matlab实现插值法和曲线拟合电子教案
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m a t l a b实现插值法和
曲线拟合
插值法和曲线拟合
电子科技大学
摘要:理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插,曲线拟合,用matlab编程求解函数,用插值法和分段线性插值求解同一函数,比较插值余项;用牛顿前插公式计算函数,计算函数值;对于曲线拟
合,用不同曲线拟合数据。
关键字:拉格朗日插值多项式;分段线性插值;牛顿前插;曲线拟合
引言:
在数学物理方程中,当给定数据是不同散点时,无法确定函数表达式,求解函数就需要很大的计算量,我们有多种方法对给定的表格函数进行求解,我们这里,利用插值法和曲线拟合对函数进行求解,进一步了解函数性质,两种方法各有利弊,适合我们进行不同的散点函数求解。
正文:
一、插值法和分段线性插值
1拉格朗日多项式原理
对某个多项式函数,已知有给定的k + 1个取值点:
其中对应着自变量的位置,而对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:
其中每个为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:
[3]
拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1,在其它的点
上取值为0。
2分段线性插值原理
给定区间[a,b], 将其分割成a=x
0 1 <… n =b, 已知函数y= f(x) 在这些插 值结点的函数值为 y k =f(x k )(k=0,1,…,n)求一个分段函数I h (x), 使其满足: (1) I h (x k )=y k ,(k=0,1,…,n) ; (2) 在每个区间[x k ,x k+1 ] 上,I h (x)是个一次函数。 易知,I h (x)是个折线函数, 在每个区间[x k ,x k+1 ]上,(k=0,1,…,n) k 1k k 1k 1k k 1k k k ,1) () ()(x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++, 于是, I h (x)在[a,b]上是连续的,但其一阶导数是不连续的。 3拉格朗日插值多项式算法 ○ 1输入,(0,1,2,,)i i x y i n =L ,令0)(=x L n 。 ○ 2对0,1,2,,i n =L ,计算 0,()()/() n i j i j j j i l x x x x x -≠= --∏ ()()()n n i i L x L x l x y ←−−+ 4分段线性插值算法 ○1输入(x k ,y k ),k=0,1,…,n; ○2计算 k 1k k 1k 1k k 1k k k ,1) () ()(x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++ 5插值法和分段线性插值程序 按下列数据分别作五次插值和分段线性插值,画出两条插值曲线以及给定数据点。求x 1=0.32, x 2=0.55, x 3=0.68 时的函数近似值,并比较两种方法的插值余 function lagrint xi=[0.32,0.55,0.68]; %xi=[0.2:0.001:0.8]; x=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72]; y=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223]; L=zeros(size(y)); m=length(xi); for i=1:m dxi=xi(i)-x; L(1)=prod(dxi(2:6))/prod(x(1)-x(2:6)); L(6)=prod(dxi(1:6-1))/prod(x(6)-x(1:6-1)); for j=2:6-1 num=prod(dxi(1:j-1))*prod(dxi(j+1:6)); den=prod(x(j)-x(1:j-1))*prod(x(j)-x(j+1:6)); L(j)=num/den; end yi(i)=sum(y.*L); fprintf('x=%f,y=%f\n',xi(i),yi(i)); end plot(xi,yi,'r'); axis([0.2 0.8 1.03 1.24]); hold on plot(x,y,'b.','markersize',20) grid on 分段线性插值算法程序: function [y]=div %xi=[0.3:0.001:0.72]; x0=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72]; y0=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223]; k=1; xi=[0.32,0.55,0.68]; for j=1:3 for i=1:5 if xi(j)>=x0(i) && xi(j)<=x0(i+1) && k<=3 lx(1)=(xi(j)-x0(i+1))/(x0(i)-x0(i+1)); lx(2)=(xi(j)-x0(i))/(x0(i+1)-x0(i)); y(k)=lx(1)*y0(i)+lx(2)*y0(i+1); k=k+1; end end end plot(xi,y,'r'); axis([0.2 0.8 1.03 1.24]); hold on plot(x0,y0,'b.','markersize',20) grid on 6运算结果 拉格朗日插值结果