最新二次型时频分析
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10
LFM信号的Wigner-Ville分布
11
基于Wigner-Ville分布的信号重构
定义长度为2L+1的离散信号的z(n)的离散Wigner-Ville分布：
对上式作离散傅里叶反变换，并作变量替换： 有：
12
当 当
当
偶数序号的采样信号z(2n)可以由离散Wigner-Ville分布
差
倍
惟一重构，其间至多相
17
Cohen类时频分布是以核函数加权的模糊函数的二维傅里叶变换，可视为模糊域的滤波函数，
将
不需要的分量去除，所以也称为广义双线性时频分布
, Cohen类时频分布退化成Wigner-Ville分布
18
时频分布基本性质与核函数关系
1．总能量与边缘特性 时间边缘特性 频率边缘特性 归一化能量
2．实值性 时频分布是实的分布的充要条件：
5
时频分布的基本性质
1. 实值性： 2. 时移不变性： 3. 频移不变性： 4. 时间边缘特性： 5. 频率边缘特性：
6
6. 瞬时频率： 7. 群延迟： 8. 有限时间支撑： 9. 有限频率支撑：
7
二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理会带来很大方便。但是，二次型时 频分布的情况与线性时频分布大不相同，因为二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理。
4
二次型时频分布
在平稳信号中，我们定义解析信号z(t)的自相关函数： 这里定义非平稳连续随机过程{z(t)}的时变自相关函数R(t，T)，考虑信号z(t)的对称形 式，并作类似于STFT中的滑窗处理，沿T轴加权：
时变自相关函数R(t，T)被称为局部相关函数 对局部相关函数作傅里叶变换，就可得到非平稳信号z(t)的时变功率谱，也即信号能量 的时频分布：
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
奇效序号的采样信号z(2n-1)也可以由
惟一恢复，中间最多相差
倍
13
PART 模糊函数
THREE
模糊函数
对解析信号z(t)双线性变换（瞬时相关函数）关于时间t作傅里叶反变换，得到模糊函数：
相同点
变换平面 不同点
物理意义
模糊函数
Wigner-Ville分布
双线性变换信号（瞬时相关函数）的线性变换
时延—频偏平面
时频分布的二次叠加原理：
令：
有：
自时频分布 （信号项）
互时频分布 （交叉项）
8
PART
Wigner-Ville分布
TWO
Wigner-Ville分布
局部相关函数R(t,T)，如对窗函数的T不加限制，而在时域取瞬时值，即： 称为瞬时相关函数 对瞬时相关函数作傅里叶变换，得到Wigner-Ville分布： 用频谱表示：
时频平面
相关域
能量域
事实上，Wigner-Ville分布是模糊函数的一种简单的二维傅里叶变换：
15
PART
Cohen类时频分布
FOUR
Cohen类时频分布
20世纪60年代中期，Cohen发现众多的时频分布只是Wigner-Ville分布的变形，它们可以用 统一的形式表示：
或 被称为核函数 在这种统一的表示里，不同的时频分布只是体现在对积分变换核的函数形式的不同选择， 而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上。这种统一的时频分布现 在习惯地统称为Cohen类时频分布。
短时傅里叶变换换
时频表示
Grabor 变 换
Wigner-Ville分布(WVD)
二次型时频表示
平滑伪Wigner-Ville分布(SPWVD)
Choi-Willams分布(CWD) 在不少场合，人们要求用二次型时频表示来描述信号的能量密度分布（瞬时功率谱密度），在这 种更严格意义下的能量密度分布的时频表示则常被称做信号的时频分布。
长 的 时 间 隧 道，袅
二次型时频分析
目录
CONTENTS
01 时频分布一般理论 02 Wigner-Ville分布 03 模糊函数 04 Cohen类时频分布
05 时频分布的性能评价与改进
06 时频分布的应用场景
PART
时频分布一般理论
ONE
时频表示
在很多实际应用场景中，信号常是非平稳信号，其相关函数、功率谱等统计量为时变函数，只了 解信号在时域或频域的全局特性远不能满足我们的实际需求。这时更需要知道信号频谱随时间变 化的情形，即使用时间和频率的联合函数来表征信号，而且把这种表征称做信号的时频表示。
3. 时移不变性与频移不变性 核函数与时间和频率无关，时移不变性与频移不变性是Cohen类时频分布的固有性质
19
Cohen类的四种分布及其相互关系
Wigner-Ville分布、模糊函数、瞬时相关函数和点谱相关函数是Cohen类的四种分布 点谱相关函数：
LFM信号的Wigner-Ville分布
11
基于Wigner-Ville分布的信号重构
定义长度为2L+1的离散信号的z(n)的离散Wigner-Ville分布：
对上式作离散傅里叶反变换，并作变量替换： 有：
12
当 当
当
偶数序号的采样信号z(2n)可以由离散Wigner-Ville分布
差
倍
惟一重构，其间至多相
17
Cohen类时频分布是以核函数加权的模糊函数的二维傅里叶变换，可视为模糊域的滤波函数，
将
不需要的分量去除，所以也称为广义双线性时频分布
, Cohen类时频分布退化成Wigner-Ville分布
18
时频分布基本性质与核函数关系
1．总能量与边缘特性 时间边缘特性 频率边缘特性 归一化能量
2．实值性 时频分布是实的分布的充要条件：
5
时频分布的基本性质
1. 实值性： 2. 时移不变性： 3. 频移不变性： 4. 时间边缘特性： 5. 频率边缘特性：
6
6. 瞬时频率： 7. 群延迟： 8. 有限时间支撑： 9. 有限频率支撑：
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二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理会带来很大方便。但是，二次型时 频分布的情况与线性时频分布大不相同，因为二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理。
4
二次型时频分布
在平稳信号中，我们定义解析信号z(t)的自相关函数： 这里定义非平稳连续随机过程{z(t)}的时变自相关函数R(t，T)，考虑信号z(t)的对称形 式，并作类似于STFT中的滑窗处理，沿T轴加权：
时变自相关函数R(t，T)被称为局部相关函数 对局部相关函数作傅里叶变换，就可得到非平稳信号z(t)的时变功率谱，也即信号能量 的时频分布：
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
奇效序号的采样信号z(2n-1)也可以由
惟一恢复，中间最多相差
倍
13
PART 模糊函数
THREE
模糊函数
对解析信号z(t)双线性变换（瞬时相关函数）关于时间t作傅里叶反变换，得到模糊函数：
相同点
变换平面 不同点
物理意义
模糊函数
Wigner-Ville分布
双线性变换信号（瞬时相关函数）的线性变换
时延—频偏平面
时频分布的二次叠加原理：
令：
有：
自时频分布 （信号项）
互时频分布 （交叉项）
8
PART
Wigner-Ville分布
TWO
Wigner-Ville分布
局部相关函数R(t,T)，如对窗函数的T不加限制，而在时域取瞬时值，即： 称为瞬时相关函数 对瞬时相关函数作傅里叶变换，得到Wigner-Ville分布： 用频谱表示：
时频平面
相关域
能量域
事实上，Wigner-Ville分布是模糊函数的一种简单的二维傅里叶变换：
15
PART
Cohen类时频分布
FOUR
Cohen类时频分布
20世纪60年代中期，Cohen发现众多的时频分布只是Wigner-Ville分布的变形，它们可以用 统一的形式表示：
或 被称为核函数 在这种统一的表示里，不同的时频分布只是体现在对积分变换核的函数形式的不同选择， 而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上。这种统一的时频分布现 在习惯地统称为Cohen类时频分布。
短时傅里叶变换换
时频表示
Grabor 变 换
Wigner-Ville分布(WVD)
二次型时频表示
平滑伪Wigner-Ville分布(SPWVD)
Choi-Willams分布(CWD) 在不少场合，人们要求用二次型时频表示来描述信号的能量密度分布（瞬时功率谱密度），在这 种更严格意义下的能量密度分布的时频表示则常被称做信号的时频分布。
长 的 时 间 隧 道，袅
二次型时频分析
目录
CONTENTS
01 时频分布一般理论 02 Wigner-Ville分布 03 模糊函数 04 Cohen类时频分布
05 时频分布的性能评价与改进
06 时频分布的应用场景
PART
时频分布一般理论
ONE
时频表示
在很多实际应用场景中，信号常是非平稳信号，其相关函数、功率谱等统计量为时变函数，只了 解信号在时域或频域的全局特性远不能满足我们的实际需求。这时更需要知道信号频谱随时间变 化的情形，即使用时间和频率的联合函数来表征信号，而且把这种表征称做信号的时频表示。
3. 时移不变性与频移不变性 核函数与时间和频率无关，时移不变性与频移不变性是Cohen类时频分布的固有性质
19
Cohen类的四种分布及其相互关系
Wigner-Ville分布、模糊函数、瞬时相关函数和点谱相关函数是Cohen类的四种分布 点谱相关函数：