导数计算习题课

法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1 x2
例2:求下列函数的导数 (1)y=tan3x;
(2) y 5 x
1 x
(3) y (2x2 3) 1 x2
⑷ y 1 xn (n N*)
1 x
解: （4）
y
(1
xn)(1 x) (1 (1 x)2
x n ) (1
x)
nxn1(1 x) (1 xn )
(1 x)2
9
9 8 4 x2
k2
y
|x3
2 3
.
9
因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
135
(3x (6x
4)2 7)4
(4) y sin2 ax cosbx (4) a sin 2ax cosbx
bsin2 ax sin bx
导数的性质
例3：求证：可导的偶函数的导函数为奇函数; 可导的奇函数的导函数为偶函数”.
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: f (x)(x) f (x) f (x) f (x) 故 f ( x)为奇函数. 同理可证另一个命题.
⑷ y 1 xn (n N*) 1 x
(1)
y
3(tan
x)2
(tan
x)
3(
sin cos
x )2 x
1 cos2
x
3sin2
x
sec4
x.
（2）y
1(
x
4
)5
5 1 x
( x ) 1 x
1(
x
4
)5
5 1 x
1 (1 x)2
1
4
x5
(1 6Biblioteka x) 5.5
例2:求下列函数的导数 (1)y=tan3x;
回顾与总结
1.常见函数的导数公式.
(C) 0 (C 为常数)
( xn ) nxn1 ( n 为有理数)
(sin x) cos x (cos x) －sin x
(a x ) a x ln a (a 0，a 1)
特殊地 (e x ) e x
(loga
x)
1 x
log a
e
1 x ln a
(a 0,且a 1)
特殊地 (ln x) 1 x
回顾与总结
2.导数的四则运算法则.
[ f (x) g(x)]' f (x) ' g(x) '
[ f (x) g(x)]' f (x) ' g(x) f (x) g(x) '
[ f (x)]' g(x)
f (x) ' g(x) f (x) g(x) ' [ g ( x)]2
(3)
12u5
12 (1 3x)5
.
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
(3) y (1 sin2 x)4
解: （3）设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
yx yu uv vx (u4 )u (1 v2 )v (sin x)x 4u3 2v cos x 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4(1 sin2 x)3 sin2x .
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
yx 4(1 sin2 x)3（ 1+sin2 x）’ 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4sin 2x (1 sin2 x)3 .
例2:求下列函数的导数 (1)y=tan3x;
(2) y 5 x
1 x
(3) y (2x2 3) 1 x2 解:
(2) y 5 x
1 x
(3) y (2x2 3) 1 x2
⑷ y 1 xn (n N*)
1 x
解:
1
（3）y (2x2 3) 1 x2 (2x2 3)(1 x2 )2 ;
y
4x(1
x2
1
)2
(2x2
3)
1
(1
x
2
)
1 2
2x
2
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x .
类似地:可导的周期函数的导函数也是周期函数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: f (x T )(x T ) f (x),即 f (x T) f (x). f (x) 也是以T为周期的周期函数.
例4:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直.
1 nxn1 (n 1)xn
(1 x)2
课堂练习
求下列函数的导数:
(1) y 3 ax2 bx c 1
(2) y 1 2x2
(3) y (3x 4)3 6x 7
(1)
y
(2ax b) 3 ax2 3(ax2 bx
bx c)
c
(2) y
2x
(1 2x2 ) 1 2x2
(3)