黄金分割与分形几何学

如下图，这种长边与短边比值是黄金数 1.618…的矩形称为黄金矩形，是黄金分割自相 似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取 下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正 方形内的 1/4 圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。
n+1
n
n−1
自然界中。
Biblioteka Baidu
（图 3）
树枝上的分枝数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为 3，梅花 5，
桔梗常为 8，金盞花 13…等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列（上图中）。斐波
那契数列也出現在松果上。如上图右，一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列：一
组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋，顺时针螺旋的排列数目是８，而逆时针螺旋方向则
图2
一、无所不在的黄金分割
黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。如图，设线段 AB 长度为 1，在上面取一点 C 使得 AC = AB ，C 点被称为线段 AB 的“黄金分割”点。
BC AC
设 AC 部分长为 X，则 x = 1 ，即 x2 + x −1 = 0 。解 1− x x
“达·芬奇密码”——黄金分割与分形几何学
凤·舞·九维空间 随着电影《达·芬奇密码》全球热映，这本 2004 年风靡全世界的小说在两年后又一次 席卷全球，成为人们谈论的焦点。作者丹·布朗借用悬念叠生，跌宕起伏的情节，揭露了天 主教会为了稳固信仰根基，对历史真相和人类信仰进行无情的隐瞒和欺骗。小说借用伟人 达·芬奇的几幅传世巨作，将暗含其中的历史真相——耶稣妻子摸大拉以及耶稣血脉的故事 展示给读者，这些巨作隐含的惊天秘密，称之为“达·芬奇密码”。
137.4°
137.6° （图 13）
137.5°
除了黄金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黄金分割原则，其分形维数也很接近 黄金数 1.618… 如数的生长。按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多 的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。
（图 14）
从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是 生物界自然选择的结果。目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种 自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡 等等，都是黄金螺旋分形。
图1 小说中重点提到了一个广泛存在于自然界的神秘比例——“黄金分割”，从开场卢浮宫 馆长索尼埃临死前留下的那一串斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……，到他将身 体摆成的维特鲁维人图案（图 2 左），从基督教认为的“异教徒”符号，古老宗教中代表宇 宙和谐之美的五角星（图 2 右，相邻线段间比例为黄金分割），到《最后的晚餐》中象征耶 稣和摸大拉之间象征圣杯图案的“V”子位置（图 2 中），都无一例外诠释了“黄金分割” ——这个大自然最为神秘的“达·芬奇密码”。
=
log[ N (ε )] log(ε )
如下图，实心平面和立体无论如何分割，带入这个公式计算结果都是 2 和 3。而空心（即 没有填满整个平面）的分形结构会得到分数维。
（图 8） 二、取格法（盒子维度）
这种方法适用于各种复杂不规则的分形图形，但是一种近似的数值方法。其思想类似 于有限元分析，将分形所在的平面分割成众多的小格子，令整个大平面维单位平面，S 为小
下图是最典型的分形——Koch 曲线，
（图 7） Koch 曲线就是在一个等边三角形一条边上截取中间 1/3 边长，生成新的等边三角形， 然后一直一层一层无限生成下去。 定量描述分形结构，需要引入“分数维”这个超越人类整数维思维的概念。我们知道， 线的维度是一维，平面维度为二维，立体为三维，物理学中最有希望统一所有基本粒子及其 相互作用的理论——超弦理论需要在更高维度的空间中建立，我们暂且不去讨论它。 就维度性质而言，1 维相对于 2 维来说，是在一个维度上与其相同，在另一个维度上值 为无限小，。因此在 2 维平面内无限区域一条无限长的直线，他的维度是 1。同理如果 2 维 平面内一个有限区域内一条线的维度为 1，它必须是一个有限长的线段，这样才能保证它另 一个维度值为无限小。那么如果一条无线长的线束缚在平面上一个有限的区域内，另一个维 度的值不再是无限小，它的维度将大于 1，但是这条无线长的线并没有填满一个平面，因此 它的维度也小于 2，一维分形就是这样一个束缚在有限平面区域内无限长的线，它的维度是 介于 1 和 2 之间的分数维度。
（图 9） 关于二维分形结构（即有限空间区域内无限面积的几何面），其分数维数位于整数 2 和 3 之间，可以同样利用以上两种计算方法来计算其维度。
三， “黄金分割”的分形解密
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在 1.6—1.7 附近，这让 人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取 值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系 呢？
与后面一节骨头的比，都接近黄金数 1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞，就是为了让身体 的比例更接近黄金分割。小说中提到的达·芬奇作品《维特鲁维人》（见图 2）就是他严格 按照人体的黄金分割比例绘制成的。
（图 5） 黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在，因此成为人类潜意识中的审美标准，成为 了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置，将给人一种最美的视 觉感受。从古至今许多建筑有遵循着黄金分割的规律，包括金字塔的斜面三角形高与底面半 边长之比，雅典神庙和巴黎圣母院的外观，甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位 置，都利用黄金分割比给人以美的享受。
格子边长，ε为ε＝1/s， N（ε）分形图案占据的小格子数。
那么分形维度的计算公式为： D S
=
log[ N (ε )] log(ε )
随着 S 的减小，即格点数选取的越多，Ds 越接近于分形实际的分数维度。 如果是一维线段，则显而易见随着格点数目的增加线段占据格点数 N（ε）于ε的比趋 近于零，Ds 趋近于 1。如果图形占据了所有小格子，那么它自然占据了所有平面，是二维。 一个分形结构自然不会占据平面内所有小格，随着格子取得越小，N（ε）与ε的比会趋近 某一个特定值。
5/3
=
1.666……,
8/5
=
1.6,
/13 8
=
1.625,
/21 13
=
1.61538……
我们发现项数越大，这个比值越接近黄金数 1.618。下图是计算机模拟分布的结果，绿线为
黄金数 1.618。
（图 4） 除了植物世界外，在动物世界甚至我们人体本身中，黄金分割更是不断地出现。从外观 上看大多出现在动物的形体中。 如下图，人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头
为 13。向日葵也是一样（上图左），常见的螺旋线数目为 34 及 55，较大的向日葵的螺旋线
数目为 89 及 144，更大的甚至还有 144 及 233，這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。
那么斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢？用数列中任意一项比上前一项，1/1 = 1，
2/1
=
2，3/2
=
1.5,
这个方程得： x = −1± 5 。因为 X>0，所以 x = 5 −1 ≈ 0.618 ， 1 = 5 +1 ≈ 1.618 ，
2
2
x2
这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。 《达·芬奇密码》中反复提到的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，
其特点为数列中每一项为前两项之和，即 a = a + a ,(n ≥ 2) ，这个数列广泛存在于
平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满 平面。
图 12 中黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散 化，如果将其收缩边缘连续起来，就会出现海螺的 那种布满整个平面区域的黄金螺旋。
也就是说，只有黄金螺旋这种“依次排列”的 自相似才会占满平面区域。
看到这里的读者请伸出自己的左手与纸面垂 直，然后握拳，看一下你的食指围成的螺旋是不是 和图 12 很像？人体众多骨骼之所以被各个关节黄金 分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。 （图 12） 见图 5，人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节，肘部，膝盖，颈 部，腰腹等等（身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处），许多哺乳动物关节 都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果，能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住 东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。 如下图，将一个圆周进行黄金分割，它的短弧所对应的角度成为“黄金角”，即 360× （1－0.618…）≈137.5° 将黄金螺旋上取距离相等的一系列点，发现点于点连线之 间的夹角(发散角)都为黄金角。 下图计算机模拟结果可看出，发散角为 137.4°和 137.6 °的螺旋都无法填满平面，而恰好发散角为 137.5°的黄金螺 旋可以填满平面，做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花（图 3 与图 11）都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或 种子排列数目最多。
黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段 AB 连接上它的黄金分割线 段 BC=0.618…×AB 排列，BC 再连接 CD＝0.618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式 很容易证明，线段的总长度为 AB 乘上黄金分数，即 1.618…×AB。黄金分割充分体现了部 分和整体“依次排列”的自相似性。
旋分形维度为 DS
=
log 29 log 8
= 1.619327.... ，很接近黄金数 1.618。
生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花 和果实表面排列等等。
（图 11） 通过研究海螺发现，用一条直线穿过它的螺旋中心，这条直线上它的螺旋相邻圈粗细 比值很接近黄金分割（如图 11 左下）。 那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢？我们从图 10 的黄金矩形出发，将 黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动 1/2 个边长，依次类推，如图 12，这些黄金矩形会 围成一个基本填满平面区域的螺旋，例如图中红矩形和蓝矩形之间的距离很小。 有兴趣的读者不妨画图证明，任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在
分形维度计算法则：
一、倍形法 这是计算分形维数一个最简单有效的方法，读者可以利用它来计算相对简单规则的分
形维数。 另 S 为分形的一个层次结构单元边长，ε为上一层次分形结构长度和 S 的比值，若令
上一层次边长为单位长度 1，则ε＝1/s， N（ε）为层次分形结构内包含边长 S 层次结构
单元的数目。
那么分形维度的计算公式为： D S
（图 6） 细心的读者也许会发现，黄金分割有一种几何上的自相似性，部分与部分的比等于部 分与整体的比，等于整体与更大整体的比…… 20 世纪 70 年代，数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念，用来 描述自相似性，并首先引入了“分数维”的概念。
二、分形几何学
分形概念最早出现于 Mandelbrot 对海岸线测量问题的研究中。对于谋国家海岸线这种 不规则图形，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。当选择测量尺度很大时， 细小的地方没有测量，得到的值会比较小。而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺 度越小，得到的值将越大。也就是说，现实中这种复杂的不规则边界的图形，没有准确的周 长。随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大 尺度相似的特征，并且无限细分下去都存在这种自相似性，我们称这种几何形状为“分形”
（图 10） 如图，黄金螺旋便是一个典型的一维分形，我们大致计算一下它的分形维度。 用上节提到的取格法，将黄金矩形分成 8×8＝64 个小的黄金矩形。一般情况下自然界 的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格，因此将包 含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得，N（ε）＝29，因此有一定粗细的黄金螺
准晶体
海浪
漩涡
（图 15）
分形是研究复杂性科学的一个起始点，复杂性科学自上世纪 70 年代诞生以来，经历了 蓬勃的发展。从分形几何学到非线性动力学，再结合信息论，系统论和控制论，复杂性科学 正逐渐超越“还原论”成为现代科学的主流。一个复杂自适应系统（如软物质，生物体，社 会模型等等）必然存在更多的自相似性，黄金分割的比例也会在其中发挥更重要的作用。这 个世界有更多的“达芬奇密码”依然在那里等待着人类去破解，让我们拭目以待。