运筹学试题及答案

一、填空题：（每空格2分，共16分）

1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错

4、如果某一整数规划：

MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数

所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X 1≤1 和 X 1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。

6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B

7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。

X B b X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 4 3 0 0 -2 1 3 X 1 4/3 1 0 -1/3 0 2/3 X 2

1

0 1 0 0 -1 C j -Z j

-5

-23

问：（1）写出B -1

=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---1003/20.3/131

2

(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T

8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______； 9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；

10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。

11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X4,X5,X6为松驰变量。

X B b X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 2 1 1 0 2 0 1 X 3 2/3 0 0 1 1 0 4 X 5

1

0 -2 0 1 1 6 C j -Z j

-4

-9

问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T

（2）写出B -1

=

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛611401102

二、计算题（60分）

1、 已知线性规划（20分） MaxZ=3X 1+4X 2 X 1

+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8 X 1,X 2≥0 其最优解为： 基变量 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X 2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X 1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj

-3/4

-1/2

1） 写出该线性规划的对偶问题。

2） 若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？

3） 若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？

4） 如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：

1)对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3

y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥0

2)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b 2的量从12上升到15 X ＝9/8 29/8 1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则

P 6’=(11/8,7/8，－1/4)T

σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。

销地

产地

B 1

B 2

B 3

产量

A 1 5 9 2 15 A 2 3 1 7 11 A 3 6 2 8 20 销量 18

12

16

解：初始解为 计算检验数

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：

重新计算检验数

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解

3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19

21

23

17

答最优解为：

B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3

18

1 1 20 销量/t 18 12

16

B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3

0 0 20 销量/t 18

12

16

B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16