运筹学试题及答案

一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X 1≤1 和 X 1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。

6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。

X B b X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 4 3 0 0 -2 1 3 X 1 4/3 1 0 -1/3 0 2/3 X 210 1 0 0 -1 C j -Z j-5-23问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______； 9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。

11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X4,X5,X6为松驰变量。

X B b X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 2 1 1 0 2 0 1 X 3 2/3 0 0 1 1 0 4 X 510 -2 0 1 1 6 C j -Z j-4-9问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T（2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、 已知线性规划（20分） MaxZ=3X 1+4X 2 X 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8 X 1,X 2≥0 其最优解为： 基变量 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X 2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X 1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj-3/4-1/21） 写出该线性规划的对偶问题。

2） 若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3） 若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4） 如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。

3）当若b 2的量从12上升到15 X ＝9/8 29/8 1/4由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。

4）如果增加一种新的产品，则P 6’=(11/8,7/8，－1/4)Tσ6=3/8>0所以对最优解有影响,该种产品应该生产2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。

（共15分）。

销地产地B 1B 2B 3产量A 1 5 9 2 15 A 2 3 1 7 11 A 3 6 2 8 20 销量 181216解：初始解为 计算检验数由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：重新计算检验数所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19212317答最优解为：B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3181 1 20 销量/t 18 1216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 30 0 20 销量/t 181216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16X= 0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1总费用为504. 考虑如下线性规划问题（24分）Max z=-5x1+5x2+13x3s.t. -x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：最优解为1)C j-5 5 13 0 0 θC B X B b X1X2X3X4X50 X420 -1 1 3 1 0 20/30 X590 12 4 10 0 1 9C j-Z j-5 5 13 0 013 X320/3 -1/3 1/3 1 1/3 0 200 X570/3 46/3 22/3 0 -10/3 1 70/22Cj-Zj -2/3 2/3 0 -13/3 013 X3185/33 -34/33 0 1 2/11 -1/225 X235/11 23/11 1 0 -5/11 3/22-68/33 0 0 -1/11 -1/11最优解为X1=185/33, X3=35/112)对偶问题最优解为Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T3)当b1=45时X= 45/11-11/90由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化4）P6’=(3/11,-3/4)Tσ6=217/20>0所以对最优解有影响。

5）当C2=6σ1=-137/33σ4=4/11σ5=-17/22由于σ4大于0所以对最优解有影响5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij）。

（15分）V1(5,0) (3,3)(3,3)V S （4,1）V2(4,0)(9,3) (8,4)V3Vt(6,0)最大流为：14V1(5,3) (3,3)(3,0)V2Vs (4,4)(4,1)(9,7) (8,8)VtV3 (6,6)6. 考虑如下线性规划问题（20分）Max z=3x1+x2+4x3s.t. 6x1+3x2+5x3≤93x1+4x2+5x3≤8x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解；2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；4）c2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。

Cj 3 1 4 0 0C B X B b X1 X2 X3 X4 X50 X4 9 6 3 5 1 00 X5 8 3 4 5 0 1Cj-Zj 3 1 4 0 00 X4 1 3 -1 0 1 -14 X3 8/5 3/5 4/5 1 0 1/5Cj-Zj 3/5 -11/5 0 0 -4/53 X1 1/3 1 -1/3 0 1/3 -1/34 X3 7/5 0 1 1 -1/5 2/5Cj-Zj 0 -2 0 -1/5 -3/5最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52)对偶问题为Minw=9y1+8y26y1+3y2≥33y1+4y2≥15y1+5y2≥4y1,y2≥0对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/53)若问题中x2列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5)T σ2=-4/5＜0所以。

对最优解没有影响4）c2由1变为2 σ2=-1＜0所以。

对最优解没有影响7.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij）。

（10分）V1(4,4 ) V3(9,5) (6,3)V S(3,1) (3,0) (4,1) Vt(5,3) (7,5)V2(5,4) V4解：V1 (4,4) V3(9,7) (6,4)(3,2) (4,0)Vs Vt(5,4) (7,7)V2 (5,5) V4最大流＝118.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h)A B C 1 1 110 4 52 2 6100600300单位产品利润(元) 10 6 41)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。

(15分)2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。

(4分)3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。

(2分)4)设备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。

(3分)5)如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。

(3分)6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。

(3分)解：1）建立线性规划模型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x3≤10010x1+4x2+5x3≤6002x1+2x2+6x3≤300x j≥0,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/32）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。