计数器作业及往届考题
厦门市选修三第一单元《计数原理》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．253．由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）A ．180B ．196C ．210D ．2244．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种 B ．38种C ．105种D ．630种5．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-6．已知67017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ）A ．5-B ．20-C ．15D ．357．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >8．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050C ．432D ．8649．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或610．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n +B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 11．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．设06126201262m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=_________________.15．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 17．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．18．二项式61(2x )x-的展开式中常数项为______(用数字表示)． 19．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______20．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 三、解答题21．已知二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？22．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中． （1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项．23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32x 的项.25．已知数列{}n a 的首项为1，令()()12*12nn n n n a C a C a f n N n C =+++∈．（1）若{}n a 为常数列，求()f n 的解析式；（2）若{}n a 是公比为3的等比数列，试求数列(){}31f n +的前n 项和n S ．26．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．3．C解析：C 【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案． 【详解】 分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有2228A A 个； （2）个位与百位填入1与9，则有722711A A A 个. 则共有2221128277210A A A A A +=个. 故选：C 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．4．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．5．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.6．A解析：A 【分析】令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，所以二项式为666(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为332266(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】 利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为22C ，即可得到输出条件. 【详解】 利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，当0n =时，输出的是00C ； 当1n =时，输出的是0111,C C ； 当2n =时，012222,,C C C ；当3n =时，输出的是01233333,,,C C C C ，因为第5次输出数“1”，即2n =，输出22C 后结束程序， 所以3n =时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为3n <，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．9．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.10．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 11．D解析：D根据二项展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】631216C (1)2rr r r r T x --+=-，令3120r -=，即4r =， ∴常数项为60， 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由排列数的定义即可得出结果. 【详解】12100=10099(100121)1009989⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯A故选：C 【点睛】本题考查了排列数的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题解析：21由二项式定理得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，进而得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，即可得出答案. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()621231662(2)rrr r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 00121192263334405536666666666(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)C x C x C x C x C x C x C x --+++++=-+------0126129630(3)(6)21m m m m ∴+++⋯+=+++++-+-=故答案为：21 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.15．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.16．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．18．-160【解析】二项式的展开式的通项为令可得即展开式中常数项为答案：解析：-160 【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-⋅⋅⋅，0,1,2,,6r =．令3r =，可得33346(1)2160T C =-⋅⋅=-，即展开式中常数项为160-．答案：160-19．【分析】在展开式中令可得系数和【详解】令得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法设二项展开式为则有：奇数项系数和为偶数项系数和为解析：6-【分析】在展开式中令1x =可得系数和．【详解】令1x =得501234567(231)(12)6a a a a a a a a +++++++=++-=-.故答案为：6-．【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为2012()n n f x a a x a x a x =+++，则有：012(1)n f a a a a =++++， 奇数项系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=， 偶数项系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=． 20．【分析】根据题意由定积分公式求出的值进而在中分别令和分析可得答案【详解】解：根据题意则令可得：即令可得：又由则；故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用涉及特殊值的应用关键是求出的值属于基础题解析：1-【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x=和1x =，分析可得答案.【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =， 令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b ++⋯+=-；故答案为：1-【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解.【详解】（1）由二项式*1)(,2)2n n N n x ∈≥，可得0212012123111,,222n n n n n n T C T C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =. 因为*,2n N n ∈≥，所以8n =. （2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n r r r n T C a b -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =； （2）若n 为偶数时，中间一项（第12n +项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）123（2）7920（3）20126720x【分析】（1）令1x =，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得含4x 项的系数；（3）根据1211312121211112122222r r r r r r r r C C C C ----+-⎧⎨⎩，求得r 的值，可得结论；【详解】（1）令1x =，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为123；（2）二项展开式中，通项公式为123641122r r r r T C x --+=，令3644r -=，求得8r =， 故含4x 项的系数为841227920C =．（3）第1r +项的系数为12122rr C -，由1211312121211112122222r r r r r r r r C C C C ----+-⎧⎨⎩，求得4r =， 故该二项展开式中系数最大的项为 384201421(2)()126720C x x x =．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 23．（1）12；（2）466.【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算．【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =； （2）由题意383321n n n n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =． ∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标．24．(1)1，(2)3216x -【解析】由题意知，第五项系数为44(2)n C ⋅-，第三项的系数22(2)n C ⋅-，则有4422(2)10(2)n n C C ⋅-=⋅-，解8n =． （1）令1x =得各项系数的和为8(12)1-=．（2）通项公式828218822()(2)r r r r r r r r T C C x x ---+=⋅⋅-=⋅-⋅，令83222r r --=， 则1r =，故展开式中含32x 的项为32216T x =-． 25．（1）()21n f n =-；（2）()4413n n S =-． 【分析】（1）由题意得到12()n n n n f n C C C =+++，结合二项展开式的性质，即可求解；（2）先求得1113n n n a a q --==，得到12231()333n n n n n n f n C C C C -=++++，进而求得3()14n f n +=，结合等比数列的前n 项和公式，即可求解．【详解】（1）由{}n a 为常数列，且1n a =，所以120()221n n n n n n n f n C C C C =+++=-=-．（2）由n a 是公比为3的等比数列，且1n a =，所以1113n n n a a q --==，所以12231()333n n n n n n f n C C C C -=++++，所以122333()13333(13)41n n n n n n n n f n C C C C +=++++=+=+， 由等比数列的前n 项和公式，可得()()414441143n n nS -==--． 【点睛】 本题主要考查了二项展开式的性质，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记二项展开式的性质，熟练应用等比数列的n 项和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.26．（1）6n =，34160x ；（2）3x 和240. 【分析】（1）根据前3项系数和，建立方程求出n ，结合二项式系数的性质进行求解即可． （2）求出展开式的通项公式，结合x 的次数进行求解即可．【详解】（1）依题意得：0122473n n n C C C ++=，即22173n +=，得236n = 6n ∴=-或6n =*n N ∈∴6n =.∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3333446=160T C x =. （2）展开式的通项公式为：33416=2(),(0,1,...,6)r rr r T C x r -+=，展开式的通项公式为：61662k k k k k T C C -+==334k k x -， 当0k =时，3334k -=，此时为有理项31T x =， 当1k =时，39344k -=，此时不是有理项，当2k =时，33342k -=，此时不是有理项， 当3k =时，33344k -=，此时不是有理项， 当4k =时，3304k -=，此时为有理项5240T =， 当5k =时，33344k -=-，此时不是有理项， 当6k =时，33342k -=-，此时不是有理项， ∴展开式中的有理项为3x 和240．【点睛】本题主要考查二项式定理､有理项等基础知识，考查观察能力､运算求解能力､推理能力和函数与方程思想，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(包含答案解析)
一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．793．已知ξ的分布列如图所示，设2-5ηξ=，则()=E η（ ）A ．12B ．13C ．23D ．324．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．13B ．12C ．14D ．255．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<7．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=]A ．100B ．101C ．102D ．D ．1038．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（ ） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.789．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072910．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．2311．如下五个命题:①在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；③正态曲线关于直线x σ=对称,这个曲线只有当()3,3x σσ∈-时,才在x 轴上方； ④正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越“矮胖”；⑤若随机变量()~0,1N ξ，且()1,P p ξ>=则()1102P p ξ-<<=-； 其中正确命题的序号是 A ．②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④12．将3颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，事件B 为“至少出现一个1点”，则条件概率(A |B)P 和(|)P B A 分别为（ ） A ．160,291B ．560,1891C ．601,912D ．911,2162二、填空题13．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.14．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．15．随机变量()2,XN μσ，()()222x f x μσ--=满足：（1）x R ∀∈，()()f x f x ''-=-； （2）()f σ'-=， 则()12P X <≤=________.附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.16．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，且(7884)0.3P X <≤=．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为____.17．（理）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为__________． 18．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______. 19．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.20．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．三、解答题21．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教. （1）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.22．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行996''工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行996''工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()251,15N ，若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望．附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=．23．2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ，求出ξ的分布列及期望值.参考公式：附：22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？ 25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828（2）在某次命题大赛中，A 同学要进行3轮命题，其在每轮命题成功的概率均为(01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图.规定测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格.（1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取6次，记抽到优秀成绩的次数为X ，求4P X ；（2）从甲、乙两组学生中任取3名学生，记抽中成绩优秀的学生数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】根据分布列的性质，求得13m =，由期望的公式，可得17()6E ξ=，再根据()()5E E ηξ=-，即可求解.【详解】由题意，根据分布列的性质，可得1111663m +++=，解得13m =，所以随机变量ξ的期望为111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 又由2-5ηξ=，可得172()2563E η=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.4．A解析：A 【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件；()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.7．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥， ()50.89P ξ≤=， ()510.890.11P ξ∴≥=-=，()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.9．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．10．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 11．B解析：B 【解析】对于命题①，因为2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，所以算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”，故该命题①是正确的；对于命题②，由于随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的整齐程度，因此方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的差异越大，命题②是错误；对于命题③，由于整个正太曲线都在轴上方，所以命题③的说法是不正确的；对于命题④，由于正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越贴近于轴，因此命题④的说法是正确的；对于命题⑤，由于随机变量()~0,1N ξ，且()1P p ξ>= ，所以依据正太曲线的对称性可得()1P p ξ<-= ,故()1112,P p ξ-<<=- 所以()1102P p ξ-<<=-，即命题⑤是正确的，综上应选答案B 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(答案解析)(4)
一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（）A．0.444 B．0.008 C．0.7 D．0.2332．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（）A．2027B．5281C．1627D．793．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是（）A．612⎛⎫⎪⎝⎭B．44612C⎛⎫⎪⎝⎭C．62612C⎛⎫⎪⎝⎭D．6246612C C⎛⎫⎪⎝⎭4．已知离散型随机变量X的分布列为则D(X)的最大值是（）A．29B．59C．89D．2095．星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件A为“4个人去的地方各不相同”，事件B为“甲独自去一个地方”，则()P A B=（）A．29B．13C．49D．596．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()Dξ=（）A．0.09B．9C．1D．0.97．在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（）A ．542B ．435C ．1942D ．8218．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是 A ．4,4E D ξξ=-= B ．3,3E D ξξ=-= C ．4,4E D ξξ=-=- D ．3,4E D ξξ=-=9．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==10．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．13B ．12C ．35D ．3411．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072912．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．23二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．若随机变量~(2,)X B p ，随机变量~(3,)Y B p ，若4(2)9P X ==，则(21)E Y +的值为_______.15．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.16．（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________元．17．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 18．若随机变量3~34X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, 则方差()D x =____________.19．某次测量中，测量结果2(2,)(0) ξN σσ∈>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(,4)-∞内取值的概率为__________20．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； ()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间[)20,40，9:40~10:00记作[)40,60，10:00~10:20记作[)60,80，10:20~10:40记作[)80,100.例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若()2,T N μσ~，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.23．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率24．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()2,n n n *≥∈N 个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .①求X 的分布列及数学期望()E X ；②当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.25．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．26．某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x （1）求55x =的概率； （2）求x 的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.5．A解析：A 【分析】甲独自去一个景点，有14C 种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法，由分步计数原理可求得甲独自去一个景点的有1427C ⋅种选择方法.若4个人去的地方各不相同，则属于排列问题，有44A 种.根据条件概率计算公式，即可求出相应的概率. 【详解】甲单独去一个景点有14C 4=种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法，则甲独自去一个景点，有427108⨯=种方法， 而4个人去的地方各不相同，有4424A =种方法， 则242()1089P A B ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了条件概率，分步乘法计数原理，排列问题，属于中档题.6．D解析：D 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解． 【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．A解析：A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可． 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时444101210C P C ==当1个正品3个次品时136441024421035C C P C === 所以正品数比次品数少的概率为1452103542+= 所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．8．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．D解析：D 【分析】首先设出所求的概率为P ，根据题中的条件，可以列出P 所满足的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有43=55P ⋅，解得34P =，故选D.【点睛】该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.11．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．12．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375 【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12， 则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．5【分析】根据随机变量和求出从而确定随机变量再用均值公式求解【详解】因为随机变量所以所以所以随机变量所以所以故答案为：5【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布还考查了运算求解的能力属于基础题解析：5 【分析】根据随机变量~(2,)X B p ，和2224(2)9===P X C p 求出p ，从而确定随机变量~(3,)Y B p ，再用均值公式求解.【详解】因为随机变量~(2,)X B p ，所以2224(2)9===P X C p 所以23p =所以随机变量2~(3,)3Y B ， 所以()2==E Y np所以(21)2()15+=+=E Y E Y 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．25【分析】先根据条件求出分布列和期望再根据购进17份比购进18份的利润的期望值大即可得出答案【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜表示当天的利润（单位：元）那么的分布列为 65 75 85解析：25 【分析】先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为1Y 的数学期望()16575100100E Y =⨯+⨯83001085100100x x--+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为2Y 的数学期望()26070100100E Y =⨯+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100x-=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴830010854020100100x x-->，且30x <，解得2430x <<，又*x ∈N ， ∴x 的最小值为25，故答案为：25． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．16．【分析】根据概率和为1求再根据期望公式求结果【详解】因为所以期望是故答案为：【点睛】本题考查数学期望公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：5000【分析】根据概率和为1求a ，再根据期望公式求结果. 【详解】因为12417a a a a ++=∴=所以期望是700056002420041000160024005000a a a ⨯+⨯+⨯=++= 故答案为：5000 【点睛】本题考查数学期望公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率从而根据数学期望计算公式求得结果【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数解析：26681【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.18．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可 解析：916【分析】利用方差公式()D x npq =，即可得出答案． 【详解】结合方差()31934416D x npq ==⋅⋅=． 【点睛】本题考查了方差计算公式，记住()D x npq =，即可．19．【解析】【分析】先由服从正态分布得出正态曲线关于x=2直线对称于是得到与的关系最后进行求解【详解】由正态分布可知正态分布密度曲线的对称为x=2由得所以填09【点睛】正态曲线：(1)从形态上看正态分布 解析：0.9【解析】 【分析】先由ξ服从正态分布()22,(0)N ξσσ∈>得出正态曲线关于x=2直线对称,于是得到(4)P ξ>与(4)P ξ<的关系，最后进行求解.【详解】由正态分布()22,(0)N ξσσ∈>，可知正态分布密度曲线的对称为x=2,由(02)0.4P ξ<<=，得(24)0.4P ξ<<=，(0)0.1P ξ<=，(0)(4)0.1P P ξξ==所以(4)1(4)0.9P P ξξ=-=，填0.9. 【点睛】正态曲线：(1)从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值。
深圳华师一附中实验学校选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15 B ．-15 C ．7 D ．-72．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种D ．150种3．二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．80-C ．80D ．1604．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－815．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．17．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．设5nx⎛- ⎝的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ）A ．300B ．150C ．－150D ．－3009．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x x x+⋅-的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56010．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种 B ．150种C ．96种D ．114种11．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种二、填空题13．从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答).14．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答）15．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.16．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.17．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）18．已知集合{}08A C =，{}1288,B C C =，{}456888,,C C C C =，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________. 19．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．20．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项； （2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若2112nn n n n n A C S C S C S =++⋅⋅⋅+，求n A .23．已知在)23nx的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n 的值； （2）求展开式中6x 的项； （3）求展开式中系数最大的项.24．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒. 25．已知数列{}n a 的首项为1，令()()12*12nn n n n a C a C a f n N n C =+++∈．（1）若{}n a 为常数列，求()f n 的解析式；（2）若{}n a 是公比为3的等比数列，试求数列(){}31f n +的前n 项和n S ．26．若2012112nn n x a a x a x a x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，且27a =.（1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项； （2）求23112342222n n a a a a a -+++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-，令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．3．A解析：A 【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项. 【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选：A 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项.4．B解析：B 【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a +++=，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=， 解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.5．D【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．6．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．B解析：B 【分析】分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为45x⎛⎝，展开式的通项公式为()()134442244515rr rr rr rC x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3412r -=，解得2r，故x 的系数为()2422415150C --⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x 时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题10．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.11．C解析：C 【解析】试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．解：∵（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n，而a0+a1+a2+…+a n =254==2n+1﹣2，∴n=7故答案为C考点：数列的求和；二项式定理的应用．12．C解析：C【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C CAA;分为1，1，3时安排有1133543322C C CAA所以一共有12211333542543332222150 C C C C C CA AA A+=故选：C【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.二、填空题13．【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女结合分类计数原理和组合数的计算公式即可求解【详解】由题意从3名男医生和5名女医生中选派3人组成医疗小分队要求男､女医生都有可分为两类：第一类若2男1女共有解析：45【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C=种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有123530C C=种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种.故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.14．24【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班即有种方式其它三天安排乙丙丁值班有种方式由分步计数原理即有总方法有种即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班甲连续两天值班乙丙丁每人值班一天解析：24 【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有14C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 33A 种，即可求得所有安排方法数 【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：14C 种安排方法 甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：33A 种安排方法 以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 33A = 24种 故答案为：24 【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法15．【分析】由二项式定理及展开式通项得：又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为得解【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为又展开式的常数项的值不大于15则又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为故答案为 解析：(]0,1【分析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解． 【详解】由二项式定理可得：26()a x x+展开式的常数项为422446()()15a C x a x=， 又26()a x x+展开式的常数项的值不大于15， 则41515a ≤， 又[]0,3a ∈， 所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．16．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.17．【分析】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人全排列然后排甲甲只能在两端有2种站法利用分步乘法计数原理可求出答案【详解】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人 解析：96【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案. 【详解】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.18．【分析】由组合数的性质得出先求出无任何限制条件下所确定的点的个数然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数将两数作差可得出结果【详解】由组合数的性质得出不考虑任何限制条件下不同点的个数为由于坐标中同时含 解析：33【分析】由组合数的性质得出2688C C =，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果. 【详解】由组合数的性质得出2688C C =，不考虑任何限制条件下不同点的个数为11323336C C A =， 由于2688C C =，坐标中同时含28C 和68C 的点的个数为133C =，综上所述：所求点的个数为36333-=，故答案为33. 【点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．20．23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题S 集合中选出一个数字共有3种选法P 集合中选出一个数字共有4种结果取出的两个数字可以作为横标和纵标因此要乘以2去掉重复的数字得到结果解：由题意知本题解析：23 【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，S 集合中选出一个数字共有3种选法，P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从S 集合中选出一个数字共有3种选法， 再从P 集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列， ∴共有C 31C 41A 22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果， 故答案为23考点：计数原理的应用．三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题．22．（1）1n n a x -=；（2）,11,11n n n x S x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩；（3）()12,121,11n nn n n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩. 【分析】（1）利用二项式定理求得4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项，可求得数列{}n a 的公比，利用等比数列的通项公式可求得n a ；（2）分1x =和1x ≠两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得n S ； （3）分1x =和1x ≠两种情况讨论，利用二项式定理可求得n A 的表达式. 【详解】（1）4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项为1324214T C x x x =⋅⋅=，所以，数列{}n a 的公比为x ，则111n n n a a x x --=⋅=；（2）当1x =时，则1n a =，n S n =； 当1x ≠时，()11111n n na x x S xx--==--.综上所述，,11,11n n n x S x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩；（3）当1x =时，n S n =，()()()()111!!!!1!!k k k nk nn n n n C S kC k nC k n k k n k --⋅-==⋅==---，此时，()101112112112nn n n n n n n n n n A C S C C n C S S C C n -----=++⋅=++=+⋅⋅⋅+； 当1x ≠时，()()()()()1220120122111n n nn nn n n n n n n n n n n C x C x C x C C C C C C x C x C x ⋅-+⋅-++⋅-=++++-++++()21nn x =-+，此时，()1212211nn n n n n nn xA x C S C S C S =++⋅⋅-+=+-⋅. 综上所述，()12,121,11n nn n n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题.23．（1）5n =；（2）6390T x =；（3）2635405T x=【分析】（1）代入1x =求得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，根据二者相差992可得方程，解方程求得n ；（2）根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于6，求得r ，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为53r rC ，利用115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解得r ，进而求得系数最大的项. 【详解】（1）)23nx展开式各项系数的和为：)2314nn ⨯=；二项式系数的和为：2n又各项系数的和比二项式系数的和大99242992n n ∴-=，即()2229920n n --=，解得232n =5n ∴=（2）)523x展开式的通项公式为：()10452315533r rrr r rr TCx C x+-+==令10463r+=，解得2r展开式中6x 的项为：226635390T C x x == （3）设第1r +项的系数为1r t +，则153r rr t C +=由121r r r r t t t t +++≥⎧⎨≥⎩，即115511553333r r r r r rr r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩ 解得：7922r ≤≤，所以4r = 展开式系数最大项为：26264433553405T C xx ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 24．（1）4096（2）1560（3）10（4）2160 【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分(2)2211346421642222C C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 560； 6分 (3) 24C ＋4＝10；或25C ＝10； 9分(4) 222321236426315433C C C C C C C A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2 160. 12分 考点：排列组合的运用点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题． 25．（1）()21n f n =-；（2）()4413nn S =-． 【分析】（1）由题意得到12()n n n n f n C C C =+++，结合二项展开式的性质，即可求解；（2）先求得1113n n n a a q --==，得到12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，进而求得3()14n f n +=，结合等比数列的前n 项和公式，即可求解．【详解】（1）由{}n a 为常数列，且1n a =，所以120()221n n n n n n n f n C C C C =+++=-=-．（2）由n a 是公比为3的等比数列，且1n a =，所以1113n n n a a q --==， 所以12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，所以122333()13333(13)41n nn n n n n n f n C C C C +=++++=+=+，由等比数列的前n 项和公式，可得()()414441143n nn S -==--． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的性质，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记二项展开式的性质，熟练应用等比数列的n 项和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．（1）4358x （2）12-【分析】（1）由二项展开式通项公式得出2a ，然后由27a =求出n ，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；（2）在展开式中令0x =可得0a ，令2x =再结合0a 可得结论． 【详解】（1）因为22222321124n n T C x C x a x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，且27a =， 所以21(1)7(8)(7)048n n n C n n -==⇒-+=，解得8n =或7n =-（舍）， 故112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为4544813528T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭；（2）令0x =，可知01a =，令2x =，得23401234022222n n a a a a a a =++++++，所以2341234222221n n a a a a a +++++=-，故()231234123412341122222222222n n n n a a a a a a a a a a -+++++=+++++=-. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%4．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7105．在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影（曲线为正态分布(0,1)N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=）A ．239B ．272C ．341D ．4776．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ） X 1-1P16abA ．59B ．53C ．5D ．77．下列命题中真命题是（ ）（1）在18的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）8．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E ξ=（ ） A ．1B ．45C ．75D ．29．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元10．设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( )A ．4729B ．16C ．20243D ．8024311．如下五个命题:①在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，在对女大学生的身高预报体重的回归分析数据中，算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越大；③正态曲线关于直线x σ=对称,这个曲线只有当()3,3x σσ∈-时,才在x 轴上方； ④正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越“矮胖”；⑤若随机变量()~0,1N ξ，且()1,P p ξ>=则()1102P p ξ-<<=-； 其中正确命题的序号是 A ．②③B ．①④⑤C ．①④D ．①③④12．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.15．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.16．一批排球中正品有m 个，次品有n 个，()10m n m n +=≥，从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数若 2.1DX ＝，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p ＝___________ 17．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.18．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．19．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．20．已知某次数学考试中，学生的成绩X 服从正态分布，即()~N 85,225X ，则这次考试中，学生成绩落在区间[]100,130之内的概率为____________.（注：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=）三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表： 电脑型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 回访客户（人数） 250 400 350 满意度0.50.40.6满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.23．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.24．将名为《高等代数》、《数学分析》、《概率论》和《复变函数》的4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中.（1）求4本书恰好放在4个不同书包中的概率；（2）随机变量X 表示放在丙书包中书的本数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 25．某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．26．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题． （1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10-分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．3．B解析：B 【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==．故选：B ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.5．C解析：C 【分析】求出1(01)0.68260.3412P X <=⨯=，即可得出结论．【详解】解：由题意1(01)0.68260.3412P X <=⨯=，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000.341341⨯=.故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性．6．C解析：C 【分析】 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．【详解】 1()3E X =∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrr r rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．A解析：A 【解析】 【分析】随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P （ξ=0）30423615C C C ==,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ===, 所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯= ,故选A ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.10．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.11．B解析：B 【解析】对于命题①，因为2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，所以算得20.64R ≈，表明“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”，故该命题①是正确的；对于命题②，由于随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的整齐程度，因此方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的差异越大，命题②是错误；对于命题③，由于整个正太曲线都在轴上方，所以命题③的说法是不正确的；对于命题④，由于正态曲线的对称轴由μ确定，当μ一定时，曲线的形状由σ决定，并且σ越大，曲线越贴近于轴，因此命题④的说法是正确的；对于命题⑤，由于随机变量()~0,1N ξ，且()1P p ξ>= ，所以依据正太曲线的对称性可得()1P p ξ<-= ,故()1112,P p ξ-<<=- 所以()1102P p ξ-<<=-，即命题⑤是正确的，综上应选答案B 。
数字逻辑课程三套作业及答案
数字逻辑课程作业_A一、单选题。
1.(4分)如图x1-229（D）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第五章解析第五章译码器2.(4分)如图x1-82（C）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第二章解析第二章其他复合逻辑运算及描述3.(4分)N个触发器可以构成最大计数长度（进制数）为（D）的计数器。
A. NB. 2NC. N2次方D. 2N次方知识点：第九章解析第九章计数器4.(4分)n个触发器构成的扭环型计数器中，无效状态有（D）个。
A. A．nB. B.2nC. C．2n－1D. D．2n-2n知识点：第九章解析第九章集成计数器5.(4分)如图x1-293（A）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第十一章解析第十一章数字系统概述6.(4分)如图x1-317（D）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第二章解析第二章其他复合逻辑运算及描述7.(4分)EPROM是指（C）。
A. A、随机读写存储器B. B、只读存储器C. C、光可擦除电可编程只读存储器D. D、电可擦可编程只读存储器知识点：第十章解析第十章只读存储器8.(4分)如图x1-407（B）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第十一章解析第十一章数字系统概述9.(4分)为实现将JK触发器转换为D触发器，应使（A）。
A. J=D,K=D非B. B. K=D,J=D非C. C.J=K=DD. D.J=K=D非知识点：第六章解析第六章各种触发器的比较10.(4分)一位8421BCD码计数器至少需要（B）个触发器。
A. 3B. B.4C. C.5D. D.10知识点：第九章解析第九章计数器11.(4分)为把50Hz的正弦波变成周期性矩形波，应当选用（A）。
A. A、施密特触发器B. B、单稳态电路C. C、多谐振荡器D. D、译码器知识点：第六章解析第六章集成触发器12.(4分)下列描述不正确的是（A）。
计数器作业及往届考题
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数字电子技术基础
D. 动态RAM存储单元的结构比静态RAM存储单元的结构简单。
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Y 1A B C A B C A C B A B C
Y1 AB Y 1A BBAB BAB
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[解] (1) 555组成了多谐振荡器，74193为异步置数，置数始终 有效，电路状态一直为1110B；4538组成了单稳态电路。 (2) uo1的周期 T=0.7×（R1+2R2）×C=0.35ms (3) 74193不计数，进位端一直为高。 (4) 4538输出一直为稳态，低电平，无波形输出。
整个电路实现了锯齿波发生器。由于输出波形的频率是CLK的256分频， 改变电阻R1、R2或电容C都可以改变555产生CLK的频率，也就改变了输出 波形的频率。改变I/U转换电路的反馈电阻RF或VREF的值都可以改变输出波 形的幅度。
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数字电子技术基础
7.5 用一个4位二进制计数器74161、一个4位D/A转换电路和 一个二输入与非门设计一个能够产生图题波形的波形发生器 电路。
Inhibit
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数字电子技术基础 （设直流电源电压为+5V） (2) 从F与CP的关系看，该电路实现何种功能？
作业
[例] 试分析图所示电路，写出逻辑表达式，列出真值表，分析整个电路具有什么逻辑功能？
(2) u5o1.的3周期试T=0分. 析图题所示电路的逻辑功能。
数电试题和答案解析[五套]。
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《数字电子技术基础》试题一一、 填空题（22分 每空2分）1、=⊕0A , =⊕1A 。
2、JK 触发器的特性方程为： 。
3、单稳态触发器中,两个状态一个为 态，另一个为 态.多谐振荡器两个状态都为 态， 施密特触发器两个状态都为 态.4、组合逻辑电路的输出仅仅只与该时刻的 有关，而与 无关。
5、某数/模转换器的输入为8位二进制数字信号（D 7~D 0），输出为0~25.5V 的模拟电压。
若数字信号的最低位是“1”其余各位是“0”，则输出的模拟电压为 。
6、一个四选一数据选择器，其地址输入端有 个。
二、化简题（15分 每小题5分）用卡诺图化简逻辑函数，必须在卡诺图上画出卡诺圈1）Y （A,B,C,D ）=∑m（0,1,2,3,4,5,6,7,13,15） 2）∑∑+=)11,10,9,3,2,1()15,14,13,0(),,,(d m D C B A L利用代数法化简逻辑函数，必须写出化简过程3)__________________________________________________)(),,(B A B A ABC B A C B A F +++=三、画图题(10分 每题5分)据输入波形画输出波形或状态端波形（触发器的初始状态为0）. 1、2、四、分析题(17分)1、分析下图，并写出输出逻辑关系表达式，要有分析过程（6分）2、电路如图所示，分析该电路，画出完全的时序图，并说明电路的逻辑功能，要有分析过程（11分）五、设计题(28分)1、用红、黄、绿三个指示灯表示三台设备的工作情况：绿灯亮表示全部正常；红灯亮表示有一台不正常；黄灯亮表示两台不正常；红、黄灯全亮表示三台都不正常。
列出控制电路真值表，要求用74LS138和适当的与非门实现此电路（20分）2、中规模同步四位二进制计数器74LS161的功能表见附表所示；请用反馈预置回零法设计一个六进制加法计数器。
（8分）六、分析画图题(8分)V作用下，输出电压的波形和电压传输特性画出下图所示电路在i74LS138功能表如下：74LS161功能表《数字电子技术基础》试题一答案一、填空题（22分每空2分） 1、A ，A 2、n n n Q K Q J Q +=+13、稳态，暂稳态，暂稳态，稳态4、输入，电路原先状态5、0.1V6、两二、化简题（15分 每小题5分）1）Y （A,B,C,D ）=∑m（0,1,2,3,4,5,6,7,13,15）=BD A +2) AC AD B A d m D C B A L ++=+=∑∑)11,10,9,3,2,1()15,14,13,0(),,,(3))(),,(__________________________________________________________________________________=+++=++++=+++=A BC B A B A AB BC B A B A B A ABC B A C B A F三、画图题(10分 每题5分) 1、 2、四、分析题(17分) 1、（6分）B A L ⊕=2、（11分）五进制计数器五、设计题(28分) 1、（20分）1）根据题意，列出真值表由题意可知，令输入为A 、B 、C 表示三台设备的工作情况，“1”表示正常，“0”表示不正常，令输出为R ，Y ，G 表示红、黄、绿三个批示灯的 状态，“1”表示亮，“0”表示灭。
(完整版)数电试题及标准答案(五套)。
《数字电子技术基础》试卷一一填空题(22分每空2分)1、A 0 , A 1 ________ 。
2、JK触发器的特性方程为：。
3、单稳态触发器中，两个状态一个为态，另一个为态.多谐振荡器两个状态都为态，施密特触发器两个状态都为态.4、组合逻辑电路的输出仅仅只与该时刻的有关，而与无关。
5、某数/模转换器的输入为8位二进制数字信号(D7~D0)，输出为0〜25.5V的模拟电压。
若数字信号的最低位是“1其余各位是“0”则输出的模拟电压为。
6、一个四选一数据选择器，其地址输入端有个。
二、化简题(15分每小题5分)用卡诺图化简逻辑函数，必须在卡诺图上画岀卡诺圈1) Y (A,B,C,D ) =Em (0,1,2,3,4,5,6,7,13,15)2) L(A, B,C,D) m(0,13,14,15) d(1,2,3,9,10,11)利用代数法化简逻辑函数，必须写岀化简过程3)F(A,B,C) AB ABC A(B AB)三、画图题(10分每题5分)据输入波形画输岀波形或状态端波形(触发器的初始状态为0)1、AJLBB丁L2、rLrmrLHT1 ~h 1< [i ~~i~■四、分析题(17分)1、分析下图，并写岀输岀逻辑关系表达式，要有分析过程(2、电路如图所示，分析该电路，画出完全的时序图，并说明电五、设计题（28分）1、用红、黄、绿三个指示灯表示三台设备的工作情况：绿灯亮表示全部正常；红灯亮表示有一台不正常；黄灯亮表示两台不正常；红、黄灯全亮表示三台都不正常。
列岀控制电路真值表，要求用74LS138和适当的与非门实现此电路（20分）2、中规模同步四位二进制计数器74LS161的功能表见附表所示；请用反馈预置回零法设计一个六进制加法计数器。
（8分）六、分析画图题（8分）画岀下图所示电路在V作用下，输岀电压的波形和电压传输特性74LS138功能表如下:2 / 26（勿74LS161功能表 清零 预置 使能 时钟 预置数据输入 输出 RD LDEP ETCPD C B AQ D Q C Q B Q A L XX X X XXXXL L L L H L X XT D C B AD C B A H H LXX XXXX 保 持 HH X LX XXXX 保 持 HHH HTXXXX计 数《数字电子技术基础》试卷一答案一、 填空题（22分每空2分）n 1nn1、A ，A2、Q JQ KQ3、稳态，暂稳态，暂稳态，稳态4、输入，电路原先状态5、0.1V6、两二、 化简题（15分 每小题5分）1) Y (A,B,C,D ) =Em (0,1,2,3,4,5,6,7,13,15) = A BDG1 G 2A G 2BC BAY 0Y 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7 X H X X X XHHHHHHHHXX HX X XHHHHHHHHL XX XXXHHHHHHHHH L LL L L LHHHHHHHLL H HLHHHHHH H L LL H L HHLHHHHHLHHHHHLHHHHH L LH L L HHHHLHHH H L LH LH HHHHHLHH H L LH HLHHHHHHLHH L LH HHHHHHHHHLH L LH L L输 入输出2)L(A,B,C,D) m(0,13,14,15) d(1,2,3,9,10,11) AB AD AC3)F(A,B,C) AB ABC A(B AB) A B BC AB AB A B BC A 0 三、画图题（10分每题5分） 1、n2、 rA 1钉厂LTLrLTLRr 1 U1―r丁 H ： ■ ： um四、分析题（17分）1、（6 分） L A B2、（11 分） 五进制计数器12 34 5 67 8 9.JWWWWL五、设计题（28分） 1、(20 分) 1 ）根据题意，列岀真值表 由题意可知，令输入为 A 、B 、C 表示三台设备的工作情况,A B C R Y G 0 0 01 1 0 00 10 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 11 0 1 0 0 11 10 0 1“1”表示正常，“0”表示不正常，令输岀为 R ，Y ，G 表示红、黄、绿二个批示灯的状态，“1”表示亮，“0”表示灭。
(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-73．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．166B ．155C ．566D ．5114．在1032x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -5．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960-B ．960C ．1120D ．16806．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（ ）个A ．30B ．32C ．36D ．247．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种8．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2m n m CC ．2n mn C D ．2m mn C9．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9610．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．50011．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ） A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个12．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．496二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答).15．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____16．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么nx x 的展开式中的常数项为______．18．若348,n n A C =则n 的值为_______．19．设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________． 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x-∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？22．已知nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项.23．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.24．已知3()nx x-的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024. （1）求n 的值，并求展开式所有项的系数之和； （2）写出展开式中所有x 的整数次幂的项. 25．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++，且4560a =-.（Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++的值. 26．在42nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，（1）当6n =时，求该二项展开式中的常数项；（2）若前三项系数成等差数列，求该二项展开式中的所有有理项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．C解析：C 【分析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112kkkk-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k≤≤*k N∈∴3k=在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x xT C x-⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎭-⎪⎝⎭⎝故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．5．C解析：C【分析】先根据条件求出8n=，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案.【详解】由已知可得：2256n=，所以8n=，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x=-=，即展开式的中间项的系数为1120.故选：C．【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．6．A解析：A【分析】设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案．【详解】设方格纸上的小方格的边长为1，当正方形的边长为1时，有4×4＝16个正方形，当正方形的边长为2时，有3×3＝9个正方形，当正方形的边长为3时，有2×2＝4个正方形，当正方形的边长为4时，有1×1＝1个正方形，则有16+9+1+4＝30个正方形； 故选：A ． 【点睛】本题涉及分类计数原理的应用，属于基础题，进行分类讨论是解题的关键.7．B解析：B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况， ②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种； 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．8．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，0()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.9．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.10．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.11．C解析：C 【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A 52=20个没有重复数字的三位偶数； ②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法， 此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数． 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．12．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女结合分类计数原理和组合数的计算公式即可求解【详解】由题意从3名男医生和5名女医生中选派3人组成医疗小分队要求男､女医生都有可分为两类：第一类若2男1女共有解析：45【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有， 可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.15．9【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.16．58024【分析】依题意得的取值是1到10的整数满足的个数等于总数减去和的个数【详解】集合中共有个元素其中的只有1个元素的有个元素故满足条件的元素个数为59049－1－1024＝58024【点睛】本解析：58024 【分析】依题意得12310+x x x x +++⋯的取值是1到10的整数，满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++⋯=和12310+10x x x x +++⋯=的个数.【详解】集合A 中共有个元素10359049= ，其中12310+0x x x x +++⋯=的只有1个元素，12310+10x x x x +++⋯=的有1021024= 个元素，故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为59049－1－1024＝58024. 【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6【详解】由排列数和组合数可知化简得所以n=6经检验符合所以填6【点睛】本题考查排列数组合数方程一般用公式展开或用排列数组合公式化简求得n 注意n 取正整数且有范围 解析：6【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6. 【详解】由排列数和组合数可知(1)(2)(3)(1)(2)8()4321n n n n n n n -----=⨯⨯⨯，化简得313n -=，所以n=6,经检验符合，所以填6. 【点睛】本题考查排列数组合数方程，一般用公式展开或用排列数组合公式化简，求得n,注意n 取正整数且有范围限制．19．112【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则令则展开式中的常数项为解析：112 【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得8n =则()884188322rr rrrr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令840r -=，2r =则展开式中的常数项为()2282112C -=20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++- ()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，可得212012123111,,222nn n nn n T CT C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）5；（2）121792x和11792x - 【分析】（1）先求出8n =，再写出二项式展开式的通项382182k kkk T C x-+=⨯⨯，令382kZ -∈即可求解；（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，即可解得k 的值，进而可得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意可得：152n+=，得8n =，8x ⎛+ ⎝的展开式通项为138********k k k k k k k k T C x x C x ---+=⨯⨯=⨯⨯，()08k ≤≤， 要求展开式中有理项，只需令382kZ -∈， 所以0,2,4,6,8k = 所以有理项有5项，（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k kk k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩ ， 即()()()()()()118!8!22!8!1!81!8!8!22!8!1!81!k k k k k k k k k k k k -+⎧⨯≥⨯⎪---+⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+--⎩，即2191281k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：56k ≤≤，因为k Z ∈， 所以5k =或6k =所以1155226821792T C x x =⨯⨯=，166127821792T C x x -=⨯⨯=所以展开式中系数最大的项为121792x 和11792x -. 【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让x 的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第1k +项的系数大于等于第k 项的系数，第1k +项的系数大于等于第2k +项的系数，属于中档题 23．（1）38；（2）48；（3）10.【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；（2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果；（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）三位同学选择课程共有3464=种情况；三位同学选择的课程互不相同共有3424A =种情况，所求概率为243648=；（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有2412A =种情况，丙有4种不同的选择，所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12448⨯=种情况；（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有21339C C ⨯=种不同的情况； ②有三位同学选择《数学史》共有1种情况. 综上所述，总共有9110+=种不同的选课种数. 【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题.24．（1）10， 1；（2）3360，51024x -. 【分析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得21024n =，即可求得n ；令1x =，即可得展开式所有项的系数之和；（2）由题意结合二项式定理可得10展开式的通项公式，分别令4r =、10r =，即可得解.【详解】（1）因为n的二项展开式中，所有二项式系数之和为1024，所以21024n =，解得10n =；令1x =，则展开式所有项的系数之和为101=；（2）由题意可得10展开式的通项公式为：()()1020510326110101022rr r rrr r rr r r T C C xC x ----+⎛=⋅⋅=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎝， 当4r =时，()()20544061010223360r r r C xC x -⋅-⋅=⋅-⋅=，当10r =时，()()20510105561010221024r rr C xC x x ---⋅-⋅=⋅-⋅=，所以展开式中x 的整数次幂的项为3360，51024x -. 【点睛】本题考查了二项式系数的性质及二项式定理的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握二项式定理、合理赋值是解题关键，属于中档题. 25．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)2 【分析】（Ⅰ）解法1：将()72x a -展开，找出4x 项的系数表达式，结合条件列方程4280a =-求出a 的值；解法2：利用二项式定理写出()72x a -的通项，令x 的指数为4，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出4x 的系数的表达式，结合条件4280a =-列方程求出实数a 的值； （Ⅱ）解法1：令0x =代入题干等式求出0a 的值，再令12x =可得出712027222a a a a ++++的值，减去0a 可得出71227222a a a +++，再乘以2可得出答案； 解法2：利用二项式定理求出1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 的值，代入代数式可得出答案． 【详解】（Ⅰ）解法1：因为343472()a C a =⨯⨯-33516560a =-⨯=-，所以1a =， 解法2：()()()()77717722kkkk k k k k T C x a C a x ---+=-=⋅-⋅，()334472560a C a ∴=⋅⋅-=，所以1a =．（Ⅱ）解法1：当0x =时，01a =-，当12x =时，3712023702222a a a aa +++++=， 371202372()02222a a a a a +++++=，3721262222a a aa ++++=； 解法2：由二项展开式分别算出123456714,84,280,560,672,448,128a a a a a a a ==-==-==-=，代入得：3721262222a a a a ++++=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）1516（2）41T x =，5358T x =，921256T x =． 【分析】（1）写出二项展开式的通项第1r +项234112rn rrr n T C x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令x 的指数为0，即可求得结果；（2）由二项展开式的通项写出前三项的系数，可求得8n =，在根据通项求有理项即可。
(人教版)福州市选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60 B ．72 C ．96 D ．150 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．243．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种4．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种B ．48种C ．60种D ．72种5．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1087．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5008．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >9．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72910．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A -- D ．8299k A -11．在二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 14．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=32=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x x m m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.15．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.16．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个． 17．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______18．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 19．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个.20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答）三、解答题21．已知nx⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项. 22．已知()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值． 23．三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法； （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.24．已知(1n -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.25．已知在1nx ⎛+ ⎝的展开式中所有奇数项的二项式系数和为128. （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.26．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．D解析：D 【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题3．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案．②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
大连市选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．166B ．155C ．566D ．5113．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种 B ．6种 C ．5种 D ．4种4．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36 B ．36-C ．48D ．48-5．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-16．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．967．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．98．已知67017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ）A ．5-B ．20-C ．15D ．359．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72910．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25611．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．()3621)x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）14．市扶贫工作组从4男3女共7名成员中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人工作小组下乡，要求工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有______种安排方法．15．若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a ，第二次投掷的点数为b ，则b a >的概率为______.16．关于x 的方程222424x xC C =的解为_________. 17．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）18．计算546101011C C C +-的结果为__________.19．在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.20．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.三、解答题21．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.22．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ （2）全部分给5个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？．23．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.24．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25．已知在1nx ⎛+ ⎝的展开式中所有奇数项的二项式系数和为128. （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.26．已知5nx⎛⎝.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)rr r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．C解析：C 【分析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】根据题意可得选出的2人必为一男—女，分别求出选出1名男性党员和1名女性党员的选法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，选出的2人中既有男性又有女性，必为一男一女，在3名男性党员中任选1人，有3种选法，在2名女性党员中任选1人，有2种选法，则既有男性又有女性的不同选法有3×2=6种， 故选：B 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.4．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项. 【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.5．C解析：C 【分析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =， 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.6．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.7．C【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.8．A解析：A 【分析】令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，所以二项式为666(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为332266(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 10．B【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：4400111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．11．A解析：A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=， 解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.14．348【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论每种情况先计算4人的选取方法在计算队长副队普通队员的分配情况数目由分类计数加法原理可得出结果【详解】第一类：当选出1女3男时有种这4人作为队长和副解析：348 【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论，每种情况先计算4人的选取方法，在计算队长、副队、普通队员的分配情况数目，由分类计数加法原理可得出结果. 【详解】第一类：当选出1女3男时，有133412C C =种，这4人作为队长和副队有2412A =种，故有1212144⨯=种；第二类：当选出2女2男时，有223418C C =种，2个女成员当选队长和副队时，有222A =种，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有224210A A -=种，故有1810180⨯=种；第三类：当选出3女1男时，有31344C C =种，根据题意，这名男成员只能为队长或副队，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有1326A =种，故有4624⨯=种由分类计数加法原理得：工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有14418024348++=种安排方法． 故答案为：348 【点睛】本题主要考查了分类计数加法原理等，属于中档题.15．【分析】将两次点数表示成有序数对分别求出基本事件总数和包含的基本事件个数即可求解概率【详解】将两次点数表示成有序数对根据基本计数原理得：基本事件总数为包含的基本事件个数为所以的概率故答案为：【点睛】 解析：512【分析】将两次点数表示成有序数对(),a b ，分别求出基本事件总数和b a >包含的基本事件个数即可求解概率. 【详解】将两次点数表示成有序数对(),a b ，根据基本计数原理得： 基本事件总数为6636⨯=，b a >包含的基本事件个数为5432115++++=，所以b a >的概率1553612P ==. 故答案为：512【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.16．0或2或4【分析】因为所以：或解方程可得【详解】解：因为所以：或解得：（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式属于基础题解析：0或2或4 【分析】因为222424x xC C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍） 故答案为：0或2或4 【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．17．【分析】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人全排列然后排甲甲只能在两端有2种站法利用分步乘法计数原理可求出答案【详解】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人 解析：96【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案. 【详解】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.18．【分析】利用组合数的性质来进行计算可得出结果【详解】由组合数的性质可得故答案为【点睛】本题考查组合数的计算解题的关键就是利用组合数的性质进行计算考查计算能力属于中等题 解析：0【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.【详解】由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.19．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)n x的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r r rrr r nTC xC x--+=-=-，令8403r-=，求得2r ，可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：1140【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有336A =种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率99622781140P A ⨯⨯⨯==； 故答案为：1140. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 22．（1）15120； （2）16800. 【分析】（1）根据题意，则分2步进行分析：①、将7本书，分为6组，其中1组2本，其他组每组1本，②、将6组进行全排列对应6人即可；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．（2）由题意知7本不同的书分给5个人，每人至少一本，并且全部分完，分两种分法：一人得3本，其余4人各得一本；两人各得2本，其余3人各得一本；分别求出再相加． 【详解】（1）根据题意，将7本书分给6个人，且每人至少一本，则必须是其中1个人2本，其他人每人1本，则分2步进行分析：①、将7本书，分为6组，其中1组2本，其他组每组1本，有2721C =种分组方法，②、将分好的6组对应6人，将6组进行全排列即可，有66720A =种方法，则一共有2172015120⨯=种不同的分法；（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为3575C A ⋅ ；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为22575512C C A ， 所以所求方法种数为3575C A ⋅+22575512C C A =16800种. 【点睛】本题考查排列、组合的运用，此类问题一般是先分组，再对应，属于基础题． 23．(1)84 (2)2048 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x 的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得11n =，111(x的各项系数绝对值之和与111(x的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为91(x 的通项是39921991()((1)r r r r r r r T C C x x--+==-，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项是6679(1)84T C =-=.（2）1(n x 的通项为3211()((1)r n r n r r r r r n n T C C x x--+==-，则第6项与第7项分别为15526n nT C x-=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6n C .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =，因为111(x 的各项系数绝对值之和与111(x 的各系数之和相等，令1x =，得111(x的各项系数的绝对值之和为1122048=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.24．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A =种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 25．（1）1792；（2）831120x -.【分析】（1）先根据二项式系数的性质，求出n 的值，然后写出通项，即可进一步求常数项； （2）二项式系数的最大项，即为中间项，由此利用通项法求解． 【详解】解：（1）二项式系数和为2256n =，∴8n =.483182rrr k T C x-++=⋅，(08,)r r N ≤≤∈.显然，当4803r -+=时，6r =.所以常数项为6607821792T C x ==. （2）∵8n =∴第5项二项式系数最大，∴4r =. 故二项式系数最大的项为488444335821120T C xx -+⨯-==.【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质，通项法研究展开式中的特定项问题，属于中档题． 26．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515r r rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．。
(压轴题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792 D ．792-3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．244．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-76．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-7．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．258．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．26B ．18C ．12D ．911．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25612．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种二、填空题13．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.14．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 15．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.16．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．17．若二项式nx ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.19．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________. 20．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 三、解答题21．（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？（2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数.22．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.23．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数.24．已知(1n -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和. 25．已知(2nx+的展开式中各项的二项式系数之和为32． ()1求n 的值； ()2求(2nx的展开式中2x 项的系数； ()3求(2nx x⎛⎝展开式中的常数项． 26．已知数列{}n a 的首项为1，令()()12*12nn n n n a C a C a f n N n C =+++∈．（1）若{}n a 为常数列，求()f n 的解析式；（2）若{}n a 是公比为3的等比数列，试求数列(){}31f n +的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．D解析：D 【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题4．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．5．B解析：B先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=，令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.6．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.7．B解析：B由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.8．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】根据题意，设至少应抽出x 个产品，由题设条件建立不等式3337100.6x xC C C -≥，由此能求出结果.解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出x 个产品，则基本事件总数为10xC ，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为3337x C C -，由题设知：3337100.6x xC C C -≥， 所以()()12310985x x x --≥⨯⨯，即()()12432x x x --≥，分别把A ，B ，C ，D 代入，得C ，D 均满足不等式， 因为求x 的最小值，所以9x =. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.10．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.11．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：4400111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．12．A【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．二、填空题13．【分析】由组合数的性质得出或然后利用二次函数的性质或基本不等式求出的最大值并比较大小可得出结论【详解】满足组合数方程或当时则；当时因此当时取得最大值故答案为【点睛】本题考查组合数基本性质的应用同时也 解析：128【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y xx ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128.故答案为128. 【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.14．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256， 再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．16．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15 【解析】二项式nx⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rr rr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.19．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指解析：14 【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.20．【分析】根据题意由定积分公式求出的值进而在中分别令和分析可得答案【详解】解：根据题意则令可得：即令可得：又由则；故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用涉及特殊值的应用关键是求出的值属于基础题 解析：1-【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =，令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b++⋯+=-；故答案为：1- 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.三、解答题21．（1）280种；（2）472种. 【分析】（1）千位数字和十位数字的组合有(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)五种，百位和个位的数共有2856A =种组合，计算得到答案.（2）考虑不选三班的同学和选三班的一位同学两种情况，利用排除法和分步分类计数原理得到答案. 【详解】（1）十位数字与千位数字之差的绝对值等于7，可得千位数字和十位数字的组合有(1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2)五种，每种组合中百位和个位的数共有2856A =种组合，所以符合条件的四位数共有285280A =种.（2）情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有312C 种选取方法，其中来自同一个班级的情况有343C 种，则此时有33124322012208C C -=-=种选取方法；情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有212C 种选取方法，则此时有2124264C =种选取方法.根据分类计数原理，共有208264472+=种选取方法. 【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用排除法和分类分别计数原理是解题的关键.22．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k kk k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n . 【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 23．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C = 所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.24．(1) 11T =，384T x =，25560T x =，37448T x = (2) 2187【解析】分析：（1）根据题意，求的7n =，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为7(1+展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，n2128,n=7=得， （1）展开式的通项为r r r2r 17TC 2x ,r 0,1,2,,7+==.于是当r 0,2,4,6=时，对应项为有理项，即有理项为00017T C 2x 1,== 2237T C 2x 84x,== 442257T C 2x 560x ,== 66377T C 2x .=（2）(71-展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为(71+展开式中各项系数之和，在(71+中令x ＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187．所以(71-展开式中所有项的系数和为2187.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 25．(1)5. (2)80. (3)-30. 【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为2n 求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据52x⎛⎝展开式的通项并结合组合的方法求解．详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =， 解得5n =．（2）由题意得52x⎛+ ⎝的通项公式为()3555215522rrr r r r r T C x C x ---+==， 令3522r-=，解得2r =，所以52x ⎛+ ⎝的展开式中2x 项的系数为325280C ⨯=． （3）由（2）知，52x ⎛ ⎝的展开式的通项为3552152r r r r T C x --+=，令3512r-=-，解得4r =； 令31522r -=，解得3r =．故2nx x ⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-．点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1r n r rr n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0，1，2，…，n )． （2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ＋1项，而不是第r 项；②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒． 26．（1）()21n f n =-；（2）()4413nn S =-． 【分析】（1）由题意得到12()n n n n f n C C C =+++，结合二项展开式的性质，即可求解；（2）先求得1113n n n a a q --==，得到12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，进而求得3()14n f n +=，结合等比数列的前n 项和公式，即可求解．【详解】（1）由{}n a 为常数列，且1n a =，所以120()221n n n n n n n f n C C C C =+++=-=-．（2）由n a 是公比为3的等比数列，且1n a =，所以1113n n n a a q --==， 所以12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，所以122333()13333(13)41n nn n n n n n f n C C C C +=++++=+=+，由等比数列的前n 项和公式，可得()()414441143n nn S -==--． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的性质，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记二项展开式的性质，熟练应用等比数列的n 项和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。
汕头市选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．43．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．166B ．155C ．566D ．5115．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．246．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．967．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-488．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种10．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．25611．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．38412．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________.14．()3621)x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．16．计算546101011C C C +-的结果为__________.17．8的展开式中常数项为_________.18．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．19．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问： （1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 22．已知()(n f x x =，()f x 的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求n 的值；（2）求()f x 的展开式中的有理项；（3）求()f x 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.23．在n的展开式中，前3项的系数成等差数列， （1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含2x -的项的系数.24．已知()*nx n ⎛∈ ⎝N 展开式的前三项的二项式系数之和为16． （1）求n 的值：（2）复数z 满足325nz i z i -=++(i 为虚数单位)，求z ． 25．已知多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数.26．已知57A 56C n n =，且()23012312nn n x a a x a x a x a x -=+++++.（1）求n 的值； （2）求122222nn a a a +++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．C解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)rr r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．C解析：C 【分析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】四个人工小岛记为ABCD ，用“-”表示桥，对A 分有一座桥相连和两座桥相连，一一列举，得到答案. 【详解】四个人工小岛记为ABCD ，对A 分有一座桥相连和两座桥相连，用“-”表示桥 (1) A 只有一座桥相连时，有A-B-D-C ，A-B-D-C ，A-C-B-D ，A-C-D-B ， A-D-B-C ，A-D-C-B 共6种；(2) A 有两座桥相连时，有C-A-B-D ，D-A-B-C ，D-A-C-B ，B-A-C-D ， B-A-D-C ，C-A-D-B 共6种； 故共有12种. 故选：B 【点睛】本题考查了分类计数原理的应用，考查了学生分析理解，逻辑推理的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.7．D解析：D 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.10．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：4400111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．11．B解析：B 【解析】()6232x x ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C=种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =， 所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭. 故答案为：-4 【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kk kk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭分别令3332k -=-，3302k -=， 解得4k =，或2k =．∴()6321x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=．故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．16．【分析】利用组合数的性质来进行计算可得出结果【详解】由组合数的性质可得故答案为【点睛】本题考查组合数的计算解题的关键就是利用组合数的性质进行计算考查计算能力属于中等题 解析：0【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.【详解】由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数再代入得结果【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知 解析：35.2【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果. 【详解】8418840,4r r r r r r r T C C x r r --+==∴-== 即常数项为44835.2C =【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.18．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个. 故答案为14.19．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】622x x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()3666216612222xrr x r r r r T C x C x x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6020．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）576；（2）144 【分析】（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果. 【详解】解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数， （1）五位数中，偶数排在一起的有：23413442576C C A A =个，（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：23233423144C C A A =个. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力． 22．（1）7n =；（2）71=T x ，3435T x =-，177-=T x ；（3）系数最大的项为第五项53535T x =；系数最小的项为第4项3435T x =-【分析】（1）根据()f x 的展开式的各二项式系数的和等于2128n =求解. （2）先得到()f x 的展开式中的通项公式47317(1)r r rr TC x-+=-，再令473r-为整数求解. （3）由通项公式知：第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，若该系数最大，则r 为偶数，且7rC 最大求解.若该系数最小，则r 为奇数，且7rC 最大求解. 【详解】 （1）已知()(n f x x =，()f x ∴的展开式的各二项式系数的和等于2128n =，7n ∴=.（2）()f x 的展开式中的通项公式为47317(1)-+=⋅-⋅r r rr T C x，令473r-为整数，可得0r =，3，6， 故展开式的有理项为71=T x ，3435T x =-，177-=T x . （3）第1r +项的系数为7(1)⋅-r r C ，当该系数最大时，r 为偶数，且7rC 最大，此时，4r =， 故()f x 的展开式中系数最大的项为第五项53535T x =； 当该系数最小时，r 为奇数，且7rC 最大，此时，3r =， 故()f x 的展开式中系数最小的项为第4项3435T x =-. 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）8n =（2）358x （3）1256【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值； （2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -的项的系数． 【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=， 所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44458358T Cx ==.（3）通项公式：38441881,082r rr rr r r T C C x r r N --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭， 由3424r-=-，8r ∴=， 可得含x 的项的系数为88811()2256C =.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 24．（1）5；（2）34z i =+. 【分析】（1）利用前三项的二项式系数和建立方程进行求解即可．（2）根据模长公式与复数相等的性质，利用待定系数法建立方程进行求解． 【详解】（1）由题意知01216n n n C C C ++=，即(1)1162n n n -++=， 得2300n n +-=得5n =或6n =-（舍)， 故5n =．（2）设z x yi =+，x ，y R ∈， 原方程化为||23z i z i -=++，23i x yi i =-++，2(4)0x y i -+-=，20x -=且40y -=， 得3x =，4y =，即34z i =+． 【点睛】本题主要考查二项式定理以及复数的计算，利用待定系数法以及建立方程是解决本题的关键，难度不大． 25．（1）8；（2）7. 【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ， 又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，. 即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r r r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 26．（1）15.（2）1- 【分析】 （1）根据!!,()!!()!mm n n n n A C n m m n m ==--，即可求解57A 56C n n =，即可求得答案；（2）采用赋值法，令1x =求出所有项系数的和，再令0x =，求0a ，即可求得答案. 【详解】 （1）57A 56C n n =()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ------∴----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅整理可得：(5)(6)190n n --=即211600n n --=， 故(15)(4)0n n -+=解得：15n =或4n =-（舍去） （2）由（1）15n =152315012315(12)x a a x a x a x a x -=++++⋯⋯+令0x =，可得01a = 令12x =，可得15101515221(12)2222a a a a -⋅=++++∴101512522202a a a a ++++= 可得12215151222a a a +++=- 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，属于基础题.。
深圳市南山二外选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种3．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）A ．83B ．1或83C ．82D ．1或824．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．255．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣2D ．26．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．17．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1688．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．48010．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-4811．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．10812．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．40二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．15．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.16．82x x 的展开式中常数项为_________.17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)nx x++展开式中常数项为_______．19．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项； （2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．二项式n 的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由. 23．已知(n x 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．()1求n 的值；()2求展开式中所有二项式系数的和； ()3求展开式中所有的有理项．24．在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和．25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值． 26．已知二项式()23nx x+.（1）若它的二项式系数之和为128.求展开式中二项式系数最大的项； （2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．3．B解析：B 【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．7．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.8．C【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.10．D解析：D 【分析】把51(2)x-按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项． 【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.12．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.15．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数再代入得结果【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知 解析：35.2【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果. 【详解】8418840,4r r r r r r r T C C x r r --+==∴-== 即常数项为44835.2C =【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256，再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n nn C C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)nx x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.19．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6020．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++- ()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题． 22．(1)5358T =;(2)1256;(3)见解析. 【解析】分析：（1）依题意知展开式中的二项式系数的和为2256n =，由此求得n 的值，则展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，从而求得结果． （2）令二项式中的1x =，可得二项展开式中各项的系数和； （3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1,4,7r =时为有理项； 详解：因为二项式n的二项式系数和为256，所以2256n =， 解得8n =.（1）∵8n =，则展开式的通项818rr r T C-+=⋅ 823812r rrC x --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭. ∴二项式系数最大的项为445813528T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；（2）令二项式中的1x =，则二项展开式中各项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1,4,7r =时为有理项； 系数分别为118142C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811216C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题． 23．（1）5；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n 的值； （2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n ，即可求出结果； （3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项【详解】二项式nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为32112r rr n r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ （r=0，1，2，…，n ）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得2121122nn C C ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，即()111242n n n -=⋅ 解得n=5； （2）展开式中所有二项式系数的和为0123455555555232C C C C C C +++++==（3）二项式展开式的通项公式为355215512r rr r r r r T C x C x--+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为0551512T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭22532351522T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭44565515216T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭． 【点睛】注意区别，展开式的“二项式系数”与“二项展开式的系数”，如本题中二项展开式的系数为：12rr nC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，而二项式系数为rn C ；二项展开式（a+b ）n 的第（r+1）项，其通项公式为1rn r r r n T C a b -+=⋅⋅（ r ∈{0,1,2,3，…，n}）．24．（1）237x -；（2）358；（3）1256. 【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得8n =，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式n 的展开式中，令1x =，可得各项系数和. 试题展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，r=0，1，2，…，n 由已知：02012111,,222n n nC C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列,∴ 12112124n n C C ⨯=+,∴ n=8 ,8231812rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）令3r =,32233348172T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, （2）令820y -=,得4r = ，5358T ∴=, （3）令x=1，各项系数和为1256. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.26．（1）()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====；（2）1【分析】（1）根据二项式性质可求n 的值，再根据通项公式可得展开式中二项式系数最大的项.（2）由题意得二项式2016201630(282)=+，按二项式定理展开转化为20162被7除的余数，再由20166722(71)=+，再展开可解.【详解】（1）2128,7n n =∴=∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项，()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====.（2）2016201620161201520152015201620162016201630(282)282822822282C C K =+=+⋅⋅+⋯+⋅⋅+=+转化为20162被7除的余数，201667267228(71)71k ==+=+，即余数为1. 【点睛】考查二项式定理和二项式通项公式.二项式定理：011222n ()+C n n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C a b b ---+=+++++…………. 二项式通式：1(0,1n)r n r rr n T C a b r -+==…….。
(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40-B ．25-C ．25D ．553．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项4．已知8281239(1)x a a x a x a x +=++++，若数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．35．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．17．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1688．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -9．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．910．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ） A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个11．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16512．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 14．()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________．15．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．16．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.17．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)18．设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．19．已知集合S={﹣1，0，1}，P={1，2，3，4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答）三、解答题21．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等.（1）求n ；（2）求展开式中4x 项的系数.22．设(nx 的展开式中，第二项与第四项的系数比为1:2，试求2x 项的系数.23．已知22)nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大 （1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？24．（1）求(-x +12x)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项. （2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相. ①求3位女同学站在一起的概率；②求4位男同学互不相邻的概率.25．已知数列{}n a 的首项为1，令()()12*12nn n n n a C a C a f n N n C =+++∈．（1）若{}n a 为常数列，求()f n 的解析式；（2）若{}n a 是公比为3的等比数列，试求数列(){}31f n +的前n 项和n S ． 26．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++，且4560a =-.（Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．B解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．B解析：B 【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果． 【详解】 解：关于621(2)x x-的展开式，根据二项式的展开式的应用：61621(2)()r rr r T C x x -+=-， 对于选项A ：展开式中二项式系数之和6264=，故错误．对于选项B ：利用赋值法的应用，当1x =时，各项的系数的和为6(21)1-=，故正确．对于选项C ：展开式中二项式系数最大的项为第4项3620C =，故错误． 对于选项D ：展开式中系数最大的项为第2项，系数为2462240C ⨯=．故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．4．B解析：B 【分析】可得结论.写出各项的系数，由组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>，结合数列123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是一个单调递增数列，可得结论. 【详解】由二项式定理，得98ii a C -=()*19,i i N≤≤∈,所以根据组合数性质知123456789a a a a a a a a a <<<<>>>>， 又数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，所以k 的最大值为5.故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.6．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．7．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.8．D解析：D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数.设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.10．C解析：C 【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A 52=20个没有重复数字的三位偶数； ②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法， 此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数， 综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数． 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．11．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．12．B【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．【分析】根据二项展开式的通项公式可得：再由可得代入项的系数即可得解【详解】根据二项展开式的通项公式可得：令可得解得：故答案为：【点睛】本题考查了二项展开示式公式考查了由项的系数求参数大小考查了计算能 解析：12【分析】根据二项展开式的通项公式可得：48318r r rr T C a x-+=，再由4843r-=，可得3r =，代入项的系数，即可得解. 【详解】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r rr T C x C a x C a x ----+==，令4843r-=，可得3r =， 3388==7r r C a C a ，解得：12a =， 故答案为：12【点睛】本题考查了二项展开示式公式，考查了由项的系数求参数大小，考查了计算能力，属于中档题.14．【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论即可得出结果【详解】二项式展开式的通项为当第一个因式取1时第二个因式应取含的项则对应系数为：；当第一个 解析：132-【分析】本题首先可确定二项式()62x -展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x -两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】二项式()62x -展开式的通项为6162kk kkT C x ，当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：()55612112C ⨯⨯⨯-=-；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：()()42622120C -⨯⨯=-；则()()6121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-， 故答案为：132-. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=，考查推理能力与计算能力，是中档题.15．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.16．【分析】由组合数的性质得出或然后利用二次函数的性质或基本不等式求出的最大值并比较大小可得出结论【详解】满足组合数方程或当时则；当时因此当时取得最大值故答案为【点睛】本题考查组合数基本性质的应用同时也 解析：128【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y xx ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128.故答案为128. 【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.18．112【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则令则展开式中的常数项为解析：112 【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得8n =则()884188322rr r rrr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令840r -=，2r =则展开式中的常数项为()2282112C -=19．23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题S 集合中选出一个数字共有3种选法P 集合中选出一个数字共有4种结果取出的两个数字可以作为横标和纵标因此要乘以2去掉重复的数字得到结果解：由题意知本题解析：23【解析】试题分析：由题意知本题是一个分步计数问题，S集合中选出一个数字共有3种选法，P集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果．解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从S集合中选出一个数字共有3种选法，再从P集合中选出一个数字共有4种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列，∴共有C31C41A22=24，其中（1，1）重复了一次．去掉重复的数字有24﹣1=23种结果，故答案为23考点：计数原理的应用．20．1000【分析】根据题意分为1女4男和2女3男再利用排列组合求解每类的种数结合计数原理即可求解【详解】由题意可分为两类：第一类：先选1女4男有种再在这5人中选2人作为队长和副队长有种所以共有；第二类解析：1000【分析】根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：第一类：先选1女4男，有142630C C=种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A=种，所以共有3020600⨯=；第二类：先选2女3男，有232620C C=种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A=种，所以共有2020400⨯=，根据分类计数原理，共有6004001000+=种不同的选法.故答案为：1000【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题21．（1）11；（2）22-．【分析】（1）由二项式定理得二项式系数，根据组合数性质求得n ；（2）写出展开式通项公式，由x 的指数为4得所求项数，从而得其系数． 【详解】（1）由题意29n n C C =，∴2911n =+=；（2）二项展开式通项公式为113112111112(2)rrrrr r r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令11342r -=，1r =，所求系数为1111(2)22C -=-． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数，掌握二项式展开式通项公式是解题关键． 22．12 【分析】分别写出(nx -的展开式的第二项与第四项，由展开式中第二项与第四项的系数比为1:2，可求出n ，进而可得出展开式中2x 项的系数.【详解】(nx -展开式的第二项与第四项分别为：1112(n n n T C x --==，333334(n n n n T C x x --==-.12=，即2340n n --=， 解得4n =或1n =-， 显然只有4n =符合题意，设(4x 展开式中2x 项为第1r +项，则441(rr r r T C x -+=⋅，令42-=r ，得2r，即(4x 展开式中2x项为222234(12T C x x ==.故2x 项的系数为12. 【点睛】本题考查二项式的系数，要熟练掌握二项式定理，属于中档题. 23．（1）180；（2）第8项系数最大. 【解析】试题分析： （1）由题可先由条件只有第六项的二项式系数最大，求出n ，在利用二项式定理的通项公式求出常数项．（注意常数项的概念是建立方程的依据）（2）由（1）已知10n =，求展开式系数的最大项，因为二项式中含常数2，对系数有影响，需利用通项公式建立不等式来，分析求解． 试题（1）由题意知16102n n +=∴=， 10521102(010)r r r r T C x r r N -*+=≤≤∈且所以当2r时为常数项223102180T C ==（2）设第1r +项系数最大 则11101011101022{22r r r r r r r r C C C C --++≥≥ 即；解得192233r ≤≤因为r N *∈所以7r = 即第8项系数最大．考点：二项式定理的运用及不等式解法和思想． 24．（1）各项系数之和为：164，常数项为：52- ；（2）①17；②135 . 【分析】（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可． （2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可． 【详解】解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264-+=，展开式的通项公式666216611()()(1)()22k kk kk k k k T C x C x x ---+=-=-， 由620k -=得3k =，则常数项为333615(1)()22C -=-．（2）①把3位女生当作一个元素，则有5353A A 种排法，则对应的概率53537717A A P A ==．②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有3434A A ．则对应概率343477135A A P A ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大． 25．（1）()21n f n =-；（2）()4413nn S =-． 【分析】（1）由题意得到12()n n n n f n C C C =+++，结合二项展开式的性质，即可求解；（2）先求得1113n n n a a q --==，得到12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，进而求得3()14n f n +=，结合等比数列的前n 项和公式，即可求解．【详解】（1）由{}n a 为常数列，且1n a =，所以120()221n n n n n n n f n C C C C =+++=-=-．（2）由n a 是公比为3的等比数列，且1n a =，所以1113n n n a a q --==， 所以12231()333n nn n n n f n C C C C -=++++，所以122333()13333(13)41n nn n n n n n f n C C C C +=++++=+=+，由等比数列的前n 项和公式，可得()()414441143n nn S -==--． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的性质，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记二项展开式的性质，熟练应用等比数列的n 项和公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.26．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)2 【分析】（Ⅰ）解法1：将()72x a -展开，找出4x 项的系数表达式，结合条件列方程4280a =-求出a 的值；解法2：利用二项式定理写出()72x a -的通项，令x 的指数为4，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出4x 的系数的表达式，结合条件4280a =-列方程求出实数a 的值； （Ⅱ）解法1：令0x =代入题干等式求出0a 的值，再令12x =可得出712027222a a a a ++++的值，减去0a 可得出71227222a a a +++，再乘以2可得出答案； 解法2：利用二项式定理求出1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 的值，代入代数式可得出答案． 【详解】（Ⅰ）解法1：因为343472()a C a =⨯⨯-33516560a =-⨯=-，所以1a =， 解法2：()()()()77717722kkkk k k k k T C x a C a x ---+=-=⋅-⋅，()334472560a C a ∴=⋅⋅-=，所以1a =．（Ⅱ）解法1：当0x =时，01a =-，当12x =时，3712023702222a a a aa +++++=， 371202372()02222a a a a a +++++=，3721262222a a a a ++++=；解法2：由二项展开式分别算出123456714,84,280,560,672,448,128a a a a a a a ==-==-==-=，代入得：3721262222a a a a ++++=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题．。
深圳鹤洲学校选修三第一单元《计数原理》检测题(有答案解析)
一、选择题1．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40- B ．25-C ．25D ．552．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种B ．60种C ．12种D ．6种3．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－815．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．46．411()x y x y+--的展开式的常数项为（ ） A ．36B ．36-C ．48D ．48-7．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C +B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +8．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．409．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．3360010．在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或612．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．384二、填空题13．设06126201262m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=_________________.14．化简：()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++=______.15．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______.16．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.17．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________．18．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．19．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值； （3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．22．已知()*3nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3， （1）求n 的值；（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项．23．若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++．24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项. 26．已知二项式()23nx x +.（1）若它的二项式系数之和为128.求展开式中二项式系数最大的项； （2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2．C解析：C 【分析】根据题意，分2步讨论老师、学生的安排方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将两名老师全排列，安排在后排，有222A =种安排方法， ②将三名学生全排列，安排在前排，有336A =种安排方法，则一共有2612⨯=种安排方法； 故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．3．C解析：C 【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数*()n n N ∈的最小值.【详解】解:由题意知:123k n k n C C -=或者132k n k n C C -=.即123n k k -+= 或132n k k -+= 解得,533k n -= 或522k n -=.当533k n -=时,当3k =时,min 4n =; 当522k n -=时,当2k =时,min 4n =.综上所述: min 4n =. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用.本题的易错点是未进行分类讨论.4．B解析：B 【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a +++=，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.5．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.7．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为nm n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．8．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．9．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法,从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.10．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4nn+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.12．B解析：B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.二、填空题13．21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题解析：21 【分析】由二项式定理得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，进而得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，即可得出答案. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()621231662(2)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 00121192263334405536666666666(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)C x C x C x C x C x C x C x --+++++=-+------0126129630(3)(6)21m m m m ∴+++⋯+=+++++-+-=故答案为：21 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14．【分析】由将原式转化为再由二项式定理可得答案【详解】∴故答案为：【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用考查转化思想属于中档题 解析：np【分析】由11=kk n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++，再由二项式定理可得答案. 【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===-----，∴()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣1[(1)]n np p p -=-+ 11n np -=⋅np =故答案为：np 【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.15．7【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项项和项利用二项展开式的通项公式求出第项然后即可求解【详解】因为的展开式中没有项所以的展开式中没有常数项项和项的展开式的通项为所以方程当且时无解检验可解析：7 【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解 【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项 所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr nn T C x x C x r n ---+=== 所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解 检验可得7n = 故答案为：7 【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==16．58024【分析】依题意得的取值是1到10的整数满足的个数等于总数减去和的个数【详解】集合中共有个元素其中的只有1个元素的有个元素故满足条件的元素个数为59049－1－1024＝58024【点睛】本解析：58024 【分析】依题意得12310+x x x x +++⋯的取值是1到10的整数，满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++⋯=和12310+10x x x x +++⋯=的个数.【详解】集合A 中共有个元素10359049= ，其中12310+0x x x x +++⋯=的只有1个元素，12310+10x x x x +++⋯=的有1021024= 个元素，故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为59049－1－1024＝58024.【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.17．40【分析】将问题分成三步解决首先将排列再将插空排列再根据已排好的位置将整体插空放入利用分步乘法计数原理计算可得结果【详解】第一步：将进行排列共有种排法第二步：将插空排列共有种排法第三步：将整体插空解析：40 【分析】将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】第一步：将3,5进行排列，共有222A =种排法第二步：将4,6插空排列，共有2224A =种排法第三步：将1,2整体插空放入，共有155C =种排法根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法 本题正确结果：40 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.18．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个.故答案为14.19．【分析】根据题意由定积分公式求出的值进而在中分别令和分析可得答案【详解】解：根据题意则令可得：即令可得：又由则；故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用涉及特殊值的应用关键是求出的值属于基础题 解析：1-【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =，令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b++⋯+=-； 故答案为：1- 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出xy a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）1；（2）231n-；（3）2312n -.【分析】（1）赋值0x =即可得解；（2）赋值1x =，结合（1）即可得解； （3）赋值1x =-，结合（2）即可得解. 【详解】（1）0x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01a =； （2）1x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：032122=3n n a a a a a ++++⋯+，所以： 13222=31n n a a a a +++⋯-+；（3）1x =-代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01232=1n a a a a a -+-+⋯+，又032122=3n n a a a a a ++++⋯+，、两式相减可得：5221312()31n na a a a -+++⋯=-+，所以221351312n n a a a a -+=+⋯-++. 【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题. 22．（1）7n =；（2）二项式系数和为128，各项系数和为1；（3）展开式中系数的绝对值最大的项为5222680x -. 【分析】（1由已知得12:1:3n n C C =，解得可得7n =；（2）由（1）将原式化为73x ⎛- ⎝，求得二项展开式中各项二项式系数和为72，令1x =时，可得二项展开式中各项系数和；（3）设第+1r 项的系数的绝对值最大，设()7732rrr f r C -=⨯⨯，建立不等式组()()()()+11f r f r f r f r ⎧≥⎪⎨≥-⎪⎩，解之求得以3r =，从而可得答案. 【详解】（1）()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式的通项为：()()321332rrn n rr rr n r r n n T C x C x---+⎛==⨯⨯- ⎝， 又展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3，所以12:1:3n n C C =，解得7n =；（2）由（1）得原式为73x ⎛- ⎝，所以二项展开式中各项二项式系数和为72128=，令1x =，得二项展开式中各项系数和为7131⎛⨯ ⎝=；（3）73x ⎛ ⎝展开式的通项为()()37772177332rrr r r r r r T C x C x ---+⎛==⨯⨯- ⎝，设第+1r 项的系数的绝对值最大， 设()7732r rrf r C -=⨯⨯，则()()()()+11f r f r f r f r ⎧≥⎪⎨≥-⎪⎩，即7+16+17771817732323232r r r r r r r r r r r r C C C C ------⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得131855r ≤≤，又r N *∈，所以3r =， 所以展开式中系数的绝对值最大的项为()3357337322473222680T C xx ⨯--=⨯⨯-=-．【点睛】本题考查二项式展开的通项，二项式系数，系数，二项式系数和，各项系数和，属于中档题.23．（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】（1）利用赋值法令0x =得0a ，再令1x =即可得到结果. （2）令1x =和1x =-，将得到的两个式子作差可得结果. （3）令1x =和1x =-，将得到的两个式子相加可得结果. 【详解】（1）令0x =，则01a =-，令1x =，则128270167==++++a a a a ．∴129721=+++a a a ．（2）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相减得：()713572128(4)16512a a a a +++=--=，则1357=8256a a a a +++.（3）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相加得：()02462=a a a a +++()7128416256+-=-，则02468128a a a a +++=- 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题. 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10i ii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即100246810132a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）6n =，34160x ；（2）3x 和240.【分析】（1）根据前3项系数和，建立方程求出n ，结合二项式系数的性质进行求解即可． （2）求出展开式的通项公式，结合x 的次数进行求解即可． 【详解】 （1）依题意得：0122473n n n C C C ++=，即22173n +=，得236n =6n ∴=-或6n = *n N ∈∴6n =.∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3333446=160T C x =.（2）展开式的通项公式为：33416=2(),(0,1,...,6)r r rr TC x r -+=，展开式的通项公式为：61662k k k kk T C C -+==334k k x -，当0k =时，3334k-=，此时为有理项31T x =， 当1k =时，39344k -=，此时不是有理项， 当2k =时，33342k -=，此时不是有理项， 当3k =时，33344k -=，此时不是有理项， 当4k =时，3304k-=，此时为有理项5240T =， 当5k =时，33344k -=-，此时不是有理项， 当6k =时，33342k -=-，此时不是有理项， ∴展开式中的有理项为3x 和240．【点睛】本题主要考查二项式定理､有理项等基础知识，考查观察能力､运算求解能力､推理能力和函数与方程思想，属于中档题.26．（1）()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x xx ====；（2）1【分析】（1）根据二项式性质可求n 的值，再根据通项公式可得展开式中二项式系数最大的项.（2）由题意得二项式2016201630(282)=+，按二项式定理展开转化为20162被7除的余数，再由20166722(71)=+，再展开可解.【详解】 （1）2128,7n n =∴=∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项，()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====.（2）2016201620161201520152015201620162016201630(282)282822822282C C K =+=+⋅⋅+⋯+⋅⋅+=+转化为20162被7除的余数，201667267228(71)71k ==+=+，即余数为1.【点睛】考查二项式定理和二项式通项公式.二项式定理：011222n ()+C n n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C a b b ---+=+++++…………. 二项式通式：1(0,1n)r n r rr n T C a b r -+==…….。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(答案解析)(2)
一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）ξ1 3 5P0.4 0.1xA ．3.56B ． 3.2C ．3.2D ． 3.563．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．44．已知随机变量,X Y 的分布列如下:X 32 1PabcY 123Pabc若,,a b c 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ） A ．()()D X Y D >B ．()() E X E Y =C ．()()E X E Y < D ．()()D X Y D =5．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A ．15B ．310C ．12D ．356．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（ ） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.788．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常9．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32B ．0.68C ．0.36D ．0.6410．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=11．某校高一（1）班共有54人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为A ．36B ．27C ．22D ．1112．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A |C )＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P (C )＝0.005，则P (C |A )＝______．(精确到0.001)14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________. 15．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为______． 16．下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()nx x-的展开式中，系数最大的项为第6项.17．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.18．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时()~10,.X B p 若() 2.1,D X =()()37,P X P X =<=则p =_______．19．1000名学生成绩近似服从正态分布N (100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为_________.[注：正态总体()2,N μσ在区间(),,μσμσ-+()()2,2,3,3μσμσμσμσ-+-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]20．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________. 三、解答题21．2019年以来，全国发生多起较大煤矿生产安全事故，事故给人民群众的财产和生命造成重大损失.尽管国务院安委办要求对事故责任人从严查处.但是有的煤矿企业领导人仍然不能够对安全生产引起足够重视.不久前，某煤矿发生瓦斯爆炸事故，作业区有若干矿工人员被困.若救援队从入口进入之后有1L ，2L 两条巷道通往作业区如下图所示，其中1L 巷道有1A ，2A ，3A 三个易堵塞点，且各易堵塞点被堵塞的概率都是12；2L 巷道有1B ，2B 两个易堵塞点，且1B ，2B 易堵塞点被堵塞的概率分别为14，35，不同易堵塞点被堵塞或不被堵塞互不影响.（1）求1L 巷道中的三个易堵塞点至少有两个被堵塞的概率；（2）若2L 巷道中两个易堵塞点被堵塞个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （3）若1L 巷道中三个易堵塞点被堵塞的个数为Y ，求Y 的数学期望.22．某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的. （1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是14、23、25，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率； （2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是13，求这一时段办公室电脑数无法满足需求的概率.23．2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“312++”高考模式.所谓“312++”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科. （1）若某考生按照“312++”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率.（2）新冠疫情期间，为积极应对“312++”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由.附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.24．某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天､第二天分别生产了1件､2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（1）求两天全部通过检查的概率；（2）若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元､900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？ 25．近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出一周内每一天使用刷脸支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：（1）在推广期内，与y c d =⋅（均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用刷脸支付的人次；（3）已知一瓶该饮料的售价为2元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有10%使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有40%使用扫码支付，使用扫码支付享受8折优惠；有50%使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.参考数据：其中1i i v g y =，7117i i v v ==∑参考公式：对于一组数据1122,),,(,)n n x v x v ，其回归直线ˆˆˆv a bx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆ,ni i i nii x v nxvbxnx==-=-∑∑ˆˆa v bx=-.26．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k 2.706 3.841 6.635 10.828(01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4，所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．D解析：D 【分析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.3．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.4．D解析：D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，由此能求出已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率． 【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格，∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为31155p ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查概率的求法，设这个班有100人可使得该问题更加直观明了，属于基础题.6．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．7．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥， ()50.89P ξ≤=，()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.8．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．C解析：C 【解析】如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.故选C.10．D解析：D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．11．B解析：B 【解析】根据频率分布直方图，得成绩在[90120]，内的频率为：10.0150.0.0100.005100.70-++⨯=（），∴120.0300.7010a +=⨯，解得0.020a =；∴成绩在[100120]，内的频率为0.0300.020100.50+⨯=（），所求的学生人数为540.5027⨯=，故选B.12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．087【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果【详解】因为所以因为所以所以由全概率公式可得因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键解析：087 【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果． 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.0870.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===≈⨯+⨯+．故答案为：0.087． 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．【分析】根据数学期望和方差公式得到代入式子利用均值不等式计算得到答案【详解】故当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了二项分布均值不等式意在考查学生的计算能力和综合应用能力解析：94【分析】根据数学期望和方差公式得到4p n =，416n q n-=，代入式子利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()4E X np ==，()()1D X np p q =-=，故4p n =，441641n q n n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，4n >，11141945544164444n n n p q n n ⎛⎫⎛⎫+=+=-++≥= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 当且仅当444n n -=-，即6n =时等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题考查了二项分布，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．234【分析】对于①把极坐标方程化为直角坐标方程结合圆心与原点的距离关系可求；对于②带状区域宽度越宽说明模型拟合误差越大；对于③先利用求出然后再求；对于④先求出再利用二项式定理的通项公式求解系数最大解析：234 【分析】对于①，把极坐标方程化为直角坐标方程，结合圆心与原点的距离关系可求； 对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大； 对于③，先利用5(1)9P ξ≥=求出p ，然后再求(2)P η≥； 对于④，先求出n ，再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项. 【详解】对于①，22sin()2804a πρρθ-++-=化为直角坐标方程为22()()8x a y a -+-=，半径为因为曲线C <，解得()()3,11,3a ∈--⋃，故①正确；对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大，故②错误；对于③，122225(1)(1)9P C p p C p ξ≥=-+=，解得13p =；223333(2)(1)277P C p p C p η≥=-+=，故③错误； 对于④，12327279272727272181S a C C C C a a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+-=+-， 而9909188999998(91)999C C C C =-=-++-，所以11n =，所以111()x x-的系数最大项为第7项，故④错误；综上可知②③④错误.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及知识点较多，知识跨度较大，属于知识拼盘，处理方法是逐一验证是否正确即可.17．【分析】根据正态分布对称性求解【详解】【点睛】本题考查正态分布考查综合分析求解能力属中档题 解析：0.34【分析】根据正态分布对称性求解. 【详解】()()()[]111240412010.320.34.222P X P X P X ⎡⎤<≤=<≤=-≤=-=⎣⎦ 【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题18．【解析】【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p)=21解得p=03或p=07再由二项分布公式代入解得p>05可求得p 【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=21所以p=0解析：0.7【解析】 【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p) =2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二项分布公式代入()()37,P X P X =<=解得p>0.5，可求得p.【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因为()()37P X P X =<=，所以3377731010(1)(1)C p p C p p -<-，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7. 【点睛】本题综合考查二项分布公式应用及二项分布的性质，需要学生灵活运用。
2020-2021学年苏教新版数学四年级下册期末学业考复习第四章《用计算器计算》章节常考题集锦(解析版)
的结果． 故答案为：245、 、24、 ． 28．明明在用计算器计算一道除法算式时，把被除数的前两位按反了，结果除以 6 得 32892．请你想一想，
正确的商是多少？ 【解答】解： 32892 6 197352 所以正确的被除数是 917352 917352 6 152892 答：正确的商是 152892． 29．小明在用计算器计算两个数的积时，不小心把一个因数的前两位数字按反了，结果与 38 相乘得
故答案为： ． 19．（2020 模拟春•泰兴市校级期中）计算器上有许多功能键，正确认识这些功能键，可以帮助我们更好地 使用计算器．比如“ AC ”键就是“改错键”． （判断对错） 【解答】解：计算器上有许多功能键，正确认识这些功能键，可以帮助我们更好地使用计算器．比如 “ AC ”键就是“改错键，说法正确；
北京市第一实验小学期末学业考复习专题
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11．（2020 模拟春•淮安期末）在计算器上输入 19 ．
，这时显示屏上显示
【解答】解：在计算器上输入
，这时显示屏上显示 19．
故答案为：19．
12．（2020 模拟春•秦皇岛期末）小明计算器上的数字键“3”坏了，如果想用这个计算器计算出 36 464 的
【解答】解：计算器上的关闭键是 OFF ；
故选： A ． 4．（2020 模拟秋•扬州期末）东东的计算器上数字键“5”坏了，如果想用这个计算器计算出 35 120 的得数，
可以将原来的算式变成 ( )
A． 30 120 5 120 B． 31 4 120
C． 32 120 3120 D． 7 5 120
(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(有答案解析)
一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2333．一批产品（数量很大）中，次品率为13，现连续地抽取4次，其次品数记为X ，则()E X 等于（ ）A ．13B ．23C ．89D ．434．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<5．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E ξ=（ ） A ．1B ．45C ．75D ．26．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.27．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123,,234，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．1124B ．2324C ．14D ．17329．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<< 11．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( )A ．0.32B ．0.68C ．0.36D ．0.6412．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=二、填空题13．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.14．随机变量()2,XN μσ，()()222x f x μσ--=满足：（1）x R ∀∈，()()f x f x ''-=-； （2）()f σ'-=， 则()12P X <≤=________.附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.15．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为i ξ(1,2)i =，则()()12E E ξξ+的值为________16．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 17．一批排球中正品有m 个，次品有n 个，()10m n m n +=≥，从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数若 2.1DX ＝，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p ＝___________ 18．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.19．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X >等于______________．20．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____. 三、解答题21．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．22．已知从A 地到B 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为34，不准点到达的概率为14；走道路②准点到达的概率为p ，不准点到达的概率为(1)p -.若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响. （1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为716，求走道路②准点到达的概率p ； （2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.23．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．24．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答对的试题数X 的分布列，并求该考生及格的概率．25．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率： （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：22(),() ()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++．临界值表：26．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X的分布列及数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．A解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.3．D解析：D 【分析】根据独立重复试验的条件，转化成4次的独立重复试验，利用二项分布期望的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，一批产品数量很大，其中次品率为13，现连续地抽取4次， 可以看出是4次的一个独立重复试验，可得随机变量X 服从二项分布，即1(4,)3X B ，所以()14433E X =⨯=. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了独立重复试验，以及二项分布的期望的计算，其中解答熟记独立重复试验的条件，掌握独立重复试验中随机变量服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P （ξ=0）30423615C C C ==,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ===, 所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯= ,故选A ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．8．A解析：A 【分析】若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =，()23P B =，()34P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为()1231111113412P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则电路不发生故障的概率1111121224P =⨯= 故选A 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．9．A解析：A【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小.详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.故选C.12．D解析：D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．二、填空题13．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.14．1359【分析】对函数求导得导函数解析式由已知关系分别求得再由正态分布图像的对称性求得答案【详解】因为所以又则且所以故答案为：01359【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题属于中档题解析：1359 【分析】对函数()f x 求导得导函数解析式，由已知关系分别求得2,μσ，再由正态分布图像的对称性求得答案. 【详解】 因为()()222x f x μσ--=，所以()()()22221x f x x μσμσ--'=--又x R ∀∈，()()f x f x ''-=-，则()()()2202200001f μσμμσ--'=--=⇒=且()()()2222211f σσσσσσ--'-=--==⇒= 所以()()()220.13592122P P X X X P μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤=≈故答案为：0.1359 【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题，属于中档题.15．【分析】当抽取个球时的取值为根据古典概型概率计算公式计算出概率并求得期望值当抽取个球时的取值为根据古典概型概率计算公式计算出概率并求得期望值【详解】解：甲盒中含有红球的个数的取值为12则则；甲盒中含解析：237【分析】当抽取1个球时，1ξ的取值为1,2，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取2个球时，2ξ的取值为1,2,3，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值. 【详解】解：甲盒中含有红球的个数1ξ的取值为1，2，则()14117417C P C ξ===，()13117327C P C ξ===.则()1431012777E ξ=⨯+⨯=； 甲盒中含有红球的个数2ξ的值为1，2，3，则()24227217C P C ξ===，()1134227427C C P C ξ===，()23227137C P C ξ===. 则()2241131237777E ξ=⨯+⨯+⨯=. ∴()()12101323777E E ξξ+=+=. 故答案为：237. 【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.16．【分析】首先确定所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率从而根据数学期望计算公式求得结果【详解】由题意可知所有可能的取值为：则；；本题正确结果：【点睛】本题考查离散型随机变量的数 解析：26681【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.17．【分析】由题意知随机变量根据方差求得的值再计算所求的概率值【详解】由题意知随机变量则方差又则解得所求的概率为故答案为【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算考查古典概型的概率的计算意在考查学生对这些知 解析：815【分析】由题意知随机变量~(10,)10nX ，根据方差DX 求得n 的值，再计算所求的概率值． 【详解】由题意知，随机变量~(10,)10nX ， 则方差10(1) 2.11010n nDX =⨯⨯-=， 又m n ，则5n ，∴解得3n =，∴所求的概率为112373210815C C C p C +==． 故答案为815【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【分析】根据正态分布对称性求解【详解】【点睛】本题考查正态分布考查综合分析求解能力属中档题 解析：0.34【分析】根据正态分布对称性求解. 【详解】()()()[]111240412010.320.34.222P X P X P X ⎡⎤<≤=<≤=-≤=-=⎣⎦ 【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题19．【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布所以因为所以考点：正态分布解析：0.1587【解析】试题分析：因为随机变量X 服从正态分布()2,1N ，所以()()31P X >=P X <，因为()()()11331P X <+P ≤X ≤+P X >=，所以()()1310.68260.15872P X >=-=． 考点：正态分布．20．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552. 【解析】分析：由n 次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P (ξ=4)=435⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.129 6, P (ξ=3)=33432C ?·55⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.345 6,P (ξ=2)=222432C ?·55⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P (ξ=1)=31432C ?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P (ξ=0)=425⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.025 6. 由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．三、解答题21．（1）548（2）5716【详解】（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格 记A={前四项均合格}，B={前四项中仅有一项不合格} 则4121()()(1)2348P A =-=⋅ 3141121()1122312P B C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A 、B 互斥，故所求概率为4115()(128)48p P A P B =+=+=， 所以该生被录取的概率是548； （2）该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5.111(2)224==⨯=P X ，121111(3)(1)2224P X C ==-⨯⨯= 2231113(4)(1)22216P X C ==-⨯⨯=，1135(5)1441616P X ==---=X234514 14 316 516()234544161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：本题考查了随机变量的概率与期望点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键 22．（1）716（2）见解析，136【分析】（1）三辆车中恰有一辆车没有准点到达包含两种情况：甲乙中有一辆没有准点到达或丙没有准点到达，由相互独立事件同时发生的概率公式列出关于p 的方程，解方程即可得结果；（2）设三辆车中准点到达车辆的辆数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，由题写出变量的分布列，算出数学期望. 【详解】解：（1）由已知条件得2123137(1)44416C p p ⎛⎫⨯⨯+-= ⎪⎝⎭， 解得23p =； （2）ξ可能的取值为0，1，2，3，()1111044348P ξ==⨯⨯=，123111121(1)4434436P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，123123317(2)44344316P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，3323(3)4438P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为所以01234861686E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了学生的运算求解能力.23．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望()20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一； ③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题.24．X 的分布列见解析，该考生及格的概率为1415. 【分析】根据某考生能答对10道中的8道试题，从备选题中任选3道题进行测试，得到答对试题数X 的可能取值为1，2，3，然后求得相应的概率，列出分布列，再根据至少答对2道题才算及格，则及格的概率为()()23p p X p X ==+=求解. 【详解】X 的可能取值为1，2，3，所以()()()1221308282823331010101771,2,3151515C C C C C C p X p X p X C C C =========， 所以X 的分布列为：则()()()142315p A p X p X ==+==. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）35p =；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）分布列见解析，()95E ξ= 【分析】（1）直接根据频率分布表得到答案.（2）根据频率分布表得到列联表，计算2 5.542 3.841K ≈>得到答案. （3）ξ的可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（1）根据频率分布表：24021010050310005p +++==.（2）根据频率分布表得到列联表：故()221000250270150330 5.542 3.841400600580420K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.90人，女性有60人， 故抽取男性901069060⨯=+人，抽取女性601049060⨯=+人，故ξ的可能取值为0,1,2,3，()343101030C p C ξ===；()21463103110C C p C ξ⋅===；()1246310122C C p C ξ⋅===；()36310631C p C ξ===.故分布列为：故()01233010265ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E . 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）49；（2）分布列见解析，1 【分析】（1）甲获胜的情况为3:1,3:2,2:1分别计算概率即可得解；（2）X 的所有可能取值是0，1，2，3，分别计算概率，写出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）甲以3:1获胜的概率221211329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以3:2获胜的概率22122212C 329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以2:1获胜的概率213221113329P C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 则甲获胜的概率1231214.9999P P P P =++=++= （2）由题意可得X 的所有可能取值是0，1，2，3.3323232112233333333112112112(0)C C C C C C 323323323P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311111722161262724⎛⎫⨯=+++=⎪⎝⎭； 33232333212133331121121121(2)C C C C 3233233232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11115723618924=+++=； 33331121111(3)32322162724P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 75111(1)124242424P X ==---=. X 的分布列为故()71151 0123 1.24242424E X=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率.。
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[解 ]
74161(1)的CO输出控制着74161(2)的CTP和CTT，而74161(2)的输出CO又作为反 馈控制预置信号(同步置数），又CO = Q3Q2Q1Q0CTT，因此，两片计数器的满状态 和预置状态即为计数器的结束和初始状态。
所以，该电路为同步196进制计数器。
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t1时刻，寄存器II的数据1000送到 总线，寄存器III接收，[I]=1011，[II]=1000， [III]=1000；t2时刻，寄存器III的数据1000 送到总线，无数据接收，各寄存器数据不变； t3时刻，无数据传送，各寄存器数据不变； t4时刻，寄存器I的数据1011送到总线，寄存 器II、III接收，[I]=1011，[II]= [III]=1011。
D. 动态RAM存储单元的结构比静态RAM存储单元的结构简单。
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Y1 ABC ABC ABC ABC
Y1 AB
Y1 AB B AB B AB
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5.29 电路如图题所示，要求 (1) 列出电路的状态迁移关系(设初始状态为0110)；
(2) 写出F的输出序列。
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6.5 集成单稳态触发器74121组成电路如图题所示，要求 (1) 计算uO1、uO2的输出脉冲宽度； (2) 若uI如图中所示，试画出输出uO1、uO2的波形图。
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CLR LOAD D0 D1 D2 D3
The
Data inputs
CLK ENP ENT Q0
Data outputs
Q1 Q2 Q3 RCO 12 13 14 15 0 1 2 Inhibit
LOW level pulse on the CLR input causes all the outputs to go LOW. Next, the LOW on the LOAD synchronously enters the data into the counter and 1100 appear on the Q outputs at the positive-going clock edge. The count advance through states 13, 14, and 15. And then recycles to 0, 1 during high ENT and ENP. When ENP goes LOW, the counter is inhibited and remains in the binary 2 state.
[解 ]
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分析ROM中存放的部分数据，可以发现ROM实现了2位8421 BCD码相 加，并把和译成7段码，如果输入是非8421 BCD码，数码管熄灭。OC门在 电路中起到驱动、反相和电平转换的逻辑功能。整个电路实现了2位8421 BCD加法的逻辑功能。高位数码管只有熄灭0和显示1两种状态。如 A3A2A1A0 =1001B，B3B2B1B0 =0111B，显示的数码是16。当数码管尺寸较小 ，VLED = 5V时，OC门可以省去，此时应将ROM中存放的数据取反。
[解 ] 设输入逻辑变量Ai为 被减数、Bi为减数、Ci-1 为低位的借位，输出逻 辑函数Si为差、Ci为本 级的借位输出信号。
Ai Bi Ci-1 Si Ci
0 0 0 0 1 1 1 1 上页 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 下页 0 1 1 1 0 0 0 1 返回
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答疑时间
5月7日（星期三）：下午2:00~4:00 5月9日（星期五）：下午2:00~4:00 5月12日（星期一）：下午2:00~4:00
5月14日（星期三）：下午2:00~4:00
5月16日（星期五）：下午2:00~4:00
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[解] (1) 555组成了多谐振荡器，74193为异步置数，置数始终 有效，电路状态一直为1110B；4538组成了单稳态电路。 (2) uo1的周期 T=0.7×（R1+2R2）×C=0.35ms (3) 74193不计数，进位端一直为高。
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Ai Bi Ci-1 Si Ci 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1
+VCC
Ci m(1, 2,3,7)
Si m(1, 2, 4,7)
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[例] 分析图所示电路的逻辑功能。如何能改变输出波形的频 率和幅度？
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[解] 本题可以划分成三个功能块，第一块是由555构成的脉冲发生电路， 它可以产生第二块8位二进制计数器所需的时钟信号CLK，第三块是由 DAC0808和I/U转换构成的 D/A转换电路。 整个电路实现了锯齿波发生器。由于输出波形的频率是CLK的256分频， 改变电阻R1、R2或电容C都可以改变555产生CLK的频率，也就改变了输出 波形的频率。改变I/U转换电路的反馈电阻RF或VREF的值都可以改变输出波 形的幅度。
tw = 1.1RC 上页 下页 返回
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数字电子技术基础 四、（ 15分）全同步16进制加法集成计数器74163构成的电路如图题A.2.6
所示。全同步是指该计数器是同步时序电路、同步清零、同步置数，其清零 和置数信号均为低有效，CO是进位输出端，且CO=Q3Q2Q1Q0CTT。试回答以 下问题：
(1) 请说明图中两个计数器芯片分别采用了什么方法构成反馈？若由Q7~Q0一 起作为输出，电路计数的初态S0和最后一个有效状态Sn-1分别是多少？实现了 几进制计数？
(2) 从F与CP的关系看，该电路实现何种功能？
[解 ] 1）写方程式 上页 下页 返回
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状态转换表
Q1n Q0n 00 01 10 11 Q1n+1 Q0n+1 01 11 00 00
10→ 00→ 01→ 11
从F与CP的关系可以看出该电路实现三分频。 上页 返回 下页
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(1) 划分功能块 可将电路划分为2个逻辑功能块。 (2) 分析功能块的逻辑功能 显然各功能块均为逻辑函数发 生电路。可写出每个输出的逻辑 函数式并列出真值表。
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6.7 控制系统为了实现时序配合，要求输入、输出波形如图题所 示，t1可在1~99s之间变化，试用CMOS精密单稳态触发器4538 和电阻R、电位器RW和电容器C构成电路，并计算R、RW和C的 值。
(4) 4538输出一直为稳态，低电平，无波形输出。
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6.20 用相同的信号输入到各电路，再用示波器观测出各输出波形如图所 示，试根据输入输出波形判断三种电路是何种电路。（设直流电源电压为 +5V）
[解] 框Ⅰ中为施密特电路。因施密特 电路输出周期与输入信号周期相同，而 输出脉宽取决于输入信号到达施密特电 路上限阈值电压和下限阈值电压的时间。 框Ⅱ中为单稳触发器。因单稳电路输 出脉宽取决于其暂稳态时间，而输出周 期取决于触发信号周期。 框Ⅲ中为二分频电路。因它输出周期 为触发脉冲周期的2倍，且为方波输出。
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作业
5.3 试分析图题所示电路的逻辑功能。
[解] (1) 驱动程式和时钟方程
n J0 Q2
K0 1
CP0 CP
n CP 1 Q 0
J1 K1 1
n J 2 Q1nQ0
K2 1
CP2 CP
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[解] 本题是RAM的复合扩展。一般先进行位，再进行字扩展。先用２片 10244的RAM进行位扩展成1024８的RAM块，如图解8.2(1)所示。再用4 个块扩展成40968的RAM，如图解8.2(2)所示。
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[例] 试分析图所示电路，写出逻辑表达式，列出真值表，分 析整个电路具有什么逻辑功能？
(2) 将驱动方程代入特性方程得状态方程
由状态转换图可见该 电路为异步5进制计数器。
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5.11 用JK触发器设计图题所示两相脉冲发生电路。
[解] 电路的循环状态为00→ 10→ 11→ 01→ 00，因此可按
同步计数器设计，用两个JK FF实现。 (1) 作次态卡诺图求状态方程和输出方程
Q1n Q0n 00 01 10 11 Q1n+1 Q0n+1 10 00 11 01