PPT-静力学-第二章 平面力系
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
2平面任意力系简化2-25
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
静力学-平面力对点之矩 平面力偶
M
0 Fi
即: 合力之矩等于各分力之矩的代数和. 适用于任何有合
力存在的力系
力系使物体绕O1点. 计转算动力矩 M 0 Fi
等效
M
0 FR
M
0
Fi
2. 确定一些复杂载荷的合力
合力使物体绕O点转动 M 0 FR
例： A
P
Pcosα α
B
Psinα
a
b
求: M A P , M B P ?
M
M
M M
F
F´
M
M
2-2 平面力对点之矩 平面力偶
●力偶的性质
1.力偶不能合成为一个力，即力偶不能与一个力等效替换。
2.力偶不能与一个力平衡。
力偶(couple)
3.力偶自身不能平衡。
4.力偶只能与力偶平衡。 5.力偶对物体只有转动效应。
无合力和合力为零是不同的概念
例： 力偶 (couple)
性质以及相关计算。
② 合力矩定理及其应用
③ 平面力偶系的平衡问题计算。
作业
2-10
2-11
2-13
求: 两个平行力的合力 FR
① 同向
B
A Cα
② 反向
FB
C
A α
B
FA
FR
FB
大小: F R F A F B
FR
(FA FB ) FA
大小: F R F A F B
FR
方向: 同FA、FB
FR
作用线位置 : AC FB (内分线段)
方向: 同 FA 作用线位置 : AC FB (外分线段)
第二章 平面力系
Planar Force System
静力学-平面力系
03
平面力偶系合成与平衡
力偶概念及性质
力偶定义
由两个大小相等、方向相反且作用线平 行的力组成的力系。
VS
力偶性质
力偶没有合力，只能用力偶矩来度量其效 应；力偶对其作用面内任一点之矩恒等于 力偶矩，而与矩心的位置无关。
力偶矩计算与方向判断
力偶矩计算
力偶矩等于两力大小与两力作用线间距离的 乘积，即M=Fd。
计算方法
通过矢量运算，将力系中 的每个力分别投影到坐标 轴上，然后进行代数求和， 得到主矢和主矩。
简化结果讨论：合力、合力偶、平衡
合力
当主矢不为零时，力系可 简化为一个合力，其作用 点通过简化中心，大小和 方向由主矢确定。
合力偶
当主矢为零但主矩不为零 时，力系可简化为一个合 力偶，其力偶矩等于主矩。
全性。
建筑工程
在建筑结构中，框架结构和剪力 墙结构等常常受到空间平行力系 的作用。通过合理设计和施工， 可以确保建筑物的稳定性和承载
能力。
机械工程
在机械设计中，许多机构和构件 受到空间平行力系的作用。例如， 齿轮传动、带传动等机械传动中， 各构件受到的力和力矩往往构成
空间平行力系。
拓展思考
01
建立力学模型
摩擦角概念
当物体处于临界平衡状态时，摩擦力与正压力之间的夹 角称为摩擦角。
考虑滑动摩擦时物体平衡问题求解方法
确定研究对象和受力分析
选取研究对象，进行受力分析，画出受力图。
列平衡方程
根据静力学平衡条件，列出平衡方程。
引入滑动摩擦定律
在平衡方程中引入滑动摩擦定律，将摩擦力 表示为正压力的函数。
求解未知量
06
空间平行力系简介与拓展 思考
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
第2章平面一般力系
11
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
02 平面汇交力系
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
1.平面汇交力系合成的几何法
力多边形法则:平面汇交力系的合力是将力系中各力矢量 依次首尾相连组成一个不封闭的力多边形，并将该多边形 由起点向终点作有向线段，该有向线段(封闭边)表示该力
系合力的大小和方向，且合力的作用线通过汇交点。
力的多边形法则
FR
F
FR
FRx FRy ( F x) ( F y )
2
2
2
2
Fx cos(FR , i ) FR Fy cos(FR , j ) FR
tg FRy FRx
y
FRy
FR
o
x
FRx
4. 平面汇交力系的平衡方程
F
R
( F x) ( F y)
FR
F
4
3. FRx FRy FRxi FRy j
FRx FR cos FRy FR cos
y
FRy
FR
o
x
FRx
合矢量投影定理
F Rx F x F
y
F
1
2
Fy Ry
F
3
F
F
o
F
R
4
x
合力矢的大小和方向余弦
引 言
静力学 第二章 平面汇交力系
引 言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
平面力系
平衡方程其他形式：
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
证明：
F
F
F
F
Od A = O d A
=
mO A
F
F F F
m Fd m0F
§3–2
§2–7 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位
置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。
中心。
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
=
F2
m1
m2
O
m3
=
F3
F3
R
O
LO
§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在 点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
R
R , y 3754'
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
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F3 10,0 N F.4 250 N 求：此力系的合力.
解： 用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos
45
F4
cos
45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
F2 Rx
F2 Ry
171.3N
cosθ FRx 0.7548 F
2.方向：转动方向 M O(F) F h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的 乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为
负.常用单位 N或 m kN m
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力
对平面内任一点之矩等于所有各分
力对于该点之矩的代数和。
第二章 平面力系
当力力系中各力的作用线处于同一平面时，该力系称 为平面力系。 平面汇交（共点）力系
平面平行力系 平面力偶系 平面任意力系
主要研究：力系的合成、简化与平衡，建立平衡条件 和平衡方程
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法－－力多边形规则
FR1 F1 F2
3
FR 2
FR1
M A F
lim x0
qo x x x
l
FR
q0
（ qo l x2dx q0 l 2
l0
3
）
合力作用线的位置为：
C
x B
xc
MA FR
2l 3
结论： 合力的作用线通过载荷图的形心。
三、力偶和力偶矩
力偶
称为由力两偶个，等记值作、反向F、, F不共线的（平行）力组成的力系
力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂. 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
FRx FR cos
FRy FR cos
合力等于各力矢量和
FR Fi
由合矢量投影定理，（合矢量在某一轴上的
投影等于个分矢量在同一轴上的投影代数和）
FRx Fix
FRy Fiy
合力的大小为：
FR
方向为：
cos(FR
,i )
Fix FR
作用点为力的汇交点.
例 已知F=300N，l=0.5m，α=60°。试计算力F对 O点之矩。
解： 按合力矩定理计算。
F1 F2
M O ( F ) M O ( F1 ) M O ( F2 ) F1 0 F2l
F sina 0.5
300 sin 60o 0.5 129.9N.m
平面特殊力系—— 分布荷载
两个重要推论： 推论1 力偶可以在其作用平面内任意移动或 转动，不会改变它对物体的转动效应。
即力偶对刚体的转动效应与其在作用平面 的位置无关。
推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任 意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚 体的转动效应。
F1d1 F2d2
注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
R
F cos β Ry 0.6556
F R
θ 40.99 , β 49.01
例2-4 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示
坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点
O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用M0代表，称为原平面任意力系对简 化中心O的主矩。
48
平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
B FB
d
FA、FB为正值，说明图中所设FA、FB的指向正确。
§2-3 平面任意力系的简化
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不 汇交为一点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。
平面任意力系实例
一.力的平移定理
可以把作用在刚体上点 的A力 平行F
移到任一点 ，B但必须同时附加一个力
偶，这个附加力偶的矩等于原来的力
n
M M1 M 2 M n Mi i 1
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：
合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和
等于零，
∑Mi =0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
Mn M1
M2
例2-6
已知: F 1400N, θ 20 , r 60mm
求: MO (F )
M O(FR ) M O (Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
M O(F) M O(Fy ) M O(Fx )
x F sin θ y F cosθ
xFy yFx
MO FR
xi Fiy yi Fix
证明： 由图得
y
MO (F ) F d F r sin(a )
M1 A
M2
B
60
M1 A
FA
M2
B FB
d
4m
解：取AB梁为研究对象，作AB梁的受力图。
由平衡方程
∑Mi =0
M1 A
得 － M1+ M2+FB l cos60º= 0
4m
M2
B
60
－32 + 8 + FB4cos60 = 0
解得 FB=12 N 故 FA = FB = 12 N
M1 A
FA
M2
F F 2
2
Rx
Ry
cos( FR
,
j)
Fiy FR
四、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
例2-1
已知： P 20kN, R 0.6m, h 0.08m
求：
1.水平拉力 F 5时kN，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F至少多大？
M F d 2ABC
力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
FX F cosa F'cosa 0
(b) 力偶不能合成为一力，也不能与一个力平衡； 力偶和力是静力学的两个基本物理量。
Fd
a
力偶臂
a
F′ 力偶作用面
x
(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
（3）力线平移定理是把刚体上平面任意力系分 解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依 据。
二.平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
设在某一刚体上作用着平面任意力系 F1,F2,…,Fn ,如图所示。
F1 F2
Fn
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个 向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移,再将所
解： 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
例2-10
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M及2 铰链 O处, 的B 约束力.
解： 取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
Fy 0 F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
F F P
1
2
F 7.321kN BA
F 27.32kN BC
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O称为矩心， O到 力的作用线的垂直距离 称h为
力臂
两个要素： 1.大小：力 F与力臂的乘积
(F, F') (F, F', F1, F1') (FR , FR ') (F, F') (FR1, FR1')
M (F, F') 2SABD M (FR, FR ') 2SABC
而 SABD SABC
M (F, F') M (FR , FR ') M (FR , FR ') M (FR1, FR1') M (F, F ') M (FR1, FR1')
Fy F
F r (sin a cos sin cosa ) F r sin a cos F r sin cosa
x Aa
r
y
Fx
O
x
d
a
y
而
F cos a Fx , F sin a Fy
Fy
F
r cos x ,r sin y
x Aa
r y
Fx
Od
x
a
则 MO(F) x Fy y Fx (a)
3. 解得 Fmin P sin θ 10 kN
例2-2
已知：AC CB, F,各杆10自kN重不计； 求： C杆D及铰链 的A受力.
解： CD为二力杆，取 A杆B，画受力图.
用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
例2-3 已知：图示平面共点力系, F1 2,00 N ,F2 300 N