典型碰撞振动系统的非线性动力学(冯进钤著)PPT模板
谐和与白噪声激励下碰撞振动系统的混沌运动
谐和与白噪声激励下碰撞振动系统的混沌运动冯进钤;金宇寰;刘亚妮【摘要】碰撞振动系统轨线的不连续性使得系统表现出强非线性和奇异性的特性.鉴于此,研究谐和与白噪声激励下非线性单边碰撞振动系统的混沌动力学.利用动力系统稳定性理论和Melnikov方法,分析碰撞振动系统的同宿轨,得到系统出现Smale马蹄混沌的阀值.并通过相图、Poincare截面图和安全盆等数值仿真验证该解析阀值的有效性.研究表明,基于Melnikov方法获得的解析结果是系统出现混沌运动的必要条件,也是系统出现安全盆腐蚀的充要条件.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2018(031)002【总页数】5页(P159-163)【关键词】碰撞系统;同宿轨;混沌;Melnikov方法【作者】冯进钤;金宇寰;刘亚妮【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安交通大学公共政策与管理学院,陕西西安710049;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言非光滑因素在工程实际中是普遍存在的,非光滑模型更能准确地反映系统的本质特点[1-4]. 众所周知,Melnikov方法是研究系统全局分岔与混沌的重要解析方法[5-7]. 对于碰撞系统,由于系统状态存在不连续性,导致系统出现奇异性,经典的Melnikov 方法不再是直接有效.目前,对于平面非光滑系统的Melnikov方法的研究甚少,局限于一些特殊的非光滑系统. 文献[8-9]利用Melnikov方法讨论了线性碰撞型非光滑系统的全局分叉和混沌. Kunze[10]和Kukucka[11]通过分析Melnikov函数在切换前后的关系,提出了一种研究分段线性非光滑系统同宿分叉的Melnikov方法. 基于Melnilov理论,Awrejcewicz等[12-16]利用基解矩阵对Filippov系统的同宿分叉进行了研究,并对系统的粘滑混沌进行了预测. Du等[17]研究了一个碰撞振子同宿轨的Melnikov函数. Feng和Xu等[18-19]提出了一种Melnikov方法,研究了典型Duffing碰撞系统的同宿分岔与混沌. 前期成果主要集中在确定性系统的研究,对于谐和与噪声激励情形下碰撞振动系统的Melnikov方法以及混沌运动的研究,目前成果甚少.工程实际中,噪声的干扰不可避免. 因此,有必要研究随机激励下非光滑非线性系统的分岔与混沌动力学. 众多研究表明,系统的混沌运动、安全盆的腐蚀与分形盆边界之间有着重要的联系[20-21]. 鉴于此,对谐和与白噪声联合激励下带平方非线性项的碰撞系统的混沌运动,利用Melnikov方法研究系统可能出现混沌的阀值,同时结合安全盆分析对系统的混沌运动进行深入讨论.1 单边碰撞系统的同宿轨考虑单边刚性碰撞系统,系统模型所遵循的方程为(1)式中：“·”表示对时间t求导;常量β=εβ～和f=εf～分别表示系统的阻尼系数和谐和激励的强度；μ=εμ～表示噪声的幅值. x=0描述了系统状态的碰撞位置. 表示碰撞恢复系数,通常与碰撞面的材料有关. 下标“-”和“+”分别表示碰撞前后的时刻. 令碰撞时刻为t*,则有表示标准的高斯白噪声,即满足E(ξ(t))=0,E[ξ(t+τ)ξ(t)]=δ(τ).令得到未扰系统为(2)由动力学稳定性理论知,未扰系统(2)存在一个鞍点S(1,0)和一个中心C(0,0). 对应的势函数和Hamiton函数分别为V(x)=x2/2-x3/3,(3)(4)经过鞍点S(1,0)的同宿轨(xh(t),yh(t))表达式为(5)这里由式(5),得出未扰系统(2)的同宿轨，如图1所示.图1 未扰系统的同宿轨(xh(t),yh(t))TFig.1 Homoclinic orbit (xh(t),yh(t))T2 同宿轨的Melnikov函数由Melnikov理论和文献[5]和[6]可知,系统(1)的Melnikov函数包括确定性和随机两部分，即M(t1,t2)=Md(t1)±Ms(t2).(6)式中：Md(t1)表示随机Melnikov过程的阻尼、碰撞和谐和力激励等确定性部分,Ms(t2)为随机Melnikov过程的白噪声激励部分. 显然,随机Melnikov过程的均值为E[M(t1,t2)]=Md(t1),其波动中心为Md(t1),波动范围为表示随机部分的方差,即在式(6)中,确定性部分为(7)式中：其中其求解可以借助傅里叶型数值积分.随机Melnikov过程的随机部分为(8)将h(t)=μ～yh(t)看作为线性时不变系统的脉冲响应函数,考虑到线性时不变过滤器的作用,易知Ms(t2)为一个平稳随机过程,其均值为零,方差为(9)这里系统的频率响应函数为依据随机Melnikov理论,在均方意义下,系统(1)可能出现混沌运动的条件为图2 临界值f随参数r的变化Fig.2 Critical value f varies vs. parameter r(10)3 数值仿真选取尺度参数ε=0.1,谐和力频率为ω=1,固定系统阻尼系数β=εβ～=0.16,白噪声幅值为μ=εμ～=0.01.随着系统参数的变化,考察谐和力f=εf～对系统混沌的影响.由式(10),可得系统(1)可能出现混沌的临界曲线，如图2所示. 从图2看到,谐和力的强度f=εf～是随着参数的增大而不断增大的,表明对于较大的碰撞损失,混沌运动的出现需要更大的外谐和力作为驱动.此外,由于式(10)仅仅是出现Smale马蹄的必要条件,故当系统参数处于图2中实线之下时,系统必然不会出现混沌运动.为了进一步进行验证,当取时,由Melnikov准则和最大Lyapunov指数准则得到的临界值分别为fM=0.188和fL=0.284.选取谐和力强度分别为fA=0.18<fM和fB=0.29>fL,图3给出了相应的相图和Poincare截面图,其中灰色表示相图,黑色点表示Poincare截面图.显然,当fA=0.18<fM时,图3(a)表明系统作周期运动；当fB=0.29>fL时,图3(b)显示系统出现混沌运动.研究表明,解析结果和数值结果相吻合.(a) fA=0.18<fM (b) fB=0.29>fL图3 相图和Poincare截面图Fig.3 Phase diagram and Poincare section在实际问题中,系统安全盆的腐蚀通常会导致系统结构的破坏.基于Melnikov准则(10),选取系统响应的相空间为D={(x,y):0≤x≤1.2,-1≤y≤1},并将该区域划分为180×300的小格子.讨论系统谐和力的强度f=εf～对系统安全盆的影响,图4给出了不同强度下系统安全盆的变化.从图4可以看到,当谐和力强度f=0.18<fM时,系统的安全盆没有发生腐蚀,见图4(a). 当增大谐和力强度f=0.19>fM时,系统的安全盆开始被腐蚀,见图4(b). 随着强度的继续增大,系统的安全盆被逐渐的腐蚀,并导致了系统安全盆边界的分形结构,见图4(c)及(d).研究表明,系统Melnikov准则得到的临界值是系统安全盆发生腐蚀的开始点.(a) f=0.18<fM (b) f=0.19>fM(c) f=0.25 (d) f=0.3图4 不同激励幅值下系统(1)的安全盆腐蚀Fig.4 Erosion of safe basin in different value f of the system (1)4 结束语基于Melnikov方法研究了谐和与白噪声激励下带平方非线性项的碰撞振动系统的混沌运动,在均方意义下得到了系统出现Smale马蹄混沌的必要条件,并结合数值仿真对解析结果进行了验证和讨论.研究表明,随机Melnikov方法是预测系统发生随机混沌运动的有效方法.在一定噪声情形下,谐和力的强度可以导致系统发生安全盆的腐蚀,为系统结构稳定性的研究提供了理论指导.参考文献(References):【相关文献】[1] CHIN W,OTT E,NUSSE H E,et al.Grazing bifurcation in impact oscillators[J].Physical Review E,1994,50(6):4427-4444.[2] NORDMARK A B.Universal limit mapping in grazing bifurcation[J].Physical Review E,1997,55:266-270.[3] 冯进钤,徐伟,王蕊.随机Duffing单边约束系统的倍周期分岔[J].物理学报,2006,55(11):5733-5739.FENG J Q,XU W,WANG R.Period-doubling bifurcation of stochastic Duffing one-sided constraint system[J].Acta Physica Sinica,2006,55(11):5733-5739.[4] di BERNARDO M,BUDD C,CHAMPNEYS A R.Grazing and border-collision in piecewise-smooth systems:A unified analytical framework[J].Physical Review Letters,2001,86(3):2553-2556.[5] GUCKENHERNER J,HOLMES P.Nonlinear oscillations,dynamical systems and bifurcations of vector fields[M].New York:Springer-Verlag,1983.[6] SIMIU E.Chaotic transitions in deterministic and stochastic dynamicalsystems[M].UK:Princeton University Press,2002.[7] AWREJCEWICZ J,HOLICKE M,M.Menikow′s method and stick-slip chaotic ascillations in very weakly forced mechanical systems[J].Internations Journal of Bifurcations and Chaos,1999,9(3):505-518.[8] CHOW S N,SHAW S W.Bifurcations of subharmonics[J].Journal of Differential Equations,1986,65(3):304-320.[9] SHAW S W,RAND R H.The transition to chaos in a simple mechanicalsystem[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1989,24(1):41-56.[10] KUNZE M.Non-smooth dynamical systems[M].Belin:Springer,2000.[11] KUKUCKA P.Melnikov method for discontinuous planar systems[J].NonlinearAnalysis:Real World Applications,2007,66(12):2698-2719.[12] AWREJCEWICZ J,PYRYEV Y.Chaos prediction in the Duffing-type system with friction using Melnikov′s function[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006,7(1):12-24.[13] AWREJCEWICZ J,HOLICKE M.Menikov′s method and stick-slip chaotic oscillations in very weakly forced mechanical systems[J].International Journal of Bifurcations and Chaos,1999,9(3):505-518.[14] AWREJCEWICZ J,SENDKOWSHI D.How to predict stick-slip chaos in R4[J].Physics Letters A,2004,330:371-376.[15] AWREJCEWICZ J,FECKAN M,OLEJNIK P.Bifurcations of planar slidinghomoclinics[J].Mathematical Problems in Engineering,2015,2006(1):1-13.[16] AWREJCEWICZ J,DZYUBAK L,GREBOGI C.Estimation of chaotic and regular (stick-slip and slip-slip) oscillations exhibited by coupled oscillators with dry friction[J].Nonlinear Dynamics,2005,42(2):383-394.[17] DU Z,ZHANG W.Melnikov method for homoclinic bifurcation in nonlinear impact oscillators[J].Computers and Mathematics with Applications,2005,50(3):445-458. [18] FENG J Q,LIU J L.Chaotic dynamics of the vibro-impact system under bounded noise perturbation[J].Chaos Solitons & Fractoals,2015,73:10-16.[19] 冯进钤.谐和激励下单边碰撞系统的同宿分叉[J].西安工程大学学报,2011,25(4):597-600. FENG J Q.Homoclinic bifurcation in vibro-impact system under harmonicexcitation[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2011,25(4):597-600.[20] GAN C B.Noise-induced chaos and basin erosion in softening Duffingoscillator[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,25(5):1069-1081.[21] EASON R P,DICK A J,NAGARAJAIAH S.Numerical investigation of coexisting high and low amplitude responses and safe basin erosion for a coupled linear oscillator and nonlinear absorber system[J].Journal of Sound and Vibration,2014,333(15):3490-3504.。
谐和激励下非线性单边碰撞系统的混沌研究
Ｊ ．２０１ ｕ１ １
文章 编号 ： ０ ３２ ４（０ １ ４０ ０．４ １０ —８ ３２ １） —５００ ｏ
谐和 激励 下非线性 单边碰撞系统 的混沌研 究
冯进钤 ，杨海 忠
（＿ １ 西安工程大学理学院，西安 ７０４ ；． １０８２ 西安财 经学院精算 系， 西安 ７００） １１０
，
）＆乏苫； 善；： ： ＝ ：：
（ 一＝ ２ ｎ （ ＝ … 挣
（ ４ ）
这 一＋ｎ ） ＝ ∽ ｔ（ ＝ 吾ｈ ａ
由 Ｍｅ ｉ ｖ ｌ ｋ 理论和文献［ ８， ｎｏ ７】 ， 系统（） １ 同宿轨的 Ｍｅ ｉ ｖ ｌｋ 函数为 ｎｏ
运 动具有 一定 的联 系．
关 键 词 ：碰 撞 系统 ；同宿 轨 ；混沌 ； ｌｉｏ Ｍｅｎｋｖ函数
中图分类号 ： ９ Ｏ１ ４
文献标 志码 ： Ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｄ ｉ ． ６￣ｉ ｎ１ ０－４ ３２ １．７ ２ ｏ：１ ３ ９ ．ｓ．０ ３２ ８ ． Ｏ ， ０９ ｓ ０１ ０
１ 引言
第３ ７卷第 ４期
Ｊ
西 南 民 族 大 学 学报
’
自然
学版
ｔ ｓＮ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｉ ｏ ｍａ ｆＳ ｕ ｈ ｅ ｔＵ ｎ ｖ ｓｉ ｆ ｒ ａ ｉ ａ ｉｉ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｕ ｌ ｏ ｏｔｗ ｓ ｉ ｅｒ ｔ ｏ Ｎ ｔ ｙ ｏｎ ｌ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ
为周期轨 道 Ｆ （ ， 周期 ，且 为 的可微 函数，在 Ｆ （ 内满 足 ）的 。）
／ ＞ 或（ ／ ＜ ） 吮 ０ 魄 ０．
ｊ
【 ＋ 一一 ｘ ０ Ｙ ＝ Ｙ， ＜ ．
，
一 ，Ｈ ｍｔ 函 数 为 ａ ｉｎ ｏ
理论力学PPT课件第6章 6.3碰撞46页PPT
2019/10/8
19
2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
2019/10/8
31
u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019/10/8
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
2019/10/8
34
工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时
1_91碰撞非惯性系ppt课件
若物体相对匀角速转动的参照系S’ 静止，则在处于该参照系的观察者甲看来，物体不动。
v2
ma m
ma' m v2 惯性力 0
惯性力
r
v
r
r
在非惯性系中引入惯性力，牛顿方程仍成立;。.
17
5.3 相对匀角速转动的参照系 科里奥利加速度
设有观察者乙处在实验室系中，甲处于相对于实验室系作匀角速转动 的参照系。
而不需要知道相互作用的细节。
;.
当e=0 时两球 具有相同的速 度即质心速度
11
例3.17’ 在液氢泡末室中，入射质子从左方进入， 并与室内的静止质子相互作用，设Q=0。试证明 碰撞后两个质子将互成直角的离开。
证明：这是不对心的完全弹性碰撞问题。
设质子质量为 ，已知
m 入射质子的速度
v
10
mv10 mv1 mv2
v10
1
2
mv120
v10 v1
12vm2 v12v120
1 mv 2 v12
2 2
v
2 2
v20 0
x
v1 x
v2
v 120
v12
v
2 2
2v1
v2
v1 v2
0成直角的离开
;.
12
例3.21 一个初始速率为V0的质子被一个电荷为Ze的很重的核散射，假设质子与 核之间的相互作用是平方反比型的库仑力，试求质子与重核的最近距离。
)
Q
;.
1 2
(m1v'12 m2v'22
)
9
牛顿总结实验结果在经典一维碰撞中(质量不变), 定义恢复系数 e，它是个实验可测量
e | u || v1 v2 | u0 v10 v20
非线性动力学PPT课件
Albahadily 等人发现了在磷酸中铜作阳极的电解实验中的 电化学反应系统中的混沌。
Herzel 等人在研究乙醇在钯催化剂上催化反应时，发现猝 发性振荡，即阵发性混沌，如图所示。
图5.3.3 乙醇催化氧化反应中的猝发性振荡(阵发性混沌)
第18页/共33页
自然界中所发生的事件，有些是完全可以预言的，称其为确 定性事件，而有些却不可能预言或不可能完全预言，称其为随机 性事件。
许多B-Z反应的实验是在连续搅拌槽式反应器中进行的。 采用这种类型的反应器的目的是很容易通过进料流速的控制使 B-Z反应系统保持在一定的远离平衡态下进行，远离平衡态的 程度取决于进料流速的大小，流速越大系统离平衡态越远。
1977年Schmitz 首次报道了B-Z反应系统中非周期振荡(混沌) 行为。如图所示，图中纵坐标T为透光率，它反映了系统中Ce3+ 离子浓度随时间(横坐标)的非周期性振荡，即B-Z反应系统中出 现的化学混沌。
5. 5 化 学 波
化学波 (chimecal wave)是化学反应系统中组分的组成在空间 分布的花样随着时间变化的波动现象。
化学波按其波型可分为：孤波、脉冲波、周期波、非周期波； 按其传播方式可分为：平面波、靶环波、螺旋波和旋卷波；按其 产生机理可分为：动力学波和运动波。动力学波是化学振荡在反 应介质中的传播行为。
在均相反应系统中的化学波已有大量的研究成果，如B-Z反 应的靶环波(见图及螺旋波(
第22页/共33页
图5.5.1 B-Z反应的靶环波 图5.5.2 B-Z反应的螺旋波
第23页/共33页
近年来随着实验技术的开发有关化学波的研究有许多新进展， 如CO在Pt(100)表面上氧化的靶环波(见图，驻波(见图，脉冲波 和孤波(见图。
理论力学经典课件-碰撞
这时，
vA ＝vB ＝v AB
于是，有
mA v A mB vB mA mB v AB
v AB
mA vA mB vB mA mB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0
18 103 6.6 103
0.146 i 0.022 j 0.015 k m/s
AB
vAB A v'A B v'B
由
mA v A mB vB mA vA mB vB
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k
mA mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
（3）碰撞后阶段
根据平面运动微分方程，有
maC F mgf
JC Fr mgfr
由运动学可知
v vC aCt
C t
C
aC
mg
F FN
由平面运动可知，当 v rC 时，轮开始纯滚
解得： t 1 k 3gl 0.24 s 14gf
突加约束问题
运动的刚体 突然受到其他 物体的阻碍， 发生碰撞，在 接触处发生完 全不可恢复的 变形，亦即产 生完全非弹性 碰撞－突然施 加约束，简称 突加约束。
例题6
质量为m、半径为r的均
质圆柱体，以质心速度vC
§15-1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。
理论力学第十六章 碰撞 教学PPT详述
e I2 v1
I1
v1
v1 2gh1 , v1 2gh2
e h2 h1
n
A
B h1 h2 v'1 v1
C
例题8-1
两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分 别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e， 试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。
v1
C1
v2
冲量矩定理
根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位 移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示质点 Mi 在碰撞开始和结束时的位 置。 质点对固定点的动量矩为
碰前： MO (mivi ) ri mivi
碰后： MO (mivi ) ri mivi
所以
ri mivi ri mvi ri Ii
例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向 速度碰撞，碰撞时间只有0.0002秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
碰撞问题基本特征
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
锤重4.45N; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N， 静载作用的335倍。
T0
T1 T0
设锤头在和桩开始接触时具有的速度是 v1 ,则初动能
➢ 理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这
种碰撞称为完全弹性碰撞。
➢ 在另一极端情况 e =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变
形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑 性碰撞。
机械振动第6章非线性振动ppt课件
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
基本解(x0, x0)的领域内展开成泰勒级数:
x 02xF(t)
x ( t,) x 0 ( t)x 1 ( t)2x 2 ( t)
.
第5章 非线性振动 5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克
（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。
纽马克（Newmark）法
梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响
理论力学第28章非线性振动分岔混沌
• Ford J教授认为：20世纪科学将永远被铭记的只有三件事， 那就是相对论，量子力学和混沌。混沌学的出现是20世纪 的第三次科学革命。
• 孔丘（前551~前479）在《易经》中写道：“易有太极， 是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶 生大业。” 孔丘包含了朴素的倍周期分岔通向混沌道路 的思想。
• 李耳和孔丘的思想都是猜想没有经过严格的数学证明。而 在近代，全世界最早给出混沌的第一个严格数学定义的人 是美籍华人李天岩。他和约克教授在1975年12月份那期 《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为“周期3意味 着混沌”。在这篇文章中，他们正式提出混沌一词，并给 出它的定义和一些有趣的性质。
件； • b．当出现分岔时，系统的拓扑结构随参数变化的情况，
即分岔的定性性态的研究； • c．计算分岔解，尤其是平衡点和极限环，并分析其稳定
性； • d．考察不同分岔的相互作用问题，以及分岔与混沌，分
形等其他动力学现象的关系。
28.2.3普适开折的保持性、转迁集
用近似方法分析非线性振动问题时，会 得到响应方程。该方程是分析非线性振动 系统分岔解的基本方程，又称分岔方程。 需计算分岔方程的转迁集和分岔图，以便 完成非线性振动问题的分岔分析。如果所 求得的分岔方程不是普适开折，则需对之 进行识别，并进行普适开折，然后再求转 迁集和分岔图。
f 有m 周期点。如果 n 按Sarkovskii序大于 m ，则 f 有 n 周期点。其中自然数的 Sarkovskii是指如下的先后排列：
3， 5， 7， ， 2n 1, 2n 3,
碰撞振动系统的非线性动力学研究
碰撞振动系统的非线性动力学研究碰撞振动系统的非线性动力学研究摘要：碰撞振动系统的非线性动力学研究是近年来科学界的一项热点研究领域。
本文通过对碰撞振动系统的构建和基本原理进行综述和分析，深入研究了非线性动力学在碰撞振动系统中的应用。
通过数学模型的构建和仿真分析，探讨了碰撞振动系统中的混沌现象，并对控制和优化方法进行了探索。
最后，本文总结了碰撞振动系统的非线性动力学研究在工程实践中的应用前景和意义。
一、引言碰撞振动系统是指由两个或多个物体在碰撞作用下产生的一种振动现象。
近年来，碰撞振动系统的研究在科学界引起了广泛关注。
其主要原因是碰撞振动系统具有复杂的非线性特性，具有许多有趣的动力学现象。
通过对碰撞振动系统的非线性动力学研究，可以揭示其内在的规律和机理，为工程实践中的优化和控制提供理论基础。
二、碰撞振动系统的构建和原理碰撞振动系统的构建和原理主要涉及到物体的碰撞过程和振动特性。
在碰撞过程中，物体之间通过相互作用力使得它们的动量和能量发生改变，从而产生振动。
在此基础上，通过对振动特性的研究，可以分析和解释碰撞振动系统的动力学行为。
三、非线性动力学在碰撞振动系统中的应用非线性动力学是研究非线性现象和非线性系统的一门学科。
在碰撞振动系统中，非线性动力学提供了一种解释系统行为的有效方法。
通过数学模型的构建和仿真分析，可以研究碰撞振动系统中的混沌现象，探讨系统的稳定性和不稳定性。
此外，还可以通过分析系统的吸引子和分岔现象来揭示系统的运动规律和行为模式。
四、碰撞振动系统的混沌现象研究混沌现象是指一种看似无规律的、但具有内在规律的运动状态。
在碰撞振动系统中，由于非线性因素的存在，系统的运动会呈现出复杂而多样的动力学行为，其中包括混沌现象。
通过对碰撞振动系统的混沌现象进行研究，可以揭示系统的非线性特性和内在规律。
五、碰撞振动系统的控制和优化方法在碰撞振动系统中，由于其复杂的非线性特性，系统的控制和优化是一个具有挑战性的任务。
非线性动力学PPT课件
设 x0 为已知的初始猜测解,嵌入变量p [0,1], X ( p)
为一未知的嵌入变量p [0,1] 的函数,我们构造
如下的一个单参数的非线性代数方程:
(1 p) f (X ( p)) f (x0) pf
X
(
p),
(1)p 0
当 f (X时(0,)上) 述方f (程x0为) 线 性0,方程
第23页/共61页
( , p) u0 ( ) um ( )pm m1 ( , p) (1 ( , p)) ( , p) ( , p),
第24页/共61页
rule of coefficient ergodicity，H（τ）=1
最后得到
第25页/共61页
得到一族解，通过 调节级数收敛
第26页/共61页
x[m] 0
m X ( p) pm
p0
第12页/共61页
根据Taylor定理,有
X
(
p)
X
(0)
k 1
x[k ] 0
k!
p
k
则
x
x0
k 1
x[k ] 0
k!
(2)
如何求
x[k ] 0
?
将(1)式对p求一阶导数
(1
) f (X ) 1 (1
) p df
dX
dX dp
f (x0 )
must be expressed in the same form as (12) and the other
expressions such as
must be avomideedn.
第21页/共61页
According to (11) and (12), we choose the linear operator
非线性动力学(中科大课件)
2020/11/24
19
FTP Complexity
IP address： 202.38.83.243
User name： guest Password： guest
2020/11/24
20
Thanks for Attention！
Thanks for Attention！
非线性动力系统的定义： 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
2020/11/24
12
非线性动力系统
若一个动力系统由方程
描述，其中 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者
的基本力学量不同。
若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线
非线性动力学
第一章
汪秉宏
中国科学技术大学
近代物理系
2020/11/24
1
第一章 引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象
§3 非线性动力系统模型 的建立
2020/11/24
2
§1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 （ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton
涨落项
18
宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程，
非线性碰撞系统的多吸引子共存研究
非线性碰撞系统的多吸引子共存研究
冯进钤;杨海忠
【期刊名称】《四川理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(024)003
【摘要】研究具有单边刚性约束的非线性动力学系统的多吸引子共存现象,针对碰撞动力学系统的运动特性,结合插值法和事件切换法,快速精确地定位系统状态发生切换的时刻,进而给出一种高效的数值解方法.并以一类典型的非线性碰撞系统为例,结合广义胞映射的思想,得到了系统共存的多个吸引子的空间布局、吸引盆及清晰的盆边界.研究结果表明,高效的数值解方法为系统多吸引子共存研究提供有效的精度保证,是进行全局分析的有力工具.
【总页数】2页(P348-349)
【作者】冯进钤;杨海忠
【作者单位】西安工程大学理学院,西安710048;西安财经学院精算系,西安710100
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究 [J], 史传宝;王光义;臧寿池
2.一类Lorenz型超混沌系统的Zero-Zero-Hopf分岔及共存吸引子研究 [J], 陈玉明;陈春涛
3.广义van der Pol非线性振子的多吸引子共存和跳跃现象 [J], 张伟;陈予恕
4.含干摩擦振动系统的共存吸引子与亚谐碰撞运动研究 [J], 王同慧;朱喜锋
5.两自由度含弹性约束碰撞振动系统共存吸引子转迁控制研究 [J], 李得洋;丁旺才;丁杰;卫晓娟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 1 5.1引言 0 2 5.2非线性碰撞振子同宿轨的
Melnikov方法
0 3 5.3单势阱非线性碰撞振子的同宿分 岔与混沌
0 4 5.4双势阱非线性碰撞振子的同宿分 岔与混沌
0 5 5.5有界噪声激励下非线性碰撞振子 的随机混沌
0 6 5.6本章小结
第5章Melnikov 方法及其应用
参考文献
2.4.1随机Duffing碰撞振动系 统.
2
2.4.2随机稳定性与分岔
第2章不连 续映射及其 应用
2.6应用实例：Duffing单 边碰撞振动系统的颤碰分 析
01
2.6.1完全颤碰到不完全颤碰的分 岔
02
2.6.2不完全颤碰中擦边诱导的周 期运动到拟周期运动的分岔
04
第3章参数噪声激励下碰撞振动 系统的随机响应与随机分岔
岔
01
3.3.1Chebyshe v多项式逼近
03
3.3.3擦边分 岔
02
3.3.2倍周期 分岔
04
3.3.4随机因 素的影响
05
第4章白噪声激励下碰撞振动系 统的随机响应与随机分岔
02
4.2非光滑变换
04
4.4白噪声外激励 下碰撞振动系统的
随机响应
06
4.6本章小结
01
4.1引言
03
4.3随机平均理论
05
4.5白噪声参激与 外激联合作用下碰 撞振动系统的随机 响应与随机分岔
第4章白噪声激 励下碰撞振动系 统的随机响应与 随机分岔
第4章白噪声激励下碰撞振动系统 的随机响应与随机分岔
参考文献
第4章白噪声激励下碰撞振动系统的随机响应与随机分岔
4.4白噪声外激励下碰撞振动系统的随机响应
01
4.4.1随机响应 的稳态解
第2章不连续映射 及其应用
2.7本章小结 参考文献
第2章不连续 映射及其应用
2.3碰撞振动系统的最大 Lyapunov指数
A
2.3.1n维碰撞振动 系统的最大
Lyapunov指数
2.3.2最大 Lyapunov指数
B
第2章不连续映 射及其应用
2.4基于最大Lyapunov指数的稳 定性与分岔
1
第3章参数噪声激励下碰撞振动系 统的随机响应与随机分岔
3.2随机参数激励下典型 Duffing碰撞振动系统的 随机响应与倍周期分岔
3.2.1Chebyshev多 1
项式逼近
2
3.2.2随机响应与倍周
期分岔
3 3.2.3随机因素的影响
第3章参数噪声激励下碰撞振动系 统的随机响应与随机分岔
3.3随机参数激励下 VanderPol碰撞振动系 统的随机响应与擦边分
01
6.1引言
05
6.5应用实 例分析
02
6.2事件切 换法
04
6.4打靶法
03
6.3全局 Poincaré映
射
第6章碰撞振动 系统的周期解及 其分岔
第6章碰撞振动系统的周期解及 其分岔
参考文献
第6章碰撞振动系统的周期解及其分岔
6.3全局Poincaré映射
02
6.3.2碰撞振动系 统的全局
Poincaré映射
典型碰撞振动系统的非线性动力学(冯进 钤著)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
目 录
0 1 前言
0 2 第1章非光滑动力系统简介
0 3 第2章不连续映射及其应用
04
第3章参数噪声激励下碰撞振动系统的随机响应与随机分岔
05
第4章白噪声激励下碰撞振动系统的随机响应与随机分岔
0 6 第5章Melnikov方法及其应用 0 7 第6章碰撞振动系统的周期解及其分岔
02
4.4.2数值仿真
第4章白噪声激励下碰撞振动系统 的随机响应与随机分岔
4.5白噪声参激与外激联 合作用下碰撞振动系统 的随机响应与随机分岔
01
4.5.1系统模 型描述
04
4.5.4随机分 岔
02
4.5.2随机平 均
03
4.5.3随机响 应
06
第5章Melnikov方法及其应用
第5章 Melnikov方 法及其应用
第5章Melnikov 方法及其应用
5.3单势阱非线性碰撞振子的同宿 分岔与混沌
5.3.2同宿轨的 Melnikov分析
5.3.1模型 描述
5.3.3数值 仿真
第5章Melnikov 方法及其应用
5.4双势阱非线性碰撞振子的同宿 分岔与混沌
5.4.2同宿轨的 Melnikov分析
5.4.1模型 描述
0 8 第7章碰撞振动系统的全局动力学
01 前言
前言
02 第1章非光滑动力系统简介
第1章非光滑动力 系统简介
1.1非光滑系统研究的背景与意 义 1.2非光滑系统的研究概况 1.3非光滑动力系统的基本理论 参考文献Βιβλιοθήκη 第1章非光滑 动力系统简介
1.2非光滑系统的研究概 况
1.2.1碰撞振 动系统动力 学
01
6.3.1光滑自治系 统的全局
Poincaré映射
第6章碰撞振动系统的周期解及其分岔
6.5应用实例分析
6.5.2周期解 的倍周期分 岔
6.5.1周期解 稳定性与共 存
6.5.3擦边诱 导多解分岔
08
第7章碰撞振动系统的全局动力 学
03 第2章不连续映射及其应用
第2章不 连续映射 及其应用
0 1
2.1不连续映射 介绍
0 2
2.2跳跃映射
0 4
2.4基于最大 Lyapunov指数 的稳定性与分岔
0 5
2.5彗尾映射
0 3
2.3碰撞振动系 统的最大 Lyapunov指数
0 6
2.6应用实例： Duffing单边碰 撞振动系统的颤 碰分析
1.2.3Filipp ov系统动力 学
1.2.2分段光 滑系统动力 学
1.2.4随机非 光滑系统动 力学
第1章非光滑 动力系统简介
1.3非光滑动力系统的基本理 论
1.3.1非光滑动 力系统的分类
01
1 . 3 . 3 非 光 03 滑动力系统 的稳定性与
分岔
02 1 . 3 . 2 非 光 滑系统解的 理论
5.4.3数值 仿真
第5章Melnikov 方法及其应用
5.5有界噪声激励下非线性碰撞振 子的随机混沌
01
5.5.1 有界 噪声
02
5.5.2有界噪声 激励下非线性 碰撞振动系统 的随机 Melnikov方法
03
5.5.3 应用 实例
07
第6章碰撞振动系统的周期解及 其分岔
06
6.6本章小 结
第3章参数噪声激励下碰撞振动 系统的随机响应与随机分岔
3.1Chebyshev正交多项式理论 3.2随机参数激励下典型Duffing碰撞振 动系统的随机响应与倍周期分岔 3 . 3 随 机 参 数 激 励 下 Va n d e r Po l 碰 撞 振 动 系统的随机响应与擦边分岔 3.4本章小结 参考文献