第3章 动态规划_1
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
动态规划写课程设计
动态规划写课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解动态规划的概念、原理和应用场景。
2. 学生能掌握动态规划问题的解题步骤，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
3. 学生能运用动态规划解决经典问题，如背包问题、最长递增子序列等。
技能目标：1. 学生能够运用动态规划的思想分析问题，提高问题求解的效率。
2. 学生能够运用编程语言实现动态规划的算法，解决实际问题。
3. 学生能够通过动态规划的实践，培养逻辑思维和编程能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习动态规划，培养面对复杂问题时的耐心和毅力。
2. 学生在学习过程中，学会与他人合作、交流，培养团队协作精神。
3. 学生能够认识到算法在生活中的广泛应用，激发对计算机科学的兴趣和热爱。
课程性质：本课程为计算机科学或信息技术相关专业的核心课程，旨在培养学生解决实际问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的编程基础和算法知识，具有一定的逻辑思维能力。
教学要求：教师需结合实际案例，引导学生掌握动态规划的核心思想，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
同时，关注学生的情感态度价值观的培养，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：介绍动态规划的定义、特点和应用场景，使学生了解动态规划的核心思想。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：动态规划的定义、动态规划与分治、贪心算法的关系、动态规划的应用场景。
2. 动态规划解题步骤：讲解动态规划问题的解题方法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：状态定义、状态转移方程、边界条件、动态规划算法的设计方法。
3. 经典动态规划问题：通过分析经典问题，使学生掌握动态规划的应用。
教材章节：第三章 动态规划经典问题内容列举：背包问题、最长递增子序列、最长公共子序列、矩阵链乘、最优二叉搜索树。
4. 动态规划实践：结合编程实践，让学生动手解决实际问题，提高动态规划的应用能力。
2020年算法分析设计习题答案
第3章 动态规划
2. 石子合并问题 问题描述: 在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子. 现在要将石子有次序地合并 成一堆. 规定每次只能选相邻的2堆石子合并成一堆, 并将新的一堆石子数记为 该次合并的得分. 试设计一个算法, 计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和 最大得分. 算法设计: 对于给定n堆石子, 计算合并成一堆的最小得分和最大得分. 数据输入: 由文件input.txt提供输入数据. 文件的第1行是正整数n, 1n100, 表 示有n堆石子. 第2行有n个数, 分别表示n堆石子的个数. 结果输出: 将计算结果输出到文件output.txt, 文件第1行是最小得分, 第2行是最 大得分.
第五章 回溯
运动员最佳配对问题
问题描述: 羽毛球队有男女运动员各n人. 给定2个nn矩阵P和Q. P[i][j]是男运 动员i与女运动员j配混合双打的男运动员竞赛优势; Q[i][j]是女运动员i与男运 动员j配混合双打的女运动员竞赛优势. 由于技术配合和心理状态等各种因素 影响, P[i][j]不一定等于Q[j][i]. 男运动员i和女运动员j配对的竞赛优势是 P[i][j]*Q[j][i]. 设计一个算法, 计算男女运动员最佳配对法, 使得各组男女双方 竞赛优势的总和达到最大.
8.
若m[i,j]>t, 则m[i,j]=t; s[i,j]=k;
第3章 动态规划
再讨论圆周上的石子合并问题, 子结构[i:j]稍作修改 • 定义m[i][len]为合并第i堆到第i+len-1堆石子能得到的最少分数 • 当i+len-1>n时, 指跨过第n堆到第(i+len-1)%n堆,
仅sum函数需要修改
第2章 分治
2-8 设n个不同的整数排好序后存于T[1:n]中. 若存在一个下标i， 1 i n, 使得T[i]=i. 设计一个有效算法找到这个下标. 要求算 法在最坏情况下的计算时间O(log n).
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
运筹学第三版课后习题答案
运筹学第三版课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识，可以应用于各个领域，如物流管理、生产调度、供应链优化等。
而《运筹学》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和应用。
本文将针对该教材的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握运筹学的知识。
第一章：线性规划1. 习题1.1：求解线性规划问题的常用方法有哪些？答：求解线性规划问题的常用方法包括单纯形法、对偶理论、整数规划等。
其中，单纯形法是最常用的方法，它通过迭代寻找目标函数值最小（或最大）的解。
2. 习题1.2：什么是线性规划的对偶问题？如何求解线性规划的对偶问题？答：线性规划的对偶问题是指通过原始问题的约束条件构造一个新的问题，该问题的目标是最大化（或最小化）原始问题的目标函数值。
求解线性规划的对偶问题可以使用对偶理论，通过将原始问题转化为对偶问题的等价形式，再利用对偶问题的特性进行求解。
第二章：整数规划1. 习题2.1：什么是整数规划问题？与线性规划问题有何不同？答：整数规划问题是指决策变量的取值必须为整数的线性规划问题。
与线性规划问题相比，整数规划问题的解空间更为有限，求解难度更大。
整数规划问题在实际应用中常常涉及到资源的离散分配、路径选择等问题。
2. 习题2.2：列举几个整数规划问题的应用场景。
答：整数规划问题的应用场景包括生产调度、物流路径优化、设备配置等。
例如，在生产调度中，需要确定每个生产批次的数量和时间，以最大化产能利用率和最小化生产成本。
第三章：动态规划1. 习题3.1：什么是动态规划？它的基本思想是什么？答：动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。
其基本思想是利用子问题的解构建全局最优解，从而避免重复计算和提高求解效率。
2. 习题3.2：动态规划在哪些问题中有应用？答：动态规划在最短路径问题、背包问题、序列比对等问题中有广泛的应用。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
《计算机算法设计与分析》第三章动态规划法
发展历程及现状
发展历程
动态规划的思想起源于20世纪50年代，由美国数学家Richard Bellman提出。随着计 算机科学的发展，动态规划在算法设计和分析领域得到了广泛应用和深入研究。
第六章
总结与展望
动态规划法在计算机科学中重要性
高效求解最优化问题
动态规划法通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解，避免了大量重复计算，从而高效地求解最优化问题。
广泛应用
动态规划法在计算机科学、经济学、生物信息学等领域都有广泛应用，如背包问题、最短路径问题、序列比对问题等。
提供算法设计框架 动态规划法不仅为解决特定问题提供了有效方法，而且为算法设计提供了一个通用框架，有助于理解和设 计更复杂的算法。
现状
目前，动态规划已经成为计算机算法设计和分析领域的重要工具之一。在实际应用 中，许多复杂的问题都可以通过动态规划的方法得到有效的解决。同时，随着计算 机技术的不断发展，动态规划的应用领域也在不断扩展。
第二章
动态规划法基本原理
最优子结构性质
在动态规划法中， 子问题之间是相互 独立的，即一个子 问题的求解不会影 响到其他子问题的 求解。这使得动态 规划法能够避免重 复计算，提高算法 效率。
学习相关算法和技术
学习与动态规划法相关的其他算法 和技术，如贪心算法、分治法等， 以便在实际问题中灵活应用。
关注最新研究进展
关注计算机科学和算法设计领域的 最新研究进展，了解动态规划法的 新发展和应用，保持对新技术的敏 感性和好奇心。
THANKS
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基本思想
第3章 动态规划
7
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B 和 C 的乘积并加括号，即 A = (BC )
设有四个矩阵 它们的维数分别是： A, B, C , D，它们的维数分别是：
10
矩阵连乘问题
给定n 给定n个矩阵 { A1 , A2 ,..., An } ， 其中 Ai 与 Ai +1 是可乘 考察这n 的， i = 1,2,..., n − 1 。考察这n个矩阵的连乘积
A1 A2 ... An
由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以 由于矩阵乘法满足结合律， 有许多不同的计算次序。 有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号 的方式来确定。 的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定， 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该 连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩 连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2 阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
管理运筹学第3章：动态规划
B
fn*(Sn)
=
min [dn(sn,xn)+ fn+1*(Sn+1)
]， n=4、3、2、1
xn∈Dn(Sn) f5*(S5) = min [r5(s5,x5)] x5∈D5(S5) 三、求解过程：
用反向嵌套递推法：从最后一个阶段开始，依次对各子过程寻优，直至获得全过程的最优， 形成最优策略，获得最优策略指标值。
4
3.3 DP建模及求解
一、建模条件：
决策过程本身具有时顺序性或可以转化为具有时序性的决策问题， 均可建立动态规划数学模型求解。
二、典型动态决策问题建模及其求解
1、最短路线问题
例1：求下列图中A到F的最短路线及最短路线值。
B1 3 A 4 B3 5 4 B2
9 5
C1 8 C2
1 5
D
1
4 2 E1 1 F 2 E2 5
5
3
4 6
D
2
6 9 7
5
1 7 C3 4 2
4
D
3
B1 3 4
9 5
C1 8
1 5
D
1
4
2
A 4
5
B2
5 1 B3 7
3
C2
4 6
D
2
6 9 7 5
E1
1 F 24 C3 24E2D
3
1、阶段(stage)n： n = 1、2、3、4、5。 2、状态(state)Sn： S1={A}，S2={B1,B2,B3}，S3={C1,C2,C3}，S4={D1,D2,D3}，S5={E1,E2}。 3、决策(decision)Xn：决策集Dn(Sn)。 D1(S1)={X1(A)}={B1,B2,B3}= S2， D2(S2)={X2(B1),X2(B2),X2(B3)}={C1,C2;C1,C2,C3 ;C2,C3 }={C1,C2,C3}=S3， D3(S3)={X3(C1),X3(C2),X3(C3)}={D1,D2;D1,D2,D3; D1,D2,D3}={D1,D2,D3}=S4， D4(S4)={X4(D1),X4(D2),X4(D3)}={E1,E2;E1,E2;E1,E2}={E1,E2}=S5， D5(S5)={X5(E1),X5(E2)}={F;F}={F}。 4、状态转移方程：Xn = Sn+1 5、指标函数(距离)：dn(sn,xn)。 d2(B3,C2)=1, d3(C2,D3)=6 等。 6、指标递推方程：fn*(Sn) = min [rn(sn,xn)+ fn+1*(Sn+1) ]， n=4、3、2、1
第三章__政策研究的资料搜集与分析方法
第三章政策研究的资料搜集与分析方法第一节研究方式的类型划分及其选择一、基本研究方式公共政策的基本研究方式的划分所依据的是研究方式的自身特征。
实验研究、调查研究和非介入性研究更多地表现出定量研究的特征，比较集中地体现了实证主义方法论的思想，而实地研究则更多地表现出定性研究的特征，更多的体现出人文主义方法论的思想。
1.调查研究2.实验研究3.实地研究4.非介入性研究二、研究方式的选择公共政策研究中研究方式的选择涉及许多理论和方法论问题，也涉及不同理论的研究范式。
在实际应用中，常常是因人而异、因事而异、因地而异，很难有一个统一的标准。
研究方法本身只是研究的一个手段，应该为一定的研究目的服务。
一般来说，研究方式的选择往往根据以下三项原则：研究对象优先，研究结果优先，方法资源优先。
1.研究对象优先2.研究结果优先3.方法资源优先第二节一手资料的搜集与分析（上）一、抽样调查的常用术语1.总体和样本2.抽样框和抽样单元3.参数值和统计值4.重复抽样和不重复抽样5.信度和效度二、概率抽样调查1.简单概率抽样2.系统抽样3.分层抽样4.整群抽样5.多段抽样三、非概率抽样调查1.偶遇抽样2.判断抽样3.定额抽样4.雪球抽样四、概率抽样和非概率抽样调查资料的收集方法政策调查资料的收集方法主要分为自填问卷法和结构访问法。
问卷一般包含以下几个部分：封面信，指导语，问题及答案，其他资料等四部分。
1.自填问卷法2.结构访谈法第三节一手资料的搜集与分析（下）一、无结构访谈法无结构访谈法又称深度访谈法，是一种非标准化、非格式化的政策研究资料的收集方法。
按照访谈对象人数的不同，无结构访谈法大致可以分为个别访谈和集体访谈两大类。
1.个别访谈法2.集体访谈法集体访谈的常见形式是：焦点团体座谈会、头脑风暴法、德尔菲函询法等。
二、实地观察法公共政策过程中的实地研究首先以深入实地进行政策资料的搜集、整理和分析为前提。
通常分为选择政策研究背景、获准进入、取得信任和建立友善关系、收集资料（观察和访谈）、整理和分析资料、报告政策研究成果等几个主要阶段。
算法设计与分析_第3章_动态规划1
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题：
如果子问题不是相互独立的，分治方法将重复 计算公共子问题，效率很低，甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案：动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
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引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解，每个解对应一个 值，需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
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矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式，可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别 是： A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500
第3章 动态规划_jlwan12讲解
O(n) 2(2n1 1) 2n1
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复杂性高的原因：子问题重复计算
n=5，计算子问题：81个；不同的子问题：15个
子 1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 1-2 2-3 3-4 4-5 1-3 2-4 3-5 1-4 2-5 1-5
问 题
数 8 12 14 12 8 4 5 5 4 2 2 2 1 1 1
设计一个动态规划算法，通常可以按以下几 个步骤进行：
（1）刻画最优解的结构特性； （2）递归定义最优解值； （3）以自底向上方式计算最优解值； （4）根据计算得到的信息构造一个最优解。
其中，第（1）至（3）步是动态规划算法的 基本步骤。最优解值是最优解的目标函数的值。
使用动态规划技术的条件:优化原则
n1
T(n) O(n) T(k) T(n k) O(n) 2 T(k)
k 1
k 1
k 1
数学归纳法证明 T(n)2n1
n=2,显然为真
假设对于任何小于n 的 k 命题为真, 则
T
(
n)
O(n)
n1
2 T
(k
)
O(n)
n1
2
2
k
1
k 1
k 1
(3) 列出关于优化函数的递推方程 (或不等式)和边界条件 (4) 考虑是否需要设立标记函数 (5) 自底向上计算，以备忘录方法 (表格)存储中间结果
18
3.3.1 投资问题
m 元钱，n 项投资，fi (x): 将 x 元投入第 i 项项目的效益 目标函数 max {f1(x1) + f2(x2) + … + fn(xn) } 约束条件 x1 + x2 + … + xn = m，xi N 实例：5万元钱，4个项目，效益函数如下表所示
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了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
• 多阶段决策问题： 指这样的一类特殊的活动过程，问题可 以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段
都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。要使整 个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
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第3章 动态规划
3
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第3章 动态规划
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§3.1 矩阵连乘问题
两个矩阵相乘
若 A 是一个 p q 矩阵， B 是一个 q r 矩阵， 则其乘积 C AB 是一个 p r 的矩阵。
q
Cij Aik Bkj
k 1
q
1 i p,1 j r
计算C需要多少次数乘？
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第3章 动态规划
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动态规划的基பைடு நூலகம்要素
1)最优子结构性质 2)子问题重叠性质
最优化原理：一个最优化策略的子策略总是最优的。
一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
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B
I
J'
J
C
如图，若路线I和J是A到C的最优 路径，则根据最优化原理，路线J
动态规划
最优化原理
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第3章 动态规划
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• 动态规划(dynamic programming)属运筹学中的规划论分支， 是求解决策过程最优化的数学方法。 20 世纪 50 年代初美国 数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题 时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality) ， 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立
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第3章 动态规划
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动态规划的特点
※ 动态规划法用于最优化问题，这类问题会有多 种可能的解，而动态规划找出其中最优值的解。 若存在若干个取最优值的解的话，它只取其中 的一个。 ※ 对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加 以求解，并把答案保存起来，以后再遇到时不
必重新求解。
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第3章 动态规划
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动态规划的基本思想
与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题
分解成若干个子问题，先求解子问题，然后
从这些子问题的解得到原问题的解。
☻与分治法不同的是，适合用动态规划求解的问题，
经分解得到的子问题往往不是相互独立的。
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第3章 动态规划
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例如，矩阵连乘积A1A2A3 A4可以有以下5种不同的 完全加括号方式： (A1(A2(A3A4)))， (A1((A2A3)A4)), ((A1A2)(A3A4)), ((A1(A2A3))A4), (((A1A2)A3)A4)。 每一种完全加括号方式对应于一种矩阵连乘积的 计算次序，而这种计算次序与计算矩阵连乘积的 计算量有着密切的关系。
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第3章 动态规划
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4.构造最优解
( A1 ( A2 A3 ) ) ((A4 A5 ) A6 )
练习：设n=5和 p=(10, 5, 1, 10, 2, 10)，求矩阵 连乘积问题最优值。
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第3章 动态规划
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1 0
2 1 0
3 1 2
4 3 3 3 0
5 3 3 3 4 0
6 3 3 3 5 5 0
0
S[i][j]
(( A4 A5 ) A6 ) ( A4 ( A5 A6 ))
5 10 20 5 20 25 3500 10 20 25 5 10 25 6250
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第3章 动态规划
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为方便起见，定义下列的符号：
矩阵连乘积 Ai Ai 1 A j
A[i : j ]
m[i][ j ]
A[i : j ] 最少数乘次数
A[1 : n]
m[1][ n]
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第3章 动态规划
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1.分析最优解的结构
反证法
最优子结构
第3章 动态规划
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m[ 4][ 4] m[5][ 6] p3 p4 p6 0 5000 1250 m[ 4][ 6] min m[ 4][5] m[6][ 6] p3 p5 p6 0 1000 2500 min{6250 ,3500 } 3500
100 5 50 10 100 50 75000
=7500
A1 ( A2 A3 )
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第3章 动态规划
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矩阵连乘问题
给定 n 个矩阵 { A1 , A2 , , An } ，求矩阵 连乘积的最优计算次序。
??
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第3章 动态规划
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可以表示为： n=6，p=(30, 35, 15, 5, 10, 20, 25)
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第3章 动态规划
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1 2 3 4 5 6 0 15750 7875 9375 11875 15125 0 2625 4375 7125 10500 0 750 2500 5375 0 1000 0 3500 5000 0
• 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动 态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态 规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引 进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以 用动态规划方法方便地求解。 • 应用广泛：经济管理、生产调度、工程技术和最 优控制。例如最短路线、库存管理、资源分配、 设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法 比用其它方法求解更为方便。
A
必是从B到C的最优路线。
'
反证法证明：假设有另一路径 J 是 B 到 C 的最优路径， 则 A 到 C 的路线取 I 和 J 比 I 和 J 更优，矛盾。
'
***最优化原理是动态规划的基础。
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第3章 动态规划
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一般来说，只要该问题可以划分成规模更小 的子问题，并且原问题的最优解中包含了子 问题的最优解（即满足最优化原理），则 可以考虑用动态规划解决。
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2.建立递归关系
A[i : j ]
1)
i j
单一矩 阵
m[i][i] 0
2)
i j
Ai Ai 1 Ai 2 A j 1 A j
m[i][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j
( j i)
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第三章
动态规划
Dynamic Programming
掌握动态规划算法的基本要素 掌握设计动态规划算法的步骤 通过应用范例学习动态规划算法设计策略
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第3章 动态规划
1
T max c x LP : s.t. Ax b x0
20世纪50年代
美国数学家R. E. Bellman等人
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T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2 n/2 n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
避免大重复计算
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第3章 动态规划
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动态规划的实质 动态规划的实质是分治思想和解决冗余。
1) 一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题。 2) 存储子问题的解而避免计算重复的子问题。 主要特点: 问题分解；采用表格技术，用多项式 算法代替指数算法；空间换取时间
设A[1 : n] A[1 : k ] A[k 1 : n] 为最优计算次序， 若存在一个计算次序 A ' [1 : k ] 其需要的计算量更少
令
A[1 : n] A' [1 : k ] A[k 1 : n]
矛 盾
矩阵连乘积计算次序问题具有最优子结构性质， 即最优解包含着子问题的最优解。
用动态规划算法解问题，可依据其递归式以自底向上
的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题答案。
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第3章 动态规划
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例1.计算矩阵连乘积A[1:6]，其中各矩阵的维数分别为：
A1
j 1
i 1 2 3 4 5 6
A2
2 3 4 5
A3
A4
A5
A6
30 35 35 15 15 5 5 10 10 20 20 25
第3章 动态规划
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2.建立递归关系
单一 矩阵
0 i j m[i][ j ] min { m [ i ][ k ] m [ k 1 ][ j ] p p p } i j i 1 k j i k j
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第3章 动态规划
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3.计算最优值
pqr
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第3章 动态规划
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三个矩阵连乘
三个矩阵 A1 , A2 和 A3 的维数分别为10 100,100 5 和 5 50 ， 计算 ( A1 A2 ) A3 和 A1 ( A2 A3 ) 需要的数乘次数？
( A1 A2 ) A3
10 100 5 10 5 50
m[2][ 2] m[3][5] p1 p 2 p5 0 2500 35 15 20 13000 m[2][5] min m[2][3] m[4][5] p1 p3 p5 2625 1000 35 5 20 7125 m[2][ 4] m[5][5] p p p 4375 0 35 10 20 11375 1 4 5