正弦稳态响应-上海交通大学

Im I 0.707 I m 2
以上情况同样适合于正弦电压。
u(t ) Um cos(t ) 2U cos(t )
1 T 2 U u dt 0 T
Um U 0.707U m 2
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是有 效值，包括交流电机和电器上的铭牌。
300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
有效值也称均方根值，即 有效值
1 T 2 I i dt 0 T
A e j A A m m m
相量可表示为
作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段表示。这 样的图称相量图。 j j 2 j A A e A e m2 设 A A A m2 m2 m1 m1 m1
1
且
Am1= Am2 = Am，1= 2 同相
O

= (180o ) ，反相：
u, i u i t
＝ 0， 同相：
u, i u i
0
0 = /2：
t
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
计算下列两正弦量的相位差。 解
0
3 4 ( 2) 5 4 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
300 (1050 ) 1350
1 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )

j2
j90
jAm e j2
Ame j2 (cos90 jsin 90 ) jA m2

O
1 1 Am2 Am1 A m1 j
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j，向顺时针 方向旋转90，所以称 j e j90 为90旋转因子
1
10
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
1＞2
j LI 超前 U m m
A m2
A m1
角度 角度
j
Am1

落后 A m2

O
Am2

= 90
j
Am1

j1 j(2 90 ) Am1 Am e Am e
1
Am e e
Am2
O
Am cos(t )
Am

t
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180) 最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。三要素确 定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imcos(t+)其中Im是正弦电 流最大值，I是正弦电流有效值。
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特殊相位关系：
I m 0.637 I m
有效值大于其平均值
根据欧拉公式
e j cos jsin
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
e jt ) Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame j e jt ) Re( A m
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易 产生和获得，在科学研究和工程技术中，许多 电气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论， 周期信号能够分解为一系列正弦信号的迭加。 利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析 的方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路 中去。因此也可以说，知道了正弦稳态响应后， 原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
正弦量和相量 基本要求：
正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位 正弦量的瞬时值、有效值、相位差 正弦量与相量的变换、相量图 同相、超前和落后的概念
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
随时间按正弦规律变化的电 压和电流，称正弦电压和正 弦电流。 y(t) = Amcos(t+)
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
电路基础
第三篇 稳态电路
上海交通大学本科学位课程
§5.3 二阶电路( RLC
4
3
电路完全响应)
uC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1
O 1
3.6e t
3.6et 2.5e2t 0.316 cos(2t 108.4)
t
2.5e2t
0.316cos(2t 108.4)
2
3
稳态响应
2
第八章 正弦稳态电路分析
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
ejt ) Am sin(t ) Re( Amej(t ) ) Re( Am ej ejt ) Re( A m
其中
A e j A m m
e jt A m
是 t=0 时的复值常数，称相量
称旋转相量， e jt 称旋转因子
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§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值， 或者说其正半波的平均值。
2 T 2 I a I m cos tdt I m 0.637 I m T 0 2
其中Imcost = i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
平均值
Ia
2