最新2020年内蒙古通辽市中考数学试卷及答案

A．B．
C．D．
7．（3分）（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）
A．108°B．72°C．54°D．36°
8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（）
A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE
9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）
A．18 B．50 C．12 D．
10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．
A．B．C．D．1
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：
（1）（3.14﹣π）0＝；
（2）2cos45°＝；
（3）﹣12＝．
12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中
（1）众数是；
（2）a的值是；
（3）方差是．
13．（3分）（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，
拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．
15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．
16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．
17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC 上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．
三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）（2020•通辽）解方程：．
19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．
20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．
23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．
24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求A，B型服装的单价；
（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2020年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万
【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．
故选：B．
2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）
A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积
C．2a是单项式D．2a是偶数
【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；
B.2a是2和数a的积，说法正确；
C.2a是单项式，说法正确；
D.2a不一定是偶数，故原说法错误．
故选：D．
3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）
A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨
【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；
C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；
D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α＝∠β，故本选项错误；
C．∠α＝∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1
【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；
k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≤1，
故选：D．
6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．
C．D．
【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．
故选：B．
7．（3分）（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）
A．108°B．72°C．54°D．36°
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，
由圆周角定理得，∠C∠AOB＝54°，
故选：C．
8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（）
A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE
【解答】解：添加∠BAC＝90°时，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD BC＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；
添加∠DAE＝90°，
∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；
添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；
添加AB＝AE，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝AE，
∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；
故选：A．
9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）
A．18 B．50 C．12 D．【解答】解：延长DA、交x轴于E，
∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，
∴∠CAB＝∠AOE，
∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠ABC
∴△AOE∽△CAB，
∴（）2，
∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，
∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，
∴（）2，
∴S△AOE＝9，
∵双曲线y经过点A，
∴S△AOE|k|＝9，
∵k＞0，
∴k＝18，
故选：A．
10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．
A．B．C．D．1
【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；
故随机抽取一个是真命题的概率是，
故选：C．
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：
（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；
（2）2cos45°＝；
（3）﹣12＝﹣1 ．
【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；
（2）2cos45°；
（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．
故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．
12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中
（1）众数是 3 ；
（2）a的值是 1 ；
（3）方差是．
【解答】解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；
（2）（3×3+a+5）＝3×5，
解得，a＝1，
（3）S2[（1﹣3）2+（5﹣3）2]，
故答案为：3，1，．
13．（3分）（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是121°42′32″．
【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，
故答案为：121°42′32″．
14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3 个小正方形．
【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，
第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，
第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，
…，
∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，
第n个正方形有（n+1）2个小正方形，
故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．
故答案为：2n+3．
15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12 个人．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
（1+x）2＝169
1+x＝±13
x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．
【解答】解：如图，连接BQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，
∴∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，
∴∠ABQ＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴PB2+AP2＝2CP2，
故答案为：PB2+AP2＝2CP2．
17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC 上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为7 ．
【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，由图②知，当点P与点B重合时，
y＝PA+PE＝AB+BE＝AB AB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，
则该菱形的高为AB＝3，
点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，
∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，
而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2，
则PC4，
此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），
则a+b＝3+4＝7．
故答案为7．
三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）（2020•通辽）解方程：．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，
2x＝3x﹣6，
解得x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，
所以x＝6是分式方程的解．
因此，原分式方程的解是x＝6．
19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），
∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），
答：这栋楼高BC约为270米．
20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
【解答】解：（1）（﹣2）※（﹣2）2（﹣2）34233；
（2）3※m≥﹣6，
则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，
解得：m≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，
所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，
所以取出的3个小球上全是奇数的概率．
22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．
【解答】证明：连接AC、BC，如图，
∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△APC∽△BPD，
∴PC：PB＝PA：PD，
∴PC•PD＝PA•PB，
∵PC2＝PB•PA，
∴PC＝PD，
∵AB为直径，
∴AB⊥CD．
23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．
【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），
即在这次调查中，共调查了100名学生；
（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），
爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）800÷40%＝2000（名），
答：该校学生总数大约有2000名．
24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求A，B型服装的单价；
（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
【解答】解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．
（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，
依题意，得：60﹣m≥2m，
解得：m≤20．
设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，
∵k＝﹣50，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元货款．
25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×636；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6矩形ABDE的面积＝63654，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．。