G3_6函数图形的描绘[49页]

x ( , 1) 1 (1, 1) 1 (1, )
y
0
0
y
拐点 拐点
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曲线
y
x2
e2
:
在 ( , 1) 及 (1, )内为凹的,
在 (1, 1)内为凸的.
点 (1,
e
1 2
)
及
(
1,
e
1 2
)
为其拐点.
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y
1 O
x2
ye 2
1
x
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出版社 理工分社
y
凸 y f (x)
y
凹 y f (x)
O x1
x2
x O x1
x2
x
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定义
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如果在某区间内，曲线弧位于其上任意 一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内 是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其 上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个 区间内是下凹的．
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判别法
凹
凸
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x x xx
x xx x
易见随着 x 的不断增大,切 线与 x 轴正方向的夹角
也在不断增大, 即 tan f (x) 随着 x 的增大而增大,亦 即 f (x) 为增函数
易见随着 x 的不断增大,切 线与 x 轴正方向的夹角 在不断变小, 即 tan f (x) 随着 x 的增大而减小,亦即 f (x) 为减函数
(1,)
曲线在(,0) 及 (1,) 两个区间上凹， 在 (0,1)区间下凹，(0,1)和 (1,0) 是它的两个拐点.
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x2
例题
讨论曲线
y
e
2
的凹凸性 , 并求拐点 .
解 定义域为 : ( , )
x2
y xe 2 ,
y
(x2
x2
1)e 2
,
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令 y 0 得拐点可疑点: x 1, x 1 (横坐标)
2) 定义 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.
根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
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求拐点一般步骤
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求曲线 y f (x) 拐点的一般步骤 : (1) 求 f (x) 的定义域(或确定讨论区间) ; (2) 计算 f (x) , f (x) , (如需要可求出f (x)) ; (3) 求拐点可疑点: 使 f (x) 0的点和 f (x) 不存在的点; (4) 根据定理判别可疑点是否确为拐点.
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定理
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设 f (x) C( [a, b] ) , 在 (a, b)内有二阶导数. 若 f (x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f (x) 在[a, b] 上是凹的. 若 f (x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f (x) 在[a, b] 上是凸的.
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高等数学
（上）
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第3章 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 泰勒公式 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 3.5 函数的极值与最值 3.6 函数图形的描绘 3.7 曲率
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3.6 函数图像的描绘
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例题 判别曲线 y 1 的凹凸性 . x
解 函数的定义域为 ( , 0) (0, ) .
因为
y
1 x2
,
y
2 x3
,
所以 x ( , 0) 时 , y 0 , y 1 为凸的 , x
x (0, ) 时 , y 0 , y 1 为凹的 . x
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例题 判断曲线 y x3 的凹凸性.
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解 函数的定义域为 ( , ) .
y 3x2, y 6x,
当x 0时，y 0
y
曲线 在(,0]为凸的；
o
当x 0时，y 0;
曲线在0, 为凹的;
y x3
x
注意到 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点. 退出
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例题 研究 y x4 在 ( 1, 1) 内的凹凸性 .
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解 y 4x3 , y 12x2,
x (1, 1)时, y 0 , 且仅在 x 0时 , y 0 , 故 y x4 在 (1, 1)内是凹的.
y
y x4
O
x
x 0 只是使 y 0 的孤立点, 不是曲线凹凸性
的分界点.
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注记:
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1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
水平渐近线 垂直渐近线
斜渐近线
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y y1
x
O
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x
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lim 1 0 , 水平渐近线 y 0 . x x lim 1 , 垂直渐近线 x 0 . x0 x
的拐点.
︱
o2
x
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3.6.1 曲线的渐近线
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定义
若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无 限远离坐标原点时, 动点 P 到一直线 L 的距离 趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
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曲 线 的 渐 近 线
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回顾 曲线的凹凸性、拐点
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思考 我们说一个函数单调增加, 你能画出函数
所对应的曲线的图形吗?
y
.B
?!
.A
O
x
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简单地说 , 在区间 I 上 :
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曲线弧段位于任意一点切线的上方时, 称之为凸的;
曲线弧段位于任意一点切线的下方时, 称之为凹的.
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例题 求曲线 y x4 2x3 1的凹向区间与拐点.
解 y 4x3 6x2， y 12x2 12x 12x(x 1)
令 y 0，解得 x 0 ， x 1．
x (,0)
0
(0,1)
f ( x)
0
f ( x) 拐点 (0,1)
1 0 拐点 (1,0)
1
例题 求曲线 y 2 (x 4)的3 凹向区间与拐点.
解
y
1
(
x
2
4) 3
，
y
2(x
5
4) 3
；
3
9
y在 (,)内恒不为零，但 x 4 时，
y 不存在． 在x<4时，y 0,
y
1
y 2 (x 4) 3
在x>4时，y 0 .即 y在x 4
两侧异号，所以(4,2)是曲线 2 —
(4,2)