人教版九年级数学二次函数专题卷(有答案)
人教版九年级数学二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 . 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数2ax y =与xay =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y（2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m .∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222 +=++=m m m图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a 解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有 6,3,2,====OD OC OB ODOP OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC.又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 ac x x =⋅21，∴a c c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. a AE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m >-2，∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0，解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0，∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p 解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴ 1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FH ED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH. ∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得 12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ）故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD.∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ，∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE . E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章 二次函数 单元试卷(含答案)
第二十二章二次函数单元试卷一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x−2B．y=x2C．y=x2−(x+1)2D．y=2x22．抛物线y=−x2−2x一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+4分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）A．y=(x+2)2+2B．y=(x−2)2−2C．y=(x−2)2+2D．y=(x+2)2−24．已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为（ ）A．﹣2B．﹣4C．2D．45．如图，已知y1=ax2+bx+c(a≠0)与y2=kx+b(k≠0)相交于A(−1，0)、B(−4，3)两点，则y1>y2的x的取值范围是（）A．x<−4B．−4<x<−1C．x>−1D．x<−4或x>−1 6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟7．已知函数y =3x 2−6x +k （k 为常数）的图象经过点A (0.8,y 1)，B (1.1,y 2)，C(2,y 3)，则有（ ）．A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1>y 2>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 1>y 3>y 28．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A ．6425m 2B ．43m 2C ．83m 2D ．4m 29．下表给出了二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值：x …1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…−1−0.67−0.290.140.62…那么关于x 的方程ax 2+bx +c =0的一个根的近似值可能是（ ）A ．1.07B ．1.17C ．1.27D ．1.3710．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，c ＜﹣1，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），其中0＜x 1＜1，有下列结论：①abc ＞0；②﹣3＜x 2＜﹣2；③4a ﹣2b +c ＜﹣1；④a ﹣b ＞am 2+bm （m ≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数y =(x +1)(x−3)，则该二次函数的对称轴为 .12．若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）13．若函数y ＝x 2＋2x ﹣b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是 ．14．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系式为ℎ=30t−5t 2，则小球高度为40m 时，t= ．15．已知抛物线y=a(x+2)2+k(a>0)，当x≥时，y随x的增大而增大．16．定义{a,b,c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”如：函数y=x2+3x+2的“特征数”是{1,3,2}，函数y=x2−4的“特征数”是{1,0,−4}，在平面直角坐标系中，将“特征数”是{2,0,4}的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是.(a>0)与y轴交于点A，过点A作x 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax+83轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB 的中点，则a的值为．三、解答题18．已知二次函数y=kx2+(k+1)x+1(k≠0).(1)求证：无论k取任何实数，该函数图像与x轴总有交点；(2)若图像与x轴仅有一个交点，当−2≤x≤1时，求y的取值范围.19．如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上2m的A点处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−ℎ)2+k．已知球与O点的水平距离ON为6m时，达到最高3m，球场的边界距O点的水平距离为18m．(1)请确定排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式；(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x （元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．21．已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的表达式；(2)观察图象，当−2<x<1时，y的取值范围为______；(3)若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点(−2,0)，求m的值．x2+bx+c与y轴交于点A(0,2)，与x轴交22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23于B(−3,0)、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标．23．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？24．如图，二次函数y=x²−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点.(1)求A,B两点的坐标；(2)求△MBC的面积；(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：题号12345678910答案B A A B D C C C C B11．直线x=112．y=2x213．b＞﹣1且b≠014．2s或4s15．−216．{2,−4,3}17．218．（1）解：令y=0，则kx2+(k+1)x+1=0，∵Δ=(k+1)2−4k=k2+2k+1−4k=k2−2k+1=(k−1)2⩾0，∴无论k取任何实数，方程kx2+(k+1)x+1=0总有实数根，∴无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；（2）解：∵该函数的图象与x轴只有一个交点，∴Δ=(k−1)2=0.解：k=1，∴y=x2+2x+1=(x+1)2.∴该二次函数开口向上，对称轴为x=−1∴当x=−1，函数取得最小值0；当x=1时，函数取得最大值4∴y的取值范围为0⩽y⩽4.19．（1）解：由题意可知：该抛物线顶点为M(6,3)，∴y=a(x−6)2+3，把A(0,2)的坐标代入解析式，得a(0−6)2+3=2，解得a=−136，∴排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式为y=−136(x−6)2+3；（2）解：设第一次落地点为B，令y=0，则−136(x−6)2+3=0，解之得：x1=6−63（舍），x2=6+63，∵6+63<18，∴排球第一次落地没出界．20．（1）设AB段的解析式为：y=kx+b，由图可知：图象经过(25,200),(35,100)，则：{25k+b=20035k+b=100，解得：{k=−10 b=450，∴y=−10x+450；设BC段的解析式为：y=mx+n，由图可知：图象经过(50,40),(35,100)，则：{50m+n=4035m+n=100，解得：{m=−4 n=240，∴y=−4x+240∴y={−10x+450(25≤x≤35)−4x+240(35≤x≤50)．（2）设销售利润为W元，则①当25≤x≤35时，W=(x−25)(−10x+450)=−10(x−35)2+1000，∴x=35时，W max=1000元．②当35≤x≤50时，W=(x−25)(−4x+240)=−4(x−42.5)2+1225，∵x为整数，∴x=42或43时，W取最大值，W max=1224．∵1224>1000，∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．（3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；∴−4(x−42.5)2+1225≥1200，当−4(x−42.5)2+1225=1200，解得：x1=40,x2=45，∵−4<0，∴−4(x−42.5)2+1225≥1200的解集为40≤x ≤45．21．（1）解：根据图象可知，二次函数的顶点为(−1,−4)，设二次函数的表达式为y =a (x +1)2−4，且图象过点(1,0)，∴0=a ×(1+1)2−4，解得：a =1，∴二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，（2）由（1）得：二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，∴当x =−1时，y 有最小值−4，当x =1或x =−2时，y =0，∴当−2<x <1时，y 的取值范围为−4≤y <0，（3）由题意得：平移后的解析式为y =(x +1)2−4+m ，∵过点(−2,0)，∴0=(−2+1)2−4+m ，解得：m =3．22．（1）由题意得：{c =20=−6−3b +c，解得：{b =−43c =2，∴抛物线解析式为：y =−23x 2−43x +2=−23(x +1)2+83，∴顶点D 坐标(−1,83)；（2）∵由（1）得y =−23x 2−43x +2，当y =0时，y =−23x 2−43x +2=0，解得：x 1=1，x 2=−3，∴点C (1,0)，设点E (m,−23m 2−43m +2)，则点P (m,0)，∵PE =PC ，∴−23m 2−43m +2=1−m ，∴m 1=1（舍去），m 2=−32，∴点E(−32,52)．23．略24．(1)A(−1，0)，B(3，0)(2)3(3)存在；N1(1，−3+172)，N2(1，−3−172)，N3(1，−4)，N4(1，2).。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数 》测试卷-带参考答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》测试卷-带参考答案一、单选题1．将二次函数化为顶点式正确的是（）A．B．C．D．2．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C．D．3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m5．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（）A．B．C．D．或8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线的顶点在轴上，则.10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加m．11．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是m．12．已知点、和都在函数的图象上，则、和的大小关系为（用“”连接）．13．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，当轴时，．三、解答题14．如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．15．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？16．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17．某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点的水平距离应为多少18．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．A8．B9．2510．2 ﹣411．60012．13．414．解：当时米．答：货车的限高应是米．15．（1）解：设y与x之间的函数关系式为由已知得解得因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W由题意得W关于x的二次函数图象开口向上，且x为整数当时，W取最大值，最大值为1800即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．16．（1）解：由已知可得：AD==则S=1×=；（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m∵AB＞0，AD＞0，AF＞0∴0<x<设窗户的面积为S由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+当x=时，S有最大值，为∵＞1.05∴现在窗户透光的最大值变大.17．（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为把代入得：解得：抛物线的解析式为（2）解：当时解得：不符合题意，舍去答：人梯到起跳点的水平距离应为．18．（1），和（2）解：如图，连接设点当时，即点P的坐标为时，有最大值；（3）解：存在.①如图，当四边形为时抛物线对称轴为直线的坐标为②如图，当四边形为时，作于点G和和综上所述，点F的坐标为或或。
人教版九年级数学第二十二章二次函数试卷(含答案)
初中数学人教版九年级二次函数一、单选题1．将抛物线y =x 2+1向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）A ．y =(x +3)2+1B ．y =(x ―3)2+1C ．y =x 2+4D ．y =x 2―22．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5B ．有最大值 2，有最小值 1.5C ．有最大值 2，有最小值﹣2.5D ．有最大值 2，无最小值3．对于任何实数ℎ，抛物线y =―x 2与抛物线y =―（x ―ℎ）2的相同点是（ ）A ．形状与开口方向相同B ．对称轴相同C ．顶点相同D ．都有最低点4．直线y =32x ―1 与抛物线 y =x 2―12x 的交点个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个5．山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A ．140元B ．150元C ．160元D ．180元6．已知抛物线C ：y =x 2―4mx +m ―3，其顶点为D ，若点D 到x 轴的距离为3，则m 的值为（ ）A ．0或14B ．34C ．―12D ．12或―347．当 0≤x ≤m 时，函数 y =―x 2+4x ―3 的最小值为 ―3 ，最大值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．0≤m ≤2B ．0≤m <4C ．2≤m ≤4D ．m ≥28．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=a x2―2ax上的点，下列命题正确的是（ ）A．若|x1―1|>|x2―1|，则y1>y2B．若|x1―1|>|x2―1|，则y1<y2C．若|x1―1|=|x2―1|，则y1=y2D．若y1=y2，则x1=x29．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为( ) A．B．C．D．10．如图，抛物线y=a x2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是x=3，过一、二、四象限的直线y=kx―4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．①bk>0，②4b+3c=0，③4a+2b+c+2k<0，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则k=―2a，⑤m为任意实数，则有m(am+b)+c+a≥0．A．2B．3C．4D．5二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象经过点(0，2)，则此二次函数顶点坐标为 .12．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 ．13．已知二次函数 y =x 2―2ax +a 2―3a +6 的图象与x 轴没有公共点，且当 x <―1 时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 .14．规定：如果两个函数的图象关于y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”.例如：函数y =x +3与y =―x +3互为“Y 函数”.若函数y =k 4x 2+(k ―1)x +k ―3的图象与x 轴只有一个交点，则它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为 ．15．如图是抛物线y 1=a x 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A (1，―3)，与x 轴的一个交点为B (4，0)，点A 和点B 均在直线y 2=mx +n (m ≠0)上．①2a +b =0；②abc <0；③抛物线与x 轴的另一个交点为(―4，0)；④方程a x 2+bx +c =―3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx +n >a x 2+bx +c 的解集为1<x <4．上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．16．数y=ax 2+bx+c （a ＜0）图象与x 轴的交点A ．B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：①16a ﹣4b+c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （ 52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2；③a=﹣ 13 c ；④若△ABC 是等腰三角形，则b=﹣ 273．其中正确的有 （请将结论正确的序号全部填上）三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线y =a x 2+bx +3(a >0)上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m >0，当2―m ≤x ≤2+2m ，y 的取值范围是―1≤y ≤3，求a ，m 的值．18．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN 所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大，最大值是多少？19．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上.开始时点A与点N重合，正方形MNPQ不动，△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合.（1）求重叠部分的面积y(c m2)关于时间t(s)的函数表达式和自变量的取值范围.（2）分别求当t=1，2时，重叠部分的面积..20．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．解答下列问题：（注意：取43=7，26=5）（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）求足球第二次飞出到落地时，该抛物线的表达式；（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少m？21．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．22．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n―m=t(b―a)则称此函数为“t系郡园函数”（1）已知正比例函数y=ax(1≤x≤4)为“1系郡园函数”，则a的值为多少？（2）已知二次函数y=―x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；（3）已知一次函数y=kx+1（a≤x≤b且k>0）为“2系郡园函数”，P(x,y)是函数y=kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y=mx2+(m―2)x―2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】(1，1)12．【答案】y 1＜y 2＜y 313．【答案】-1≤a ＜214．【答案】（3，0）或（4，0）15．【答案】①⑤16．【答案】①③17．【答案】（1）直线x =2（2）a =1，m =118．【答案】长方形的长为25米，宽为252米时，长方形的面积最大，最大是6252平方米19．【答案】（1）解：∵△ABC 以每秒2cm 的速度向左运动，∴t 秒后AN=2t ，AM=20-2t ，∵∠AMH=90°，∠BAC=45°，∴AM=HM=20-2t ，∴重叠部分的面积为y=S △AMH =12(20―2t )2=2t 2―40t +200，自变量的取值范围是0⩽t⩽10；（2）解：当t=1时，重叠部分的面积y =2×12―40×1+200=2―40+200=162(c m 2)； 当t=2时，重叠部分的面积y =2×22―40×2+200=8―80+200=128(c m 2)20．【答案】（1）解：设y =a (x ―6)2+4，则1=a (0―6)2+4，∴a =―112y =―112(x ―6)2+4（2）解：当y=0时，0=―112(x ―6)2+4，解得：x =43+6=13，x =―43+6<0（不合题意，舍去），∴C （13，0）设第二次落地的抛物线为y =―112(x ―k )2+2，则当x=13时，y=0，则0=―112(13―k )2+2，解得：k =13+26=18，k =13―26<13（不合题意，舍去），∴y =―112(x ―18)2+2（3）解：当y=0，即0=―112(x ―18)2+2解得：x =18+26=23，x =18―26=13（不合题意，舍去），∴BD=23－6=17（m ）答：运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑17m.21．【答案】（1）解：将A （﹣1，0）、B （3，0）代入解析式得{a ―b +3=09a +3b +3=0，解得{a =―1b =2抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；（2）解：∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3；∴C （0，3）又∵B(3，0)∴y BC =-x+3∵PQ ⊥x 轴设Q(t ，-t+3)，则P(t ，-t 2+2t+3)∵P 在直线BC 上方抛物线上∴0<t<3，且PQ=（-t 2+2t+3）-（-t+3)，∴PQ=-t 2+3t=-（t-32)2+94∴当t=32时，PQ 的最大值是94（3）解：如图作AM ⊥CF ，DN ⊥CF ，DE//BC 交y 轴于点E ，CG ⊥DE∵S △COF ：S △CDF ＝3：2则公共底边CF 上的高线长之比AM ：DN=3：2∵C （0，3）、B （3，0）∴CB=32∴ΔABC 是等腰直角三角形，且AM=12CB =322∴DN=2=CG∵∠CEG=∠OCB=45°∴ΔCEG 是等腰直角三角形∴CE=2CG=2∴E(0，5)∴y DE =-x+5令-x+5=﹣x 2+2x+3解得：x 1=1，x 2=2点D 的坐标为（1，4）或（2，3）22．【答案】（1）解：当a >0时，y 随x 的增大而增大∵1≤x ≤4∴当x=1时，y 最小值为a∴当x=4时，y 最小值为4a∴a≤y≤4a∴4a ―a =1×(4―1)∴a =1．当a <0时同理：a ―4a =1×(4―1)∴a =―1∴a的值是±1．（2）解：当x=1时，y=a2+2a―1当x=3时，y=a2+6a―9当x=a时，y=2a2∵x=―2a2×(―1)=a，开口方向向下当a≥3时，n=a2+6a―9，m=a2+2a―1∴2t=n―m=4a―8∴t=2a―4∴2a=t＋4∵a≥3∴t＋4≥6∴t≥2当{1∠a∠33―a≤a―1时解得：2≤a<3∴n=2a2，m=a2+2a―1∴2t=n―m=a2―2a+1∴t=12(a―1)2∵2≤a<3∴1≤a-1<2∴12≤12(a―1)2<2∴12≤t<2当时{1∠a∠33―a>a―1解得：1<a<2∴n=2a2，m=a2+6a―9∴2t=n―m=a2―6a+9∴t=12(a―3)2∵1<a<2∴-2<a-3<-1∴1<(a―3)2<4∴1 2<12(a―3)2<2∴12<t<2当a≤1时，n=a2+2a―1，m=a2+6a―9，∴2t=n―m=―4a+8∴t=―2a+4∴2a=4―t≤2∴t≥2．综上所述，t的取值范围为t≥12．（3）解：当k>0时，y随x的增大而增大∵a≤x≤b当x=a时，m=ka+1当x=b时，n=kb+1∴(kb+1)―(ka+1)=2(b―a)解得k=2∴y=2x+1∵y=mx 2+(m―2)x―2m+1∴y=m(x2+x―2)―2x+1．令x2+x―2=0，解得x1=1，x2=―2当x=1时，y=-1当x=-2时，y=5∴抛物线过定点（1，-1）（-2，5）把x=1时，代入y=2x+1中得：y=3把x=―2，代入y=2x+1中得：y=-3∴P为(1,3)，或(―2,―3)设过点(1,―1)，(―2,5)的直线为y=k1x+b1把点(1,―1)，(―2,5)分别代入得{―1=k1+b15=―2k1+b1解出{k1=―2b1=1∴y=-2x+1联立：{y=―2x+1,y=2x+1解得{x=0,y=1,两直线相交于(0,1)所以抛物线也不能过点(0,1)，∴点P过点(1,3)，(―2,―3)，(0,1)．(1,3)，(―2,―3)，(0,1)11 / 11。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共10小题，满分40分)1．关于抛物线22y x x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．该抛物线经过原点B ．该抛物线的对称轴是直线1x =C ．该抛物线的最大值为1D ．当0x >时，y 随x 增大而减小2．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．用20cm 长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm ，面积是Scm 2，则S 与x 的函数关系式为（ ）A ．S ＝x （20﹣x ）B ．S ＝x （20﹣2x ）C ．S ＝x （10﹣x ）D ．S ＝2x （10﹣x ）4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ． B ． C ．D ．5．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(2,3)--B ．(1,3)-C ．(3,2)-D ．(2,3)-6．如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论：①<0abc ；①40a c +>；①方程20ax bx c ++=有一个实根大于2；①当0x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x -2）2的是（ ） A ．y=-x 2B ．y=x 2-2C ．y=（x -2）2+1D ．y=（2-x ）28．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） ①abc ＜0；①a+c ＞0；①2a+b=0；①关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=﹣1，x 2=3①b 2＜4acA ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．设函数221y x kx k =-+-（k 为常数），下列说法正确的是（ ）A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x n ≥时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线221y x kx k =-+-都必定经过唯一定点 10．在平面直角坐标系中，若点()11,M x y ，()()2212,N x y x x <是抛物线()220y mx x m m =-+>上的两点，且满足124x x +=时，都有12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．104m <<C ．12m >D ．1142m <<二、填空题（共8小题，满分32分）11．二次函数y=﹣2（x ﹣1）2+3的图象与y 轴的交点坐标是 ．12．若点A(2，m )在函数21y x =-的图象上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是 . 13．把抛物线2y x =-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线()213y x =--+. ( )14．已知抛物线22y x mx m =-++，当21x -<<时，y 随x 的增大而增大，m 的取值范围是 ． 15．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，6），在下列5个点中，对于不在此抛物线上的一点P ，将点P 平移到点P ′，使点P ′在此抛物线上，写出点P 的坐标及平移方法：（1，32），（﹣1，32），（1，﹣32），（2，8），（2，3）答： ．16．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为 ．17．若将图中的抛物线y =x 2-2x +c 向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是 .18．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；①b＞a+c；①4a+2b+c＞0；①b2﹣4ac＞0；其中正确的是．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品的售价应为多少元？(2)如果要使商场一天获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？20．已知二次函数2=++过点A（1，0），B(-3，0)，C（0，-3）y ax bx c(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标．(3)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B （4，0），交直线AD 于点D （3，52），过点D 作DC ①x 轴于点C ．（1）直接写出：a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ①x 轴交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ；若点P 在线段OC 上（不与O 、C 重合），连接CM ，求①PCM 面积的最大值．22．函数y=ax 2（a≠0）的图象与直线y=2x ﹣3交于点（1，b ）． （1）求a 和b 的值．（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．23．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求拋物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=-++与x轴交于点A和点B（点A在点By x mx左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．参考答案：12．（2，-3）13．√14．m1≥15．（1，﹣32）向上平移3个单位，点（2，8）向下平移2个单位16．0＜a＜617．0＜x＜218．①①①．19．(1)92(2)520．(1)223y x x=+-；(2)F（1-，2-）；(3)P（17-+，3）或（17--，3）或（0，3-）或P（2-，3-）．21．（1）﹣34和114；（2）最大值为251622．(1)a=-1,b=-1;(2) 顶点坐标（0，0），对称轴x=0;(3)6 23．(1)223y x x=--+(2)存在，点P坐标为(1,6)-或(1,10)-或(1,10)--或5 (1,)3 -24．（1）点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)；（2）m≤－2 或m≥1。
人教版 九年级数学(上)二次函数 专项练习1 【含答案】
人教版 九年级数学（上）二次函数 专项练习1一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（）Ａ．没有交点Ｂ．只有一个交点Ｃ．有且只有两个交点Ｄ．有且只有三个交点2. 关于抛物线y ＝x 2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧3. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，下列正确的是( )A. y ＝(x －1)2＋2B. y ＝(x －1)2＋3C. y ＝(x －2)2＋2D. y ＝(x －2)2＋44. 对称轴是直线的抛物线是（ ）2-=x A. B. C. D. 22+-=x y 22+=x y 2)2(21+=x y 2)2(3-=x y 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a＋c<b ；④b 2－4ac>0，其中正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，则方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为( )A. x 1＝－3，x 2＝－1B. x 1＝1，x 2＝3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－3，x 2＝18.已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax+3（a ＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m 的取值范围为（ ）A ．0≤m≤1B ．0≤m≤2C ．1≤m≤2D ．m≥29.已知二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或310. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm 2)，则S(cm 2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二、填空题（本大题共10道小题）11. 二次函数的图象关于原点O （0,322--=x x y 0）对称的图象的解析式是_________________。
人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)
一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定3．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．将二次函数221y x x =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ）A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++5．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．36．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．37．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m9．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤10．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++11．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =4二、填空题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．14．已知函数y ＝ax 2﹣（a ﹣1）x +1，当0<x <2时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____．15．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．16．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．17．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．18．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________． 19．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接） 20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．如图，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，过点O 的两条互相垂直的直线分别交矩形与动点E 、F 、G 、H ，点E 在线段AB 上运动，4=AD ，2AB =，设AE x =，AH y =（1）四边形EFGH 是什么特殊四边形？请说明理由； （2）写出y 关于x 的关系式，并写出y 的取值范围； （3）求四边形EFGH 的面积及其最值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．23．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ （3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？24．已知关于x 的方程(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围．（3）已知抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标25．疫情期间，某防疫物晶销售量y （件）与售价x （元）满足一次函数关系，部分对应值如下麦，当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润． 售价x （元） ．．． 70 65 60 ．．． 销售量y （个）．．．300350400．．．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？26．如图，已知抛物线2y ax c =+过点()2,2-，()4,5，过定点()0,2F 的直线y kx b =+与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）直接写出抛物线的解析式． （2）求证：BF BC =．（3）若1k =，在直线y kx b =+下方抛物线上是否存在点Q ，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④． 【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a--=-=-==-， 当11222a<-<时，解得102a <<，∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a=-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系． 【详解】解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=312-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小， 即y 1＞y 2． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．3．B解析：B 【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③． 【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点， 方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <， 抛物线与y 轴交于正半轴0c >， 对称轴直线为1x =-， ∴102ba-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >， ∴420a b c -+>，故③正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键4．A解析：A 【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式． 【详解】221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．5．C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案． 【详解】 解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1，解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．6．C解析：C 【分析】①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答； ③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断； ④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-b2a＞0，c ＜0， 即b ＜0， ∴abc ＞0，正确；②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3 故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确． 共有四个正确的， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．7．D解析：D【分析】先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为ts ，点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32BC s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤， 由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，3AB cm =，()3BP AB AP t cm ∴=-=-，()21132322S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+， 则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键．8．B解析：B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+，代入得12a =-，12c =，∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =． ∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．9．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 11．D解析：D【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．二、填空题13．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即 解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 14．【分析】分a ＜0a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时利用二次函数的性质可得出﹣≥2解之可得出a 的取值范围；当a=0时原函数为一次函数y=x+1由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大进而可得出a= 解析：113a -≤≤ 【分析】分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时，利用二次函数的性质可得出﹣()12a a --≥2，解之可得出a 的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出a=0符合题意；当a ＞0时，利用二次函数的性质可得出，﹣()12a a --≤0，解之可得出a 的取值范围．综上此题得解． 【详解】解：根据题意得：当a ＜0时，﹣()12a a --≥2， 解得：﹣13≤a ＜0； 当a ＝0时，原函数为一次函数y ＝x +1，∵1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴a ＝0符合题意；当a ＞0时，﹣()12a a --≤0， 解得：a ≤1．综上所述：a 的取值范围是﹣13≤a ≤1， 故答案为﹣13≤a ≤1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况，找出a 的取值范围是解题的关键． 15．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点． 故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．16．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34．∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．17．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d解析：319+【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1， 故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)， 319【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．18．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．19．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】 解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）菱形；（2）522x y =-35()22y ≤≤；（3）2 (1)4EFGH S x =-+菱，最大值为5，最小值为4．【分析】（1）由矩形的性质可得AO =CO ，BO =DO ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，由“AAS ”可证△AEO ≌△CGO ，△DHO ≌△BFO ，可得EO =GO ， HO =FO ，可证四边形EHGF 是平行四边形，且EG ⊥HF ，可得四边形EHGF 是菱形；（2）由菱形的性质可得EH GH =，由勾股定理可得2222AE AH DH DG +=+，即可求解；（3）由面积的和差关系可得四边形EFGH 的面积=x 2﹣2x +5=(x ﹣1)2+4，由二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中， OD OB =，AD BC ∥∴ADB DBC ∠=∠在ODH 和OBF 中，ADB DBC OD OB HOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ODH OBF ASA ≌∴OH OF =在OAE △和OCG 中，同理可得OE OG =∴四边形EFGH 为平行四边形又∵EG FH ⊥∴平行四边形EFGH 为菱形(2)∵AE x =，AH y =，4=AD ，2AB =∴4DH y =-，2DG BE x ==-由（1）可知EH GH =∴2222AE AH DH DG +=+即2222(4)(2)x y y x +=-+- 25x y +=522x y =- 又52x y =-，0x ≥，20x -≥，即02x ≤≤，∴0522y ≤-≤3522y ≤≤ ∴522x y =-，3522y ≤≤ (3) EFGH 112422(4)(2)22S x y y x =⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅--菱 422x y xy =+-5542222x x x x --=+⋅-⋅ 225x x =-+2(1)4x =-+∵02x ≤≤，∴当0x =或2x =时， 5S =最大；当1x =时， 4S =最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，二次函数的性质，利用勾股定理列出方程是解本题的22．（1）243y x x =-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为P 坐标(2，1)．【分析】（1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．【详解】解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)， 将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为243y x x =-+， ∴对称轴为直线42221b x a -=-=-=⨯；（2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，在Rt OBC 中，OB=OC=3， ∴22223332BC OB OC =+=+=，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，把x =2代入3y x =-+得：y =1，∴点P(2，1)，∴PA+PC 的最小值为32，点P 的坐标为(2，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．23．（1）甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）每听罐头的价钱应为25元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，列出分式方程进行求解；（2）先根据（1）中的结果算出水果成本，然后设降价m 元，表示出销量和单个利润，列出总利润的表达式，最后求出最值；（3）令（2）中的利润为6万元，列式求出m 的值，取范围内的值求出罐头价钱．【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，根据题意得，180********x x =+， 解得：6x =，经检验，6x =是方程的根，28x ∴+=，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：60.580.57⨯+⨯=元， 每听罐头的总成本为：5773157+⨯+=元， 设降价m 元，则利润()()22815300010001000W m m m =--+=-+()210000390001000564000m m +=--+， 10000-<，∴当5m =时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，()2100056400060000W m =--+=，解得：7m =或3m =，但是降价的幅度不超过定价的15%，3m ∴=， ∴售价为28325-=（元），答：每听罐头的价钱应为25元．【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程或者函数表达式进行求解．24．（1）证明见解析；（2）a ＞1或a ＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0得到k ＝2，由此得到该抛物线解析式为y ＝x 2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到(k-1)x 2+（2k-1）x+2﹣y ＝0恒成立，由此列出关于x 、y 的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．【详解】（1）证明：①当k ＝1时，方程为x+2＝0，所以x ＝﹣2，方程有实数根，②当k≠1时，∵△＝（2k-1）2﹣4x(k-1)×2＝4k 2-12k+9=(2k-3)2≥0，即△≥0，∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根（2）解：令y ＝0，则(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0，（x-2）[(k-1)x+1]=0解关于x 的一元二次方程，得x 1＝﹣2，x 2＝11-k， ∵二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，∴1-k ＝-1，k=2．∴该抛物线解析式为y ＝x 2+3x+2，由图象得到：当y 1＞y 2时，a ＞1或a ＜﹣4．（3）依题意得(k-1)x 2+（2k-1）x+2﹣y ＝0恒成立，即k （x 2+2x ）-x 2-x ﹣y+2＝0恒成立，得：x 2+2x=0；x 1=0，y 1=2；x 2=-2，y 2=0所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．25．(1) y=-10x+1000；(2)售价为75元时有最大利润为6250元【分析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，然后再代入点(70,300)和点(65,350)即可求解；(2)由售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，进而得出商品的单个利润为(x-50)，再乘以销售量y 即得到关于x 的二次函数，再利用二次函数求出最大利润即可．【详解】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，代入点(70,300)和点(65,350)，∴3007035065k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为：y=-10x+1000；(2)∵售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，∴商品的成本为：70÷(1+40%)=50元，∴商品的单个利润为：(x-50)元，设销售额为w 元，则w=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)=-10x²+1500x-50000，此时w 是关于x 的二次函数，且对称轴为x=75，∴当x=75时，w 有最大值为：-10×75²+1500×75-50000=6250元，故答案为：售价为75元时有最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常常利函数的增减性来解答，我们首先要读懂题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．（1）2114y x =+；（2）见解析；（3）存在，最大值为222+，此时Q 点坐标为。
人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ） ①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 2．将二次函数221y xx =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++3．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．23C ．6D ．42 7．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）． A ．2148575152y x x =--+ B ．2148575152y x x =-++ C ．2148575152y x x =-+ D ．2148575152y x x =++ 8．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤< 9．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4 10．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（ ）A ．B ．C ．D ． 11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．12．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．开口方向向上B ．顶点坐标为()1,2-C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a b x a+=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（ ）A ．25(1)3y x =-++B ．25(1)3y x =--+C ．25(1)3y x =-+-D ．25(1)3y x =---15．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．抛物线y ＝﹣12（x +1）2+3的顶点坐标是_____． 17．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程()2220a x bx b c -+-+=的解是________________．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．19．已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数()22y x m =--的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_______．20．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．21．已知点()12,A y -，()23,B y -在二次函数22y x x c =--+的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y ______2y ．（填“>”“<”或“=”）22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．23．二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程28x bx c ++=-的根是____________．24．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．25．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）26．若函数21y mx x =++的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值是_______．参考答案三、解答题27．温州某大超市计划销售一种水果，已知水果的进价为每盒9元，并且水果的销售量由售价决定．经市场调查表明，当售价在10到15元之间（含10元，15元）波动时，每盒水果的销售价格每减少1元则日销售量增加80盒，当水果售价为每盒15元时，日销售量为160盒，现设每盒水果的销售价为x 元．（每盒毛利润＝每盒售价－每盒进价） （1）当每盒销售价为13元时，超市的当日销售量为______盒．（2）如果规定该种水果的日均销售量不低于400盒时，设销售这种水果所获得的日毛利润为y （元），求y 关于x 的函数解析式，并求出日毛利润y 的最大值．（3）为了提高水果的知名度，超市给当天售出的每盒苹果进行精包装，包装费每盒1元，另外从该种水果的日毛利润中提取50元作为销售员当天的额外奖励，且保证提取后日毛利润不低于750元，同时又要使顾客得到实惠，则当日水果的销售量至少是______盒．（直接写出答案）28．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？29．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ． （1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．30．已知二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(1,0)-，求此二次函数的解析式，并判断点(2,3)P -是否在这个二次函数图象上．。
人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一．选择题1．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定2．下列函数不属于二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）（x+2）B．y＝（x+1）2C．y＝1﹣x2D．y＝2（x+3）2﹣2x23．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝x3﹣2x﹣3C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝3x2﹣14．二次函数y＝﹣x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．5．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝26．若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（）A．﹣2B．1C．2D．﹣17．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＝3B．m＞3C．m≥3D．m≤310．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若是二次函数，则m＝．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是．13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝．15．已知y＝（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是．16．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值等于．17．小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：x…﹣2﹣1012…y…112﹣125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．19．已知抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，则a＝．20．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝．三．解答题21．函数是关于x的二次函数，求m的值．22．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？23．画出二次函数y＝x2的图象．24．已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m，c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．25．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？26．已知是x的二次函数，求出它的解析式．27．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：根据二次函数的定义，得：m2﹣2＝2解得m＝2或m＝﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．故选：C．2．解：A、整理为y＝x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；B、整理为y＝x2+x+，是二次函数，不合题意；C、整理为y＝﹣x2+1，是二次函数，不合题意；D、整理为y＝12x+18，是一次函数，符合题意．故选：D．3．解：二次函数的一般式是：y＝ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y＝x2+2x+1﹣x2＝2x﹣1，故C错误；故选：D．4．解：∵y＝﹣x2+2x，a＜0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x＝﹣＝1，而D的对称轴是直线x＝0，∴只有B符合要求．故选：B．5．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为x＝1，故选：C．6．解：∵函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，∴，解得m＝﹣2．故选：A．7．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．8．解：∵二次函数y＝x2+a∴抛物线开口向上，∴排除B，∵一次函数y＝ax+2，∴直线与y轴的正半轴相交，∴排除A；∵抛物线得a＜0，∴排除C；故选：D．9．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选：C．10．解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．二．填空题11．解：∵是二次函数，∴，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s＝＝2π．故答案为：2π．13．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．14．解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，即a≠﹣1．故a的取值范围是a≠﹣1．16．解：根据二次函数的定义，得：，解得：m＝2．故答案为：2．17．解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x＝0，求得函数解析式为y＝3x2﹣1，则x＝2与x＝﹣2时应取值相同．故这个算错的y值所对应的x＝2．18．解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴为x＝1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．19．解：∵抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，∴a＝±2．故答案为±2．20．解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x＝﹣1对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题21．解：由题意可知解得：m＝2．22．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．23．解：函数y＝x2的图象如图所示，24．解：（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴点A坐标为（﹣1，2），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c＝2，解得c＝5；（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．25．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．26．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．27．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m＝3．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．列表得：X﹣10123y03430图象如右．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝﹣1，x2＝3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一、单选题(共48分)1．(本题4分)抛物线23y x =-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．(-3，0)B ．(0，-3)C ．(3,0)-D ．(3,0) 2．(本题4分)已知：抛物线y =a （x +1）2的顶点为A ，图象与y 轴负半轴交点为B ，且OB =OA ，若点C （-3，b ）在抛物线上，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.53．(本题4分)二次函数y ＝﹣x 2﹣4的图象经过的象限为（ ）A ．第一象限、第四象限B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限4．(本题4分)在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 5．(本题4分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A ．小球在空中经过的路程是40mB ．小球运动的时间为6sC ．小球抛出3s 时，速度为0D ．当 1.5t =s 时，小球的高度30h =m 6．(本题4分)关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x ，若212x x =，则49b ac -的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27．(本题4分)二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．(本题4分)已知二次函数()222y x =--，关于该函数在13x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－2 9．(本题4分)记某商品销售单价为x 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y 元，且y 是关于x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y ＝﹣（x ﹣60）2+1825B ．y ＝﹣2（x ﹣60）2+1850C ．y ＝﹣（x ﹣65）2+1900D ．y ＝﹣2（x ﹣65）2+200010．(本题4分)已知二次函数2202020212022y x x =++的图象上有两点A （x 1，2023）和B （x 2，2023），则当12x x x =+时，二次函数的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 11．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋22C ．22D ．32223+ 12．(本题4分)抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <-或0m > B ．1122m -<< C ．02m ≤< D ．11m -<<二、填空题(共20分)13．(本题5分)若22(2)32m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值是 ________. 14．(本题5分)若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ________2y （填“＞”，“=”或“＜”）．15．(本题5分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为______．16．(本题5分)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．三、解答题(共52分)17．(本题6分)二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为 ；（3）方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，m 的取值范围为 ．18．(本题6分)已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．19．(本题6分)已知：二次函数2142y x x =-++． (1)通过配方，将其写成()2y a x h k =-+的形式；(2)求出函数图象与x y 、轴的交点、、A B C 的坐标；(3)当0y >时，直接写出x 的取值范围；(4)当x ________时，y 随x 的增大而减少．20．(本题6分)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．21．(本题6分)一隧道内设双行公路，隧道的高MN 为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF 的三条边围成的，矩形的长DE 是8米，宽CD 是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？22．(本题6分)如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m ，求m 的值． 23．(本题8分)如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ //BC 交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．24．(本题8分)已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A(1)若a＞0①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.参考答案1．B2．A3．C4．B5．A6．D7．A8．D9．D10．C11．A12．D13．214．＜15．40米16．②③17．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．18．224233y x x =-- 19．(1)()219122x --+ (2)A （-2，0），B （4，0），C （0，4）(3)-2＜x ＜4(4)＞120．(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元21．（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14 22．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）95.4m =-或 23．(1)223y x x =+-(2)2；P （-1，0）24．(1)①，0)，0)②m>0或m<－3 (2)-9(3)49a=或12a≥或14a-≤。
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷（含答案）一、单选题1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．22(1)y x x =--B ．(2)y x x =-+C ．21y x =D ．2x y =2．若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．2B ．-1或3C ．-1D ．33．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定4．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s 与下落的时间t 满足s=212gt （g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），则关于x 的方程a （x-2）2+1=0的实数根为（ ） A ．1x 0=，2x 4= B ．1x 2=-，2x 6= C ．132x =，25x 2=D ．1x 4=-，2x 0=6．由二次函数22(3)1y x =-+可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为3x =- C ．其最大值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小7．二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象如何平移可得到y ＝﹣2x 2的图象（ ） A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位8．如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么（ ）A ．a 0,b 0,c 0<>>B ．0,0,0a b c >>>C ．0,0,0a b c ><<D ．0,0,0a b c >><9．已知函数y ＝kx 2﹣7x ﹣7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．74k >-B ．74k ≥-C ．74k ≥-且k ≠0D ．74k >-且k ≠010．根据表格中代数式ax 2+bx +c ＝0与x 的对应值，判断方程ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax 2+bx +c ﹣0.03﹣0.010.020.06A ．6＜x ＜6.17B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.2011．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式5550y x =-+，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A ．90元，4500元 B ．80元，4500元 C ．90元，4000元 D ．80元，4000元二、填空题13．若二次函数y ＝（m +2）23mx -的图象开口向下，则m ＝______．14．点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图象上，则m -n 的最大值为_________．15．抛物线223(0)y ax ax a =--≠与x 轴交于两点，分别是()0m ,，(),0n ，则m n +的值为_______．16．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．17．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．三、解答题18．已知抛物线y =ax 2-2ax -6+a 2（a ≠0） （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其对应的函数的解析式．19．已知二次函数2y x px q +=+的图象经过(0,1),(2,1)A B -两点． （1）求,p q 的值．（2）试判断点(1,2)P -是否在此函数的图象上．20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为区域ABCD 的面积为y m 2． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？21．已知二次函数2123y x x =--的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像； （2）设一次函数()20y kx b k =+≠的图像经过B 、C 两点，请直接写出满足12y y <的x 的取值范围．22．已知，如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求①MCB 的面积．23．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？24．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．参考答案1．BA . 22(1=)2+1y x x x =---是一次函数，不合题意；B ． 2(2)=2y x x x x =-+--是二次函数，合题意；C ． 21y x =不是二次函数，不合题意； D ． 2x y =不是函数，不合题意； 故选：B . 2．D根据题意得：22212m m m m ⎧+≠⎨--=⎩解得：m=3． 故选：D ． 3．C解：①二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1 的图象经过原点， ①a 2﹣1＝0， ①a ＝±1， ①a ﹣1≠0， ①a ≠1， ①a 的值为﹣1． 故选：C 4．B 解：由21,2s gt =可得：s 是t 的二次函数，且函数图像经过原点，图像的开口向上， 所以：A 错误，B 正确，,C D 错误， 故选：.B 5．A解：①二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0）， ①4a+1=0，①a=-14，①方程a （x-2）2+1=0为：方程-14（x-2）2+1=0，解得：x 1=0，x 2=4，故选：A ． 6．D解：22(3)1y x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为(3,1)， ∴函数有最小值1，当3x <时，y 随x 的增大而减小， 故选：D ． 7．C解：二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的顶点坐标为（1，3），y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0）， 只需将函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C ． 8．C解：①图象开口方向向上， ①a ＞0；①图象的对称轴在y 轴的右边上， ①2ba-＞0， ①a ＞0， ①b ＜0；①图象与y 轴交点在y 轴的负半轴上， ①c ＜0；①a ＞0，b ＜0，c ＜0． 故选：C ． 9．B解：当0k =时，函数为77y x =--，为一次函数，与x 轴有交点，符合题意； 当0k ≠，函数为277y kx x =--，为二次函数， 因为图像与x 轴有交点所以，2(7)470k ∆=-+⨯≥，解得74k ≥-且0k ≠综上，74k ≥-故选B 10．C解：①当x =6.18时，y =-0.01＜0；当x =6.19时，y =0.02＞0，①当x 在6.18＜x ＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax 2+bx +c =0，①方程ax 2+bx +c =0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围为6.18＜x ＜6.19． 故选：C ． 11．C解：①抛物线过（1,0），对称轴是x ＝2，① 30b 22a a b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，解得a ＝1，b ＝－4，①y ＝x 2－4x ＋3，当x ＝3时，y ＝0，所以小华正确， 当x ＝4时，y ＝3，小彬正确， a ＝1，小明也正确，抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y 轴或x ＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误， 故答案为：C ． 12．B解：设每月总利润为w ， 依题意得：(50)w y x =-(5550)(50)x x =-+- 2580027500x x =-+-25(80)4500x =--+50-<，此图象开口向下，又50x ≥，∴当80x =时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ． 13．5①y ＝（m +2）23m x -是二次函数，①m 2-3=2， 解得：5m =± ①二次函数y ＝（m +2）23m x -的图象开口向下，①m +2＜0， ①2m <-，52>-，52--， ①5m =- 故答案为：5-14．154-解：二次函数y =x 2+ax +4以y 轴为对称轴 02a∴-= ，即0a = ， ∴ 二次函数解析式为24y x =+ ，点P （m ，n ）在二次函数y =x 2+ax +4的图象上， 24n m ∴=+ ，()2221154424m n m m m m m ⎛⎫∴-=--=---=--- ⎪⎝⎭ ，∴ m -n 的最大值为154-． 故答案为：154-． 15．2解：①抛物线y =ax 2-2ax -3与x 轴交于两点，分别是（m ，0），（n ，0）， ①2.2am n a-+=-=． 故答案是：2． 16．12x =-，21x =解：①抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，①方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =． 故答案为x 1=-2，x 2=1． 17．10m解：根据题意，以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B （12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为y =ax 2，将B （12，﹣8）代入，得：﹣8=a ·122， 解得：a =118-， ①该抛物线的表达式为y =118-x 2， 当x =18时，y =118-×182=﹣18，①E （18，﹣18）， ①点E 到直线AB 的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m ，故答案为：10m ．18．（1）222226(1)6y ax ax a a x a a =--+=-+--， ∴对称轴为直线1x =；（2）由题可知，当抛物线顶点在x 轴上时， 260a a --=， (3)(2)0a a -+=，解得：3a =或2a =-，当3a =时，函数解析式为2363y x x =-+； 当2a =-时，函数解析式为2242y x x =-+-． 19．解：（1）把A （0，1），B （2，-1）代入y =x 2+px +q ，得1421q p q =⎧⎨++=-⎩， 解得：31p q =-⎧⎨=⎩，①p ，q 的值分别为-3，1；（2）把x =-1代入y =x 2-3x +1，得y =5， ①点P （-1，2）不在此函数的图象上． 20．解：（1）设BC 的长度为x m ，则AB =13（40﹣x ）m ，则矩形区域ABCD 的面积y =13x （40﹣x ）=﹣13x 2+403x ；（2）①y =﹣13x 2+403x =13-（x ﹣20）2+4003 ，①当x =20时，y 有最大值，最大值是4003m 2． 21．解：（1）令y=0时，则有2023x x -=-，解得：121,3x x =-=， ①()1,0A -；()3,0B ；由二次函数2123y x x =--可得顶点式为()2114y x =--， ①()1,4D -，图像如图所示：（2）由题意画出直线()20y kx b k =+≠的图像，如图所示，则由图像可得：当12y y <时，03x <<．22．（1）①A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax 2+bx+c 上， ①058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解方程组，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5；（2）①y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣5）（x+1）=﹣（x ﹣2）2+9，①M （2，9），B （5，0），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，550b k b =⎧⎨+=⎩，解得,15k b =-⎧⎨=⎩则直线BC 的解析式为：y=﹣x+5.过点M 作MN①y 轴交BC 轴于点N ，则①MCB 的面积=①MCN 的面积+①MNB 的面积=12MN OB ⋅． 当x=2时，y=﹣2+5=3，则N （2，3），则MN=9﹣3=6， 则165152MCB S =⨯⨯=． 23．(1)解：根据题意，得65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1120k b =-⎧⎨=⎩， ①所求一次函数的表达式为y =-x +120；(2)解：W =(x -60)•(-x +120)=-x 2+180x -7200=-(x -90)2+900，①抛物线的开口向下，①当x ＜90时，W 随x 的增大而增大，①60≤x ≤60×（1+45%），①60≤x ≤87，①当x =87时，W 有最大值，此时W =-(87-90)2+900=891．答：销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 24．解：（1）由题意得：y 与x 的函数关系式为：()()2202001024106408800y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦；故答案为2106408800y x x =-+-；（2）由题意得：21064088001400x x -+-=，解得：1230,34x x ==；答：此时的销售单价为30元或34元．（3）由()2210640880010321440y x x x =-+-=--+可得100-<， ①该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线32x =，①每件小商品的售价不超过36元，①当32x =时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440； 答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．。
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人教版九年级数学二次函数专题卷（有答案）一、单选题（共12题；共24分）1.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.2.二次函数y=－x2+2x+4的最大值为（）A. 6B. 5C. 4D. 33.抛物线的顶点坐标是（）A. （1，2）B. （－1，2）C. （1，－2）D. （－1，－2）4.已知抛物线y=x2+x-1经过点P(m，5)，则代数式m2+m+2006的值为（）A. 2012B. 2013C. 2014D. 20155.对于抛物线y=2（x-5）2+3，下列说法正确的是（）A. 开口向下，顶点坐标（5,3）B. 开口向上，顶点坐标（5,3）C. 开口向下，顶点坐标（-5,3）D. 开口向上，顶点坐标（-5,3）6.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y与x的函数关系是（）A. y=x2+aB. y=a(x-1)2C. y=a(1-x)2D. y=a(1+x)27.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2（x﹣1）2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A. y=2（x﹣1）2﹣2B. y=2（x+1）2﹣2C. y=2（x+1）2+2D. y=2（x﹣3）2+28.在下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）A. =6B. xy=﹣6C. x2+y=6D. y=﹣6x9.若抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是（）A. m<-1或m>2B. -1<m<2C. -1<m<0D. m>110.二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（）．A. B. C. D.11.如图所示，二次函数的图象经过点和，下列结论中：①；②；③④；⑤；其中正确的结论有（）个A. 2B. 3C. 4D. 512.抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A. （3，﹣4）B. （3，4）C. （﹣3，﹣4）D. （﹣3，4）二、填空题（共6题；共12分）13.若函数y=（a+1）为二次函数，则a=________ ．14.二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图像的顶点坐标是________．15.对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为________．16.如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥ x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙ P与E、F两点，若EF=2 ，则MN的长是________．17.的最小值为________。
18.如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，你认为其中正确信息的个数有________个.三、计算题（共2题；共17分）19.如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A（0,4）,直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2．（1）求点D的坐标；（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．20.分别写出下列二次函数的对称轴和顶点坐标．（1）；（2）．四、综合题（共5题；共67分）21.如图是一种窗框的设计示意图，矩形ABCD被分成上下两部分，上部的矩形CDFE由两个正方形组成，制作窗框的材料总长为6m.（1）若AB为1m，直接写出此时窗户的透光面积________m2；（2）设AB=x，求窗户透光面积S关于x的函数表达式，并求出S的最大值．22.如图1（注：与图2完全相同），二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．23.（2016•黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？24.二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）（1）求此二次函数的表达式（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P 的坐标．25.如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．答案一、单选题1. B2. B3. A4. A5. B6. D7.D8. C9. C 10. D 11. A 12. A二、填空题13.314. （﹣1，8）15.016.17.18.4三、计算题19.（1）如图,过点D作DE⊥OA于E,在△AED与△BAO中∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°,∴∠EDA=∠BAO,∵∠AED=∠AOB=90°,∴△ADE∽△BAO,∴∵点A（0,4）,DM=6,∴AO=4,AE=EO-AO=DM-AO=2,∴ED=,∴点D的坐标为D(2,6).（2）∵AE=2,ED=2,△ADE∽△BAO,∴BO=AO=4∴点B的坐标为B(0,4)设：过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：将A(0,0),B(0,4),D（2,6）代入函数关系式,解得：∴过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：.20.（1）∵，∴二次函数的对称轴为，顶点坐标为（2）∵，∴二次函数的对称轴为，顶点坐标为四、综合题21. （1）（2）解：∵AB=x，∴AD=∴S=x（）=∵S=所以当x= 时，S的最大值=22. （1）解：∵二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴y= x2﹣x﹣4（2）解：过点D作DM⊥y轴于点M，∵y= x2﹣x﹣4= （x﹣1）2﹣，∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC= ×（1+3）× ﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；（3）解：四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ∴AP=AQ=QE=EP，∴四边形AQEP为菱形，∵FQ∥OC，∴= = ，∴= =∴AF= t，FQ= t•∴Q（3﹣t，﹣t），∵EQ=AP=t，∴E（3﹣t﹣t，﹣t），∵E在二次函数y= x2﹣x﹣4上，∴﹣t= （3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，∴t= ，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）23. （1）解：设一次购买x只，则20﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=50．答：一次至少买50只，才能以最低价购买（2）解：当10＜x≤50时，y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x；综上所述：y=（3）解：y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=202.4，当x=50时，y2=200．y1＞y2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大24.（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0，4）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入得：﹣4a=4，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4（2）解：x=﹣= ．∴CD= ，EF= ．设点N的坐标为（，a）则ND=4﹣a，NE=a．当△CDN∽△FEN时，，即，解得a= ，∴点N的坐标为（，）．当△CDN∽△NEF时，，即= ，解得：a=2．∴点N的坐标为（，2）．综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）（3）解：如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．∵AM=AE，∠MAE=90°，∴∠AMP=45°．将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，∴点M的坐标为（1，6）．∴MD=2，AD=6．∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，∴∠DAM=∠FAE．在△ADM和△AFE中，，∴△ADM≌△AFE．∴EF=DM=2，AF=AD=6．∴E（5，﹣2）．设EM的解析式为y=kx+b．将点M和点E的坐标代入得：，解得k=﹣2，b=8，∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8．将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立，解得：x=1或x=4．将x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．∴点P的坐标为（4，0）25. （1）解：∵A，B两点在直线y=﹣x﹣4上，且横坐标分别为﹣1、﹣4，∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），∵抛物线过原点，∴c=0，把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+4x（2）解：∵△ABC为等腰三角形，∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三种情况，①当AB=AC时，当点C在y轴上，设C（0，y），则AB= =3 ，AC= ，∴3 = ，解得y=﹣3﹣或y=﹣3+ ，∴C（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）；当点C在x轴上时，设C（x，0），则AC= ，∴=3 ，解得x=﹣4或x=2，当x=﹣4时，B、C重合，舍去，∴C（2，0）；②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），则有AB=3 ，BC=|x+4|，∴|x+4|=3 ，解得x=﹣4+3 或x=﹣4﹣3 ，∴C（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）；当点C在y轴上，设C（0，y），则BC= ，∴=3 ，解得y= 或y=﹣，∴C（0，）或（0，﹣）；③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），∴线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，∴﹣=﹣+d，解得d=1，∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，∴C（﹣1，0）或（0，1）；综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，）或（0，﹣）（3）解：过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，∵PE∥OA，GE∥AD，∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，∴△PQE∽△ODA，∴=3，即EQ=3PQ，∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，∴∠ABO=45°=∠PFQ，∴PQ=FQ，BG=GF，∴EF=4PQ，∴GE=GF+4PQ，∵S△BGF=3S△EFP，∴GF2=3× 4PQ2，∴GF=2 PQ，∴= =。