; 数据的符号与数值位一样参加运算; 求差时将减数求补，用求和代替求差;
运算结果为补码，如果符号位为0，表明运算结 果为正；符号位为1，则运算结果为负; 符号位的进位为模值，应该丢掉。
当
堂
检
测
1、计算机中实现减法运算使用的方法是（ C ） A．从被减数中减去减数 B．从减数中减去被减数再求反 C．转换为补码的加法运算 D．依减数的形式再选择一种适当的方法
课
堂
练
习
1、 X=0.100101 ， Y=0.001101 ，则 X+Y= 2、 X=0.1101 ， Y=-0.0101 ，则X+Y= 3、 X=-0.10101 ， Y=-0.01101 ，则 X+Y= 4、 X=0.10101 ， Y=0.01010 ，则 X-Y=
计算机原理第三章运算方法和运算器综合练习
计算机原理第3章运算方法和运算器综合练习一、选择题知识点：定点补码的加法，减法，不带符号数的运算，溢出 P261、[X]补+[Y]补=[X+Y]补（mod 2n）2、[X-Y]补=[X+（-Y）]补= [X]补+[-Y]补（mod 2n）3、[-Y]补=[[Y]补]变补（注：连同符号位一起变反加1的过程叫变补或求补。
）4、判断溢出条件： C S+1和C S相异时溢出当C S+1C S=00或 C S+1C S=11时不产生溢出。
当C S+1C S=01或C S+1C S=10时则产生溢出。
1、计算机中实现减法运算使用的方法是（）A．从被减数中减去减数 B．从减数中减去被减数再求反C．转换为补码的加法运算 D．依减数的形式再选择一种适当的方法2、定点数作补码加减运算时，其符号位是( )A.与数位分开进行运算B.与数位一起参与运算C.符号位单独作加减运算D.两数符号位作异或运算3、补码加减法运算是（）A ．操作数用补码表示，两数的尾数相加减，符号位单独处理，减法用加法代替B ．操作数用补码表示，符号位与尾数一起参加运算，结果的符号与加减所得相同C ．操作数用补码表示，连同符号位直接相加减，减某数用加负某数的补码代表，结果的符号在运算中形成D ．操作数用补码表示，由数符决定两尾数的操作，符号位单独处理4、执行二进制算术运算11001001+00100111，其运算结果是（）。
A) 11101111 B) 11110000 C) 00000001 D) 101000105、已知X的补码为11101011,Y的补码为01001010，则X+Y的补码为（）。
A、10100001B、11011111C、00110101D、溢出6、已知X的补码为11101011,Y的补码为01001010，则X-Y的补码为（）。
A、10100001B、11011111C、10100000D、溢出7、下面关于溢出的描述正确的是（）A 溢出就是进位B 溢出是指运算结果的最高位向更高位进位或借位C 溢出与补码运算中的模丢失是一个概念D 溢出主要用于判断带符号的运算结果是否超过数的表示范围8、定点运算器运算时产生溢出的原因是（）。
3.3运算方法
注意：某数的补码表示与某数变补的区别。 例. 1 0101原 1 1011 补码表示 0 0101原 0 0101
补码表示
符号位不变； 负数尾数改变， 正数尾数不变。
1 0011补 0 0011补
变补
变补
0 1101 1 1101
符号位改变， 尾数改变。 补码的机器负数
4
2. 算法流程
操作数用补码表示， 符号位参加运算
-n -(n-1)
-1 -2 -n
Yn-2 Yn)
-1 -2
-n
= X补 (Y1-Y0)+2 (Y2-Y1)+2 (Y3-Y2)+…… +2 (0 n+1 -Yn) Y
比较法：用相邻两位乘数比较的结果决定 +X补、-X补或+0。
25
2.比较法算法
Yn(高位) 0 0 1 1
Yn+1(低位) 操作(A补为部分积累加和) 0 ( 0 ) 1/2A补 1 ( 1 ) 1/2(A补+X补) 0 (-1 ) 1/2(A补-X补) 1 ( 0 ) 1/2A补
3.运算实例
X=-0.1101,Y=-0.1011,求(XY)补。 初值：A=00.0000,B=X补=11.0011, -B=(-X)补=00.1101,C =Y补=1.0101
26
步数 1） 2） 3） 4） 5）
条件 操作 A CnCn+1 00.0000 1 0 -B + 00.1101 00.1101 00.0110 0 1 +B + 11.0011 11.1001 11.1100 1 0 -B + 00.1101 00.1001 00.0100 0 1 +B + 11.0011 11.0111 11.1011 1 0 -B + 00.1101
定点数加减法
EY
④ 舍入操作
恒舍法，恒进法，0舍1进法
下面举一个浮点加的实例。
【例3-12】 0.101011)2。 阶码
010 2 010 2 设有两个浮点数X=2 0.1101012，Y=2 (-
尾数 00.110101 11.010101
[X]浮=11,10； [Y]浮=11,11；
① 对阶
[E]补=[EX]补+[-EY]补=1110+0001=1111，即E =-1，将MX右移一位， 其阶码加1，得 [ X ] =11，11；00.011011（用0舍1入法）
2. 补码的减法运算
• 公式[x–y]补=[x+(–y)]补=[x]补+[–y]补 • 只要证明 [–y]补= –[y]补，上式即得证。证 明如下：
• 由于 [x+y]补= [x]补+[y]补 ，可得 ① [y]补= [x+y]补–[x]补, • 又 [x–y]补= [x+(–y）]补= [x]补+[–y]补，同理可得 ② [–y]补= [x – y]补–[x]补
（3） 63+66=129 0 1111111 0 1000001 1 0000001 正溢
（4） -63+（-66）=-129 1 1000001 1 0111110 0 1111111 负溢
① 采用一个符号位判断
两正数相加结果为负或两 负数相加结果为正，则溢 出
溢出= A n BnS n +A 整数一位乘法
计算机中的乘法运算采用的方法是：将n位乘转换为n次“累加 与移位”，即每一步只求一位乘数所对应的新部分积，并与原部分 积作一次累加，然后右移一位。
右图是无符号整数一位乘的算法 流程图。图中使用了3个寄存器A、B 和 C。 B用来存放被乘数； C存放乘数； A初值为0，然后存放部分积，最后 存放乘积高位。 由于乘数每乘一位该位代码就不再 使用，因此用A和C寄存器联合右移以 存放逐次增加的部分积，并且使每次 操作依据的乘数位始终在C的最低位。 乘法完成时，A与C存放的是最后乘积， 其中C的内容是乘积的低位部分。
计算机组成原理补码加减法运算
(mod 2)
特点：不需要事先判断符号，符号位与码值位一起参加运算。 符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。
在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。 这是补码加法的理论基础。
补码加法的特点： （1）符号位要作为数的一部分一起参加运算； （2）在模2的意义下相加，即大于2的进位要丢掉。
符号位出现“10”，表示已溢出，负溢出。即结果小于-1
计算机组成原理
15
基本的二进制加法/减法器
1.一位全加器 逻辑方程
Si Ai Bi Ci
Ci1 Ai Bi ( Ai Bi )Ci
一位全加器真值表
输入
输出
Ai
Bi
Ci
Si
Ci＋1
000
0
0
001
1
0
010
1
0
011
0
1
100
1
0
101
Cn-1 = Gn-1+Pn-1Gn-2+Pn-1Pn-2Gn-3 …+Pn Pn-1 …P1C0
……
Cn = Gn+PnGn-1+PnPn-1Gn-2 +PnPn-1Pn-2Gn-3…
+ PnPn-1 Pn-2 …P1C0
位数越长，进位链电路复杂度越高
通常按照4位一组进行分组运算
计算机组成原理
23
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。
证明：
∵
令
∴
故
[x＋y]补＝[x]补＋[ y]补 y = －x
(mod 2)
[0]补 ＝[x]补 + [ －x]补
补码加减法运算
[Y]补=[Y]原=01000000
[-Y]补=11000000
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
让我们共同进步
二、定点补码的减法运算
规则:[x-y]补=[X+(-Y)]补=[X]补+[-Y]补 (mod 2n)
式中，-2n-1≤X<2n-1 ; -2n-1≤Y<2n-1 ; -2n-1≤X-Y<2n-1
[-Y]补 =[[Y]补]变补 =[[Y]补]求补
求补：只将[Y]补连同符号位一起求反加1，即求 一个符号位相反而绝对值相等的数。
一、定点补码的加法运算
规则：[X]补+[Y]补=[X+Y]补 (mod 2n) 式中，-2n-1≤X<2n-1 ; -2n-1≤Y<2n-1 ; -2n-1≤X+Y<2n-1
例：已知X=+0010011B ,Y=-0000111B,求X+Y
[X]补= 00010011 +)[Y]补= 11111001
2、无符号数相减，其值的符号位取决于两数绝对 值的大小。
1）若X>Y,则X-Y无借位，差值为正，[x-y]补=[X]补 +[-Y]补 的和必大于2n,最高位有进位，其所得到 的和即是X-Y的原码。
例：已知X=+01000000,Y=+00001010,求X-Y [X]补=[X]原=01000000 [Y]补=[Y]原=00001010
定点补码的加减法运算
在计算机中，凡是带符号的数一律用补码表示， 其结果也是用补码表示，若结果的符号位为“0”表 示正数，得到的是补码即原码，数值部分前加“+” 号即为真值。若结果的符号位为“1”表示负数，得 到的是补码，这时如果要求真值，需要对结果的补码 再求补码，变成原码，在数值部分前加上“-”号才为 真值。
补码加减法运算(计算机组成原理)课件
补码加减法运算在计算机中的局限性
符号位处理
在补码加减法中，符号位需要单独处理，增加了计算的复杂性。
对负数运算的支持有限
虽然补码表示法可以处理负数，但对于某些复杂的负数运算（如乘 除法），可能需要额外的处理方法。
缺乏直观性
补码表示法和人类常用的十进制表示法不同，导致初学者难以理解 。
04
补码加减法运算的 实例分析
对于计算机专业的学生和研究者来说 ，掌握补码加减法是学习计算机组成 原理和深入了解计算机体系结构的基 础。在此基础上，可以进一步探索其 他数值表示和运算方法。
在实际应用中，如何优化补码加减法 的运算速度和精度，以及如何将其更 好地应用于各种不同领域，是值得进 一步研究的问题。同时，随着量子计 算等新型计算技术的发展，数值运算 的方法和原理也可能会发生变化，需 要保持关注和学习。
溢出及其处理
溢出的概念
在进行补码加减法运算时，如果结果超出了数据类型的表 示范围，就会产生溢出。溢出会导致计算结果的错误。
溢出的判断
判断是否溢出可以通过检查运算结果的符号位和最高位（进位） 来实现。如果符号位和最高位（进位）不同，则说明产生了溢出
。
溢出的处理
处理溢出的方法有多种，包括检测溢出后进行相应的处理、采用 有符号数乘除法等方法。在实际应用中应根据具体情况选择合适
补码加法运算的实例
假设有两个补码表示的二进制数X和Y，其中X=+1010，Y=-0101，则X+Y=+1010+(0101)=+0101，因为结果的符号位为0，所以结果为正数，即X+Y=+5。
补码的减法运算
补码减法运算的规 则
在进行补码减法运算时，首先 将减数取反加1得到相应的正 数，然后将这个正数与被减数 相加，最后根据结果的符号位 确定结果的符号，正数符号位 为0，负数符号位为1。
《补码加减法运算》课件
方向调整结果的符号位。
补码减法运算规则
01
02
03
符号位参与运算
在补码减法中，符号位也 需要参与运算，正数和负 数的补码表示形式不同。
借位处理
在进行补码减法时，如果 最高有效位不够减，则需 要从符号位借位。
溢出判断与处理
与补码加法类似，如果结 果的符号位发生变化，则 说明发生了溢出，需要进 行溢出处理。
补码加减法运算规
02
则
补码加法运算规则
01
符号位参与运算
补码加法中，符号位需要参与运算，正数和负数的补码表示形式不同，
正数的补码就是其本身，负数的补码是其绝对值加1取反。
02
溢出判断
在补码加法中，如果结果的符号位发生变化，则说明发生了溢出。
03
溢出处理
当发生溢出时，需要将溢出位加到结果的最高有效位上，同时根据溢出
精度提升
随着数值精度的需求不断提 高，补码表示法的精度也将 得到进一步提升，以适应更 高精度的计算需求。
应用领域拓展
随着数字化时代的到来，补 码加减法运算将在更多领域 得到应用，如人工智能、物 联网、云计算等新兴领域。
THANKS.
综合运算电路的基本结构
综合运算电路的工作原理
由加法器和减法器组成，可以实现加法和 减法运算。
根据运算需求选择加法器或减法器进行运 算，输出结果。
综合运算电路的优点
可以实现多种运算，灵活性高。
综合运算电路的缺点
电路设计复杂，需要优化电路结构以降低 功耗和提高运算速度。
总结与展望
05
补码加减法运算的意义和作用
溢出处理
判断方法
通过观察运算结果的符号位和最高有效位的变化来判断是否发生了溢出。
计算机组成原理-第2周下-定点加减法运算
[y]补= 1 1 0 1 1 10 0110
所以
ｘ＋ｙ＝+0110
6
例: x＝-11001 ,y＝-00011，求 x+y＝？
解:[x]补=1 0 0 1 1 1， [y]补=1 1 1 1 0 1
[x]补=1 0 0 1 1 1 +
丢掉
[y]补=1 1 1 1 0 1 11 0 01 0 0 由以上三例看到,补码加法的特点: (1) 符号位要作为数的一部分一 起参加运算。 (2) 要在模2n+1的意义下相加， 即超过2n+1的进位要丢掉!
13
[例16] ｘ＝－1101, ｙ＝－1011,求ｘ＋ｙ。 [解:] [ｘ]补＝10011 [ｙ]补＝10101 [ｘ]补 ＋ [ｙ]补 [ｘ＋ｙ]补 10011 10101 01000
两个负数相加的结果成为正数,这同样是错误的。 之所以发生错误,是因为运算结果产生了溢出。两个正数相 加,结果大于机器所能表示的最大正数,称为正溢出。而两个负数 相加,结果小于机器所能表示的最小负数,称为负溢出。
21
常见的门电路
1．与门 真值表表示的两输入端与门如表2-1所示，逻辑符号如图 2-1所示。从与门的逻辑关系上可以看出，如果输入端A 作为控制端，则A的值将会决定输入端B的值是否能被输 出到端口Y。
Y AB
A
B
Y=AB
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 表2-1 两输入端与门的真值表
27
5．或非门
真值表表示的两输入端或非门如表2-5所示，逻辑符号如 图2-5所示。可以利用或非门的输入端A来控制输入端B。 当A=0时，（输入信号被反相输出）；当A=1时，则不管 B的值是什么，Y都为0。
(完整版)补码的加
一.补码的加、减运算在计算机中，通常总是用补码完成算术的加减法运算。
其规则是：[X+Y]补= [X]补+ [Y]补，[X-Y]补= [X]补- [Y]补= [X]补+ [-Y]补这表明，有了补码表示的被加（减）数和加（减）数，要完成计算补码表示的二数之和或二数之差，只需用二数的补码直接执行加减运算即可，符号位与数值位同等对待，一起参加运算，若运算结果不溢出，即不超出计算机所能表示的范围，则结果的符号位和数值位同时为正确值。
此外，还可以看到，实现减运算时，用的仍是加法器线路，把减数的负数的补码送加法器即可。
在有了一个数的补码之后，求这个数的负数的补码，是简单地把这个数的补码逐位取反再在最低位加1即可得到。
例如，[Y]补=101101，则[-Y]补=010011，这大大简化了加减运算所用的线路和加减运算的实现算法。
下面的问题是如何检查加减运算中的溢出问题。
通常有三种表述方式（说法）：(1) 两个符号相同的补码数相加，如果和的符号与加数的符号相反，或两个符号相反的补码数相减，差的符号与减数的符号相同，都属于运算结果溢出。
这种判别方法比较复杂，要区别加还是减两种不同运算情况，还要检查结果的符号与其中一个操作数的符号的同异，故很少使用；(2) 两个补码数相加减时，若最高数值位向符号位送的进位值与符号位送向更高位的进位值不相同，也是运算结果溢出。
(3) 在采用双符号位（如定点小数的模4补码）运算时，若两个符号位的得值不同（01或10）则是溢出。
01表明两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为"上溢"；10表明两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为"下溢"；双符号位的高位符号位，不管结果溢出否，均是运算结果正确的符号位，这个结论在乘法运算过程中是很有实际意义的。
请注意，在采用双符号位的方案中，在寄存器和内存储器存储数据时，只需存一位符号，双符号位仅用在加法器线路部分。
转载定点小数补码表示法介绍
转载定点小数补码表示法介绍[X]补=(2.10)例如:X=+0.1011，[X]补=01011X=-0.1011，[X]补=10101按补码的定义，当X=-0.1011时，[X]补=2+X=10.0000+(-0.1011)=10101。
补码的性质:①在补码表示中，机器数的最高一位是符号位，0代表正号，1代表负号。
机器数和它的真值的关系,是[X]补=2*符号位+X。
②在补码表示中，0有唯一的编码，即[+0.0]补=[-0.0]补=00000假定X=+0.0000,Y=-0.0000,依据补码定义,则有[X]补=X=00000，[Y]补=2+Y=10.0000+0.0000=10.0000=00000此处最后一步实现按2取模，处在小数点左侧第二位上的1去掉了。
③补码表示的两个数在进行加法运算时,可以把符号位与数值位同等处理，只要结果不超出机器能表示的数值范围，运算后的结果按2取模后，得到的新结果就是本次加法运算的结果，即机器数的符号位与数值位都是正确的补码表示，即:[X+Y]补=[X]补+[Y]补MOD2(2.11)这一结论极为重要。
例如,X=+0.1010,Y=-0.0101，则:[X]补=01010,[Y]补=11011，求得:[X]补+[Y]补=01010+11011=100101，按2取模后,符号位前边一位上的1去掉，则最后结果为00101，其真值为+0.0101。
符号位与数值位均正确。
又如，X1=X2=-0.1000,则[X1]补=[X2]补=11000那么[X+X]补=11000+11000=110000，按2取模后得10000，它的真值为-1。
由此看出,用补码表示定点小数时,它能表示-1的值。
④[X]补与其真值的关系。
假定[X]补=X0X1X2…Xn，则有[X]补=2X0+X，此关系对X为正、为零和为负都是正确的。
X为正时，X0应为0，[X]补=2*0+X=X，X为负时，X0应为1，[X]补=2*1+X=2+X，均与补码的定义吻合。
2.4 基本运算方法
1) X=3 X补=0 0011
2) X= –3 X补=1 1101
Y=2 Y补=0 0010
Y= –2 Y补=1 1110
0 0101（+5补码）
1 1011（-5补码）
【例】求(X–Y)补
1) X= 4 X补=0 0100 2) X= –4 X补=1 1100
Y= –5 Y补=1 1011
Y= 5 Y补=0 0101
4
Sum: 加法结果 Cout:进位信号
Sub
A
4
0
B＇
4 MUX
1
4
B
加法器
Cin 4
ZF SF
Sum CF
OF
Cout
补码加/减运算部件逻辑
ZF: 0标志位；SF：符号标志；CF:进位/借位标志； OF:溢出标志。
7/47
（4）溢出判断 ＊溢出的判断规则
思考：在什么情况下可能产生溢出？
［假设］补码表示的Ａ、B两数做加减运算
12/47
1）3+2：
00 0011 00 0010 00 0101 正确
3）-3+(-2)： 11 1101 11 1110 11 1011 正确
5）6+(-4)： 00 0110 11 1100 00 0010 正确
第１符号位 Sf1
第２符号位 Sf2
2）10+7： 00 1010 00 0111
01 0001 正溢 4）-10+(-7)：
11 0110 11 1001 10 1111 负溢
6）-6+4： 11 1010 00 0100 11 1110 正确
13/47
①硬件判断逻辑一(SA、SB与Sf的关系) 溢出逻辑= SASBSf ＋ SASBSf
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[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=00100101+00010111
=00111100
定点加/减法运算
例：X=+0010011B
求[X+Y]补,[X-Y]补
解：X=+0010011B=00010011原=00010011补 Y=-0000111B=10000111原=11111001补 [-Y]补=00000111 [X+Y]补= [X]补+[Y]补 =00010011+11111001 =100001100 [X-Y]补= [X]补+[-Y]补 =00011010+00000111 =00011010
Y=-0000111B
课堂小结：
定点加法运算
[X+Y]补 =[X]补+[Y]补
定点减法运算
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
课堂作业：
1.用补码进行下列运算：已知X=+0100111， Y=+0010101，求[X+Y]补。
2.用补码进行下列运算：已知X=-0101100， Y=-0011001，求[X+Y]补，[X-Y]补。
第三章 运算方法和运算器
——定点加/减法运算
教学目标
知识与技能：
通过对定点补码的加法规则的学习，具备一定的运 算能力。
过程与方法：
通过分析定点补码的加法规则，引导学生参与教学； 过程中采用演示法及板书的讲授法，加强学生对规则的 理生的运算能力，养成认真仔细的学习习惯。
解：[X]补=00100110 [Y]补=00011011 [X+Y]补=[X]补+[Y]补 =00100110+00011011 =01000001
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
2、定点补码减法计算方法 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补
注：（1）减法运算转为补码的加法运算
（2）[-Y]补的求法：将[Y]补连同符号位在内 的所有位一起取反，再加1
求[X-Y]补
[Y]补=00101010B
解：[-Y]补=11010110
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=01101010+11010110
=101000000
=01000000
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
例： X=+0100101B
求[X-Y]补
Y=-0010111B
解：[-Y]补=00010111
教学重难点
重点 （1）定点加法运算 （2）定点减法运算 难点 （1）定点减法的运算
3.1定点加/减法运算
机器数常用三种表示：
原码、反码、补码
计算机中的算术运算一般采用补码进 行， 用补码表示的两个操作数进行算术 运算， 符号位直接参加运算，结果仍为 补码
符号 位直接参加运算，结果仍为补码
定点加法运算
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
例： [X]补=00001011B
求[X-Y]补
[Y]补=11111011B
解：[-Y]补=00000101
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=00001011+00000101
=00010000
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
例： [X]补=01101010B
[X+Y]补= [X]补+[Y]补
例：[X]补= 01101010 [Y]补=0 0101010
求[X+Y]补
解： [X+Y]补=[X]补+[Y]补 =01101010+00101010 =10010100
[X+Y]补= [X]补+[Y]补
例：X=+0100110B Y=+0011011
求[X+Y]补
定点补码的加法规则：
[X+Y]补= [X]补+[Y]补 注:（1）补码运算时，符号位参与运算 （2）运算时，符号位产生的进位要去掉
[X+Y]补 =[X]补+[Y]补
例：[X]补=00010011 求[X+Y]补 解： [X+Y]补= [X]补+[Y]补 =0 0010011+0 0000111 =0 0011010 [Y]补=0 0000111