【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第2课时等比数列的性质(含答案)

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人教新课标版数学高二人教A版必修5同步学案 2.4(第2课时) 等比数列的应用

2.4第二课时等比数列的应用一、课前准备1.课时目标搞清等比数列的应用，利用等比数列的性质解决问题，搞清数列在实际问题中的应用，能解决与数列有关的应用问题，熟练掌握等比数列的性质解决问题2. 基础预测（1）对于正整数,m n ，,p q ，若满足m n p q +=+，则等比数列{}n a 中，满足_______. （2）等比数列{}n a 满足_______是单调递增数列，满足_______时，单调递减数列. （3）在等比数列{}n a 中满足n m >且（,*n m N ∈），则_______. （4）遇到等比数列问题，一般先求_______和_______. 二、基本知识习题化1. 已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1a a a a +==，则1()a =. A.9或116 B. 19或16 C. 11916或 D.9或16 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++的值为（）.A.12B.10C.8D. 32log 5+3. 在等比数列{}n a 中，已知7125,a a ⋅=则891011a a a a ⋅⋅⋅等于（）. A.10 B.25 C.50 D.754.已知数列121,,,4a a --成等差，数列1231,,,,4b b b --，成等比数列，则212a ab -的值为（） A.12 B. 12- C. 12-或12D. 14三、学法引领（1）对于等比数列问题，搞清等比数列的通项公式，遇到等比数列问题，要先用等比数列的性质解题，能够用性质解题首先利用性质解题，不能用性质要通过计算求出首项与公比再求解.（2）在等比数列的单调递增与递减问题，注意要由首项与公比同时确定数列是单调递增数列，即当11,0q a >>或101,0q a <<<是单调递增数列，当满足11,0q a ><或101,0q a <<>单调递减数列.（3）利用等比数列解决应用问题，首先要确定公比，再确定首项与项数进行求解.四、典例导析变式练习题型1 等比数列性质的应用例1 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 思路导析：根据等比数列求出前三项，再求出第四项解方程求出四个数.解：依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.规律总结：对于等比数列与等差数列，在设变量时越少越好，利用解方程求解.变式训练1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数题型2 等比数列的应用问题例2 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=104，经过n 年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）思路剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分1002a n 后剩余的面积10098a n ，另一部分是新绿化的面积1008b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）=109a n +252.（2）a n +1=109a n +252，a n +1－54=109（a n －54）.数列{a n －54}是公比为109，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.∴a n +1=54+（－52）（109）n .（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（109）n ＜21，n （lg9－1）＜－lg2，n ＞3lg 212lg -≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.规律总结：利用数列解应用问题，要首先审清题意，列出关系式，求出满足的关系式，如果有指数的问题可以求导解决. 变式训练2.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 题型3三等差与等比数列的应用例3 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第二课时等比数列的性质

第二课时等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2，则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)．所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137，而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第2课时等比数列的性质 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列解析：设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫an ＋1a n 2＝q 2，∴{b n }为等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时，lg a n 无意义；设c n ＝na n ，则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝n ＋1n ·q ≠常数．答案：A2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，a 23＝a 1a 4，即 (a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9. 答案：D3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于() A ．16 B ．32C ．64D ．256解析：由已知，得a 1a 19＝16.又∵a 1·a 19＝a 8·a 12＝a 210，∴a 8·a 12＝a 210＝16.又a n >0，∴a 10＝4，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.答案：C4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3解析：∵a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝a 21q 16a 1q 10＝a 1q 6＝5243＝3.答案：D5．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D.18解析：由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12. 答案：C6．等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5＝________.解析：由题意，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2＝9，∴q 2＝9.又a n >0，∴q ＝3.故a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝9×3＝27.答案：277．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－2. 答案：－28．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.解析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因为b >0，所以b ＝1.答案：19．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q .∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2(q 2＋1)＝5q ， ② 由①，得a 1＝q ，由②，得q ＝2或q ＝12. 又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，∴a n ＝2n .10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，求log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值．解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，即log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝1. ∴a n ＋1a n＝3. ∴数列{a n }是等比数列，公比q ＝3.则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3·(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13[33·9]＝－5. [B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2D ．2解析：∵a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴q 2＝⎝⎛⎭⎫a 6a 52＝2. 又q >0，∴q ＝ 2.∴a 1＝a 2q ＝12＝22. 答案：B2．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2等于( )A ．－4B ．2C ．3D ．－3解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5. ∴a 22＝(a 2－d )·(a 2＋3d )，即a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)．∴a 2＝3.答案：C3．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.答案：164．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．解析：不妨设a >b ，由根与系数的关系得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，则a >0，b >0，则a ，－2，b 为等比数列，a ，b ，－2成等差数列，则a ·b ＝(－2)2＝4，a －2＝2b ，∴a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.答案：95．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2a n＋1. 所以1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)．又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1. 6．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.(1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1.(舍) (2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4，b n ＝b 1q n －1＝6n －1.由a n ＝log a b n ＋b ，得5n －4＝log a 6n －1＋b ，即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ log a 6＝5，b －log a 6＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1. 所以存在a ＝615，b ＝1，使得对一切自然数，都有a n ＝log a b n ＋b 成立.。

【导与练】人教版高中数学必修5第二章数列2.4 等比数列第二课时等比数列的性质及应用课件

解析:(1)因为 a3·a11=16,所以 a 72 =16. 又因为等比数列{an}的各项都是正数,所以 a7=4. 又因为 a10=a7q3=4×23=25,所以 log2a10=5.故选 B. aaa 9 (2)因为 6 7 8 =q =8(q 为公比), a3a4 a5
所以 a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192. 故选 D.
答案:n2
n 1 2n 1 2
=n2.
题型二
巧设“对称项”解等比数列问题
【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一
个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
解:法一
a d 设这四个数依次为 a-d,a,a+d,
a
2
(a≠0),
(D){an+bn},{an· bn}都不一定是等比数列
解析:两个等比数列的对应项的和可能为0,即不一定为等比数列, 但乘积仍是一个等比数列.故选C.
1 2.(等比数列公比的求法)等比数列{an}中,a3= ,a6=2,则公比 q 等于 4
(
C
) (B)-2 (C)2
1 (D) 2
1 (A)2
a6 解析:q = =2×4=8,所以 q=2. a3
(6)若{bn}是公比为 p 的等比数列,则{anbn}与{
q an }也都是等比数列,公比分别为 pq 判定)已知{an}、{bn}都是等比数列,那么( C (A){an+bn},{an· bn}都一定是等比数列 (B){an+bn}一定是等比数列,但{an· bn}不一定是等比数列 (C){an+bn}不一定是等比数列,但{an· bn}一定是等比数列 )

2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.4 第2课时等比数列的性质

第2课时等比数列的性质1．推广的等比数列的通项公式{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1，a n＝a m·q n－m(m，n ∈N*)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k．思考：如何推导a n＝a m q n－m?[提示]由a na m＝a1·q n－1a1·q m－1＝q n－m，∴a n＝a m·q n－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝…＝a k·a n－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n}，{b n}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a2n}，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也为等比数列．思考：等比数列{a n }的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．[提示] 由定义可判断出(1)(3)(4)正确．1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列[答案] D2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝______，a n ＝______． 24 3×2n －1 [a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.] 3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________． 9 [因为a 7＝a 5q 2，所以q 2＝32. 所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]【例1】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________．8，－2，12，－18或－18，12，－2，8 [设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2，8.]巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解] 由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎨⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.n(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． [解] (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．2．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7； (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .[解] (1)法一：⎩⎨⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9，又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.1．如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．2．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？[提示] 在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．3．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？[提示] 先将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x )．将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n ＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加52，可构造出等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋52.利用等比数列求出a n ＋52即可求出a n .【例3】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4. (1)求a 1的值；(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列．思路探究：(1)由n＝1代入S n＝2a n＋n－4求得；(2)先由S n＝2a n＋n－4，利用S n和a n的关系得{a n}的递推关系，然后构造出数列{a n－1}利用定义证明．[解](1)因为S n＝2a n＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为S n＝2a n＋n－4，所以当n≥2时，S n－1＝2a n－1＋(n－1)－4，S n－S n－1＝(2a n＋n－4)－(2a n－1＋n－5)，即a n＝2a n－1－1，所以a n－1＝2(a n－1－1)，又b n＝a n－1，所以b n＝2b n－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{b n}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．1．将本例条件“S n＝2a n＋n－4”改为“a1＝1，S n＋1＝4a n＋2”，“b n＝a n－1”改为“b n＝a n＋1－2a n”，试证明数列{b n}是等比数列，并求{b n}的通项公式．[证明]a n＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－4a n－2＝4a n＋1－4a n.b n＋1 b n＝a n＋2－2a n＋1 a n＋1－2a n＝（4a n＋1－4a n）－2a n＋1a n＋1－2a n＝2a n＋1－4a na n＋1－2a n＝2.所以数列{b n}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.所以b n＝3·2n－1.2．将本例条件“S n＝2a n＋n－4”改为“a1＝1，a2n＋1＝2a2n＋a n a n＋1”，试证明数列{a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式．[解]由已知得a2n＋1－a n a n＋1－2a2n＝0，所以(a n＋1－2a n)(a n＋1＋a n)＝0.所以a n＋1－2a n＝0或a n＋1＋a n＝0，(1)当a n ＋1－2a n ＝0时，a n ＋1a n ＝2.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2n －1.(2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1a n ＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列，所以a n ＝1×(－1)n －1＝(－1)n －1. 综上：a n ＝2n －1或(－1)n －1.1．已知数列的前n 项和或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．2．由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( )(2)当q >1时，{a n }为递增数列． ( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3，2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0.解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 016（1－q ）a 2 014（1－q ）＝a 2 016a 2 014＝q 2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c ，8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]4．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝±2.。

人教A版高中数学必修五 2.4 第2课时等比数列的性质(教案)

2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课［合作探究］师出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生用等差数列1，2，3，…师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生思考、讨论、交流.师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师在等比数列中会有怎样的类似结论？生猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师上述性质有着广泛的应用. 师出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师请同学们自己完成上面的表.师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。

高中数学人教A版必修五教学课件：第二章《数列》 2.4 第2课时等比数列的性质

－6 解析：a4a7＝a1· a10＝＝－2. 3
答案：B
3．等比数列{an}中，若 a9＝－2，则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，

整合高二数学人教A版必修五第二章 2.4 第2课时等比数列的性质共26张同步课件1 精品

20
等比数列的图象3
18
16
14 数列：4，4，4，4，4，4，4，… 常数列
12
10
8
6
4
●●● ● ●●●● ● ●
2
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
等比数列的图象4
9
8
7 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
6
5
摆动数列
4
3
2
1●
●
●
●
●
O -1
1234
●
●
5
678
●
●
an
的公比为q，，
cn=banm(n-1a)+m1(·nam1)(n1-1)+2a·…m(·nam1)(n2-1)+m am(n1)，m则以下结
论AB..一数数定列列正确的为为是等等（差比数数C 列列），，公公差比m为为, nq2mN *
C. D.
数列数列
bn
为等比数列，公比为为等比数列，公比为
an a1 q n1(a1, q 0)
乘—乘方
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列性质1： an=am+(n-m)d
{bn}是公比为q的等比数列
猜想1： bn bmq nm
性质2：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项，则2an=an+k+ an-k
证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为：
a1
q n 1 1
b1

数学人教A版必修5第二章2.4等比数列(第2课时)(2).

第2课时等比数列的性质1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式． 2．掌握等比中项的应用．3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题．1．等比数列的定义及通项公式【做一做1】等比数列{a n }的公比q ＝3，a 1＝13，则a 5等于( )A ．3B ．9C ．27D ．81 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成________，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式________．【做一做2】已知10是a 与20的等比中项，则a ＝__________.答案：1．同一个常数公比 q a n ＝a 1q n －1 a n ＝a n －1q 【做一做1】 C2．等比数列 G 2＝ab 【做一做2】 51．等比数列的性质剖析：已知等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则a n ＝a 1·q n －1.(1)当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列；当q ＜0时，数列{a n }是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．(2)a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(3)当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q .(4)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a 3·a n －2＝…＝a m ·a n －m ＋1.(5)数列{λa n }(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列；若数列{b n }是公比为q ′的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q ·q ′的等比数列；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列；数列{|a n |}是公比为|q |的等比数列．(6)在数列{a n }中，每隔k (k ∈N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1.(7)当数列{a n }是各项都为正数的等比数列时，数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列．(8)在数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列． (9)若m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a n ，a p 成等比数列．利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质 (5)①∵a n ＝a 1·q n －1， ∴λa n ＝λ·a 1·q n －1＝(λa 1)·q n －1. 又λ≠0，∴数列{λa n }是首项为λa 1，公比为q 的等比数列．②∵b n ＝b 1·(q ′)(n －1)，a n ＝a 1·q n －1，∴a n ·b n ＝a 1·q n －1·b 1·(q ′)(n －1)＝(a 1·b 1)·(q ′·q )n －1. ∴数列{a n ·b n }表示首项为a 1·b 1，公比为q ′·q 的等比数列．③由1a n ＝1a 1·q n －1＝⎝⎛⎭⎫1a 1·⎝⎛⎭⎫1q n －1，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 表示首项为1a 1，公比为1q的等比数列． ④|a n |＝|a 1·q n －1|＝|a 1|·|q |n －1，故数列{|a n |}表示首项为|a 1|，公比为|q |的等比数列．(6)例如，等比数列{a n }中，从首项a 1开始每隔3项取出一项构成新数列为a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，….∵a n ＝a 1·q n －1，且新数列中a 8a 4＝a 12a 8＝a 16a 12＝a 20a 16＝a24a 20＝…＝q 4，∴当每隔k 项取出一项时，变为a 2k ＋2a k ＋1＝a 3k ＋3a 2k ＋2＝a 4k ＋4a 3k ＋3＝…＝q k ＋1.(7)∵a n ＞0且a n ＝a 1·q n －1(q ≠0)，∴lg a n ＝lg(a 1·q n －1)．∴lg a n －lg a n －1＝lg(a 1·q n －1)－lg(a 1·q n －2)＝(lg a 1＋lg q n －1)－(lg a 1＋lg q n －2)＝lg q n －1－lg q n －2＝(n －1)lg q －(n －2)lg q ＝lg q (常数)．∴数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列．(8)例如，等比数列{a n }中，从首项a 1开始，连续取相邻两项的和，构成新数列为a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，….∵a 3＋a 4a 1＋a 2＝a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 7＋a 8a 5＋a 6＝…＝q 2， ∴连续取相邻k 项的和时，变为：a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a 2k a 1＋a 2＋…＋a k ＝a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋…＋a 3ka k ＋1＋a k ＋2＋…＋a 2k ＝…＝q k .(9)∵m ＋p ＝2n 且m ，n ，p ∈N *， a m ＝a 1·q m －1，a n ＝a 1·q n －1，a p ＝a 1·q p －1， ∴a m ·a p ＝a 1·q m －1·a 1·q p －1＝a 21·q m ＋p －2 ＝(a 1·22m pq +-)2＝(a 1·q n －1)2＝a 2n . ∴a m ，a n ，a p 成等比数列．2．等差数列与等比数列的区别与联系为等差数列，其中n m n k 剖析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a m ＋a n ＝a 1q m －1＋a 1q n －1＝a 1q －1(q m ＋q n )，a k ＝a m ＋n ＝a 1q m ＋n －1＝a 1q －1(q m ＋n)．由于q m ＋q n ＝q m ＋n不成立，则a m ＋a n ＝a k 不成立．根据以上推导过程也可知，此时a m a n ＝a k 也不成立．例如，等比数列{a n }的公比q ＝2，a 1＝1，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，则a 1＋a 2＝3≠a 3，a 1a 2＝2≠a 3.题型一等比数列的性质的应用【例题1】已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3a 9.分析：既可以利用通项公式计算，也可以运用等比数列的性质计算．反思：在等比数列的有关运算中，常涉及到次数较高的指数运算，若按常规解法，往往是建立关于a 1和q 的方程(组)，这样解起来比较麻烦，如本题解法二．而采用等比数列性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果，如本题解法一．题型二等比中项的应用【例题2】已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．分析：适当地设这四个数是解决本题的关键．可利用a ，q 表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两数设为aq，aq ，列方程解得a ，q .这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．反思：合理地设出所求的数是解决此类问题的关键．一般地，三个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .答案：【例题1】解法一：∵a 2a 10＝a 26，∴a 2a 6a 10＝a 36＝1， ∴a 6＝1.∴a 3a 9＝a 26＝1. 解法二：设公比为q ，则a 2a 6a 10＝a 1q ·a 1q 5·a 1q 9＝a 31q 15＝1，∴a 1q 5＝1. ∴a 3a 9＝a 1q 2·a 1q 8＝(a 1q 5)2＝1.【例题2】解：设所求四个数为2a q －aq ，aq，aq ，aq 3，则由已知，得 ⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫a q (aq )＝16，⎝⎛⎭⎫2a q －aq (aq 3)＝－128.①②解得a ＝4，q ＝2或a ＝4，q ＝－2或a ＝－4，q ＝2或a ＝－4，q ＝－2. 因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.1在等比数列{a n }中，若a 4＝8，q ＝－2，则a 7的值为( ) A ．－64 B ．64 C ．－48D ．482等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A ．－6 B ．－8 C ．8 D ．6 3在等比数列{a n }中，a 2 011a 2 012a 2 013＝64，则a 2 012＝__________.4有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．5等比数列{a n }中a 2＋a 7＝66，a 3a 6＝128，求等比数列的通项公式a n .答案：1．A 2.A 3.44．解：由题意设此四个数为bq，b ，bq ，a ，则有328,2,80,b bq a b ab q ⎧=-⎪=+⎨⎪=-⎩解得10,2,2a b q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或8,2,5.2a b q ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=⎩所以这四个数为1，－2,4,10或45-，－2，－5，－8.5．解：设等比数列的首项为a 1，公比为d ，由题意得273666,128a a a a +=⎧⎨=⎩272766,128a a a a +=⎧⎨=⎩272,64a a =⎧⎨=⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩ ∴q 5＝5722a a =或512，∴q ＝2或12.∴a n ＝a 2q n －2＝2n －1或812n -.∴a n ＝2n －1或a n ＝28－n .。

高中数学人教A版必修5练习第二章 2.4 等比数列第二课时等比数列的性质及应用课堂强化 Word版含解析

．若{}，{}都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是( )
．{＋} ．{－}
．{} ．{＋}
解析：当数列{}和{}中的对应项都相等，即＝时，排除选项；当数列{}和{}中的对应项互为相反数，即＝－时，排除选项；选项显然不正确；而由等比数列的性质可知{}仍为等比数列．
答案：
．等比数列{}中，＝，则·等于( )
．．
．．
解析：据等比数列的性质：·＝＝＝.
答案：
．已知{}是等比数列，＝，＝，则公比等于( )
．－．－
．
解析：据＝·－，得：＝·.
∴＝×＝.
∴＝.
答案：
．在等比数列{}中，＋＝，＋＝，则＋＝.
解析：据等比数列的性质：＋，＋，＋也成等比数列．
∴＋＝(＋)·＝×＝.
答案：
．在等比数列{}中，·＝，＋＝，则公比＝.
解析：据·＝·，
列方程组(\\(＋＝，·＝.))
解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝.))
∴＝＝＝或＝＝.
∴＝±或＝±.
答案：±或±
．在等比数列{}中，已知＋＝，＋＝，＝，求的值．
解：设等比数列{}的公比为.
因为＋＝＋＝(＋)，
所以＝＝＝.
因为＋＝，所以(＋)＝. 所以＝.所以＝－＝－.
令－＝，所以－＝＝.
所以－＝，＝.。

高中数学人教A版必修五课件2.4 第2课时等比数列的性质及应用2

为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数

2
成等比数列时,可设这三个数分别为 a,aq,aq 或 ,a,aq,此时公比为 q;

当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 a,aq,aq2,aq3(公比为 q),
依题意,an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲面积 an 减去被侵蚀的
部分 8%·an 的剩余面积 92%·an,另一部分是新绿化的 12%·bn,所以
4
5
3
25
3
5
an+1=92%·an+12%(1-an)= an+ ,即 an+1- =
3
2
3
1
a1-5 = 5 − 5=-5,
3
1
4
∴ - 5 是以-5为首项,5为公比的等比数列,
= -8,
= 10,
3 = -8,
则 2 = + ,解得 = -2, 或 = -2,所以这四个数分别为
5
= -2
2 = -80,
= .
4
1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8.
2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
等比数列的实际应用
例3为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到202X年底,
3
∴an-5
=
1
5
·
4 -1
,
5
4
5
-
3
5
,

人教A版高中数学必修五第二章 2.4 等比数列第二课时《等比数列的性质》及应用课件

2
第
.
二
4
章
等
数列
比数列
第二课时
等比数列的性质及应用
课前预习·巧设计
名
师
课堂
考点一
· 一
考点二
点通
考点三
创
新
演练
N0.1 课堂强化
·
大
N0.2 课下检测
冲
关
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[读教材·填要点] 1．若{an}是等比数列，则
(1)a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，数列为递增数列； (2)a1>0,0<q<1或a1<0，q>1时，数列为递减数列； (3)q＝1时，数列为常数列； (4)q<0时，数列为摆动数列．
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[悟一法] 等比数列性质的运用技巧： (1)利用性质，整体求值，在简化运算的过程中有重要的作用． (2)巧妙地利用 am·an＝ap2(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)可简化解题过程．
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Байду номын сангаас
[通一类] 1．在等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝
512，求q.
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＝2＋2－p32－n＋p33－n p3n ＝2＋2－p323－n＋p 3－p. 为使ccn＋n＋2－1－ppccn＋n 1为常数，也就是使
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2＋2－p323－n＋p 3－p为常数． ∴p－2＝0 或 p－3＝0， ∴p＝2 或 p＝3.
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［点评］法一是利用等比中项，法二是先利用特值求得p 的值，然后加以验证说明，其中法二是解决此类问题的常用方法，且可以降低解题错误.

高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章数列 2.4 等比数列
一、学习任务理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系．二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质描述：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ．如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ．等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ．若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ．下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ．当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去．当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；

人教A版高中数学必修五第二课时等比数列的性质及简单应用.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二课时等比数列的性质及简单应用【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的性质及应用1、2、3、6、9等差数列与等比数列综合4、7、8实际应用5、10基础达标1.将公比为q的等比数列{a n}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,此数列是( B)(A)公比为q的等比数列(B)公比为q2的等比数列(C)公比为q3的等比数列(D)不一定是等比数列解析:由于-=-×=q·q=q2,n≥2且n∈N*,∴{a n a n+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.2.已知等比数列{a n}中,a3=-4,a6=54,则a9等于( C)(A)54 (B)-81 (C)-729 (D)729解析:等比数列{a n}中有=a3·a9,∴a9==-=-729.故选C.3.在等比数列{a n}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( A)(A)81 (B)27(C)3 (D)243解析:因为数列{a n}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81.故选A.4.已知等比数列{a n}中,a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( C)(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:等比数列{a n}中,a3a11==4a7,解得a7=4,等差数列{b n}中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选C.5.某种细胞每隔20分钟分裂1次,1次1个分裂成2个,则1个这样的细胞经过3小时20分钟后,可得到的细胞个数为( C)(A)512 (B)511 (C)1024 (D)1023解析:经过3小时20分钟后,该细胞要分裂10次,因此1个这样的细胞分裂后可得到210=1024个,故选C.6.在等比数列{a n}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=.解析:∵a6a10=,a3a5=,∴+=41,又a4a8=4,∴(a4+a8)2=++2a4a8=41+8=49,∵数列各项都是正数,∴a4+a8=7.答案:77.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为.解析:依题意得a1+a2=1+4=5,=b1b3=1×4=4,又=b2>0,∴b2=2(b2=-2舍去),故=.答案:能力提升8.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a9构成等比数列{b n},则{b n}的公比为.解析:设{a n}的公差为d,依题意有=a1a9.即(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴4a1d=4d2,∵d≠0,∴a1=d.于是{b n}的公比为q====3.答案:39.在等比数列{a n}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则等于.解析:∵{a n}是等比数列,∴a7·a11=a4·a14=6,又a4+a14=5,∴或,∵=q10,∴q10=或q10=.而=q10,∴=或=.答案:或10.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升后,添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问:第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解:设开始的浓度为1,操作一次后溶液浓度a1=1-,设操作n次后溶液的浓度为a n,则操作n+1次后溶液的浓度为a n+1=a n(1-),从而建立了递推关系.∴{a n}是以a1=1-为首项,公比为q=1-的等比数列,∴a n=a1q n-1=(1-)n,即第n次操作后酒精的浓度是(1-)n.当a=2时,由a n=()n<,解得n≥4.故至少应倒4次后才能使酒精浓度低于10%.。

人教A版高中数学必修5学案2.4等比数列(2)等比数列的性质

2．4等比数列（二）——等比数列的性质【学习目标】灵活应用等比数列的定义及通项公式；系统了解判断数列是否成等比数列的方法学习重点、难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【课前导学】问题1、根据等比数列}{n a 的“等比中项”的定义及性质完成下表：据上表，可得到结论____________________________________________________________。

问题2、等差数列}{n a 中，若m 、n 、p 、q ∈N *，且m +n =p +q ，则____________________。

类似地，等比数列}{n a 中，若m 、n 、p 、q ∈N *，且m +n =p +q ，则_____________________。

试根据等比数列}{n a 的通项公式加以证明：【预习自测】1．若}{n a 为等比数列，则下列式子成立的是_____________________：①2a +5a =1a +6a ；② 19a a =10a ； ③19a a =37a a ； ④ 127a a a =46a a ； ⑤ 357a a a =249a a a 。

2．实数_____________。

3．等比数列}{n a 中，若2a 与10a 是2x —5x +4=0的两实根，则57a a =_______。

【课内探究】例1 等比数列}{n a 中，1a +2a +3a =7，123a a a =8，求n a 。

变式1：完成课本P53练习3 ，并归纳一般性结论.例2 32,n n n n a a a =⋅已知数列{}满足证明{}为等比数列。

变式2：1）完成课本P50“探究”（2）；2）如果}{n a 与}{n b 都是等比数列，那么{}n n a b ⋅是等比数列吗？若是，指出其公比；否则，举出反例。

【反馈检测】1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．322．在等比数列{}n a 中,（1）若28549=_______a a a ==，，则；（2）若123789456164________.a a a a a a a a a ===，，则3．在等比数列{}n a 中，0n a >, 24354635236+=_________.a a a a a a a a ++=，那么4．已知{}n a 是等比数列，（1（2）设n b =lg n a ，求证：{}n b 是等差数列。

高中数学第二章数列 2.4 等比数列第二课时等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新

第二课时等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1；若q ＝－3，则a 1＝－1；若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个．答案：(1)B (2)D【性质4】在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)．答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。

【原创】人教A版必修5：第二章 2.4 第二课时等比数列的性质

当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋a22＝4. 当a＝5时，插入的两个数的和为a＋a22＝325.
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等比数列的实际应用问题
[典例] 某工厂 2018 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从 2018 年 2 月起，每月生产总值比上一个月增长 m%，那么到 2019 年 8 月底该厂的生产总值为
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2．在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝185，a8a9＝－98，则a17 ＋a18＋a19＋a110＝________. 解析：因为a17＋a110＝a7a＋7a1a010，a18＋a19＝a8a＋8a9a9，由等比数列的性质知 a7a10＝a8a9，所以a17＋a18＋a19＋a110＝a7＋a8a＋8aa99＋a10＝ 185÷－98＝－53. 答案：－53
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第二课时等比数列的性质
预习课本 P53 练习第 3、4 题，思考并完成以下问题
等比数列项的运算性质是什么？
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[新知初探]
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等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则 {c·an}也是等比数列．
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等比数列的性质
[典例] (1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成
等比数列，则插入的n个数的积为
()
A．10n
B．n10
C．100n
D．n100
(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．

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