除法补码加减交替法.ppt
补码除法规则说明
补码除法（加减交替法）规则说明1. 商为正时，够减应商真值1，不够减时商真值0；商为负时，够减应商真值 －1，不够减时商真值0；2. 当[]B 补与[]A 补同号时，商Q 为正，Q 的真值与补码形式一致； 当[]B 补与[]A 补异号时，商Q 为负，Q 的真值与补码的关系除最后一位（恒为1）外，其余各位补码实际上是对应真值的反码。
3. 关于溢出，无论如何，第一为商只能是0。
假定第一位商的真值为q n -1'，则余数[][][][]补补补－A q B A q B R n n '1'122--=⨯-=，若q n -1'取1（或-1）时，余数仍为真余数，则溢出。
也即：当Q 为正时，R=2[]B 补-1[]A 补=2[]B 补-[]A 补与B 同号溢出；当Q 为负时，R=2[]B 补-(-1)[]A 补=2[]B 补+[]A 补与B 同号溢出4. 当Q 为正时：* 若R 与[]A 补同号，表明R 是真余数，应商真值1，补码形式也是1；根据加减交替法，下一步为2R-[]1⨯A 补→R ，即R A R →-补][2。
* 若R 与[]A 补异号，表明R 是假余数，应商真值0，补码形式也是0；下一步为2R+[]1⨯A 补→R ，即R A R →+补][2。
5. 当Q 为负时：* 若R 与[]A 补同号，表明R 是假余数，应商真值－0，反码形式是1；根据加减交替法，下一步为 R A R →⨯-+补]1[2，即R A R →-补][2* 若R 与[]A 补异号，表明R 是真余数，应商真值－1，反码形式是0；下一步为R A R →⨯--补]1[2，即R A R →+补][26. 关于最后一位恒置1：由算法可知，最后一次减尝试可能出现够减和不够减两种情况，但不管够减和不够减，减操作已经完成，算法中并不管最后余数的恢复，所以，最后一位商的真值应为1（或-1），余数有可能是假余数。
分两种情况：* 若Q 为正，最后一位为1，与恒置1同。
2补码加减法运算详解
[x]补 ＋[ y ] 补 0. 1 0 1 1 1. 1 0 1 1
解:
[x]补＝0.1011,
[ x ＋y ] 补
计算机组成原理
1 0. 0 1 1 0
所以
x＋y＝0.0110
4
3.补码减法
补码减法运算的公式： [ x －y ] 补＝[ x ] 补－[ y ] 补＝[ x ] 补＋[ －y ] 补
V ＝C f ⊕C o
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。 此逻辑表达式也可用异或门实现。 V＝C1⊕Co 判断电路
c0 x0 y0 c1 x1 y1
FA
z0
V
FA
z1
11
计算机组成原理
(3)双符号位法 一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就 会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将 随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。 双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义： 0 x<1 -1 x<0 0 x<2 n -2 x<0 n （mod 2
机器定点小数表示 发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理 7
例：x=+0.1011, y=+0.1001,
解： [x]补=0.1011 [x]补 + [y]补 [x+y]补
两数差的补码等于两数补码之差
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。 证明：
补码加减交替法计算x÷y
补码加减交替法计算x÷y
补码加减交替法计算x÷y是目前广泛应用的一种数据运算方法，它的应用可以极大地提高计算机的数据处理能力，拓展出更多的可能性。
首先，补码加减交替法计算x÷y，需要将除数y映射到一个负数上，以实现有效的数据运算。
在计算机的运用中，y的负补码在内存中占据四个字节空间，将发生的状态记录得以保存。
在运算过程中，由于要求对负数y执行减法操作，故要与X对应，按照比特地址来指定。
其后，由于X和y的补码求和具有系统性，因此可以按照一定的步骤循环进行计算。
首先确定除数的补码的原码，在上述条件内，由此可求得Y及其补码，建立模型，两个补码加减取得结果。
最后通过取余、查表及逐比特运算等方法，获得结果值，完成补码加减法计算X÷Y的过程。
补码加减交替法计算x÷y具有视觉上更直观、操控性更强、效率更高等一系列优点，在解决我国民生、经济发展中的实际应用中也有重要的作用，充分发挥了它的强大优势与作用。
同时，它也将大大提高计算机的处理速度、运行效率，满足人们的不断增长的需求。
总之，补码加减交替法计算x÷y的应用不仅在计算机语言技术中具有重要的意义，在实际的政务与民生领域中，也拥有重要的作用。
因此，未来补码加减交替法计算x÷y将会有更广阔的发展空间，为实现经济发展，提高民生发挥着重大作用。
补码加减法运算
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
T通常采用一个 “与非”门或一 个“或非”门的 时间延迟来作为 度量单位。
20
(1)对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1的时间延迟为5T。
Ci+1
Si
≥1
=1
&
&
=1
计算机组成原理
Ci
Ai Bi
21
(2)n位行波进位加法器的延迟时间ta为： 考虑溢出检测时，有： ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月26日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
2补码加减法运算
[x]补=00.1100 [x]补 + [y]补
[y]补=11.1000 1 1. 0 1 0 0 1 1. 1 0 0 0 1 0. 1 1 0 0 符号位出现“10”，表示已溢出，负溢出。即结果小于-1
0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
[x]补
1. 0 0 1 1
+
[y]补
[x+y]补
1. 0 1 0 1
0. 1 0 0 0
(1)单符号位检测方法1 设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC 溢出逻辑表达式为：
x 0 y 0
FA
z 0
V ＝S 1 S 2 S c + S 1 S 2 S c
0 .1 0 1 0 1 + 0 .1 1 0 0 0
1 .0 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0 1 0 .1 1 1 0 1
Cf = 1，Cn = 0
10
1 .0 1 1 0 1
Cf = 0，Cn = 1
计算机组成原理
从上面例中看到： 当最高有效位有进位而符号位无进位时,产生上溢； 当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生下溢。 （简单地说是正数相加为负数或负数相加为正数则产生溢出） 故溢出逻辑表达式为：
Si 0 1 1 0 1 0 0 1
输出 Ci＋1 0 0 0 1 0 1 1 1
Si Ci+1 FA Ci
Ai
Bi
一位全加器
17
逻辑方程
Si Ai Bi Ci
Ci 1 Ai Bi ( Ai Bi )Ci
补码运算加减乘除原理
首先我们来看为什么要使用补码运算法：因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:计算十进制的表达式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:计算十进制的表达式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反= [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上.虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补= [0000 0000]补=[0000 0000]原这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:接下来我们来看补码运算原理：在计算机里，如果我们要计算5-3的值，我们既可以用5减去3，也可以用5加上13。
计算机组成原理补码加减法运算37省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
下溢
上溢
机器定点小数表示
发生溢出原因，是因为运算结果超出编码所能表示数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
第7页
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011 [x]补
与非
NAND
T
或非
NOR
T
非
NOT
T
与
AND
2T
或
OR
2T
异或
XOT
3T
异或非
XNOR
3T
接线逻辑 (与或非)
AOI
T+TRC
计算机组成原理
T被定义为对应 于单级逻辑电路 单位门延迟。
T通常采取一个 “与非”门或一 个“或非”门时 间延迟来作为度 量单位。
20
第20页
(1)对一位全加器(FA)来说，Si时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1时间延迟为5T。
(1)单符号位检测方法1
设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC
溢出逻辑表示式为：
V＝S1 S2 Sc + S1 S2 Sc
计算机组成原理
[x]补 1. 0 0 1 1 + [y]补 1. 0 1 0 1
[x+y]补 0. 1 0 0 0
x0
FA
z0
y0
判断
V
电路
判断电路
9
第9页
（2）单符号位检测方法2
P1
& =1
补码加减法运算(计算机组成原理)课件
补码加减法运算在计算机中的局限性
符号位处理
在补码加减法中，符号位需要单独处理，增加了计算的复杂性。
对负数运算的支持有限
虽然补码表示法可以处理负数，但对于某些复杂的负数运算（如乘 除法），可能需要额外的处理方法。
缺乏直观性
补码表示法和人类常用的十进制表示法不同，导致初学者难以理解 。
04
补码加减法运算的 实例分析
对于计算机专业的学生和研究者来说 ，掌握补码加减法是学习计算机组成 原理和深入了解计算机体系结构的基 础。在此基础上，可以进一步探索其 他数值表示和运算方法。
在实际应用中，如何优化补码加减法 的运算速度和精度，以及如何将其更 好地应用于各种不同领域，是值得进 一步研究的问题。同时，随着量子计 算等新型计算技术的发展，数值运算 的方法和原理也可能会发生变化，需 要保持关注和学习。
溢出及其处理
溢出的概念
在进行补码加减法运算时，如果结果超出了数据类型的表 示范围，就会产生溢出。溢出会导致计算结果的错误。
溢出的判断
判断是否溢出可以通过检查运算结果的符号位和最高位（进位） 来实现。如果符号位和最高位（进位）不同，则说明产生了溢出
。
溢出的处理
处理溢出的方法有多种，包括检测溢出后进行相应的处理、采用 有符号数乘除法等方法。在实际应用中应根据具体情况选择合适
补码加法运算的实例
假设有两个补码表示的二进制数X和Y，其中X=+1010，Y=-0101，则X+Y=+1010+(0101)=+0101，因为结果的符号位为0，所以结果为正数，即X+Y=+5。
补码的减法运算
补码减法运算的规 则
在进行补码减法运算时，首先 将减数取反加1得到相应的正 数，然后将这个正数与被减数 相加，最后根据结果的符号位 确定结果的符号，正数符号位 为0，负数符号位为1。
计算机组成原理课件第二章补码加减法运算
23
并行加法器进位链
C1 = A1B1+(A1⊕B1)C0=G1+P1C0
C2 = A2B2+(A2⊕B2) C1=G2+P2C1 =G2+P2(G1+P1C0) =G2+P2G1+P2P1C0
其结论也适用于定点整数。
例: x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
解:
[x]补＝0.1001, [y]补＝0.0101
[x]补 ＋ [y]补
[x＋y ]补
0. 1 0 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 1 1 0
所以
x＋y＝＋0.1110
例: x＝＋0.1011, y＝－0.0101, 求 x＋y。
随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。
双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义：
x
[x]补=
4+x
0 x<1 -1 x<0
（mod 4)
字长n+2定点整数，变形补码定义：
[x]补=
x 2n+2+ x
n
0 x<2
（mod 2 n+2
)
-2 nx<0
采用变形补码后数的表示： • 任何小于1的正数： 两个符号位都是“0”，即 00.x1x2...xn; • 任何大于-1的负数：两个符号位都是“1”，即 11.x1x2…xn
2.补码加法运算
补码加法的公式:
[ x ]补＋[ y ]补＝[ x＋y ]补
《补码加减法运算》课件
方向调整结果的符号位。
补码减法运算规则
01
02
03
符号位参与运算
在补码减法中，符号位也 需要参与运算，正数和负 数的补码表示形式不同。
借位处理
在进行补码减法时，如果 最高有效位不够减，则需 要从符号位借位。
溢出判断与处理
与补码加法类似，如果结 果的符号位发生变化，则 说明发生了溢出，需要进 行溢出处理。
补码加减法运算规
02
则
补码加法运算规则
01
符号位参与运算
补码加法中，符号位需要参与运算，正数和负数的补码表示形式不同，
正数的补码就是其本身，负数的补码是其绝对值加1取反。
02
溢出判断
在补码加法中，如果结果的符号位发生变化，则说明发生了溢出。
03
溢出处理
当发生溢出时，需要将溢出位加到结果的最高有效位上，同时根据溢出
精度提升
随着数值精度的需求不断提 高，补码表示法的精度也将 得到进一步提升，以适应更 高精度的计算需求。
应用领域拓展
随着数字化时代的到来，补 码加减法运算将在更多领域 得到应用，如人工智能、物 联网、云计算等新兴领域。
THANKS.
综合运算电路的基本结构
综合运算电路的工作原理
由加法器和减法器组成，可以实现加法和 减法运算。
根据运算需求选择加法器或减法器进行运 算，输出结果。
综合运算电路的优点
可以实现多种运算，灵活性高。
综合运算电路的缺点
电路设计复杂，需要优化电路结构以降低 功耗和提高运算速度。
总结与展望
05
补码加减法运算的意义和作用
溢出处理
判断方法
通过观察运算结果的符号位和最高有效位的变化来判断是否发生了溢出。
除法_补码加减交替法
• 运算规则
– 符号位参加运算，除数和被除数均用双符号位补码表示；
– 第一步的运算
• 被除数与除数同号，被除数减去除数； • 被除数与除数异号，被除数加上除数； Nhomakorabea例题
– 后续步骤的运算
• 余数与除数同号，商上1，余数左移一位减去除数；
• 余数与除数异号，商上0，余数左移一位加上除数。
2020年3月9日星期一
商
0.0000
1 1
10 10
100 100
1001 10011
说明
[x]补 = 1.0101
异号做加法 同号上“1”
[y]补 = 0.1101 [–y]补 = 1.0011
1
+[–y]补 异号上“0”
1
+[y]补 异号上“0”
1
∴
[
x y
]补=
1.0011
+[y]补 同号上“1”
则
x y
= – 0.1101
1 末位恒置“1”
2
– 重复步骤③ ，包括符号位在内，共做n＋1步。
• 如果对商的精度没有特殊要求，一般可采用“末位恒置 1”法，此法操作简单，易于实现，且最大误差仅为2-n 。
2020年3月9日星期一
1
例8.设 x = – 0.1011，y = 0.1101，求 [ xy并]补还原真值。
被除数(余数)
1.0101 0.1101 0.0010 0.0100 1.0011 1.0111 0.1110 0.1101 1.1011 1.0110 0.1101 0.0011 0.0110
计算机组成原理第八讲（除法-补码不恢复余数法）（科大罗克露）
计算机组成原理第八讲（除法-补码不恢复余数法）（科大罗克露）3.补码不恢复余数法（加减交替法）问题：如何判断是否够减法？如何上商？如何确定商的符号？1.判断够减：(1)同号相除。
用绝对值相减（用1表示够减，用0表示不够减）够减：余数r与被除数X,除数Y同号。
不够减：余数r与被除数X,除数Y异号。
(2)异号相除。
用绝对值相减（用1表示够减，用0表示不够减）够减：余数 r与被除数X同号，与除数Y异号。
不够减：余数r与被除数X异号,与除数Y同号2.判断规则：X补/Y补-------->1.同号：作X补 - Y补----->够减：余补r与除数补Y同号。
不够减：余补r与除数补Y异号。
X补/Y补-------->2.异号：作X补 + Y补----->够减：余补r与除数补Y异号。
不够减：余补r与除数补Y同号。
3.求商值：X补/Y补-------->1.同号：商为正；---->够减商为1 （余数r与除数R同号）不够减商为0（余数r与除数R异号）X补/Y补-------->2.异号：商为负；----->够减商为0 （余数r与除数R异号）不够减商为1（余数r与除数R同号）上商规则：商Qi= !(Sr ^ Sy) 余数与除数同号商为1，异号商为0。
4.算法表达式：（r i + 1）补=2r i补 + （1-2Q i补）Y补r i补与Y补同号，则Q i补为1，第i + 1步作2r i补 - Y补；r i补与Y补异号，则Q i补为0，第i + 1步作2r i补 +Y补；5.求商符：令X补 = r0补 r0补与 Y补 ------->同号商符号Q0补 = 1 与实际商符相反。
异号商符号Q0补 = 06.商的校正：n-1X补/Y补 = （-1 + 2-n+ ∑ 2-i Q i补） + 2-n r补/Y补 //加号前面是商，后面是余数。
i=0(1)作补码运算求n-1位商时（是假商）(2)第n位商（末位商）恒置1.(3)商符号变反。
补码运算说明单片机.ppt
00011000 +）0 0 0 0 0 0 1 1
21 需进行十进制调整：
00011011 43;）0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1 （个位大于9，应进1）
+）
0 1 1 0 （加6使进1）
0 0 1 0 0 0 0 1 （结果形如21）
BCD码加法规则： 两个BCD数相加时，“某位”的和小于10则保持不变； 两个BCD数相加时，“某位”的和大于9，则和数应加6修正。 BCD码减法规则： 两个BCD数相减时，“某位”的差未发生借位，则差数保持不 变；
两个BCD数相减时，“某位”发生了借位，其差应减6修正。 这里“某位”指BCD数中的“个位”、“十位”、“百 位”、……
溢出 0 1 Cy S （溢出）
错：两个正数相加和为负数。 [- 85]补： 1 0 1 0 1 0 1 1 [- 47]补：+）1 1 0 1 0 0 0 1 [- 132]补：1 0 1 1 1 1 1 0 0 溢出 1 0
Cy S 错：两个负数相加和为正数。
☆ 十进制数的编码
十进制的字符用二进制数进行编码——BCD码：
【例1】两个带符号的数(01000001)补(十进制数+65)与 (01000011)补(十进制数+67)
+
01000001 01000011
10000100
例中是两个正数相加，但结果却是一个负数——符号位 为1。显然，这个结果是错误的，出现这种错误的原因就在 于这两个数相加的结果超过了8位二进制带符号数所能表示 的数值范围。 【例2】两个负数(10001000)补和(11101110)补的相加情况。
补码的运算
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• 运算规则
– 符号位参加运算，除数和被除数均用双符号位补码表示； – 第一步的运算
• 被除数与除数同号，被除数减去除数； • 被除数与除数异号，被除数加上除数；
例
题
– 后续步骤的运算
• 余数与除数同号，商上1，余数左移一位减去除数； • 余数与除数异号，商上1001 10011
1
1
+[y]补
异号上“0”
1
+[y]补
同号上“1” 1 末位恒置“1”
x ∴ [ y ]补= 1.0011 x 则 y = – 0.1101
2
– 重复步骤③ ，包括符号位在内，共做n＋1步。
• 如果对商的精度没有特殊要求，一般可采用“末位恒置 1”法，此法操作简单，易于实现，且最大误差仅为2-n 。
2019年4月17日星期三 1
x ]补 例8.设 x = – 0.1011，y = 0.1101，求 [ y并还原真值。
被除数(余数) 商 说 明
1.0101 0.1101 0.0010 0.0100 1.0011 1.0111 0.1110 0.1101 1.1011 1.0110 0.1101 0.0011 0.0110
2019年4月17日星期三
0.0000 1
异号做加法 同号上“1”
+[–y]补 异号上“0”
[x]补 = 1.0101 [y]补 = 0.1101 [–y]补 = 1.0011