答案——概率论与数理统计复习1

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复习题简答: 第一章

1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件,试将下列事件用A 、B 、C 表示出来:

(1)B,C 都发生,而A 不发生; (2)A,B,C 中至少有一个发生; (3)A,B,C 中恰有一个发生; (4)A,B,C 中恰有两个发生; (5)A,B,C 中不多于一个发生; (6)A,B,C 中不多于两个发生。 解:

(1)BC A (2)C B A ⋃⋃

(3)C B A C B A C B A ⋃⋃ (4)C B A BC A C AB ⋃⋃ (5)C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ (6)ABC

2、 把1,2,3,4,5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问:

(1) 所得三位数是偶数的概率是多少?

(2) 所得三位数不小于200的概率是多少?

解:(1)5222524=A A (2)5

4

42524=A A

3、 甲乙丙三人去住三间房子。求:

(1) 每间恰有一个的概率; (2) 空一间的概率。

解:(1)9

2

3333=A

(2)1213323233

C C C =

4、 设8支枪中有3支未经试射校正,5支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时,

中靶概率为0.8,而用未校正过的枪射击时,中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击,求: (1) 中靶的概率;

(2) 若已知中靶,求所用这支枪是已校正过的概率。 解:A :中靶。

B :已知中靶,所用这支枪是已校正过的。

80

49

3.0838.085)(=⨯+⨯=A P

49403.08

38.0858

.085

)(=

⨯+⨯⨯=A B P

5、 设有甲乙两盒,其中甲盒内有2只白球1只黑球,乙盒内有1只白球5只黑球。求从甲

盒任取一球投入乙盒内,然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。 解:A :从乙盒取出一球得白球。 B :从甲盒中任取一白球放入乙盒。

22115

()()(|)()P(A |B)373721

P A P B P A B P B =+=⨯+⨯=

6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%。

如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%。现在待出厂产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率。

解:A :任取一个产品是次品。

B :产品由甲车间生产。

35

18

%5%20%2%35%4%45%4%45)(=⨯+⨯+⨯⨯=

A B P

7、 对某种药物的疗效进行研究,假定这药物对某种疾病治愈率为0.8,现10个患此病的病

人都服用此药,求其中至少有6人治愈的概率。

解:X :治愈的人数,)8.0,10(~B X

0.9672

)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(}6{10

10

1019910288103771046610=++++=≥C C C C C X P

第二章

8、 某产品5件,其中有2件次品。现从其中任取2件,求取出的2件产品中的次品数X 的

概率分布律及分布函数。

解:次品数X 可能的取值为0,1,2分布律为:

2

325

{0}0.3C P X C ===

0.6}1{2

5

12

13===C C C X P 0.1}2{25

2

2===C C X P

分布函数为:

0,

00.3,01()0.9,121,2

x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨

≤<⎪⎪≥⎩ 9、 设连续型随机变量X 的分布函数为3,0

()0,0x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩

,试确常数A,B ,并求

1

{X 1}3

P <<,{1}P X ≥及概率密度。 解:由F(x)的性质,得A=1,B= -1,所以31,0

()0,

0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩

1311

{1}(1)()e ;33

P X F F e --<<=-=- 3{1}1(1);P X F e -≥=-=

33,0

()()0,0

x e x f x F x x -⎧>'==⎨

≤⎩ 10、已知连续型随机变量X 有概率密度1,02

()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它

,求:

(1)系数k ;

(2)分布函数F(x); (3) P{1.5

⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤+-<=2,1200,4

1

0,0)(2x x x x x F

0625.0)5.1()5.2(}5.25.1{=-=<

11、某元件寿命(按小时计)X 服从参数为=0.001λ的指数分布,三个这样的元件使用1000

小时后,都没有损坏的概率是多少?

解:⎩⎨

⎧≤>=-0

,

00

,

001.0)(001.0x x e x f x

⎰+∞

--==>1000

1001.0001.0}1000{e dx e X P x

Y :损坏的个数,)1,3(~1--e B Y

010333{0}(1)P Y C e e e ---==-=

12、设(1.5,4)X N ,计算:(1)P{X<-4},(2)P{|X|>2}。 解:003.0)75.2(1)75.2(}2

5

.1425.1{

}4{=Φ-=-Φ=--<-=-

.0)75.1(1)25.0(1)2

5

.12()25.12(1}2{1}2{=Φ-+Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P

13、设随机变量X 在(-1,1)上服从均匀分布,求31Y X =+的概率密度。

解:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他

,

01

1,

2

1

)(x x f

31Y X =+的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他

,

04

2,

6

1

)(y y f Y

14、设X 的分布律为

求(1)2X +, (2)1X -+,(3)2

X 的分布律。

第三章

15、一整数X 随机地在1,2,3,4四个整数中取一个值,另一个整数Y 随机地在1到X 中取一个值,试求(X,Y )的分布律。

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