数字信号处理资源第8章 数字信号处理中的误差与量化效应

3.反码x0
二进制负数的反码表示除符号位为1外，其余将 该数正值二进制数表示取反，即0改为1，1改为 0。二进制负数的反码表示为 x0=［γΔγ1γ2…γb］ 2，式中γΔ=1。
8.1.4 截尾与舍入产生的误差
1.定点截尾 2.定点舍入 3.浮点
1.定点截尾
(1) x>0,不论原、补、反码表示相同。 (2) x<0 ,原码。 (3) x<0,补码。
8.3.1 8.3.2 输出信噪比 改善信噪比的方法
8.3.1 输出信噪比
图8-7 基本蝶形定点舍入运算的统计模型
8.3.1 输出信噪比
图8-8 与x(3)计算相关的蝶形
8.3.2 改善信噪比的方法
图8-9 乘1/2因子的蝶形统计模型
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
(1) 所有误差源与信号x(n)不相关，都是彼此独立，白色、等概率分布，具 有相同方差，因此 (2) x(n)是白色，实、虚部方差相同，且同一级各节点方差相同，即
第8章 数字信号处理中的误差与量化效应
8.1 8.2 8.3 二进制算法与运算误差 A-D转换的量化效应 FFT定点制运算中的有限字长效应
8.4 8.5 8.6
FFT浮点制运算中的有限字长效应 系数量化对数字滤波器的影响 系数量化对FFT的影响
8.1 二进制算法与运算误差
8.1.1 8.1.2 8.1.3 定点制表示及运算误差 浮点制表示及运算误差 负数表示法
(2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。
式(8-53)的分母中的每个因子(zi-zL)表示从极点zL 指向极点zi的向量，整个分母是所有极点(不包 括zi极点)指向极点zi的向量之积。极点越密集， 极点间距离越短，必然引起Δzi加大；反之，极 点间距离越大，Δzi越小。
(3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关
(1) 定点舍入情况
源自文库(2) 定点补码截尾情况
8.2.1 A-D转换量化噪声的定义
图8-3 A-D转换器的非线性模型
图8-4 A-D转换的统计模型
图8-5 量化噪声概率密度曲线 a) 舍入误差 b)补码截尾误差
(1) 定点舍入情况。
(2) 定点补码截尾情况
1) 信号功率越大，信噪比越高(但信号的幅度不能超过A-D转换器动态范 围)。 2) 随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB。
8.2.2 量化噪声通过线性系统
(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取样响应为h(n)。 (2) e(n)为舍入量化噪声，均值0。
(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取 样响应为h(n)。
图8-6 量化噪声通过线性系统
(2) e(n)为舍入量化噪声，均值0。
8.3 FFT定点制运算中的有限字长效应
(1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数越高系数量化效应的影响越
大，极点偏移也越大。
8.5.1 滤波网络中系数的量化效应
(1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。
如果系统采用定点补码制，尾数采用b位舍入法 处理，那么Δak变化范围为±q/2，q=2-b，均方 误差为q2/12。因此，为减小极点偏移应加大寄 存器的长度。
8.2 A-D转换的量化效应
8.2.1 8.2.2 A-D转换量化噪声的定义 量化噪声通过线性系统
8.2.1 A-D转换量化噪声的定义
A-D转换器是将模拟输入信号转换为b位二进制数字信号。分析A-D转换器 量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。一个A-D转换 器从功能上讲可以分为两部分：取样器与量化器。
(4) x<0,反码。
图8-1 定点截尾的量化特性
2.定点舍入
因为舍入处理不论正、负，也不论原、补、反 码，其误差总是在±2-b/2之间，即ER≤2-b/2， 其量化特性如图8-2所示。
图8-2 定点舍入的量化特性
3.浮点
在浮点制中截尾与舍入的处理只受尾数字长影 响，但所产生的绝对误差E=Q［x］-x却与阶码 有关。
8.6 系数量化对FFT的影响
8.1.4
截尾与舍入产生的误差
8.1.1 定点制表示及运算误差
小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定 点制。通常定点制把数限制在±1之间，即-1<x< 1。将整数的最后一位作为“符号位”，表示数 的正或负，在其后是小数部分，也称“尾数”。
8.1.2 浮点制表示及运算误差
定点制的不足是动态范围小，有溢出问题。而 浮点制克服了这个缺点，它有很大的动态范围。 浮点制将一个数表示为 x1=2c1M(8-5)
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
图8-10 浮点运算统计模型
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
图8-11 (i)实部浮点运算统计模型
8.5 系数量化对数字滤波器的影响
8.5.1 8.5.2 滤波网络中系数的量化效应 滤波网络中运算的量化效应
8.5.1 滤波网络中系数的量化效应
阶数越高系数量化效应的影响越大，极点偏移 也越大。为此，二阶以上的滤波器，最好不要 用直接型结构，而用一阶或二阶的基本网络进 行级联或并联来实现。
8.5.2 滤波网络中运算的量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应 2.FIR数字滤波器的运算量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应
8.1.3 负数表示法
1.原码 2.补码xc 3.反码x0
1.原码
二进制数的原码表示为x=［βΔβ1β2…βb］2 式 中，βΔ=0 x＞01 x＜0。 与二进制原码表示数对应的十进制数为 x=(-1) β∑bi=1βi2-i
2.补码xc
补码是用2的补数xc表示负数，xc的十进制的数 值计算公式为xc=2-x=2+x，则二进制负数的补码 一般表示为xc=［αΔα1α2…αb］2，式中αΔ=1。 对应的十进制数值为xc=-αΔ+∑bi=1αi2-i(8-6)
1.IIR滤波器的运算量化效应
图8-12 直接型舍入噪声统计模型
2.FIR数字滤波器的运算量化效应
(1) 舍入噪声不经过系统，所以输出噪声与系统的参数无关。 (2) 输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关，b越大，输出噪声方差越小。 (3) 输出噪声方差与阶数N(单位冲激响应长度)有关。
2.FIR数字滤波器的运算量化效应
图8-15 横截型FIR数字滤波器舍入噪声统计模型
8.6 系数量化对FFT的影响
由于系数量化误差与运算误差不同，所以了解FFT系数量化效应的影响是 十分必要的，但要精确分析还是比较困难的。基于此，本节将系数量化误 差等效为随机噪声，用统计的方法分析系数量化对FFT的影响。
8.6 系数量化对FFT的影响