王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第5章课件
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《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
《现代控制理论基础》课件第5章
1
0 k0
k1
k2
0
0
1
0 2 3 1
k0 2 k1 3 s k2
状态反馈系统特征方程为
sI (A bK) s3 (3 k2)s2 (2 k1)s k0 0
期望闭环极点对应的系统特征方程为
(s 2)(s 1 j)(s 1 j) s3 4s2 6s 4 0
根据两特征方程同幂项系数应相同的原则，可得k0=4， k1=4，k2=1，即系统反馈阵K=［4 4 1］，将系统闭环极点 配置在－2，－1±j。
期望的特征多项式为 (s+1)(s+2)=s2+3s+2
比较对应项系数，可得
K k1 k2 4 1
经典控制中采用输出反馈方案，由于其可调参数有限， 只能影响特征方程的部分系数，比如根轨迹法仅能在根轨迹 上选择极点，它们往往作不到任意配置极点；而状态反馈的 待选参数多，如果系统能控，特征方程的全部n个系数都可 独立任意设置，便获得了任意配置闭环极点的效果。一般K 阵元素越大，闭环极点离虚轴越远，频带越宽，响应速度越 快，但稳态抗干扰能力越差。
(5-6)
K [k0 k1
kn 1 ]
u V Kx
(5-7) (5-8)
可求出引入状态反馈后状态空间方程为
x ( A bK )x bV
y
Cx
式中
0
0
A bK
0
a0 k0
1 0
0 a1 k1
0 1
0 a2 k2
0
0
1
an1 kn1
(5-9) (5-10)
系统 (AbK, B,C) 仍为能控标准形，故引入状态反馈后，
5.1.1 状态反馈 设被控系统的动态方程为
现代控制理论课件_状态可控性(5_1-5_3)
5.2 状态可控性定义
则 X t t ,t0 x0 x t t , B u d
t
0
可控态。所以，必存在u t ,t t0 ,t ，使得 X t 0
若系统在t0 ,t 上完全可控，则x0 x* 是
控的。可达性亦然。
13/64
5.2 状态可控性定义
4
可控态的表达式 假设x 是 t0 , t 上的可控态，即存在u使得 x t0 x 转移到x t 0，故有 x t 0 t , t0 x t , B u d
t , t0 P t , t0 P
1
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
20/64
5.2 状态可控性定义
设x 是可控态，则存在u t ,t t 0 ,t ，成立 x t t0 , B u d
t
0
t0 t
由上述可知，状态x 是否可控，完全由 t , t0 和B t 决定，即由 A t , B t 决定。所以，可控性 是系统的结构性质。
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
15/64
5.2 状态可控性定义
5 当系统不是完全可控时，其可控态不充满
0 0 0 0
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
19/64
5.2 状态可控性定义
d P t , t0 P
1
dt
P 1 A(t ) P P 1 t , t0 P
A(t ) P 1 t , t0 P P 1 t0 , t0 P I 因此
现代控制理论基础 第3版 教学课件 ppt 作者 王孝武 第5章
而状态反馈矩阵 K KP k0 k1 kn1
方法二：首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
K k 0 k1 k n -1
k d et[sI-(A -B K )]= s n f n 1 K s n 1 f1 K s f 0 K
其中， f0 , f1 , , fn1 为K的各分量元素的线性组合。
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈
线性定常系统方程为：
x Ax Bu y Cx Du
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。
u V Kx
其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。
证明： 设系统方程为 x Ax Bu
y Cx
控制 u V Hy
输出反馈系统方程为 x ( A BHC) x BV
y Cx
对于任意常值反馈矩阵H，均有
I ( A BHC)
C
I 0
BH I A
I
C
因为不论H为何种常值矩阵，矩阵
如果特征多项式为 H (s) s3 4s2 2s 1 ，则满足（23）式。
5.4.3 输出反馈系统极点配置的基本结论
定理5-4 系统（1）能控、能观测，rank B=r， rank C=m。存在一个常值输出
反馈矩阵H，使闭环系统有 min n , r m 1 个极点可配置任意接近
minn , r m 1 个任意指定的极点（复数共轭成对）的位置。在
y Cx
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
现代控制理论基础课件第五章书上第六章资料
3）使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制 一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。 在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第2章课件
1
x(s) [sI A]1 x(0) [sI A]1 x(0)
（10）
x (t ) L
1
{[sI A]1 x(0)} L
At
1
由微分方程解的唯一性
(t ) e
1 [ s I A] L
例2-2
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
1 2 2 1 a t akt k 2! k!
e at 1 at
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程 （1）的解为 （5） x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bk t k 将（5）式代入（1）式
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k 1
λ λ
2 1 2 2
2 λn
λ n 1 λn λ
n 1 1 1 n 1 2
e λ1t λ2t e λnt e
（15）
例2-3
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有 b1 Ab0 1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2! 而 b0 x(0) 1 1 bk Abk Ak b0 k k! 则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
At
(t )
（9）
(t ) e
方法2
应用拉普拉斯变换法，计算 (t )
1 2 2 1 k k I At A t A t 2! k!
x(s) [sI A]1 x(0) [sI A]1 x(0)
（10）
x (t ) L
1
{[sI A]1 x(0)} L
At
1
由微分方程解的唯一性
(t ) e
1 [ s I A] L
例2-2
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
1 2 2 1 a t akt k 2! k!
e at 1 at
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程 （1）的解为 （5） x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bk t k 将（5）式代入（1）式
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k 1
λ λ
2 1 2 2
2 λn
λ n 1 λn λ
n 1 1 1 n 1 2
e λ1t λ2t e λnt e
（15）
例2-3
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有 b1 Ab0 1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2! 而 b0 x(0) 1 1 bk Abk Ak b0 k k! 则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
At
(t )
（9）
(t ) e
方法2
应用拉普拉斯变换法，计算 (t )
1 2 2 1 k k I At A t A t 2! k!
教学课件 现代控制理论基础--王孝武
1.1 状态变量及状态空间表达式
• 状态变量 (State variables)
– 状态：表征系统运动的信息和行为 – 状态变量：能完全表示系统运动状态的最小
个数的一组变量
x1(t), x2(t), …, xn(t)
• 状态向量(State vectors)
由状态变量构成的向量 x(t)
1.1 状态变量及状态空间表达式
– 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论， 而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要 的条件—现代数学和数字计算机。
– 现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现 代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数 字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平 台。
– 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞 速发展，推动了核能技术、空间技术的发展， 从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 对于受控系统（广义系统）S，寻求控制规律 u(t)，使得闭环系统满足给定的性能指标要求。
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 建模(Modelling)：用数学模型描述被控对象 – 分析(Analysing)：
• 定性(Quality)：稳定性、能观能控性 • 定量(Quantity)：时域指标、频域指标
(P.1bility criteria for nonlinear systems)
绪论
• 现代控制理论研究的对象、内容及方法
– 现代控制理论研究的内容
• 线性系统理论 (Theory of Linear Systems) • 非线性系统理论 (Theory of Nonlinear Systems)
现代控制理论ppt课件
5.2 极点配置
设状态反馈系统希望的极点为 s1, s2, , sn
其特征多项式为
n
Δ*K (s) (s si ) sn an*1sn1 a1*s a0* i 1
选择 k使i 同次幂系数相同。有
K a0* a0 a1* a1 an*1 an1
而状态反馈矩阵 K KP k0 k1 kn1 9
βn-1sn1 βn-2sn2 β1s sn an-1sn1 a1s a0
β0
(s) (s)
引入状态反馈 u V Kx V KP1x V Kx
令
K KP 1 k0 k1 kn1
其中 k0 , k1, , kn1为待定常数
7
5.2 极点配置
0 1
0 0
5
5.2 极点配置
证明：充分性
线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
经过线性变换 x P1x ，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
0 1
y β0 β1 βn1 x
6
5.2 极点配置
系统传递函数：g(s) C[sI A]1b C [sI A]1b
0 0 1 P 0 1 12
16
1 18 144
5.2 极点配置
0 0 1
k kP 4 66 140 1 12
1 18 144
14 186 1220
17
5.2 极点配置
方法二：
k k1 k2 k3
s k1 k2
k3
a*
(
s)
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
16/88
3） 哈密顿函数沿最优轨线随时间改变率
dH dt
H x
T
x
H u
T
u
H λ
T
λ
H t
在最优控制 u* 、最优轨线
x*
下，有
H u
0
和
H T x
x
H λ
T
λ
H T x
H λ
H λ
T
H x
0
（23）
（10）式哈密顿函数对
导，结果为 f ( x,u,t)
λ求x 偏
n (t)
将性能指标（8）式改写为其等价形式
（9）
由（6）式可知 f ( x,u,t) x
为零
J [ x(t f )] t f {L( x, u,t) λT (t)[ f ( x, u,t) x ]}d t t0
定义哈密顿函数 H ( x, u, λ,t) L( x, u,t) λT (t) f ( x, u,t)
T
tf
x(t
f
)
L x
T
t0
x(t0 ) 0
注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
10/88
6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下最优控制
非线性时变系统状态方程为
x f ( x,u,t)
（6）
初始状态
x(t) tt0 x(t0 )
（7）
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。
T
δ
J
x
(t
f
)
δ x(t f ) λT (t f ) δ x(t f )
现代控制理论课件
图中，I为(n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
9
❖ 讨论： 1、状态变量的独立性。
2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、 动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是 唯一的，与状态变量的选取方法无关。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任 何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
3) 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。 4) 状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的
推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态 轨线或状态轨迹。
5) 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称
b2
p
bnp
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cq1 cq2
cqn
d11 d12 L
D
d21
d22
L
d2
p
M
dqp
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)课件
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0
0
b0
u
系统的状态图如下：
x1
y 1
0
0
xn
1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项
（一）待定系数法
首先考察三阶系统，其微分方程为 y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
┆ xn1 xn z(n1)
xn z(n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
y
b z (n1) n1
b1z
b0 z
b0 x1
b1x2
bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
2. 线性时变系统： x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
3. 非线性定常系统：
x = f(x, u) y = g(x, u)
4. 非线性时变系统：
x = f(x, u, t ) y = g(x, u, t )
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
《现代控制理论(第3版)》
，
表示，即令
并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：
或
式中
(2) 1.1.5 输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系
统的输出方程。如在图1.1系统中，指定
作为输出，输出一般用y表
示，则有：
或 式（3）就是图1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：
（3）
或 式中 1.1.6 状态空间表达式
（4）
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的 动态过程。如上图一所示的系统，在以 作输出时，从式(1)消去中间变量 i，得到二阶微分方程为：
（5）
其相应的传递函数为：
（6）
回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则得一阶微分方程组为：
设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 状态方程的一般形式为：
将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出 的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的
导数。 从图（a），容易列出系统的状态方程：
输出方程为：
表示成矩阵形式，则为：
顺便指出，当 矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特 点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均 为零。
（28） （29）
为求得 较得：
令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比
故得：
（30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
即 扩展到 阶系统，其状态空间表达式为：
（32）
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第3章课件讲解
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
QC [B AB A2 B An1B]
（6）
rank QC n
（7）
证明
应用凯-哈定理，有
n1
eAτ a0 (τ)I a1(τ) A an1(τ) An-1 ai (τ) Ai
定理3-10 （18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下 能观性矩阵满秩，即
rank QO n
（21）
C
QO
CA
CA
n
1
nmn
（22）
证明 设 u(t) 0 ， 系统的齐次状态方程的解为
x(t) eAt x(0)
y(t) Cx(t) C eAt x(0)
为了简便起见，令 u(t) 0 则 x(t) eAt x(0)
y(t) C eAt x(0) [x1(0) x2 (0)] e3t
从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出y (t )仅仅取决于其差
值[x1(0) x2(0)] 。当 x1(0) x2(0) ，则输出恒等于零。显然，无法通过对 输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。
显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。
例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 变量，即：x1 uC1 ， x2 uC2 ，电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y x2 ，则电路的系统方程为
x
Ax
bu
2
1
1 1 2 x 1u
3线性控制系统的能控性与能观测性修改《现代控制理论基础(第3版)》课件
均不为0，从微分方程组可看出， x 1
•
、x 2
与输入 u
都有关， 即
x 1 ， x 2 都能受到输入 u 的控制，该系统是能控的。
若系统状态方程为
•
x
01
0 0
2xb2u
写成微分方程组
•
x1 1x1
•
x2 2x2 b2u
若
b1 0,b2 0
•
从微分方程组可看出， x 1
u 与输入
无关，即 不能受输入
2
因此，该系统状态是不完全能控的。
图3-3是能控系统的模拟结构图，从图中可看出，系统的两个状态变量
x
1
,
x
都受控于系统的输入量
2
u ，因此，该系统的状态都是能控的。
图3-3能控系统的模拟结构图
二、能观测性的基本概念
系统能观测性关心的核心问题是，状态变量
x能否从输出量 y 中检测出来。
i 图3-4的 R L 电路 ，电路中，若选取两个电感上的电流 1
输出表明，它只是与状态间的误差值有关，也就是说，并不能从系统的输出值 中确定出各个状态值，因此，电路是不能观测的。
图3-5为不完全能观测系统的模拟结构图。
图3-5一种不完全能观测系统的模拟结构图
从图中看出，系统的输出值完全与第3个状态变量无关，换句话说，不能 从系统的输出值中检测出第３个状态变量。
uc 0
图3-1
x 从控制的观点看，就是状态变量 不受输入量 u ( t ) 的控制 ，或者说，
该电路的状态是不能控的。
当 R1R4 R2R3 电桥不平衡时，电容两端的电位不相等， u c 0
u 而且，电容电压 c 始终跟着输入电压u ( t ) 的变化而变化。
•
、x 2
与输入 u
都有关， 即
x 1 ， x 2 都能受到输入 u 的控制，该系统是能控的。
若系统状态方程为
•
x
01
0 0
2xb2u
写成微分方程组
•
x1 1x1
•
x2 2x2 b2u
若
b1 0,b2 0
•
从微分方程组可看出， x 1
u 与输入
无关，即 不能受输入
2
因此，该系统状态是不完全能控的。
图3-3是能控系统的模拟结构图，从图中可看出，系统的两个状态变量
x
1
,
x
都受控于系统的输入量
2
u ，因此，该系统的状态都是能控的。
图3-3能控系统的模拟结构图
二、能观测性的基本概念
系统能观测性关心的核心问题是，状态变量
x能否从输出量 y 中检测出来。
i 图3-4的 R L 电路 ，电路中，若选取两个电感上的电流 1
输出表明，它只是与状态间的误差值有关，也就是说，并不能从系统的输出值 中确定出各个状态值，因此，电路是不能观测的。
图3-5为不完全能观测系统的模拟结构图。
图3-5一种不完全能观测系统的模拟结构图
从图中看出，系统的输出值完全与第3个状态变量无关，换句话说，不能 从系统的输出值中检测出第３个状态变量。
uc 0
图3-1
x 从控制的观点看，就是状态变量 不受输入量 u ( t ) 的控制 ，或者说，
该电路的状态是不能控的。
当 R1R4 R2R3 电桥不平衡时，电容两端的电位不相等， u c 0
u 而且，电容电压 c 始终跟着输入电压u ( t ) 的变化而变化。
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* n 1 * * Δ ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 * K n
K k0 k1 kn-1
由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状 态反馈矩阵。
i 1
注：在求解上面的过程中，如果出现 k0 k1 kn-1 等的乘积 项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。 如果不能消去的话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程 中有错误。 因为：1.系统变换成能控标准型后配臵极点，没有 k0 等的乘积项； 2.能控系统的方程一定能够转换成能控标准型； 3.非标准型能控系统方程，与它的能控标准型方程是等价的。两者 之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。 所以：在非标准型方程配臵极点的过程中产生的 k0 乘积项必将在计算过程中消去。
（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈系统的极点配置
5.3.1 状态反馈系统的能控性和能观性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
k1 kn-1
k1 kn-1
例5-3 某位臵控制系统（伺服系统）简化线路如下
பைடு நூலகம்
uTG KTG 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 i D ，即 ui Ki iD。已知折算到电 动机轴上的粘性摩擦系数 f 1 N m/(rad/s)、转动惯量 J D 1kg m2 ；电 动机电枢回路电阻RD 1Ω ；电枢回路电感 LD 0.1H ；电动势系数 、 iD 为 Ke 0.1V/(rad/s) 、电动机转矩系数为 Km 1 N m/A 。选择 o 、 作为状态变量。将系统极点配臵到 1 j 3 和 10 ，求K 阵。
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0
* * a1 a1 an 1 an1
第5 章
1. 2. 3. 4.
线性定常系统的综合
本章内容为:
引言 状态反馈和输出反馈 状态反馈系统的能控性和能观测性 状态反馈极点配臵
5. 输出反馈极点配臵 6. 镇定问题 7. 状态重构和状态观测器 8. 降阶观测器 9. 带状态观测器的状态反馈系统 10. 渐近跟踪和干扰抑制问题 11. 12. 解耦问题 MATLAB的应用
记 而
C C1
C2 Cn
1 ，其他参数的选择应该满足： 因为位臵主反馈 K0 0.1 4 1 . 2 K K KA KP 4 K1 2 KP K0 KP
验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配臵的极 点位臵。
5.4 输出反馈系统的极点配置
5.4.1 输出反馈系统的能观测性和能控性 定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。 证明： 设系统方程为
（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配臵系统的极点。
方法一：
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0
I BH 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 0 I
I ( A BHC ) I A rank rank C C
可见，输出反馈不改变系统的能观性。 定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。 证明： 设系统方程为
状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值反馈矩阵H，均有
I ( A BHC ) I BH I A 0 I C C
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
5.3.2
极点配臵
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配臵的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系统方程
Ax Bu x y Cx
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值矩阵H，均有
0 I I ( A BHC) B I A B HC I
0 I 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 HC I
uA KAu
2. 计算状态反馈矩阵
QC b
Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990
rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
（19）
而状态反馈矩阵
K KP k0
k1 kn1
方法二： 首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
k det[sI-(A-BK)]=sn fn1 K sn1 f1 K s f0 K
其中， f0 , f1 ,, f n1 为K的各分量元素的线性组合。 设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
k1 kn1
（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
（13）
y β0
β1 βn1 x
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
u V Hy
( A bHC ) x bV x
y Cx
设A的特征多项式为： (s) s
n
an1sn1 a1s a0
，其多项式为： （20）
* s 设闭环极点为： i (i 1, 2,, n)
* n 1 * * H ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 i 1
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV
（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0
解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0
K k0 k1 kn-1
由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状 态反馈矩阵。
i 1
注：在求解上面的过程中，如果出现 k0 k1 kn-1 等的乘积 项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。 如果不能消去的话，只有2种可能：1）系统不能控；2）计算过程 中有错误。 因为：1.系统变换成能控标准型后配臵极点，没有 k0 等的乘积项； 2.能控系统的方程一定能够转换成能控标准型； 3.非标准型能控系统方程，与它的能控标准型方程是等价的。两者 之间只是进行了非奇异线性变换，不影响其基本属性。 所以：在非标准型方程配臵极点的过程中产生的 k0 乘积项必将在计算过程中消去。
（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈系统的极点配置
5.3.1 状态反馈系统的能控性和能观性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
k1 kn-1
k1 kn-1
例5-3 某位臵控制系统（伺服系统）简化线路如下
பைடு நூலகம்
uTG KTG 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 i D ，即 ui Ki iD。已知折算到电 动机轴上的粘性摩擦系数 f 1 N m/(rad/s)、转动惯量 J D 1kg m2 ；电 动机电枢回路电阻RD 1Ω ；电枢回路电感 LD 0.1H ；电动势系数 、 iD 为 Ke 0.1V/(rad/s) 、电动机转矩系数为 Km 1 N m/A 。选择 o 、 作为状态变量。将系统极点配臵到 1 j 3 和 10 ，求K 阵。
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0
* * a1 a1 an 1 an1
第5 章
1. 2. 3. 4.
线性定常系统的综合
本章内容为:
引言 状态反馈和输出反馈 状态反馈系统的能控性和能观测性 状态反馈极点配臵
5. 输出反馈极点配臵 6. 镇定问题 7. 状态重构和状态观测器 8. 降阶观测器 9. 带状态观测器的状态反馈系统 10. 渐近跟踪和干扰抑制问题 11. 12. 解耦问题 MATLAB的应用
记 而
C C1
C2 Cn
1 ，其他参数的选择应该满足： 因为位臵主反馈 K0 0.1 4 1 . 2 K K KA KP 4 K1 2 KP K0 KP
验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配臵的极 点位臵。
5.4 输出反馈系统的极点配置
5.4.1 输出反馈系统的能观测性和能控性 定理5-2 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能观测性。 证明： 设系统方程为
（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配臵系统的极点。
方法一：
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0
I BH 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 0 I
I ( A BHC ) I A rank rank C C
可见，输出反馈不改变系统的能观性。 定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。 证明： 设系统方程为
状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值反馈矩阵H，均有
I ( A BHC ) I BH I A 0 I C C
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
5.3.2
极点配臵
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配臵的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系统方程
Ax Bu x y Cx
A x Bu x
控制
y Cx
输出反馈系统方程为
u V Hy
( A BHC ) x BV x y Cx
对于任意常值矩阵H，均有
0 I I ( A BHC) B I A B HC I
0 I 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 HC I
uA KAu
2. 计算状态反馈矩阵
QC b
Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990
rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
（19）
而状态反馈矩阵
K KP k0
k1 kn1
方法二： 首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
k det[sI-(A-BK)]=sn fn1 K sn1 f1 K s f0 K
其中， f0 , f1 ,, f n1 为K的各分量元素的线性组合。 设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
k1 kn1
（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
（13）
y β0
β1 βn1 x
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
u V Hy
( A bHC ) x bV x
y Cx
设A的特征多项式为： (s) s
n
an1sn1 a1s a0
，其多项式为： （20）
* s 设闭环极点为： i (i 1, 2,, n)
* n 1 * * H ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 i 1
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV
（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0
解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0