函数图形的描绘

函数图形的 描绘
一、曲线的渐近线
定义
如果动点P沿曲线C无限地远离原点时， 动点P到定直线L的距离趋于零，那么称定 直线L为曲线C的渐近线．
一、曲线的渐近线
1. 水平渐近线
如果 则称曲线y=f(x)有水平渐近线 y=A．
一、曲线的渐近线
【例1】
求y=arctanx的水平渐近线． 解 因为
所以
都是y=arctanx的水平渐近线．
二、函数图形的描绘
现将描绘函数y=f(x)的图形的一般步骤归纳如下： （1）确定函数的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、 周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数； （2）利用f′(x)=0及其不存在的点将定义域划分为若干区间，判断 每个区间上f(x)的单调性并求出极值，利用f″(x)=0及其不存在的点将 定义域划分为若干区间，判断每个区间上曲线的凹凸性并求出拐点； （3）列表； （4）求出曲线的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线； （5）取辅助点； （6）作图．
谢谢聆听
一、曲线的渐近线
【例5】
求曲线 解 因为
的渐近线．
所以y=0为曲线的水平渐近线，x=1及x=－1为两条垂直渐 近线．
一、曲线的渐近线
3. 斜渐近线
y=f(x)以直线y=kx+b为斜渐近线的充要条件是
一、曲线的渐近线
【例6】
求曲线 解 因为
的渐近线．
所以x=0是垂直渐近线，没有水平渐近线．由于
所以y=x是曲线的斜渐近线．
二、函数图形的描绘
上述的这些结果，可以列成下表：
（4）由于
=0，所以图形有一条水平渐近线y=0.
二、函数图形的描绘
结合（3）、（4）的讨论，利用描点法即可画出函数 在［0,+∞)上的图形．最后，利用图形的对称性，
便可得到函数在(－∞,0］上的图形（见图3-16）．
思考
描绘函数图形时，要取一些辅助点，你认为取哪些点作为辅 助点较好？
【例2】
求曲线 解 因为
的水平渐近线．
所以y=0是
的水平渐近线．
一、曲线的渐近线
2. 垂直渐近线
如果 则
称曲线y=f(x)有垂直渐近线 x=a．
一、曲线的渐近线
【例3】
求曲线 解 因为
的渐近线．
所以y=0为曲线的水平渐近线，x=1为垂直渐近线．
【例4】
求曲线 解 因为
的渐近线．
所以y=0为曲线的水平渐近线，x=1及x=－1为两条垂直渐近线
（2） y′=3x2－6x=3x(x－2)，令y′=0，得x=0,x=2； y″=6x－6，令y″=0，得x=1．
（3）列表
二、函数图形的描绘
函数y=x3－3x2的图形如图3-15所示
二、函数图形的描绘
【例9】
描绘函数y=
的图形．
解（1）函数定义域为(－∞,+∞)．由于
所以函数f(x)是偶函数，它的图形关于y轴对称．因此，可 以只讨论［0,+∞)上该函数的性态，然后利用对称性画出函 数的图形．求出函数的一、二阶导数．
二、函数图形的描绘
（2）在［0,+∞)上，f′(x)的零点为x=0；f″(x)的零点为x=1 ．用点x=1把［0,+∞)划分成两个区间［0,1］和［1,+∞)．
（3）在(0,1)内，f′(x)<0，f″(x)<0，所以在［0,1］上的曲线 弧下降而且是凸的．结合f′(0)=0以及图形关于y轴对称可知， x=0处函数f(x)有极大值；在(1,+∞)内，f′(x)<0，f″(x)>0，所以 在［1,+∞)上的曲线弧下降而且是凹的．
二、函数图形的描绘
【例7】
描绘函数
的图形．
解 （1）函数定义域为(－∞,－1)∪(－1,+∞).
（2）求函数的一、二阶导数.
二、函数图形的描绘
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、函数图形的描绘
（5）取辅助点(－2,2),(0,0),(1,1/2). （6）描点作图（见图3-14）
二、函数图形的描绘
【例8】
画出y=x3－3x2的图形． 解 （1）函数的定义域为(－∞,+∞)．