王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第5章课件

1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
（13）
Leabharlann Baidu
y β0
β1 βn1 x
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b
第5 章
1. 2. 3. 4.
线性定常系统的综合
本章内容为:
引言 状态反馈和输出反馈 状态反馈系统的能控性和能观测性 状态反馈极点配臵
5. 输出反馈极点配臵 6. 镇定问题 7. 状态重构和状态观测器 8. 降阶观测器 9. 带状态观测器的状态反馈系统 10. 渐近跟踪和干扰抑制问题 11. 12. 解耦问题 MATLAB的应用
1 ，其他参数的选择应该满足： 因为位臵主反馈 K0 0.1 4 1 . 2 K K KA KP 4 K1 2 KP K0 KP
验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配臵的极 点位臵。
5.4 输出反馈系统的极点配置
5.4.1 输出反馈系统的能观测性和能控性 定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。 证明： 设系统方程为
k1 kn-1
k1 kn-1
例5-3 某位臵控制系统（伺服系统）简化线路如下
uTG KTG 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 i D ，即 ui Ki iD。已知折算到电 动机轴上的粘性摩擦系数 f 1 N m/(rad/s)、转动惯量 J D 1kg m2 ；电 动机电枢回路电阻RD 1Ω ；电枢回路电感 LD 0.1H ；电动势系数 、 iD 为 Ke 0.1V/(rad/s) 、电动机转矩系数为 Km 1 N m/A 。选择 o 、 作为状态变量。将系统极点配臵到 1 j 3 和 10 ，求K 阵。
（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈系统的极点配置
5.3.1 状态反馈系统的能控性和能观性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV

（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值矩阵H，均有
0 I I ( A BHC) B I A B HC I
0 I 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 HC I
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
5.3.2
极点配臵
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配臵的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系统方程
Ax Bu x y Cx
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0

* * a1 a1 an 1 an1

（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配臵系统的极点。
方法一：
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
I BH 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 0 I
I ( A BHC ) I A rank rank C C
可见，输出反馈不改变系统的能观性。 定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。 证明： 设系统方程为
记 而
C C1
C2 Cn
n
若系统能控，则进行线性变换， 成能控标准形：
1 0 0 A PAP 1 0 0 1 a a a 1 n 1 0 T b Pb 0 0 1 1 C CP
（19）
而状态反馈矩阵
K KP k0
k1 kn1
方法二： 首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
k det[sI-(A-BK)]=sn fn1 K sn1 f1 K s f0 K
其中， f0 , f1 ,, f n1 为K的各分量元素的线性组合。 设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0

k1 kn1


（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
u V Hy
( A bHC ) x bV x
y Cx
设A的特征多项式为： (s) s
n
an1sn1 a1s a0
，其多项式为： （20）
* s 设闭环极点为： i (i 1, 2,, n)
* n 1 * * H ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 i 1

状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
rank I ( A BHC) B rank I A B
可见，输出反馈不改变系统的能控性。 5.4.2 输出反馈系统极点配置的局限性 设系统方程为
Ax bu x
其中，x —— n维；
y Cx
u —— 标量；
y —— m维。
引入输出反馈： 得到：
uA KAu
2. 计算状态反馈矩阵
QC b

Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990

rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
* n 1 * * Δ ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 * K n
K k0 k1 kn-1
由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状 态反馈矩阵。
i 1
注：在求解上面的过程中，如果出现 k0 k1 kn-1 等的乘积 项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。 如果不能消去的话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程 中有错误。 因为：1.系统变换成能控标准型后配臵极点，没有 k0 等的乘积项； 2.能控系统的方程一定能够转换成能控标准型； 3.非标准型能控系统方程，与它的能控标准型方程是等价的。两者 之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。 所以：在非标准型方程配臵极点的过程中产生的 k0 乘积项必将在计算过程中消去。
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值反馈矩阵H，均有
I ( A BHC ) I BH I A 0 I C C
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0