【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第2课时等比数列的性质(含答案)

第二章 数列
2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质
A 级 基础巩固
一、选择题 1.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1 D.12
解析：设等比中项为b ，则b 2＝(2＋1)·(2－1)＝1，所以b ＝±1. 答案：C
2．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( )
A ．32
B ．16
C ．12
D ．8
解析：a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3
＝q 3＝42＝2， 所以a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(23)＝24＝16.
答案：B
3．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n
等于( ) A.32 B.32或23
C.23 D ．以上都不对
解析：不妨设12
是x 2－mx ＋2＝0的根，则其另一根为4，所以m ＝4＋12＝92
， 对方程x 2－nx ＋2＝0，设其根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1x 2＝2，
所以等比数列为12
，x 1，x 2，4， 所以q 3＝412
＝8，所以q ＝2， 所以x 1＝1，x 2＝2，
所以n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3，
所以m n ＝92×3＝32
. 答案：A
4．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )
A ．10n
B ．n 10
C ．100n
D ．n 100
解析：设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2，
则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .
答案：A
5．等比数列{a n }中，a n ∈R *，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为( )
A ．10
B ．20
C ．36
D ．128
解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝
log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 8)＝
log 2(a 4a 5)4＝4log 232＝20.
故选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{a n }中，a 1＜0，{a n }是递增数列，则满足条件的q 的取值范围是______________．
解析：由a n ＋1＞a n ⇒a 1q n ＞a 1q n －1，
因为a 1＜0，
所以q n ＜q n －1⇒q n ⎝
⎛⎭⎪⎫1－1q ＜0对任意正整数n 都成立． 所以q ＞0且1－1q
＜0解得：0＜q ＜1. 答案：0＜q ＜1
7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝______________．
解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，
所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)(n ≥1)，
即(a n ＋3)是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，
所以该数列的通项a n ＝2n ＋1－3.
答案：2n ＋1－3
8．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
解析：因为{a n }单调递增，所以q >0，
又a 25＝a 10>0，所以a n >0，q >1，
由条件得2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5， 即2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1q ＋q ＝5， 所以q ＝2或q ＝12
(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9，
所以a 1＝q ＝2，故a n ＝2n .
答案：2n
三、解答题
9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
解：法一：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则S
偶＝qS 奇⇒
a 1（1－q 2n ）1－q
＝85＋170， 所以22n －1＝255.所以2n ＝8.
故这个数列的公比为2，项数为8.
法二：设该数列的公比为q ，项数为2n ，则
S 奇＝a 1[1－（q 2）n ]1－q 2＝85， S 偶＝a 1q [1－（q 2）n ]1－q 2＝170. 所以n ＝4，q ＝2.
10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于
712
，求这三个数．
解：设三个数为a q
，a ，aq (a ，q >0)， 由题⎩⎪⎨⎪⎧a q ＋a ＋aq ＝21
q a ＋1a ＋1aq ＝712
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝211a ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋1＋1q ＝712⇒a 2＝21×127＝36， 所以a ＝6，q ＝2或12
， 所以三个数为3，6，12或12，6，3.
B 级 能力提升
1．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )
A ．－24
B ．0
C ．12
D ．24
解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，
即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
2．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12
.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为________．
解析：由于a n ＝317×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0，0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.
答案：9
3．容器A 中盛有浓度为a %的农药mL ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药mL ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a ＞b )，先
将A 中农药的14
倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持mL ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.
b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15
(4a 0＋b 0)； b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15
(4a 1＋b 1)；…； b n ＝15
(a n －1＋4b n －1)． a n ＝15
(4a n －1＋b n －1)，
所以a n －b n ＝35
(a n －1－b n －1)＝…＝ 35(a 0－b 0)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫35n －1. 因为a 0－b 0＝15
， 所以a n －b n ＝15·⎝ ⎛⎭
⎪⎫35n . 依题意知15·⎝ ⎛⎭
⎪⎫35n ＜1%，n ∈N *，解得n ≥6. 故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。