小学奥数解题技巧精讲60讲汇总
[全]小学奥数18个解题方法解析(含例题)
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[全]小学奥数18个解题方法解析(含例题)解题方法1--分类分类是一种很重要的数学思考方法,特别是在计数、数个数的问题中,分类的方法是很常用的。
例1:可分为这样几类:(1)以A为左端点的线段共4条,分别是:AB,AC,AD,AE;(2)以B为左端点的线段共3条,分别是:BC,BD,BE;(3)以C为左端点的线段共2条,分别是:CD,CE;(4)以D为左端点的线段有1条,即DE。
一共有线段4+3+2+1=10(条)。
还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
(1)只含1条基本线段的,共4条:AB,BC,CD,DE;(2)含有2条基本线段的,共3条:AC,BD,CE;(3)含有3条基本线段的,共2条:AD,BE;(4)含有4条基本线段的,有1条,即AE。
例2:有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位:厘米)的木棒足够多,选其中三根作为三条边围成三角形。
如果所围成的三角形的一条边长为11厘米,那么,共可围成多少个不同的三角形?提示:要围成的三角形已经有一条边长度确定了,只需确定另外两条边的长度。
设这两条边长度分别为a,b,那么a,b的取值必须受到两条限制:①a、b只能取1~11的自然数;②三角形任意两边之和大于第三边。
1、11 ;一种2、11 ;2、10;二种3、11;3、10;3、9 ;三种4、11;4、10;4、9;4、8 ;四种5、11;5、10;5、9;5、8;5、7 ;五种6、11;6、10;6、9;6、8;6、7;6、6;六种7、11;7、10;7、9;7、8;7、7;五种8、11;8、10;8、9;8、8;四种9、11;9、10;9、9;三种10、11;10、10;二种11、11;一种总计:1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题,如果一时感到无从下手,我们不妨把问题尽量简单化,在不改变问题性质的前提下,考虑问题最简单的情况(化大为小),从中分析探寻出问题的规律,以获得问题的答案。
小学奥数必备技巧快速计算术

小学奥数必备技巧快速计算术我们都知道,奥数在小学生中流行起来,不仅可以提高学生的计算能力,还能让他们更好地理解数学。
而其中最基本的技巧是快速计算术。
在本文中,我将介绍一些小学奥数必备的快速计算技巧。
一、心算技巧1. 乘以11的技巧当我们计算一个两位数乘以11时,只需要将这个两位数的个位数和十位数相加,然后将得到的和放在两个原来的数字中间即可。
例如,42乘以11等于442。
2. 平方技巧计算一个数字的平方时,可以使用以下技巧。
如果这个数字是以5结尾,那么平方结果的个位数为25,十位数为这个数字的个数加1。
例如,35的平方等于1225。
3. 百分之几的技巧当我们计算一个数的百分之几时,可以将这个数除以100,然后再乘以需要计算的百分比。
例如,75的百分之20等于75/100*20=15。
二、口算技巧1. 快速加法当我们做加法运算时,有一些技巧可以帮助我们更快地计算。
首先,我们可以先计算出十位数的和,然后再计算个位数的和。
例如,57加上38,我们可以先计算出50加上30等于80,然后再计算7加上8等于15,最后将80和15相加得到95。
2. 快速减法减法的口算技巧也是很重要的。
当我们计算一个较大数减去一个较小数时,可以通过借位来计算。
例如,86减去49,我们可以先从9借1,变成76减去40等于36,然后再将1和9相减等于8,最后将36和8相加得到44。
三、记忆技巧1. 九九乘法口诀九九乘法口诀是小学生必备的记忆技巧之一。
通过背诵九九乘法口诀,我们可以更快地计算乘法。
例如,7乘以8等于56。
2. 十进制的换算小数与百分数的换算也是小学奥数中重要的一部分。
我们可以通过记忆一些常见的小数与百分数的换算关系来更快地计算。
例如,0.5等于50%。
以上介绍的技巧只是小学奥数中一部分必备的快速计算术技巧,通过学习和练习这些技巧,小学生们可以在计算时更加高效和准确。
希望大家能够善用这些技巧,提高自己的计算能力,更好地掌握数学。
小学奥数解题技巧 第60讲 四则计算

小升初数学解题技巧 第60讲 四则计算
【例题】:计算1+2-3-4+5+6-7-8+……+1990。
讲析:观察发现,形于“2-3-4+5”的结果为0,于是可分组计算为 原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…… +(1986-1987-1988+1989)+1990 =1+1990 =1991
小升初数学 总复习
小学数学奥数解题技巧
第六十讲 四则计算
1
小升初数学解题技巧 第60讲 四则计算
讲析: 当把两个带分数化成假分数时,分子都是65。于是,第一 个括号中可提出一个65,第二个括号中可提出一个5,能使计 算变得比较简便。
同步教材视频
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小升初数学解题技巧 第60讲 四则计算
用字母代替去计算。
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小升初数学解题技巧 第60讲 四则计算 【例题】 计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99
讲析:可分组进行计算。注意到每相邻两数的差,可计算为 原式=(0.1+0.3+……+0.9)+(0.11+0.13+0.15+……+0.99)
=27.25
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小学奥数精讲:对策问题之必胜策略

小学奥数精讲:对策问题之必胜策略小学奥数精讲:必胜策略对策问题知识点总结:1.一取余制胜(取棋子,报数游戏)1.1.每次取1~n个棋子,总数,取最后一个赢策略:总数÷(1+n)如果有余数,先拿必胜,拿掉余数,之后总与对手凑成1+n即可。
如果无余数,则后拿,总与对手凑成1+n即可。
1.2.每次取1~n个棋子,总数,取最后一个输策略:最狠的做法就是留给对方一枚棋子,对方不取也得取。
所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为:每次取1~n个棋子,总数,取倒数第二枚棋子赢。
(总数-1)÷(1+n),之后同1中做法。
2.抢占制胜点(倒推法)2.1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2.2.处处为别人着想。
自己不能走的地方逼别人走进去即可,即确定制胜点。
3.对称法3.1.同等情况下,模仿对方步骤可以达到制胜目的。
3.2.不同等情况下,创造对等局面方可制胜。
例题:1.桌子上放着100根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~5根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?分析:100÷(1+5)=16……4,有余数,先拿必胜。
甲先拿4个;乙拿a个,甲就拿6-a个。
2.甲乙两人轮流报数,报出的数只能是1~7的自然数。
同时把所报数一一累加起来,谁先使这个累加和达到80,谁就获胜。
请问必胜的策略是什么?分析:80÷(1+7)=10,无余数,后拿必胜。
甲拿a个,乙就拿8-a个必胜。
3.1000个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。
规定将棋子移到最后一格者谁赢。
甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?分析:(1000-1)÷(1+7)=124……7,有余数,先走必胜。
甲先走7格;乙走a格,甲就拿8-a个必胜。
4.5张扑克牌,每人每次只能拿1张到4张。
谁取最后一张谁输。
必胜的策略是什么?分析:先拿4张,留给别人1张就行。
小学奥数精讲 换元法

对于六年级的同学来说,分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合,更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容,通称“分数计算之三大绝招”.考察近年来的小升初计算部分,分数计算成为热点.可以这么说:“一道非常难的分数运算,要么是裂项,要么是换元,要么是通项归纳.如果都不是,那它一定是比较简单的分数小数混合运算.”三、换元思想解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简.【例 1】计算:1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=,111246b++=,则:原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++,则原式化简为:1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算:621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=;739458358947b+=,原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算:(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++,0.210.3210.43210.54321y =+++,原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯,2试 【解析】 换元的思想即“打包”,令7.88 6.77 5.66a =++,9.3110.98b =+,则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
精选小学奥数计算题精讲

精选小学奥数计算题精讲数学不仅是一门科学,而且是一种普遍适用的技术。
它是科学的大门和钥匙,学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施,数学本身也有自身的乐趣。
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【篇一】1.如果不动脑筋找技巧,用我们手中小小的电子计算器做加法计算也非常麻烦.例如,计算9+10+11+12=?就要按11次键(想一想为什么?)像这样,计算:1+2+3+4+……+98=?一共要按多少次键?2.某人闲着无事,在纸上从9一直写到309,它一共写了多少个数字?3.自然数从1到n,共用了942个数字,n是几?4.有一天,妈妈回家想考一考聪明的儿子,于是妈妈说:“儿子,你说从3开始连续写到某个自然数,共写了430个数字,那么这个自然数是几?5.在1、2、3、4、5……499、500.问数字“2”在这些数中一共出现了多少次?6.在1~608中,数字“0”共出现多少次?7.在1、3、5、7、……、1999、2001这个数列中,数字“5”一共出现了多少次?8.在2、4、6、8、10、……、200、202这个数列中,“4”共出现多少次?[方法归纳]在进行整数计数问题的解答时,关键要弄清位数与数位、位数与数字个数的关系,这样才能很快地做出每一道题.【篇二】1.1+2+3+……+8+9+10=2.1+3+5+……+17+19=3.1+2+3+……51+52+……+99+100=4.1+3+5+……51+53+……+97+99=5.2+4+6+……50+52+……+98+100=6.3+6+9+……+51+54+57+……+96+99=7.5+10+15+……+50+55+……+95+100=8.1+4+7+……+52+55+58+……+97+100=9.小添添家的时钟每整点时就敲钟,而敲的数目和当时的时间是一样的,而且在两个整点中还会敲一下,这时时钟一天内共敲多少下?10.有一列数:19、22、25、28……,这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?【篇三】1.计算:2008+2007-2006-2005+2004+2003-2002-2001+2000+1999-1998-1997+……+4+3-2-1分析:算式中共有2008个数,观察可以发现,我们可以把4个看成一组,原式=(2008+2007-2006-2005)+(2004+2003-2002-2001)+……+(4+3-2-1)=4+4+……+4(有2008÷4=502个4)=4×502=20082.计算:31.4×36+64×43.9分析:31.4×36+64×(31.4+12.5)=3140+64×12.5=3940先讲解31.4×36+64×31.4提取公因式后得3140,这样发现36和64是我们想求和的,所以先从后面的43.9中分解出31.4。
小学奥数全能解法及训练精讲-周期循环与数表规律

平年
闰年
一年有365天。 年份不能被4整 除;如果年份能 被100整除,但 不能被400整除。
一年有366天。 年份能被4整除; 如果年份能被100 整除,则年份必须 能被400整除。
精讲4
解法精讲
典例精析
例1 8名队员围成一圈做传球游戏,从⑴号开始,按顺时针方
向向下一个人传球。在传球的同时,按顺序报数。当报到
76时,球在几号队员手上?
思
1
路
8
分
2
析7
3
6
4
5
答案揭秘
76 ÷8=9 …4 余数是4 球应在4号队员手上。
例2
某年的二月份有五个星期日,这
年六月一日是星期____。
根据4×7=28,这年 二月份应为29天,2 月1日和2月29日均 为星期天,所以3月 1日为星期一。
思路 分析
答
从三月一日到六月一日共有:
小学奥数全能解法及训练
周期循环与数表规律
精讲1
周期
解法精讲
意义:我们把连续两次出现 所经过的时间叫周期。
现象:事物在运动变化的过程中, 某些特征有规律循环出现。
关键:确定循环周期。
精讲2
解题 思路
1
正确理解 题意,从 中找准变 化规律。
2
利用这些 规律作为 解题的依 据。
3
确定解题 的突破口。
精讲3
12月5日是星期日。
周期循环与数表规律
意义
现象
应用
规律总结
7颗珠子为一个 周期,75颗珠 子总共循环了 10次。
练习2
1989年12月5日是星期二,那么再 过十年的12月5日是星期__日____。
推荐小学奥数问题精讲(精心整理)

推荐小学奥数问题精讲(精心整理) XXX奥数教学如何学好奥数?1、直观画图法:解奥数题时,如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来,将抽象的数量关系形象化,可使同学们容易搞清数量关系,沟通“已知”与“未知”的联系,抓住问题的本质,迅速解题。
2、倒推法:从题目所述的最后结果出发,利用已知条件一步一步向前倒推,直到题目中问题得到解决。
3、枚举法:奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目,用普通的方法很难列式解答,有时根本列不出相应的算式来。
我们可以用枚举法,根据题目的要求,一一列举基本符合要求的数据,然后从中挑选出符合要求的答案。
4、正难则反:有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难,那么你可以改变思考的方向,从结果或问题的反面出发来考虑问题,使问题得到解决。
5、巧妙转化:在解奥数题时,经常要提醒自己,遇到的新问题能否转化成旧问题解决,化新为旧,透过表面,抓住问题的实质,将问题转化成自己熟悉的问题去解答。
转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。
6、整体把握:有些奥数题,如果从细节上考虑,很繁杂,也没有必要,如果能从整体上把握,宏观上考虑,通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系,“只见森林,不见树木”,来求得问题的解决。
第一讲第一题:时钟问题有一个一直每小时快20秒,它3月1日中午12点准确,下一次准确的时间是什么时间?(5月30日12时)答:一圈快20x12=240秒=4分,一共要快几圈才会正好对准标准时间12x60÷4=180(圈),换算成是几日180x12=2160时=90日,3月1日中午12时+90日=5月30日12时第二题:几何问题如图,ABC是等腰直角三角形,D是半圆周的中点,BC 是半圆的直径.AB=BC=10,那么阴影局部的面积是几何?(圆周率取3.14)1 -答:第三题:和差倍问题答:假设杨树、柳树和槐树棵树分别为:a、b和c,由题意可得:易获得三种树分别为:825、XXX、315棵第四题:行程问题甲、乙二人进行游泳追逐赛,规定两人分别从游泳池50米泳道的两头同时开始游,直到一方追上另一方为止,追上者为胜。
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小学奥数解题技巧精讲(60讲)1、最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点,原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全,上级决定在沿途增加值勤民警,并规定每相邻的两位民警(包括原有的民警)之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米,乙丙相距8000米,丙丁相距4000米,那么至少要增加______位民警。
(《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题)讲析:如图5.91,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警,共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米,2个4000米,2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警,要求每两人之间距离相等,这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500,所以,整段路最少需要的民警数是(5000+8000+4000)÷500+1=35(名)。
例2 在一个正方体表面上,三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上,如图5.92所示,它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面,那么,应选择哪点会面最省时?(湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题)讲析:因为三只蚂蚁速度相等,要想从各自的地点出发会面最省时,必须三者同时到达,即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开,如图5.93,则A、B、C三点在同一平面上。
这样,便将问题转化为在同一平面内找出一点O,使O到这三点的距离相等且最短。
所以,连接A和C,它与正方体的一条棱交于O;再连接OB,不难得出AO=OC=OB。
故,O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c,并且a<b<c。
判断:图5.94的三个梯形中,第几个图形面积最大?(全国第二届“华杯赛”初赛试题)讲析:三个图的面积分别是:三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积,不变量是(a+b+c)的和一定。
其问题实质上是把这个定值拆成两个数,求这两个数为何值时,乘积最大。
由等周长的长方形面积最大原理可知,(a+b)×c这组数的值最接近。
故图(3)的面积最大。
例2 某商店有一天,估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后,能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。
为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每个______元。
(台北市数学竞赛试题)讲析:因为按每个100元出售,能卖出500个,每个涨价1元,其销量减少10个,所以,这种商品按单价90元进货,共进了600个。
现把600个商品按每份10个,可分成60份。
因每个涨价1元,销量就减少1份(即10个);相反,每个减价1元,销量就增加1份。
所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(为60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当把60分为两个30时,即每个涨价30元,卖出30份,此时有最大的利润。
因此,每个售价应定为90+30=120(元)时,这一天能获得最大利润。
2、最值规律【积最大的规律】(1)多个数的和一定(为一个不变的常数),当这几个数均相等时,它们的积最大。
用字母表示,就是如果a1+a2+…+a n=b(b为一常数),那么,当a1=a2=…=a n时,a1×a2×…×a n有最大值。
例如,a1+a2=10,…………→…………;1+9=10→1×9=9;2+8=10→2×8=16;3+7=10→3×7=21;4+6=10→4×6=24;4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75;5+5=10→5×5=25;5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75;…………→…………;9+1=10→9×1=9;…………→…………由上可见,当a1、a2两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差为0,即a1=a2时,它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。
由于篇幅所限,在此不一一举例。
由“积最大规律”,可以推出以下的结论:结论1 所有周长相等的n边形,以正n边形(各角相等,各边也相等的n边形)的面积为最大。
例如,当n=4时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。
例题:用长为24厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?解设长为a厘米,宽为b厘米,依题意得(a+b)×2=24即 a+b=12由积最大规律,得a=b=6(厘米)时,面积最大为6×6=36(平方厘米)。
(注:正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。
)结论2 在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。
例题:用12米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最大?解设长方体的长为a米,宽为b米,高为c米,依题意得(a+b+c)×4=12即a+b+c=3由积最大规律,得a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。
最大体积为1×1×1=1(立方米)。
(2)将给定的自然数N,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数全是2或3,并且2至多为两个时,这些自然数的积最大。
例如,将自然数8拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。
怎么办呢?我们可将各种拆法详述如下:分拆成8个数,则只能是8个“1”,其积为1。
分拆成7个数,则只能是6个“1”,1个“2”,其积为2。
分拆成6个数,可得两组数:(1,1,1,1,1,3);(1,1,1,1,2,2)。
它们的积分别是3和4。
分拆成5个数,可得三组数:(1,1,1,1,4);(1,1,1,2,3);(1,1,2,2,2)。
它们的积分别为4,6,8。
分拆成4个数,可得5组数:(1,1,1,5);(1,1,2,4);(1,1,3,3);(1,2,2,3);(2,2,2,2)。
它们的积分别为5,8,9,12,16。
分拆成3个数,可得5组数:(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4);(2,2,4);(2,3,3)。
它们的积分别为6,10,12,16,18。
分拆成2个数,可得4组数:(1,7);(2,6);(3,5);(4,4)。
它们的积分别为7,12,15,16。
分拆成一个数,就是这个8。
从上面可以看出,积最大的是18=3×3×2。
可见,它符合上面所述规律。
用同样的方法,将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和,可发现6=3+3时,其积3×3=9为最大;7=3+2+2时,其积3×2×2=12为最大;14=3+3+3+3+2时,其积3×3×3×3×2=162为最大;由这些例子可知,上面所述的规律是正确的。
【和最小的规律】几个数的积一定,当这几个数相等时,它们的和相等。
用字母表达,就是如果a1×a2×…×a n=c(c为常数),那么,当a1=a2=…=an时,a1+a2+…+a n有最小值。
例如,a1×a2=9,…………→…………1×9=9→1+9=10;3×3=9→3+3=6;…………→…………由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小;当两数差为0时,它们的和为最小。
例题:用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形,如何下料,材料最省?解设长方形长为a分米,宽为b分米,依题意得a×b=16。
要使材料最省,则长方形周长应最小,即a+b要最小。
根据“和最小规律”,取a=b=4(分米)时,即用16分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省。
推论由“和最小规律”可以推出:在所有面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小。
例如,面积均为4平方分米的正方形和圆,正方形的周长为8分米;而的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中,边数越多,面积越大。
为0.433×6=2.598(平方分米)。
方形的面积。
推论由这一面积变化规律,可以推出下面的结论:在周长一定的所有封闭图形中,以圆的面积为最大。
例如,周长为4分米的正方形面积为1平方分米;而周长为4分米的圆,于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体(各面为正n边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC(如图1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2平方厘米,它的体积约是1.1697立方厘米。
而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米,体积约为1.539立方厘米。
显然,正方体体积大于正四面体体积。
推论由这一体积变化规律,可推出如下结论:在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体,体积约为1.1697立方米;表面积为8平方厘米的正六面体(正方体),体积约为1.539立方厘米;而表面积是8平方厘米的球,体积却约有2.128立方厘米。
可见上面的结论是正确的。
【排序不等式】对于两个有序数组:a1≤a2≤…≤a n及b1≤b2≤…≤b n,则a1b1+a2b2+……+a n b抇n(同序)T≥a1b抇1+a2b抇2+……+a n b抇n(乱序)≥a1bn+a2b n-1+……+a>n b1(倒序)(其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、b n的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅当a1=a2=…=a n,或b1=b2=…=b n时,式中等号成立。
)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小。
例题:设有10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。
水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶,分别需要1、2、3、……、9、10分钟。
问:如何安排这10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?这个总费时至少是多少分钟?解设每人水桶注满时间的一个有序数组为:1,2,3,……,9,10。
打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成1,2,3,……,9,10。
根据排序不等式,最小积的和为倒序,即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)×2=(10+18+24+28+30)×2=220(分钟)其排队顺序应为:根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。
3、最优方案与最佳策略【最优方案】例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品,按工艺规定,每件甲产品需分别在A、B、C、D 四台不同设备上加工2、1、4、0小时;每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。