第四节 随机事件的概率与古典概型

第四节随机事件的概率与古典概型

[选题明细表]

知识点、方法题号

概率与频率 1

事件的判断 2

互斥事件、对立事件的概率14

简单古典概型3,4,5,7,11,15

古典概型综合问题6,8,9,10,12,13,16

一、选择题

1.下列说法:

①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;

②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;

③百分率是频率,但不是概率;

④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;

⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.

其中正确的是( A )

(A)①④⑤(B)①②④(C)①③(D)②⑤

解析:由频率与概率的定义知①④⑤正确,故选A.

2.从1,2,…,9中任取两数,给出下列事件:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.其中是对立事件的是( C )

(A)① (B)②④(C)③ (D)①③

解析:根据题意,从1,2,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得:①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况,不是对立事件;②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与“两个数都是奇数”不是对立事件;③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个数都是偶数”是对立事件;④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件.

故选C.

3.(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“- -”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:一共有26=64种可能,其中满足恰有3个阳爻的有=20种,故概率为=.故选A.

4.从4,5,6,7,8这5个数中任取两个数,则所取两个数之积能被3整除的概率是( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:从4,5,6,7,8这5个数中一次性随机地取出两个数,共有10种取法,其中所取两个数之积能被3整除,则必选6,再从4,5,7,8中任选一个,共四种取法.所以概率为=.故选A.

5.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中一次任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为( C )

(A)(B)(C)(D)

解析:根据题意“一次取出3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,P(A)==.故选C.

6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( C )

(A)(B)(C)(D)

解析:根据题意总的取法为种,而所求事件的取法分为三种,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆取得个数分别为2,1,1;1,2,1;1, 1,2,

故所求概率为P==.

7.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 246),在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:十位是1的两位的“序数”:8个;十位是2的:7个,

依此类推:十位分别是3,4,5,6,7,8的各有6,5,4,3,2,1个,

故两位的“序数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,

比36大的有:十位是3的:3个;十位是4的:5个,

依此类推:十位分别是5,6,7,8的各有4,3,2,1个,

所以比36大的两位的“序数”有3+5+4+3+2+1=18(个),

所以所求概率P==.故选A.

8.(2019·台州模拟)已知六人站成一排,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻的概率为( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:六人站成一排包含的基本事件总数为N==6×5×4×3×2×

1=720种,

设另外两人为戊、己,可以分步完成,

①甲丁捆绑后排序有=2种,

②捆绑后的甲丁、戊、己排序有=6种,

③将乙、丙插空,四个空位中与甲相邻的空位不能选择,故有=6种, 所以共有2×6×6=72种排法.

故甲、乙、丙三人两两不相邻,甲丁两人必须相邻包含的基本事件的个数为72种,

所以概率为P==.

故选A.

二、填空题

9.10件产品中有6件正品,4件次品,从中任取3件,则没有次品的概率为;至少有一件正品的概率为.

解析::由题意知:基本事件的总数应为n==120,“没有次品”包含的基本事件的个数为m==20,所以“没有次品”的概率为P===; “至少有一件正品”的对立事件是“都是次品”,它包含的基本事件的个数为=4,

所以“至少有一件正品”的概率为P=1-=.

答案:

10.(2019·暨阳4月联考)袋中有2个红球,2个白球,2个黑球共6个球,现有一个游戏:从袋中任取3个球,恰好三种颜色各取到1个则获奖,否则不获奖.则获奖的概率是,有3个人参与这个游戏,则

恰好有1人获奖的概率是.

解析:设中奖的事件为A,则事件A包含的基本事件的个数为=8,

所有的基本事件共有=20个,所以中奖概率为P(A)==;有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X,则X～B(3,),所以

P(X=1)=××(1-)2=.

答案:

11.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5, 6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为.

解析:甲、乙“心相近”,他们所有的选择如下:(1,1),(1,2),(2,1), (2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5), (5,6),(6,5),(6,6)共有16种情况,两人猜数的所有情况有36种,所以所求的概率为=.