第 六 章 一 阶 电 路

t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e

t

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。

1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e

U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
能量关系： 设uC(0+)=U0 电容放出能量
iL(0+)= iL(0-) =2A
uL (0 ) 2 4 8V
10V
求初始值的步骤
2A
uL
-
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3. 画0+等值电路。 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
d ni d n 1 i di an n an1 n1 a1 a0 i u t 0 dt dt dt
经典法 拉普拉斯变换法
状态变量法
数值法
§6-2 阶跃函数和冲激函数
一 单位阶跃函数
1. 定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
(t)
1 t iL ( 0 ) 0 u( )d L


(0 ) u( )d
t 0
当u为有限值时
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
当uL为冲激函数时
1 0 i L (0 ) i L (0 ) u( )d i L (0 ) L 0 结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
（1） 0 t0 t
4. 函数的筛分性



f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
f(0)(t)

同理有：
(t)
(1) f(0) 0
f(t) t



f ( t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
* f(t)在 t0 处连续
di uL L RI 0 e dt
t L/ R
t0
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 -RI 0
L 亨 韦 伏秒 [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [秒] R 欧 安欧 安欧
i(0)一定： L大 R小
起始能量大 放电过程消耗能量小
放电慢 大
0 (t ) 0 ( t 0) ( t 0)
(t) (1)



(t )dt 1
0
t
3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0)
(t t 0 ) 0 (t t 0 ) ( t t 0 )dt 1
(t-t0)
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
时间常数 的简便计算： 例1 + R2 L R1 R1
R2
L
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例2 R等 C
= R等C
§6-5 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 K(t=0) US R
duC i C 解 dt duC RC uC 0 dt uC (0 ) U 0
uC
–
+
uR
–
+
特征方程 RCp+1=0
特征根
p
1 RC
uC Ae pt Ae 则

1 t RC
uc Ae
U 0 Ae

1 t RC

1 t RC
t 0
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0 U0 uC A=U0 0
R
i
+ C
列方程：
+u –
uC
–
duC RC uC U S dt
非齐次线性常微分方程
齐次方程的通解 齐次方程的特解
uC (0-)=0
' " 解答形式为： uc uc uc
uC ：特解（强制分量） uC = US
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
二. 过渡过程产生的原因
1. 电路内部含有储能元件 L 、M、 C
2. 电路结构发生变化 换路
三. 稳态分析和动态分析的区别 稳 态 动 态
换路发生很长时间
IL、 UC ( U C 、I L ) 不变
换路刚发生 iL 、 uC 随时间变化
微分方程组描述电路
代数方程组描述电路
四. 分析方法
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
uC Ae
全解

t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC uC uC U S Ae
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
特征根 p =
R L
t0
特征方程 Lp+R=0
i (t ) Ae pt
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
得 i (t ) I 0 e pt I 0 e
R t L
t0
i
i I0
R t e L
I 0e

t L/ R
t0
I0
0 t uL t
t RC
uc U 0 e

t RC
t0
t RC
t i
uC U 0 i e R R
I 0e
t0
I0 0
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
t
库 安秒 RC 欧法 欧 欧 秒 伏 伏
t=
0+时刻
1 uC (0 ) uC (0 ) C


0 0
i ( )d
q
当i()为有限值时
(0+)
=q
(0-)
+
0 0
i()d
0 0
i()d
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
当iC为冲激函数时，即
电荷守恒
iC (t )
uL ( 0 ) 3Em REm 2 2L
例4
L +u –
L
iL
R
iC + C
求 iC(0+) , uL(0+)
IS
K(t=0)
uC
–
iL(0+) = iL(0-) = IS uC(0+) = uC(0-) = RIS uL(0+)=
- RIS
0+电路 I S +u –
L
R
iC + R IS –
RI S iC ( 0 ) I s 0 R

§6-4 一阶电路的零输入响应
一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述 的电路 零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由初始储能作用于 电路产生的响应。
一
RC放电电路
C
uC = uR= Ri
K(t=0)
i
R
已知 uC (0-)=U0 求 uC和 i .
例3
+ uR R K us L iL
+
+
uL
已知 us Em sin(t 60 )V
-
-
求iL (0 ), uL (0 ), uR (0 ).
Em iL sin(t 30 ) L E E Em iL ( 0 ) m sin(t 30 ) t 0 m i L (0 ) i L (0 ) L 2L 2L
f(t)
f ( t ) t[ ( t ) ( t 1)] ( t 1)
1 t
二 单位冲激函数 1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0 t
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]


p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t) 定义
1 0
0 ( t t 0 ) (t t0 ) 1 ( t t 0 )
t
2. 单位阶跃函数的延迟 (t-t0) 1
t t0 0 3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 f(t) 例1 1 f ( t ) ( t ) ( t t0 ) 0 t0 t
例2 1 0
=RC
1 1 p RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 uc U0 大 大 过渡过程时间的长
小
过渡过程时间的短
0
小
t
电压初值一定： C 大（R不变） R 大（ C不变） w=0.5Cu2 i=u/R 储能大
放电时间长
放电电流小
t
0
t

2
U0 e -2
1 2 CU 0 2
t 1 U 0 RC 2 2 CU 0 ( e ) Rdt 2 R
电阻吸出能量
W R i 2 Rdt 0
0


二. RL电路的零输入响应
R1 US R
i
+
i
(0+)
=i
(0-)
US I0 = R1 R
K(t=0) L
uL
–
di L Ri 0 dt
E m 60 IL jL
例3
+ uR R
+
+
K
L iL uL
us Em sin(t 60 )V
Em iL ( 0 ) iL ( 0 ) 2L

(3)
us 0+电路
+
3E m 2
R + uR iL(0+)

+ uL -
REm uR ( 0 ) iL ( 0 ) R 2L
例
K(t=0) + 10V RV
iL
R=10
L=4H 10k
电压表量程：50V t=0时 , 打开开关K,
uV V
–
现象 ：电压表坏了
分析
iL (0+) = iL(0-) = 1 A
iL e t /
L 4 4 10 4 s R RV 10000
uV RV i L 10000 2500 t e
A= - US
uc U S U S e
强制分量(稳态)

t RC
U S (1 e
自由分量(暂态)

t RC
)
(t 0)
US
uc
uC'
t
-US
US R
uC"
i
duC U S iC e dt R
t

第六章
重点掌握
一阶电路
基本信号 阶跃函数和冲激函数 零输入响应 零状态响应 稳态分量 暂态分量 全响应
§6-1 概述
一. 什么是电路的过渡过程
t=0
Us
K
i
R + K未动作前 C
uC
–
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间
i
R Us
+
uC
–
C
i = 0 , uC= Us
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
三.
电路初始值的确定
例1
(1) 由0-电路求 uC(0-)
+ -
i 10k 40k 10V k iC
+
uC
+ -
10k 10V
+
40k uC
-
-
求 iC(0+)
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
+
(0-)=8V iC(0+)
i 10k 10V
+
8V
uC
(3)
(0+)
= uC
-
iC
-
由0+等效电路求
iC ( 0 )
0+等效电路
10 8 0.2mA 10 NhomakorabeaiC(0--)=0
iC(0+)
例2
10V 0+电路
1 K
4 L
+
uL
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
iL
4
+
uL (0 ) 0 uL (0 ) 0

1