2020年高考数学南外、金中、海中最后大联考
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．2. 已知复数z =1+2i(i 为虚数单位)，则z 2的实部为______．3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为______．4. 运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为______．5. 从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a ，b ，则log a b >0的概率为______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为______．7. 已知cosα+sin(α−π6)=45，则sin(α+7π6)的值为______．8. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 20−S 10S 30−S 20=1310，则数列{a n }的公比为______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，过直线y =2x 上一点P 作圆C ：(x −3)2+(y −1)2=1的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线PA ，PB 关于直线y =2x 对称，则线段PA 的长度为______．10. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2=3π，则S1S 2的值为______． 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ，则不等式f(x −2)>f(x)的解集为______．12. 已知函数f(x)={√1−(x −1)2,0≤x <2f(x −2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N ∗)，直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点，则数列{k n 2}的前n 项和为______．13. 设H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)，且3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cos∠AHB 的值为______． 14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R.已知c =1，且△ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)，则a 的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1=AB ．(1)求证：AB//平面D 1DCC 1；(2)求证：AB 1⊥平面A 1BC ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =35．(1)若△ABC 的面积为3，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)设m ⃗⃗⃗ =(2sin B 2,1)，n ⃗ =(cosB,cos B 2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求sin(B −2C)的值．17. 如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A(大小忽略不计)盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，tan∠ABC =34，∠ACM =π4，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ．(1)求方案①的运输费用；(2)请确定P点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过(−1,32)，且右焦点坐标为(1,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A，B为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，P为椭圆上任意一点(异于A，B两点)，直线AC与直线BP相交于点M，直线BC与直线AP相交于点N，求证：MC=NC．19.已知函数f(x)=lnx−a⋅x−1x+1(a∈R)．(1)若x=2是函数f(x)的极值点，求a的值；(2)令g(x)=(x+1)⋅f(x)，若对任意x≥e，有g(x)>0恒成立，求a的取值范围；(3)设m，n为实数，且m>n，求证：e m+n2<e m−e nm−n <e m+e n2．20. 若存在常数m ∈R ，使对任意的n ∈N ∗，都有a n+1≥ma n ，则称数列{a n }为Z(m)数列．(1)已知{a n }是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n .若S n 是Z(1)数列，求a 1的取值范围；(2)已知数列{b n }的各项均为正数，记数列{b n }的前n 项和为R n ，数列{b n 2}的前n 项和为T n ，且3T n =R n 2+4R n ，n ∈N ∗．①求证：数列{b n }是等比数列；②设c n =b n +λn−1b n (λ∈R)，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的λ∈[2,3]，数列{c n }都是Z(m)数列，并求出m 的最大值．21. 已知b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c 2]的属于特征值4的一个特征向量．求矩阵M 及它的另一个特征值．22. 在极坐标系中，设直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)，且直线l 与曲线C ：ρ=acosθ(a >0)有且只有一个公共点，求实数a 的值．23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=5，求a2+b2+2c2的最小值．24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否合格相互独立．(1)记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率为p0，求p0；(2)现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X，求X的分布列和数学期望．25.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．(1)根据恒等式(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(m,n∈N∗)两边x p的系数相同直接写出一个恒等式，其中p∈N，p≤m，p≤n；(2)设m ，n ∈N ∗，p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ，利用上述恒等式证明：C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p ．答案和解析1.【答案】{0,1}【解析】【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M∩N={0,1}．故答案为：{0,1}．2.【答案】−3【解析】解：∵z=1+2i，∴z2=(1+2i)2=−3+4i，∴z2的实部为−3．故答案为：−3．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】32【解析】解：高三学生占的比例为89+8+8=825，则应从高三年级抽取的学生的人数为100×825=32，故答案为：32．用样本容量乘以高三学生占的比例，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】16【解析】解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；T=1，i=3；T=1+3=4，i=5；T=4+5=9，i=7，T=9+7=16，i=9；终止循环，输出T的值为16．故答案为：16．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的T值．本题考查了程序语言的运行问题，是基础题．5.【答案】23【解析】解：从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a，b，基本事件总数n=C42=6，∵log a b>0，∴满足条件的(a,b)有(2,3)，(3,2)，(12,23)，(23,12)，共4个，∴log a b>0的概率为P=46=23．故答案为：23．基本事件总数n=C42=6，由log a b>0，利用列举法求出满足条件的(a,b)有4个，由此能求出log a b>0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】√10【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为3，则b=3，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√1+91=√10，故答案为：√10．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c，a，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，考查计算能力．7.【答案】−45【解析】解：∵cosα+sin(α−π6)=cosα+√32sinα−12cosα=12cosα+√32sinα=45，故sin(α+π6)=45，则sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−45．故答案为：−45由已知结合和差角公式，辅助角公式及诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．8.【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S20−S10S30−S20=1310，∴a1(1−q20)1−q−a1(1−q10)1−qa1(1−q30)1−q−a1(1−q20)1−q=q10−q20q20−q30=1−q10q10(1−q10)=1q10=1310，∵q>0，∴数列{a n}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的前n项和公式直接求解．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】【分析】由题意可知直线与y=2x与直线PC重合或垂直，因为点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，所以k PC=−12，求出点P坐标，从而利用点到直线距离公式求出CP，进而在直角三角形CAP中求得PA．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，注意数形结合思想的应用，难度适中．【解答】解：由切线PA，PB关于直线PC对称，以及切线PA，PB，关于直线y=2x对称知，直线与y=2x与直线PC重合或垂直，由于点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，设P(t,2t)，则2t−1t−3=−12，解得t=1，P(1,2)所以PC=√(3−1)2+(1−2)2=√5，半径r=1，PA =√PC 2−r 2=√(√5)2−12=2，故答案为：2．10.【答案】3√2π【解析】解：圆锥的母线l =√r 2+r 2=√2r.V 1=a 3，S 1=6a 2，V 2=13πr 3，S 2=πrl =√2πr 2．∵V 1V 2=a 313πr 3=3π，∴a =r ． ∴S 1S 2=2√2πr 2=3√2π． 故答案为：3√2π． 根据体积比得出a 和r 的关系，代入面积公式求出面积比即可． 本题考查了圆锥，正方体的体积和表面积计算，属于基础题． 11.【答案】{x|−32<x <72}【解析】解：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ， 所以x <0时，−x >0，所以f(−x)=(−x)2+5x =x 2+5x =−f(x)，所以f(x)=−x 2−5x ，故f(x)={x 2−5x,x ≥0−x 2−5x,x <0， ∵f(x −2)>f(x)，①x −2≥0即x ≥2时，(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，x <72，此时2≤x <72，②x <0时，−(x −2)2−5(x −2)>−x 2−5x ， 解可得，x >−32，此时−32<x <0，③当0≤x <2时，−(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，−1<x <3，此时0≤x <2，综上可得，−32<x <72． 故答案为：{x|−32<x <72}由已知结合奇函数的定义求出f(x)的解析式，然后结合x 的范围代入已知不等式即可求解．本题主要考查了函数的概念，函数的解析式，函数的奇偶性及不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理与数学运输算．12.【答案】n4n+4【解析】解：函数y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆， ∵直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点， ∴直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，∴nn2=1，k n 2=14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴k 12+k 22+⋯+k n 2=n4n+4．故答案为：n4n+4．可知y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，由题意知直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，由此可求k n 2，然后利用裂项相消法可求答案．该题考查数列的求和、直线与圆的位置关系，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点．13.【答案】−√66【解析】解：由题，H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 同理，HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ， ∵3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴HB =√−2x(x <0)，同理可求得HA =√−3x ， ∴cos∠AHB =HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√−2x⋅√−3x=−√66． 故答案为：−√66．由三角形垂心性质及已知条件可求得HB =√−2x ，HA =√−3x ，由向量的夹角公式即可求解．本题主要考查三角形的垂心性质以及平面向量夹角公式的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量的灵活应用．14.【答案】√55【解析】解：由正弦定理可得csinC =2R，∴2R=1sinC，△ABC的面积S=2R2sin(B−A)sin(B+A)=12absinC，∴4R2sin(B−A)⋅sinC=ab⋅sinC，∴4R2sin(B−A)=ab=2RsinA⋅2RsinB，即sin(B−A)=sinBsinA，即sinBcosA−cosBsinA=sinBsinA，∴tanA=sinBsinB+cosB．又asinA =csinC=1sinC，∴a=sinAsinC=sinAsin(A+B)=sinAsinAcosB+cosAsinB=tanAtanA⋅cosB+sinB．∴再把tanA=sinBsinB+cosB 代入，可得a=sinBsinB+cosBsinBsinB+cosB⋅cosB+sinB=sinBsinBcosB+sinB(sinB+cosB)=12cosB+sinB，故当sinB+2cosB取得最大值为√5时，a取得最小值为√5=√55．由题意利用正弦定理求出tanA=sinBsinB+cosB .再利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a=tanAtanA⋅cosB+sinB，再把tan A代入，可得a=12cosB+sinB，故当分母取得最大值时，a取得最小值．本题主要考查了三角函数方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】证明：(1)∵AB//CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB//平面D1DCC1；(2)在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，【解析】(1)由AB//CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行的判定定理即可证明AB//平面D1DCC1；(2)证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；本题考查线面垂直的证明，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．16.【答案】解：(1)因为cosA =35，所以sinA =45则S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=152， 又cosA =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×152=92； (2)因为m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，所以2sin B2cos B2=cosB ，即sinB =cosB ，所以B =π4，因为sinA =45，cosA =35，sinB =cosB =√22，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×√22+35×√22=710√2，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×√22+45×√22=√210， 则sin2C =2sinCcosC =2×710√2×√210=725，cos2C =2cos 2−1=2×2100−1=−2425， 所以sin(B −2C)=sinBcos2C −cosBsin2C =√22×(−2425)−√22×725=−31√250．【解析】(1)根据面积公式求得|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用夹角余弦的向量表示即可得到答案； (2)根据向量平行的坐标表示得到B =π4，根据三角函数两角和差的公式可求得答案 本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数求值等，数中档题．17.【答案】解：(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC =35，cos∠ABC =45．∴sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)=sin π4cos∠ABC −cos π4sin∠ABC =√22×45−√22×35=√210．由正弦定理可得：BCsin∠BAC =ABsin 3π4，即AB =10×√22√210=50，∴方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ， 设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ． 可得sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6．则总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0].y′=6000⋅2sinx−1cos 2x，x ∈[0,π2−θ0].当x ∈(0,π6)时，y′<0，当x ∈(π6,π2−θ0)时，y′>0， ∴y =8000+6000⋅2−sinx cosx在(0,π6)上单调递减，在(π6,π2−θ0)上单调递增．∴当x =π6时，y =8000+6000⋅2−sinx cosx取得最小值为8000+6000⋅2−12√32=8000+6000√3．此时BP =40−30tanx =40−10√3． ∴P 在点B 正西方方向，BP =40−10√3千米．【解析】(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC 与cos∠ABC ，利用sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)展开两角差的正弦求得sin∠BAC ，再由正弦定理求得AB ，进一步可得方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ，设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ，得到sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6，求得总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0]，再由导数求最值．本题考查函数模型的选择及其应用，考查三角形的解法，训练了利用导数求最值，是中档题． 18.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2解得：a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)， 由{y =√32x +√3y =y 1x 1−2(x −2)，解得x M =1√3x 1√32y −√3x +2√3， 又{y =−√32x +√3y =y 1x 1+2(x +2)，解得x N =−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3， 因为|MC|2=x M 2+(y M −√3)2=74x M 2， |NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ， 令x M −x N =4y 1+2√3x 1−4√32y −√3x +2√3−−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3，=2[(2y 1+√3x 1)2−12]−[12−(√3x 1−2y 1)2](2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，=21212(2y−√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，因为而P 在椭圆上，所以x 124+y 123=1，即3x 12+4y 12=12， 故x M −x N =0，所以|MC|=|NC|．【解析】(1)根据题意解方程组{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2得：a 2，b 2，进而可写出椭圆的标准方程；(2)由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，联立直线AC 和BM 可得|MC|2=74x M 2，同理可得|NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ，用作差法证明x M −x N =0，即可．本题考查直线与椭圆的相交问题，难点在化简计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx −a x−1x+1，所以f′(x)=1x −2a(x+1)2， 令f′(2)=0，所以a =94，检验：当a =94时，f′(x)=1x −92(x+1)2=(x−2)(2x−1)2x(x+1)2，所以a =94．(2)因为g(x)=(x +1)lnx −a(x −1)，因为x ≥e ， 由(x +1)lnx −a(x −1)>0，得a <(x+1)lnx x−1，令t(x)=(x+1)lnx x−1，则t′(x)=x−2lnx−1x(x−1)2，令φ(x)=x −2lnx −1x ，则φ′(x)=1−2x +1x 2=(1x −1)2≥0， 所以φ(x)在[e,+∞)上单调递增，① 故φ(x)≥φ(e)=e −2−1e >0，所以t′(x)>0，故t(x)在[e,+∞)上单调递增， t(x)min =t(e)=e+1e−1． 所以a <e+1e−1．(3)证明：当a =2时，f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，所以f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1，因为m >n ，所以e m−n >1，所以lne m−n >2(e m−n −1)e m−n +1，即m−n 2>e m−n −1e m−n +1=e m −e n e m +e n ，所以e m −e n m−n<e m +e n2，由①知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ， 因为em−n 2>1，所以2lnem−n 2<em−n 2−1e m−n 2．即m −n <e m−n −1e m−n 2=e m −e ne m+n 2，所以e m+n 2<e m −e n m−n，综上，e m+n 2<e m −e n m−n<e m +e n2．【解析】(1)先求导得f′(x)=1x −2a(x+1)2，若x =2是函数f(x)的极值点，则f′(2)=0，解得a 的值，再检验：列表，分析单调性，确定是否x =2是函数f(x)的极值点． (2)问题转化为对任意x ≥e ，a <(x+1)lnx x−1，只需a <((x+1)lnx x−1)min 即可，令t(x)=(x+1)lnx x−1，求导数分析单调性，进而得t(x)min =t(e)=e+1e−1，进而得出结论．(3)求导，分析单调性得f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1，把x =e m−n >1，代入可得e m −e n m−n<e m +e n2，由(2)知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ，把x =em−n2>1代入得em+n2<e m −e n m−n，进而不等式得证．本题考查极值，不等式的证明，导数的综合应用，关键是证明不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可得：S n =n 2+(a 1−1)n,{S n }是Z(1)数列，S n+1≥S n 恒成立，(n +1)2+(a 1−1)(n +1)≥n 2+(a 1−1)n 对任意的n ∈N ∗恒成立， a 1≥−2n 对任意的n ∈N ∗恒成立， 所以a 1≥−2．(2)①由题：3T n =R n2+4R n ， 3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减得 3b 2=R 2−R n−12+4b n ,n ≥2，3b 2=(R n +R n−1)b n +4b n ，n ≥2，数列{b n }的各项均为正数， 所以3b n =R n +R n−1+4，n ≥2，3b n−1=R n−1+R n−2+4，n ≥3，两式相减得：3b n −3b n−1=b n +b n−1，n ≥3，b n =2b n−1，n ≥3，当n =1时,3T n =R n 2+4R n ,n ∈N ∗可得3b 12=b 12+4b 1,n ∈N ∗，数列{b n }的各项均为正数， 所以b 1=2，当n =2时，3b n =R n +R n−1+4，n ≥2可得 3b 2=R 2+R 1+4，3b 2=b 2+2+2+4， 所以b 2=4，综上可得：数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ②由①可得b n =2n ,c n =b n +λn−1b n=2n +λn−12n，c n+1≥mc n ，λ∈[2,3]对任意的n ∈N ∗恒成立， c n+1≥mc n ⇒2n+1+λ(n+1)−12n+1≥m(2n+λn −12n)(∗)，取m =0知，c n+1≥0对任意的λ∈[2,3]，n ∈N ∗恒成立， ∴存在常数m ∈R ，使{C n }是数列Z(m)， 下求m 的最大值， 由(∗)得m ≤2n+1+λ(n +1)−12n+12n +λn−12n=22n+2+λ(n +1)−12(22n +λn −1) =n +1n (22n +λn −1)+(4−n +1n )⋅22n+n +1n −12⋅(22n +λn −1)=n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)，所以m ≤[n+12n +(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)]min ， 因为n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2(22n +λn −1)≥n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2⋅(22n +3n−1)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)，令G(n)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)=4(22n 3n−1)−9n+62⋅(22n +3n−1)=2+6−9n2(22n +3n−1)，则G(n +1)−G(n)=6−9(n+1)2(22n+2+3n+2)−6−9n2⋅(22n +3n−1)=(−3−9n)(22n +3n −1)−(6−9n)(22n+2+3n +2)2(22n +3n −1)(22n+2+3n +2)=(27n−27)⋅22n −92(22n +3n−1)(22n+2+3n+2)，当n =1时，G(2)−G(1)<0，G(2)<G(1)； 当n ≥2时，(27n −27)⋅22n −9≥27×8−9>0， ∴G(n +1)>G(n)∴G(2)<G(3)<⋯<G(n)，∴G(n)min =G(2)=26+6+22(24+6−1)=127， ∴m ≤G(n)min =127，∴m max =127．【解析】(1)写出S n =n 2+(a 1−1)n ，通过S n+1≥S n 恒成立，即可求解；(2)①由题求出首项，根据3T n =R n2+4R n ，3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减，得出递推关系即可证明；②求出{c n }通项公式，根据定义建立不等式，再利用数列单调性求解m 的最大值．此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，作差法求数列单调性，最值，考查综合能力，属于难题．21.【答案】解：∵b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c2]的属于特征值4的一个特征向量． ∴[1b c 2][23]=4[23]，∴{2+3b =82c +6=12，解得b =2，c =3，∴M =[1232]，由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0， 解得λ1=−1，λ2=4． ∴矩阵M 的另一个特征值为−1．【解析】推导出[1b c 2][23]=4[23]，解得b =2，c =3，由此能求出M =[1232]，再由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，能求出矩阵M 的另一个特征值．本题考查矩阵的性质和应用、特征值计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．22.【答案】解：直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)转化为直角坐标为：A(32,√32)，B(3,0)，则直线l 的方程为：x +√3y −3=0．曲线C ：ρ=acosθ(a >0)转化为直角坐标方程为：(x −a2)2+y 2=a 24，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 则：|a 2−3|2=a2解得：a =2(负值舍去)． 实数a 的值为2．【解析】首先把极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转换为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系：点到直线的距离等于半径，求出a 的值．本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线距离公式的应用，直线和曲线的位置关系得应用．23.【答案】解：由柯西不等式，得[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]≥(a +b +c)2=25， 即(a 2+b 2+2c 2)⋅52≥25，∴a 2+b 2+2c 2≥10，当且仅当a =b =2c 时取等号． a 2+b 2+2c 2的最小值为10．【解析】a 2+b 2+2c 2化为[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]，然后利用柯西不等式求出a 2+b 2+2c 2的最小值．本题考查了柯西不等式求最值中，属于中档题．24.【答案】解：(1)20件产品中恰有2件不合格的概率f(p)=C 202⋅p 2⋅(1−p)18，∴f′(p)=C 202⋅2p ⋅(1−p)18+C 202⋅p 2⋅(−18(1−p)17) =C 202(1−p)17[2p(1−p)−18p 2]=C 202(1−p)17(2p −20p 2)，令f′(p)=0，由0<p <1，解得p =110，∴当p ∈(0,110)时，f′(p)>0，当p ∈(110,1)时，f′(p)<0， ∴f(p)在(0,110)上单调递增，在(110,1)上单调递减， ∴当p =110时，f(p)取得最大值，∴p 0=110． (2)由题意得X 的可能取值为30，60，90，120，∴P(X =30)=C 30(1−110)3=7291000， P(X =60)=C 31×110×(1−110)2=2431000， P(X =90)=C 32×(110)2×(1−110)=271000，P(X =120)=C 33×(110)3=11000，∴X 的分布列为：∴EX =30×7291000+60×2431000+90×271000+120×11000=39．【解析】(1)根据二项分布概率公式能求出f(p)，利用导数可确定f(p)单调性，从而能求出f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率p 0．(2)首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列，根据数学期望计算即可．本题考查概率的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由(1+x)m+n 的通项公式T r+1=C m+n rx r ，r =0，1，…，m +n ， (1+x)m 的通项公式T k+1=C m k x k ，k =0，1，…，m ， (1+x)n 的通项公式T t+1=C n t x n，t =0，1，…，n ， 可得C m+n p =C m 0C n p +C m 1C n p−1+⋯+C m p C n0； (2)证明：由iC n i=i ⋅n!i!(n−i)!=n ⋅(n−1)!(i−1)!(n−i)!=nC n−1i−1，可得∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=∑i p i=2C n i C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n p i=2C n−1i−1C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n pi=2C n−1i−1C m p−i−(C n 2C mp−2+C n 3C mp−3+⋯+C n p C m 0)=n ∑C n−1i−1p i=2C m p−i −(C m+n p −C n 0C m P −C n 1C m p−1)， 又C m+n−1p−1=C m 0C n−1p−1+C m 1C n−1p−2+⋯+C m p−1C n−10， 所以∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)−C m+n p +C n 0C m P +C n 1C m p−1， 所以原等式的左边=nC m+n−1p−1−n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)+C m+n p −C n 0C m P −C n 1C mp−1 =C m+n p −C m p=右边．故C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p 成立．【解析】(1)运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，即可得到所求恒等式；(2)由组合数的公式推得iC n i =nC n−1i−1，结合(1)的结论，化简整理，即可得证． 本题考查二项式定理的运用，考查恒等式的证明，注意运用组合数的公式以及二项式展开式的通项公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合M ={−1,1}，N ={−2,1，0}，则M ∩N =________．2. 复数(1−i)(2+3i)(i 为虚数单位)的实部是 ．3. 某高级中学共有学生3200人，其中高二年级与高三年级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一年级学生人数为______． 4. 在伪代码中，_____________________表示将代数式xx+1的运算结果赋给变量y ． 5. 从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是______ ． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线2x +y =0为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ． 7. 已知cos(α+π4)=23，则sin(α−5π4)的值是______ ．8. 已知正项等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，则S 4=______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=1，过x 轴上的一个动点P 引圆C的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围是______ ． 10. 圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为__________．11. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=x 3+2x +1，则当x <0时，f(x)的解析式为__________．12. 已知数列{a n }满足a n =2n +1，设函数f(n)={a n ,n 为奇数f(n 2),n 为偶数且c n =f(2n +4)，n ∈N ∗，则数列{c n }的前n 项和T n = ______ ．13. 已知O 为△ABC 的外心，AB =3，AC =5，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且3x +5y =3，则cos∠BAC 的值为__ .14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，若1+tanAtanB =2cb，则a 2bc的最小值为______ ． 二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =EC =12AA 1．(1)求证：AC 1//平面BDE;(2)求证：A1E⊥平面BDE．16.已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量m⃗⃗⃗ =(2a−b,c)与n⃗=(cosB,cosC)共线．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|=2，求a的大小．17.如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．(Ⅰ)已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆(原线路不变)，经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km.现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；(Ⅱ)如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求总施工费用y的最小值．∠DCE=θ(0≤θ≤π318.在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N.记直线AM，AN的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=−1，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)当x>y>e−1时，求证：e x−y>ln(x+1)ln(y+1)．20.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线5ρcosθ+12ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．23.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=4，求3a+4b+5c的最大值．24.某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。
2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三上学期12月联考数学试题(解析版)
2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三上学期12月联考数学试题一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，若{}1,2,5U A =ð，则集合A =______. 【答案】{}3,4【解析】直接通过补集的概念即可得结果. 【详解】∵{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,5U A =ð， ∴{}3,4A =， 故答案为：{}3,4. 【点睛】本题考查了补集的概念，属于基础题.2．已知复数z 满足 ()21z i i －＝＋(i 为虚数单位)，则z 的实部为__. 【答案】3【解析】利用复数的除法运算法则得到z ，结合实部定义得到答案. 【详解】解：由（z ﹣2）i ＝1+i 得，z ()21112221i i ii i i ++-+=+=+=+=-3﹣i ， 所以复数的实部为：3． 故答案为3． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题． 3．已知样本数据1a ，2a ，3a ，4a 的方差为2，则数据121a +，221a +，321a +，421a +的方差为______. 【答案】8【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，加同一个数字，方差不变，即可得到结果.【详解】∵数据1a ，2a ，3a ，4a 的方差是2，∴一组新数据12a ，22a ，32a ，42a 的方差是248⨯=， ∴新数据121a +，221a +，321a +，421a +的方差是8， 故答案为：8. 【点睛】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n 个数据，1x ，2x ，…n x ，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，方差则变为这个倍数的平方倍，属于基础题.4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为______. 【答案】35【解析】先选后排，特殊元素和特殊位置优先安排的原则首先计算出所有无重复数字三位数的个数，再计算出三位数为奇数的个数，最后由古典概型概率计算公式即可得出结果. 【详解】当2被选中时可组成233318C A ⋅=个无重复的三位数，当0被选中时可组成2232212C A ⨯⨯=个无重复的三位数；对于三位数是奇数的情形：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有236A =种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有236A =种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有236A =种，即无重复的三位奇数故共有1863=⨯种， 则三位数为奇数的概率为183305P ==， 故答案为：35. 【点睛】本题考查计数原理与古典概型概率计算公式的应用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键，属于中档题.6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】，可以得到ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】【详解】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得f(x)=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=.故答案为4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()31n n S na n n =--（n *∈N ），且211a =，则20S 的值为______.【答案】1240【解析】由2n =时，211a =，可得15a =，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，可得()*162,n n a a n n N --=≥∈，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出结果. 【详解】当2n =时，()212223221S a a a =+=-⨯-，211a =，可得15a =， 当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得()()()()1311312n n n a na n n n a n n -=-------⎡⎤⎣⎦，∴()()()11161n n n a n a n ----=-，即()*162,n n a a n n N --=≥∈，∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列， ∴202019205612402S ⨯=⨯+⨯=， 故答案为：1240. 【点睛】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______.1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩，解得1x ≥．因此实数x1．1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积．【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c v v v 满足0a b c ++=v v v 且a v 与b v 的夹角的正切为12-，b v 与c v 的夹角的正切为13-，||2b =v ，则a c ⋅v v的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin 10C =，由正弦定理可得2sin135︒==r r，即有c a ==r r ，则4||||cos 455525a c c a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr rr ． 故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r，向量()tan tan ,sin 2m A B C =+r 和()1,cos cos n A B =r是共线向量（1）求角C 的大小： （2）求ABC ∆的三边长 【答案】（1）3C π=；（2）AC =BC =AB =【解析】（1）由向量共线及切化弦思想和两角和的正弦公式可得()sin 2sin cos 0A B C C +-=，结合三角形内角的特征可得1cos 2C =，进而可求得C的值；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r可得AC =ABC ∆的面积为CB =AB =【详解】（1）因为()tan tan ,sin 2m A B C =+r 和()1,cos cos n A B =r是共线向量， 所以()tan tan cos cos sin 20A B A B C +-=，即sin sin cos cos sin 20cos cos A B A B C A B ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 即()sin 2sin cos 0A B C C +-=.又A B C π++=，所以()sin 2sin cos 0C C C π--=， 即()sin 12cos 0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos 2C =， 故3C π=.（2）因为()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以218AC =u u u r ，所以AC =因为ABC ∆的面积为，所以1sin 2CA CB C =⋅，即1sin 23CB π=⋅，解得CB =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅((2212542=+-⨯=，所以AB =【点睛】本题主要考查向量关系，向量数量积以及余弦定理的应用，综合考查三角函数和向量的关系，考查学生的计算能力，属于中档题.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AB =1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD == 又2AB =Q 1BC =3AC ∴1333AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题．17．如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3MON ∠=-，6OA =（百米），Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3（百米），610（百米），现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at=（百米）（09t ≤≤，01a <<）.当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2（百米/分钟）的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）92；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【解析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得()60A ，，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x ()00x >，由点到直线距离，求出()33Q ，，从而直线AQ 的方程为()6y x =--，联产方程组求出B 的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆P ，由题意得()39P ，，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则2BC t =，09t ≤≤，从而()39C t t -+-，，若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]09t ∈，恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上. 【详解】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：()6,0A ，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x （00x >）. 033610510x +=，解得03x =，所以()3,3Q . 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩ 即()3,9B -，故()2236992AB =--+=答：水上旅游线AB的长为.（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得()3,9P ， 生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则BC =，09t ≤≤，所以()3,9C t t -+-.若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]0,9t ∈恒成立， 即()22226212364PC t t t t at =-+=-+>， 当0t =时，上式成立， 当(]0,9t ∈时，1826a t t<+-，min 1866t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，当且仅当t =等号，因为()0,1a ∈，所以r PC <恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上. 答：喷泉的水流不会洒到观光车上. 【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2⎛ ⎝⎭，其心率等于2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 椭圆E 于点P .①求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值：②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点.【答案】（1）22142x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）由题意的离心率公式和点满足题意方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系解出方程，进而得到椭圆方程；（2）①设()02,M y ，()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；②先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ PB ⊥，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点. 【详解】（1）设椭圆焦距为2c，所以223121,2a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =- 解得224,2,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设()02,M y ，()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()20124828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++. ②依题意，()02020028822828PBy y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：()0022y y y x -=-，即02y y x =， 所以直线MQ 过定点()0,0O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），112n n n n k a a a a -+-+=（3n ≥，n *∈N ）.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n *∈N ）. （1）求1b ，2b 的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数？若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12b =，221k b k +=；（2）2,21,n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数；（3）{}1,2【解析】（1）经过计算可知：41a k =+，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=，从而可求1b ，2b ；（2）由条件可知：121n n n n a a k a a +--=+，得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数则由（2）可知2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，由1a k Z =∈，642k Z k a =++∈，可求得1k =，2，证明1k =，2时，满足题意，说明k 为1，2时，数列{}n a 是整数列即可. 【详解】（1）由已知得，41a k =+， 所以13122a a b a +==，2423121a a k k kb a k k++++===. （2）由条件可知：121n n n n a a k a a +--=+（3n ≥），①所以211n n n n a a k a a +-+=+（2n ≥）.② ①-②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+.因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，故2n n b b -=（3n ≥），又因为12b =，221k b k+=， 所以2,21,n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数. （3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数.由（2）知2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩（1n =，2，3…）③ 由1a k Z =∈，642k Z ka =++∈，所以1k =或2， 检验：当1k =时，213k k+=为整数， 利用1a ，2a ，3a Z ∈结合③，{}n a 各项均为整数；当2k =时③变成2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩（1n =，2，3…） 消去21n a +，21n a -得：222223n n n a a a +-=-（2n ≥） 由2a ，4a Z ∈，所以偶数项均为整数， 而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}1,2. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题. 20．设函数()()ln f x x a x x a =--+，a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若0a <，且函数()f x 在区间()22e ,e-内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(),x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】（1）递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞；（2）212,ee ⎛⎫--⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0f x >′，()0f x <′，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）()ln af x x x'=-，其中0x >，再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况，()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析得出()g x 单调性，判断()1min g x g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分类讨论求解①若1a e ≤-，②若212a e e -<<-，③若220a e -≤<，()f x 的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点转化为极值即可；（3）存在1t =：()1,1x a ∈+，()1f x a <-恒成立，再运用导数判断证明，令()ln 1G x x x =-+，1x ≥，()110G x x'=-≤，求解最大值，得出()()10G x G <=即可. 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. （2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln af x x x'=-，其中0x >，令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，1x =，列表分析()min 11e e g x g a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，而11lne 1e e ef a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭，()()222e 2e 2e f a a -'=--=-+， ()()22221e 22e e ea f a '=-=-， ①若1e a ≤，则()ln 0a f x x x'=-≥， 故()f x 在()22e ,e-内没有极值点，舍；②若212e e a -<<-，则11ln e 0e e f a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()()22e 2e 0f a -'=-+>，()()2221e 2e 0ef a '=->， 因此()f x '在()22e ,e-有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e ,x x -∈时，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()f x 单调递减，当()22,e x x ∈时，()f x 单调递增，此时()f x 在()22e,e -内有两个极值点；③若220e a -≤<，则11ln e 0e e f a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()()22e 2e 0f a -'=-+≤， ()()2221e 2e 0ef a '=->，因此()f x '在()22e ,e -有一个零点， ()f x 在()22e ,e -内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为212,e e ⎛⎫--⎪⎝⎭. （3）存在1t =：()1,1x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 且()10g a =-<，()()()11ln 1g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1x x >-（），所以()()111101g a a a a ⎛⎫+>+--= ⎪+⎝⎭. 故()g x 在()1,1a +上存在唯一的零点，设为0x . 由知()1,1x a ∈+，()()(){}max 1,1f x f f a <+.又()()1ln 11f a a +=+-，而1x >时，ln 1x x <-（）， 所以()()()111111f a a a f +<+--=-=. 即()1,1x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(),x t t a ∈+，使()1f x a <-. 补充证明（）： 令()1ln 1F x x x =+-，1x ≥.()221110x F x x x x-'=-=≥，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增.所以1x >时，()()10F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明（）令()ln 1G x x x =-+，1x ≥，()110G x x'=-≤，所以()G x 在[)1,+∞上单调递减. 所以1x >时，()()10G x G <=，即ln 1x x <-.【点睛】 本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大. 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵【详解】由特征值、特征向量定义可知，， 即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(2A ，AB k故线段AB 中垂线的斜率为13AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5()232y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（2）105. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz - (1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u u r r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r， 故10cos,PB n PB n PB n〈〉=-⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r ， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为51515522n n n a ⎡⎤⎛⎛+-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n *∈N ，记1212C C C n n n n n n S a a a =+++L .（1）求1S ，2S 的值；（2）是否存在实数λ，使得对任意n *∈N ，21n n n S S S λ+++=恒成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）11S =，23S =；（2）存在，3λ=【解析】（1）直接代入计算即可得到所求值；（2）记152a +=，15β-=，利用二项式定理将()1C 5n i i i n n i S αβ==-构造为35355n n n S ⎡⎤+-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，再次通过构造即可得213n n n S S S +++=即可. 【详解】（1）1111C 1S a ==，1222122C C 3S a a =+=.（2）记12a +=，12β=.则()()1000C C C C n n n n i i i i i i i i i i n n n n n i i i i S αβαβαβ====⎫=-=-=-⎪⎭∑∑()()331122n n n n αβ⎡⎤⎛⎛+⎤⎢⎥=+-+=- ⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为33122⎛⎫⎛+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故112333333222222n n n n n S +++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎛⎛⎫⎛+-+⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭13n n S S +=-所以存在3λ=，使得213n n n S S S +++=恒成立.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，考查了学生的计算能力，属于难题.。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷
2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．2. 已知复数z =1+2i(i 为虚数单位)，则z 2的实部为______．3. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为______．4. 运行如图所示的伪代码，输出的T 的值为______．5. 从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a ，b ，则log a b >0的概率为______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的离心率为______．7. 已知cosα+sin(α−π6)=45，则sin(α+7π6)的值为______．8. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 20−S 10S 30−S 20=1310，则数列{a n }的公比为______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，过直线y =2x 上一点P 作圆C ：(x −3)2+(y −1)2=1的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线PA ，PB 关于直线y =2x 对称，则线段PA 的长度为______．10. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2=3π，则S1S 2的值为______． 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ，则不等式f(x −2)>f(x)的解集为______．12. 已知函数f(x)={√1−(x −1)2,0≤x <2f(x −2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N ∗)，直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点，则数列{k n 2}的前n 项和为______．13. 设H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)，且3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则cos∠AHB 的值为______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R.已知c =1，且△ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)，则a 的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1=AB ．(1)求证：AB//平面D 1DCC 1；(2)求证：AB 1⊥平面A 1BC ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA =35．(1)若△ABC 的面积为3，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)设m ⃗⃗⃗ =(2sin B 2,1)，n ⃗ =(cosB,cos B 2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求sin(B −2C)的值．17. 如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A(大小忽略不计)盛产海产品，在公路MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，tan∠ABC =34，∠ACM =π4，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ．(1)求方案①的运输费用；(2)请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过(−1,32)，且右焦点坐标为(1,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点(异于A ，B 两点)，直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC =NC ．19. 已知函数f(x)=lnx −a ⋅x−1x+1(a ∈R)．(1)若x =2是函数f(x)的极值点，求a 的值；(2)令g(x)=(x +1)⋅f(x)，若对任意x ≥e ，有g(x)>0恒成立，求a 的取值范围；(3)设m ，n 为实数，且m >n ，求证：em+n 2<e m −e n m−n <e m +e n 2．20. 若存在常数m ∈R ，使对任意的n ∈N ∗，都有a n+1≥ma n ，则称数列{a n }为Z(m)数列．(1)已知{a n }是公差为2的等差数列，其前n 项和为S n .若S n 是Z(1)数列，求a 1的取值范围；(2)已知数列{b n }的各项均为正数，记数列{b n }的前n 项和为R n ，数列{b n 2}的前n 项和为T n ，且3T n =R n 2+4R n ，n ∈N ∗．①求证：数列{b n }是等比数列；②设c n =b n +λn−1b n (λ∈R)，试证明：存在常数m ∈R ，对于任意的λ∈[2,3]，数列{c n }都是Z(m)数列，并求出m 的最大值．21. 已知b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c 2]的属于特征值4的一个特征向量．求矩阵M 及它的另一个特征值．)，B(3,0)，且直线l与曲线C：ρ=acosθ(a>0)有且只有一个22.在极坐标系中，设直线l过点A(√3,π6公共点，求实数a的值．23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=5，求a2+b2+2c2的最小值．24.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否合格相互独立．(1)记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率为p0，求p0；(2)现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X，求X的分布列和数学期望．25. 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．(1)根据恒等式(1+x)m+n =(1+x)m (1+x)n (m,n ∈N ∗)两边x p 的系数相同直接写出一个恒等式，其中p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ；(2)设m ，n ∈N ∗，p ∈N ，p ≤m ，p ≤n ，利用上述恒等式证明：C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p．答案和解析1.【答案】{0,1}【解析】【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M∩N={0,1}．故答案为：{0,1}．2.【答案】−3【解析】解：∵z=1+2i，∴z2=(1+2i)2=−3+4i，∴z2的实部为−3．故答案为：−3．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】32【解析】解：高三学生占的比例为89+8+8=825，则应从高三年级抽取的学生的人数为100×825=32，故答案为：32．用样本容量乘以高三学生占的比例，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】16【解析】解：模拟运行如图所示的伪代码，如下；T=1，i=3；T=4+5=9，i=7，T=9+7=16，i=9；终止循环，输出T的值为16．故答案为：16．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的T值．本题考查了程序语言的运行问题，是基础题．5.【答案】23【解析】解：从集合{2,3,12,23}中取两个不同的数a，b，基本事件总数n=C42=6，∵log a b>0，∴满足条件的(a,b)有(2,3)，(3,2)，(12,23)，(23,12)，共4个，∴log a b>0的概率为P=46=23．故答案为：23．基本事件总数n=C42=6，由log a b>0，利用列举法求出满足条件的(a,b)有4个，由此能求出log a b>0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】√10【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为3，则b=3，又由双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=√1+91=√10，故答案为：√10．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c，a，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值，考查计算能力．7.【答案】−45【解析】解：∵cosα+sin(α−π6)=cosα+√32sinα−12cosα=12cosα+√32sinα=45，故sin(α+π6)=45，则sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−45．故答案为：−45由已知结合和差角公式，辅助角公式及诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．8.【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S20−S10S30−S20=1310，∴a1(1−q20)1−q−a1(1−q10)1−qa1(1−q30)1−q−a1(1−q20)1−q=q10−q20q20−q30=1−q10q10(1−q10)=1q10=1310，∵q>0，∴数列{a n}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的前n项和公式直接求解．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】【分析】由题意可知直线与y=2x与直线PC重合或垂直，因为点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，所以k PC=−12，求出点P坐标，从而利用点到直线距离公式求出CP，进而在直角三角形CAP中求得PA．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，注意数形结合思想的应用，难度适中．【解答】解：由切线PA，PB关于直线PC对称，以及切线PA，PB，关于直线y=2x对称知，直线与y=2x与直线PC重合或垂直，由于点C(3,1)不在直线y=2x上，所以PC与y=2x垂直，设P(t,2t)，则2t−1t−3=−12，解得t =1，P(1,2)所以PC =√(3−1)2+(1−2)2=√5，半径r =1，PA =√PC 2−r 2=√(√5)2−12=2，故答案为：2．10.【答案】3√2π【解析】解：圆锥的母线l =√r 2+r 2=√2r.V 1=a 3，S 1=6a 2，V 2=13πr 3，S 2=πrl =√2πr 2．∵V 1V 2=a 313πr 3=3π，∴a =r ． ∴S 1S 2=2√2πr 2=3√2π． 故答案为：3√2π． 根据体积比得出a 和r 的关系，代入面积公式求出面积比即可． 本题考查了圆锥，正方体的体积和表面积计算，属于基础题． 11.【答案】{x|−32<x <72}【解析】解：因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−5x ， 所以x <0时，−x >0，所以f(−x)=(−x)2+5x =x 2+5x =−f(x)，所以f(x)=−x 2−5x ，故f(x)={x 2−5x,x ≥0−x 2−5x,x <0， ∵f(x −2)>f(x)，①x −2≥0即x ≥2时，(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ，解可得，x <72，此时2≤x <72，②x <0时，−(x −2)2−5(x −2)>−x 2−5x ，解可得，x >−32， 此时−32<x <0，③当0≤x <2时，−(x −2)2−5(x −2)>x 2−5x ， 解可得，−1<x <3， 此时0≤x <2， 综上可得，−32<x <72． 故答案为：{x|−32<x <72}由已知结合奇函数的定义求出f(x)的解析式，然后结合x 的范围代入已知不等式即可求解．本题主要考查了函数的概念，函数的解析式，函数的奇偶性及不等式的解法，考查的核心素养是逻辑推理与数学运输算．12.【答案】n4n+4【解析】解：函数y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆， ∵直线y =k n x 与函数y =f(x)的图象恰有2n +1个不同交点， ∴直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，∴nn2=1，k n 2=14n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴k 12+k 22+⋯+k n 2=n 4n+4．故答案为：n4n+4．可知y =f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，由题意知直线y =k n x 与第n +1个半圆相切，由此可求k n 2，然后利用裂项相消法可求答案．该题考查数列的求和、直线与圆的位置关系，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点．13.【答案】−√66【解析】解：由题，H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 同理，HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ，∵3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+5HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴HB =√−2x(x <0)，同理可求得HA =√−3x ， ∴cos∠AHB =HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=x √−2x⋅√−3x=−√66． 故答案为：−√66．由三角形垂心性质及已知条件可求得HB =√−2x ，HA =√−3x ，由向量的夹角公式即可求解． 本题主要考查三角形的垂心性质以及平面向量夹角公式的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量的灵活应用．14.【答案】√55【解析】解：由正弦定理可得c sinC =2R ，∴2R =1sinC ， △ABC 的面积S =2R 2sin(B −A)sin(B +A)=12absinC ， ∴4R 2sin(B −A)⋅sinC =ab ⋅sinC ， ∴4R 2sin(B −A)=ab =2RsinA ⋅2RsinB ，即sin(B −A)=sinBsinA ，即sinBcosA −cosBsinA =sinBsinA ， ∴tanA =sinBsinB+cosB ．又a sinA =c sinC =1sinC ，∴a =sinA sinC =sinA sin(A+B)=sinA sinAcosB+cosAsinB =tanAtanA⋅cosB+sinB ． ∴再把tanA =sinBsinB+cosB 代入，可得a =sinB sinB+cosB sinBsinB+cosB⋅cosB+sinB=sinB sinBcosB+sinB(sinB+cosB)=12cosB+sinB ， 故当sinB +2cosB 取得最大值为√5时，a 取得最小值为√5=√55． 由题意利用正弦定理求出tanA =sinBsinB+cosB .再利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a =tanAtanA⋅cosB+sinB ，再把tan A 代入，可得a =12cosB+sinB ，故当分母取得最大值时，a 取得最小值．本题主要考查了三角函数方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】证明：(1)∵AB//CD ，CD ⊂平面D 1DCC 1，AB ⊄平面D 1DCC 1；∴AB//平面D 1DCC 1；(2)在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∵AA 1=AB ，∴四边形ABB 1A 1为菱形， ∴AB 1⊥A 1B ，∵AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC =B ， ∴AB 1⊥平面A 1BC ，【解析】(1)由AB//CD ，且CD ⊂平面D 1DCC 1，AB ⊄平面D 1DCC 1，由线面平行的判定定理即可证明AB//平面D 1DCC 1；(2)证明AB 1⊥平面A 1BC ，只需证明AB 1⊥A 1B ，利用四边形ABB 1A 1为菱形即可；本题考查线面垂直的证明，直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．16.【答案】解：(1)因为cosA =35，所以sinA =45则S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA =25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=152，又cosA =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×152=92； (2)因为m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，所以2sin B2cos B2=cosB ，即sinB =cosB ，所以B =π4，因为sinA =45，cosA =35，sinB =cosB =√22，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×√22+35×√22=710√2，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×√22+45×√22=√210， 则sin2C =2sinCcosC =2×710√2×√210=725，cos2C =2cos 2−1=2×2100−1=−2425，所以sin(B −2C)=sinBcos2C −cosBsin2C =√22×(−2425)−√22×725=−31√250．【解析】(1)根据面积公式求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用夹角余弦的向量表示即可得到答案； (2)根据向量平行的坐标表示得到B =π4，根据三角函数两角和差的公式可求得答案 本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数求值等，数中档题．17.【答案】解：(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC =35，cos∠ABC =45．∴sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)=sin π4cos∠ABC −cos π4sin∠ABC =√22×45−√22×35=√210．由正弦定理可得：BC sin∠BAC =AB sin 3π4，即AB =10×√22√210=50，∴方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ， 设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ． 可得sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6．则总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx，x ∈[0,π2−θ0].y′=6000⋅2sinx−1cos 2x，x ∈[0,π2−θ0].当x ∈(0,π6)时，y′<0，当x ∈(π6,π2−θ0)时，y′>0， ∴y =8000+6000⋅2−sinx cosx在(0,π6)上单调递减，在(π6,π2−θ0)上单调递增．∴当x =π6时，y =8000+6000⋅2−sinx cosx取得最小值为8000+6000⋅2−12√32=8000+6000√3．此时BP =40−30tanx =40−10√3． ∴P 在点B 正西方方向，BP =40−10√3千米．【解析】(1)∠ACM =π4，在钝角三角形ABC 中，由tan∠ABC =34，得sin∠ABC 与cos∠ABC ，利用sin∠BAC =sin(π4−∠ABC)展开两角差的正弦求得sin∠BAC ，再由正弦定理求得AB ，进一步可得方案①的运输费用为400×50=20000元；(2)由(1)可得点A 到公路所在直线距离为50×35=30km ，设∠APM =π2−x ，π2−x ∈[θ0,π2]，θ0=∠ABP ，得到sin(π2−θ0)=cosθ0>12，则π2−θ0>π6，求得总费用y =400⋅30cosx +200(40−30tanx)=8000+6000⋅2−sinx cosx ，x ∈[0,π2−θ0]，再由导数求最值．本题考查函数模型的选择及其应用，考查三角形的解法，训练了利用导数求最值，是中档题． 18.【答案】解：(1)由题意可得{1a 2+94b 2=1c =1c 2=a 2−b 2解得：a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；(2)证明：由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，由{y =√32x +√3y =y 1x 1−2(x −2)，解得x M =1√3x 1√32y −√3x +2√3，又{y =−√32x +√3y =y 1x 1+2(x +2)，解得x N =1√3x 1√32y +√3x +2√3， 因为|MC|2=x M 2+(y M −√3)2=74x M 2， |NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ， 令x M −x N =4y 1+2√3x 1−4√32y −√3x +2√3−−4y 1+2√3x 1+4√32y +√3x +2√3，=21√3x 12√3x 112(2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，=26x 12+8y 12−24(2y −√3x +2√3)(2y +√3x +2√3)，因为而P 在椭圆上，所以x 124+y 123=1，即3x 12+4y 12=12， 故x M −x N =0，所以|MC|=|NC|．【解析】(1)根据题意解方程组{1a 2+94b2=1c =1c 2=a 2−b 2得：a 2，b 2，进而可写出椭圆的标准方程；(2)由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，C(0,√3)，设P(x 1,y 1)，(x 1≠2)，联立直线AC 和BM 可得|MC|2=74x M 2，同理可得|NC|2=x N 2+(y N −√3)2=74x N 2，要证|MC|=|NC|，即证x M =x N ，用作差法证明x M −x N =0，即可．本题考查直线与椭圆的相交问题，难点在化简计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx −a x−1x+1，所以f′(x)=1x −2a(x+1)2， 令f′(2)=0，所以a =94，检验：当a =94时，f′(x)=1x −92(x+1)2=(x−2)(2x−1)2x(x+1)2，x (0,12)12 (12,2)2(2,+∞)f′(x) +0 −0 +f(x)增 极大值减极小值增所以a =94．(2)因为g(x)=(x +1)lnx −a(x −1)，因为x ≥e ， 由(x +1)lnx −a(x −1)>0，得a <(x+1)lnx x−1，令t(x)=(x+1)lnx x−1，则t′(x)=x−2lnx−1x(x−1)2，令φ(x)=x −2lnx −1x ，则φ′(x)=1−2x +1x 2=(1x −1)2≥0， 所以φ(x)在[e,+∞)上单调递增，① 故φ(x)≥φ(e)=e −2−1e >0，所以t′(x)>0，故t(x)在[e,+∞)上单调递增， t(x)min =t(e)=e+1e−1． 所以a <e+1e−1．(3)证明：当a =2时，f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0， 所以f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x >1时，f(x)>f(1)=0，即lnx >2(x−1)x+1， 因为m >n ，所以e m−n >1，所以lne m−n >2(e m−n −1)e m−n +1，即m−n 2>e m−n −1e m−n +1=e m −e n e m +e n ，所以e m −e n m−n<e m +e n2，由①知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx <x −1x ， 因为em−n 2>1，所以2lnem−n 2<em−n 2−1e m−n 2．即m −n <e m−n −1e m−n 2=e m −e ne m+n 2，所以e m+n 2<e m −e n m−n，综上，e m+n 2<e m −e n m−n<e m +e n2．【解析】(1)先求导得f′(x)=1x −2a(x+1)2，若x =2是函数f(x)的极值点，则f′(2)=0，解得a 的值，再检验：列表，分析单调性，确定是否x =2是函数f(x)的极值点． (2)问题转化为对任意x ≥e ，a <(x+1)lnx x−1，只需a <((x+1)lnx x−1)min 即可，令t(x)=(x+1)lnx x−1，求导数分析单调性，进而得t(x)min =t(e)=e+1e−1，进而得出结论．(3)求导，分析单调性得f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即lnx>2(x−1)x+1，把x=e m−n>1，代入可得e m−e nm−n <e m+e n2，由(2)知，φ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以当x>1时，φ(x)>φ(1)=0，即2lnx<x−1x ，把x=e m−n2>1代入得e m+n2<e m−e nm−n，进而不等式得证．本题考查极值，不等式的证明，导数的综合应用，关键是证明不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可得：S n=n2+(a1−1)n,{S n}是Z(1)数列，S n+1≥S n恒成立，(n+1)2+(a1−1)(n+1)≥n2+(a1−1)n对任意的n∈N∗恒成立，a1≥−2n对任意的n∈N∗恒成立，所以a1≥−2．(2)①由题：3T n=R n2+4R n，3T n−1=R n−12+4R n−1,n≥2,n∈N，两式相减得3b2=R2−R n−12+4b n,n≥2，3b2=(R n+R n−1)b n+4b n，n≥2，数列{b n}的各项均为正数，所以3b n=R n+R n−1+4，n≥2，3b n−1=R n−1+R n−2+4，n≥3，两式相减得：3b n−3b n−1=b n+b n−1，n≥3，b n=2b n−1，n≥3，当n=1时,3T n=R n2+4R n,n∈N∗可得3b12=b12+4b1,n∈N∗，数列{b n}的各项均为正数，所以b1=2，当n=2时，3b n=R n+R n−1+4，n≥2可得3b2=R2+R1+4，3b2=b2+2+2+4，所以b2=4，综上可得：数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列．②由①可得b n=2n,c n=b n+λn−1b n =2n+λn−12n，c n+1≥mc n，λ∈[2,3]对任意的n∈N∗恒成立，c n+1≥mc n⇒2n+1+λ(n+1)−12n+1≥m(2n+λn−12n)(∗)，取m=0知，c n+1≥0对任意的λ∈[2,3]，n∈N∗恒成立，∴存在常数m∈R，使{C n}是数列Z(m)，下求m的最大值，由(∗)得m ≤2n+1+λ(n +1)−12n+12n +λn−12n=22n+2+λ(n +1)−12(22n +λn −1) =n +1n (22n +λn −1)+(4−n +1n )⋅22n+n +1n −12⋅(22n +λn −1)=n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(2+λn −1)，所以m ≤[n+12n+(3−1n )⋅22n +1n2(22n +λn −1)]min ， 因为n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2(22n +λn −1)≥n+12n+(3−1n )⋅22n +1n 2⋅(22n +3n−1)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)，令G(n)=22n+2+3n+22(22n +3n−1)=4(22n 3n−1)−9n+62⋅(22n +3n−1)=2+6−9n2(22n +3n−1)，则G(n +1)−G(n)=6−9(n+1)2(2+3n+2)−6−9n2⋅(2+3n−1)=(−3−9n)(22n +3n −1)−(6−9n)(22n+2+3n +2)2(22n +3n −1)(22n+2+3n +2)=(27n−27)⋅22n −92(22n +3n−1)(22n+2+3n+2)，当n =1时，G(2)−G(1)<0，G(2)<G(1)； 当n ≥2时，(27n −27)⋅22n −9≥27×8−9>0， ∴G(n +1)>G(n)∴G(2)<G(3)<⋯<G(n)， ∴G(n)min =G(2)=26+6+22(24+6−1)=127， ∴m ≤G(n)min =127，∴m max =127．【解析】(1)写出S n =n 2+(a 1−1)n ，通过S n+1≥S n 恒成立，即可求解；(2)①由题求出首项，根据3T n =R n2+4R n ，3T n−1=R n−12+4R n−1,n ≥2,n ∈N ，两式相减，得出递推关系即可证明；②求出{c n }通项公式，根据定义建立不等式，再利用数列单调性求解m 的最大值．此题考查数列综合应用，证明数列是等比数列，根据数列不等式求参数范围，作差法求数列单调性，最值，考查综合能力，属于难题．21.【答案】解：∵b ，c ∈R ，向量 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ =[23]是矩阵M =[1b c2]的属于特征值4的一个特征向量． ∴[1b c 2][23]=4[23]，∴{2+3b =82c +6=12，解得b =2，c =3，∴M =[1232]，由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，解得λ1=−1，λ2=4． ∴矩阵M 的另一个特征值为−1．【解析】推导出[1b c 2][23]=4[23]，解得b =2，c =3，由此能求出M =[1232]，再由f(λ)=∣∣∣λ−1−2−3λ−2∣∣∣=(λ−1)(λ−2)−6=0，能求出矩阵M 的另一个特征值．本题考查矩阵的性质和应用、特征值计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．22.【答案】解：直线l 过点A(√3,π6)，B(3,0)转化为直角坐标为：A(32,√32)，B(3,0)， 则直线l 的方程为：x +√3y −3=0．曲线C ：ρ=acosθ(a >0)转化为直角坐标方程为：(x −a2)2+y 2=a 24，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 则：|a 2−3|2=a2解得：a =2(负值舍去)． 实数a 的值为2．【解析】首先把极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转换为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系：点到直线的距离等于半径，求出a 的值．本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线距离公式的应用，直线和曲线的位置关系得应用．23.【答案】解：由柯西不等式，得[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]≥(a +b +c)2=25， 即(a 2+b 2+2c 2)⋅52≥25，∴a 2+b 2+2c 2≥10，当且仅当a =b =2c 时取等号． a 2+b 2+2c 2的最小值为10．【解析】a 2+b 2+2c 2化为[a 2+b 2+(√2c)2][12+12+(√22)2]，然后利用柯西不等式求出a 2+b 2+2c 2的最小值．本题考查了柯西不等式求最值中，属于中档题．24.【答案】解：(1)20件产品中恰有2件不合格的概率f(p)=C 202⋅p 2⋅(1−p)18，∴f′(p)=C 202⋅2p ⋅(1−p)18+C 202⋅p 2⋅(−18(1−p)17) =C 202(1−p)17[2p(1−p)−18p 2]=C 202(1−p)17(2p −20p 2)，令f′(p)=0，由0<p <1，解得p =110，∴当p ∈(0,110)时，f′(p)>0，当p ∈(110,1)时，f′(p)<0， ∴f(p)在(0,110)上单调递增，在(110,1)上单调递减， ∴当p =110时，f(p)取得最大值，∴p 0=110． (2)由题意得X 的可能取值为30，60，90，120，∴P(X =30)=C 30(1−110)3=7291000，P(X =60)=C 31×110×(1−110)2=2431000， P(X =90)=C 32×(110)2×(1−110)=271000， P(X =120)=C 33×(110)3=11000，∴X 的分布列为：∴EX =30×7291000+60×2431000+90×271000+120×11000=39．【解析】(1)根据二项分布概率公式能求出f(p)，利用导数可确定f(p)单调性，从而能求出f(p)取最大值时对应的产品为不合格品概率p 0．(2)首先确定X 所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列，根据数学期望计算即可．本题考查概率的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由(1+x)m+n 的通项公式T r+1=C m+n rx r ，r =0，1，…，m +n ， (1+x)m 的通项公式T k+1=C m k x k ，k =0，1，…，m ， (1+x)n 的通项公式T t+1=C n t x n，t =0，1，…，n ， 可得C m+n p =C m 0C n p +C m 1C n p−1+⋯+C m p C n0； (2)证明：由iC n i=i ⋅n!i!(n−i)!=n ⋅(n−1)!(i−1)!(n−i)!=nC n−1i−1，可得∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=∑i p i=2C n i C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n p i=2C n−1i−1C m p−i −∑C n i p i=2C m p−i =∑n pi=2C n−1i−1C m p−i−(C n 2C mp−2+C n 3C mp−3+⋯+C n p C m 0)=n ∑C n−1i−1p i=2C m p−i −(C m+n p −C n 0C m P −C n 1C m p−1)，第21页，共21页 又C m+n−1p−1=C m 0C n−1p−1+C m 1C n−1p−2+⋯+C m p−1C n−10， 所以∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)−C m+n p +C n 0C m P +C n 1C m p−1，所以原等式的左边=nC m+n−1p−1−n(C m+n−1p−1−C m p−1C n−10)+C m+n p −C n 0C m P −C n 1C mp−1 =C m+n p −C m p=右边．故C n 1C m+n−1p−1−∑C n i p i=2C m p−i (i −1)=C m+n p −C m p 成立．【解析】(1)运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，即可得到所求恒等式；(2)由组合数的公式推得iC n i =nC n−1i−1，结合(1)的结论，化简整理，即可得证． 本题考查二项式定理的运用，考查恒等式的证明，注意运用组合数的公式以及二项式展开式的通项公式，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020届江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校高三下学期4月联考数学试题(教师版)
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1.已知集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B =I ______． 【答案】{}0,1 【解析】 【分析】由交集定义直接得到结果.【详解】由交集定义知：{}0,1A B =I . 故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的实部为______．【答案】2【解析】 【分析】根据复数的模长和除法运算可求得z ，根据实部定义得到结果.【详解】()11i z i -=+Q ，)()()11111122i i z ii i i ++∴====+---+，z ∴故答案为：2. 【点睛】本题考查复数实部的求解，涉及到复数的模长运算和除法运算，属于基础题. 3.若一组样本数据8,9,,9,10x 的平均数为9，则该组数据的方差为______． 【答案】0.4 【解析】 【分析】利用平均数构造方程求得x ，根据方差的运算公式可计算得到结果.【详解】8991095x ++++=Q ，9x ∴=，∴方差()()()22221893991090.45s ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣⎦.故答案为：0.4.【点睛】本题考查数据的平均数和方差的运算，属于基础题. 4.根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．【答案】7 【解析】 【分析】按照伪代码运行程序，直到满足10S ≥时输出i 即可. 【详解】按照伪代码运行程序，输入1S =，1i =， 则112S =+=，123i =+=，不满足10S ≥，循环；235S =+=，325i =+=，不满足10S ≥，循环；5510S =+=，527i =+=，满足10S ≥，输出7i =.故答案为：7.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______． 【答案】910【解析】 【分析】利用组合数可求得所有基本事件和2人中没有女同学的基本事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中选2人共有：2510C =种选法；选择的2人中没有女同学的情况有221C =种，∴至少有1名女同学的概率1911010p =-=.故答案为：910. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率公式的应用，属于基础题.6.双曲线2213y x -=的准线方程为______．【答案】12x =± 【解析】 【分析】由双曲线方程可确定,a c 和焦点所在轴，由准线方程的形式可得结果.【详解】由双曲线方程知：1a =，2c ==，焦点位于x 轴上，∴准线方程为212a x c =±=±.故答案为：12x =±. 【点睛】本题考查双曲线准线方程的求解问题，关键是能够根据双曲线方程确定,a c 的值及焦点所在轴，属于基础题. 7.已知{}()*n a n N ∈为等差数列，其公差为2-，且6a 是2a 与8a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S的值为______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据等比中项定义和等差数列通项公式可构造方程求得1a ，代入等差数列求和公式可求得结果.【详解】6a Q 是2a 与8a 的等比中项，2628a a a ∴=，即()()()211110214a a a -=--，解得：118a =，()1010910182902S ⨯∴=⨯+⨯-=. 故答案为：90.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解问题，涉及到等差数列通项公式和等比中项的应用，属于基础题.8.已知函数()21ln 2f x x x ax =-+，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则实数a 的取值范围为______．【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数在区间()1,2内有极值可知()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，利用二次函数的图象和性质可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：()211x ax f x x a x x-++'=-+=，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，()()()24012230a g g a a ⎧∆=+>⎪∴⎨⋅=-<⎪⎩或()()240122102230a a g a g a ⎧∆=+>⎪⎪<-<⎪∴-⎨⎪=<⎪=-<⎪⎩，解得：302a <<， 即实数a的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为二次函数在区间内有变号零点的问题，从而利用二次函数的图象和性质确定不等关系. 9.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，真命题是________．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】【详解】由面面垂直判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确， 故真命题有①、③、④三个.10.已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为______． 【答案】32【解析】 【分析】根据()0f =可求得ϕ；利用整体代入的方式可确定4x πω+的范围，根据余弦函数的单调区间可确定4x πω+最大值的位置，进而构造不等式求得结果.【详解】由题意得：()02cos f ϕ==cos 2ϕ∴=，又02πϕ<<，4πϕ∴=；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,4424x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，24ππωπ∴+≤，解得：32ω≤，ω∴的最大值为32. 故答案为：32. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的单调性求解参数最值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合余弦函数的单调区间确定角整体的最大取值.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______．【答案】)4⎡⎣ 【解析】【分析】设AC x =，利用点到直线距离公式可知22x ≥，将PQ 长表示为关于x 的函数，求得函数值域即为所求范围.【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C ，半径2r =， 设AC x =，则20222x -+≥=,AP AQ Q 为圆C 的切线，CP AP ∴⊥，CQ AQ ⊥，2224AP AQ AC r x ∴==-=-，AC Q 是PQ 的垂直平分线，22444241AP PC x PQ AC x x⋅-∴=⨯==-22x ≥Q 214112x∴≤-<，224PC ∴≤<，即线段PC 长的取值范围为)22,4⎡⎣. 故答案为：)22,4⎡⎣. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果. 12.已知正实数,x y 满足()21xy x y -=，则x y +的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知等式变形为()214x y xy xy+=+，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】()()()2222241xy x y xy x y xy xy x y xy ⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦Q ， ()2114244x y xy xy xy xy∴+=+≥⋅=（当且仅当14xy xy =，即12xy =时取等号），2x y ∴+≥，即x y +的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.13.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD 且22DC AB BC ==，E 为BC 的中点，AC 与DE 交于点O ．若125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅，则BCD ∠的余弦值为______．【答案】317【解析】 【分析】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BG AC F =I ，连接,E F ，根据平行四边形性质和平行线分线段成比例的关系可求得35OA CA →→=，45OD ED →→=，设1CB →=，2CD →=，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得511855CB CD →→⋅=，由平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BG AC F =I ，连接,E F ，2CD AB =Q ，G 为CD 中点，AB CG ∴=，又//AB CG ，∴四边形ABCG 为平行四边形，F ∴为AC 中点，即12FA CA →→=，又E 为BC 中点，//EF CG ∴且12EF CG =，14EF CD ∴=，14OF EF OC CD ∴==，1114510OF OC CF CA ∴===，即110OF CA →→=， 35OA OF FA CA →→→→∴=+=，又14OE EF OD CD ==，445OD OE DE ∴==，即45OD ED →→=， 3412121155252522OA OD CA ED CB BA CD CE CB CD CD CB →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221213169625242252525CD CB CD CB CD CB CD CB →→→→→→→→⎛⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭， 不妨设1CB →=，2CD →=，由125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅得：249612555CB CD CB CD →→→→⋅=+⋅-，即511855CB CD →→⋅=， 1862cos 5117CB CD BCD →→∴⋅=∠==，3cos 17BCD ∴∠=.故答案为：317.【点睛】本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简已知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定OA 与AC 长度的比例关系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.14.已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，a e ≤时（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．【答案】7 【解析】 【分析】根据抽象函数满足的关系式和周期可知()f x 关于4x =、1x =对称，结合导数可求得()f x 在[]1,4上的单调性，并得到()()()()1,2,3,4f f f f 的值及函数的图象；由a 的范围可将不等式化为()0f x a <<，可确定在[]1,4的整数解个数，结合周期性和对称性可得[]1,15上的其他整数解，进而得到结果. 【详解】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称， 又()f x Q 是周期为6的周期函数，()f x ∴关于1x =对称， 当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，()0f x '>；当(],4x e ∈时，()0f x '<；()f x ∴在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f e e ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：当323a e <≤时，11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.故答案为：7.【点睛】本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数.二、解答题15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）若PA PC =，求证：平面PBD ⊥平面ABCD ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，由菱形和三角形中位线性质可证得//OM PA ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）连接PO ，由菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一和线面垂直判定可证得AC ⊥平面PBD ，由面面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，Q 四边形ABCD 为菱形，O ∴为AC 中点，又M 为PC 中点，//OM PA ∴，OM ⊂Q 平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，//PA ∴平面BDM ；（2）连接PO ，PA PC =Q ，O 为AC 中点，PO AC ∴⊥，Q 四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =I ，AC ∴⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查立体几何中的线面平行、面面垂直位置关系的证明，涉及到线面平行和垂直的判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,P t -．（1）若4t =，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若3t =且()0,2απ∈，求()()sin cos f x x x α=++的单调增区间．【答案】（1）2；（2）()5112,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式可求得结果；（2）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式和辅助角公式化简函数为()3cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体对应的方式，结合余弦函数单调区间可求得结果.【详解】（1）当4t =时，4sin 5α=，3cos 5α=-，42322sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫+=+=⨯-⨯=⎝∴⎪⎭； （2）当3t =时，1sin 2α=，3cos 2α=-， ()()33sin cos sin cos cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x ααα∴=++=++=-+3cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()226k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得：()72266k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， ()f x ∴的单调增区间为72,266k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、两角和差正弦公式和辅助角的应用、余弦型函数单调区间的求解问题，是对三角函数和三角恒等变换部分知识的综合考查.17.如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】（1）655BP =；（2）413小时．【解析】 【分析】（1）在Rt ABC V 中求得cos C 后，在PBC V 中利用余弦定理可求得结果；（2）设甲乙出发后的时间为t 小时，在AMN V 中，利用余弦定理可用t 表示出2MN ，解29MN >可求得结果.【详解】（1）在Rt ABC V 中，3AB =，4BC =，则5AC =，4cos 5C ∴=， 在PBC V 中，由余弦定理得：2224362cos 1641655BP BC CP BC CP C =+-⋅=+-⨯=， 65BP ∴=； （2）设甲乙出发后的时间为t 小时，甲在线段CA 上的位置为M ，乙在线段AB 上的位置为N ，则55AM t =-，3AN t =，且[]0,1t ∈，由（1）知：3cos 5A =， 在AMN V 中，由余弦定理得：2222cos MN AM AN AM AN A =+-⋅， 即()()222218559555268255MN t t t t t t =-+--=-+，若甲乙不能通话，则3MN >，即25268259t t -+>，解得：413t <或1t >， 又[]0,1t ∈，40,13t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭， ∴两人不能通话的时间为413小时. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为()2221024x y b b +=<<，且直线y x =与以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切． （1）求b 的值；（2）若椭圆C 左右顶点分别为,M N ，过点()2,2P -作直线l 与椭圆交于,A B 两点，且,A B 位于第一象限，A 在线段BP 上．①若AOM V 和BON △的面积分别为12,S S ，问是否存在这样的直线l 使得121S S +=？请说明理由； ②直线OP 与直线NA 交于点C ，连结,MB MC ，记直线,MB MC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值． 【答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线l ，理由详见解析；②详见解析． 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切可构造方程求得b ； （2）由（1）得到椭圆方程和,M N 坐标；①将直线PA 方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据,A B 位于第一象限可构造不等式组求得t 的范围；利用1212S S y y +=+可构造方程求得t ，可知所求t 不满足所求范围，知直线不存在； ②利用,,O P C 三点共线和,,N A C 三点共线可利用11,x y 表示出33,x y ，同韦达定理一起代入12k k ，整理可得定值.【详解】（1）由题意知：直线y x =+222x y b +=相切，∴圆心到直线的距离d b ==，1b ∴=；（2）由（1）知：椭圆方程为2214x y +=，则()2,0M -，()2,0N ，①易知直线PA 的斜率不为零，设直线():22PA x t y =--，()11,A x y ，()22,B x y ， 则将直线PA 与椭圆联立整理得：()()222441480t y t t y t t +-+++=，()()()()22212221221611624041044804t t t t t t t y y t t ty y t ⎧∆=+-++>⎪⎪+⎪=>⎨+⎪⎪+=>⎪+⎩，解得：823t -<<-； 2121224414t tS S y y t +∴+=+==+，即23440t t +-=，解得：2t =-或23t =，这与823t -<<-不符，所以不存在满足条件的直线l ； ②设()33,C x y ，由,,O P C 三点共线知：33y x =-，由,,N A C 三点共线知：331313222y x y x x x ==---，131122y x x y ∴=+-，131122y y x y -=+-，()()()()()2121121221121122222224222y y y y y y k k x x y t y t y t t t y y ---∴⋅=⨯=⨯=++--+--+--()()1212121224y y t t y y y y -=⨯+-++，由①知：()122414t t y y t ++=+，2122484t ty y t +=+()()()()()122421412164428144t t k k t t t t t t t +--∴=⨯==-++-+++，则12k k 为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中三角形面积问题、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够结合韦达定理，利用某一变量表示出12k k ，通过化简消元整理得到定值.19.已知数列{}()*n a n N∈的前n 项和为n S，()2n n nS a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立． （1）若11a =，求λ的值； （2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ． 【解析】 【分析】（1）将1n =代入已知等式即可求得结果；（2）利用11n n n S S a ++-=可得到递推关系()1121n n n a n a na λ++=+-+，将1n +换成n 后两式作差可得到112n n n a a a +-+=，从而证得结论；（3）将不等式化为()2312m m m λ-⋅-<+，令22t λ-=，则不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个，通过分析可知除3m =以外只能有1个m 符合要求；当4m ≥时，通过导数可求得()max 1534m m m ⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦，分别讨论54t ≤、5342t <<和32t ≥时m 的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果.【详解】（1）当1n =时，()11112S a a λ=+=，112a a λ∴=+，解得：11a λ==； （2）由（1）知：()()()11221n n n n S n a S n a λλ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，()1121n n n a n a na λ++∴=+-+，*n N ∈，()()1112121n n n n n n a n a na a na n a λλ++-⎧=+-+⎪∴⎨=--+⎪⎩，则()()11122121n n n n n a a n a na n a ++--=+-+-， ()()()111121n n n n a n a n a +-∴-+-=-，又2n ≥，*n N ∈，10n ∴->，∴112n n n a a a +-+=对任意2n ≥，*n N ∈成立，∴数列{}n a 是等差数列； （3）由（2）可知：21m S m m -<+，即()11212m m ma d m m -+-<+， 即()()12212m m m m m λλ-+--<+，()2312m m m λ⋅∴--<+， 令22t λ-=，题目条件转化为满足不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个， 若1m =符合，则22t <，即1t <；若2m =符合，则23t <， 1.5t <； 若3m =符合，则t 为任意实数，即除3m =以外只能有1个m 符合要求.当4m ≥，*m N ∈时，()31tm m m -<+，解得：()13m t m m +<-，令15x m =+≥，则()()()1143145m x m m x x x x+==----+， 令()45f x x x =-+，则()222441x f x x x-'=-=， 当5x ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在[)5,+∞上单调递增，()()min455f x f ∴==，()max 1534m m m ⎡⎤+∴=⎢⎥-⎣⎦，∴当54t ≤时，至少存在2m =、3、4满足不等式，不符合要求； 当5342t <<时，对于任意4m ≥，*m N ∈都不满足不等式，1m =也不满足， 此时只有2m =、3满足； 当32t ≥时，只有3m =符合； 故5342t <<，即523422λ-<<，解得：112λ-<<-或952λ<<； ∴λ的取值范围是191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题. 20.已知函数()ln 1xf x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）． （1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围； （3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．【答案】（1）1-或2e e -；（2）{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭U ；（3）详见解析． 【解析】【分析】（1）根据导数几何意义知()()211f e e e '=-，由此构造方程求得结果；（2）将问题转化为1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠恒成立的问题，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，分别在0a =、0a >和102a -≤<或1a ≤-时，结合函数单调性确定最小值，令()min 0x ϕ≥，从而求得a 的取值范围；（3）根据（2）的结论可知()f x 在()1,2上单调递增，分类讨论可确定()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.【详解】（1）由题意得：()()()()2211ln 1ln 11ax a x ax ax x x f x ax x ax +-+-'==++ Q ()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -，()()211f e e e '∴=-，()()221ln 111ae ae e e ae e e +-∴=+-，解得：()()2211ae e +=-，()11ae e ∴+=±-，1a ∴=-或2e e-； （2）Q 函数()f x 在()1,2上单调递增，∴对于任意的()1,2x ∈，都有()0f x '≥恒成立 即1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠， 当0a =，10≥恒成立，满足题意； 当0a ≠时，由1x a ≠-得：()11,2a-∉，即0a >或102a -≤<或1a ≤-，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，则()ln x a x ϕ'=-，①当0a >且()1,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在()1,2上单调递减， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()20ϕ≥， 即212ln 20a a +-≥，解得：122ln 2a -≥-，0a ∴>满足题意；②当102a -≤<或1a ≤-，且()1,2x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()1,2上单调递增， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()10ϕ≥， 即1ln10a a +-≥，解得：1a ≥-；102a ∴-≤<或1a =-综上所述：a 的取值范围是{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭U ； （3）由（2）可知：当1a =-时，函数()f x 在()1,2上单调递增，此时()ln ln 11x xf x x x==-+-， 当312x <≤时，()332ln 22f x f ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，而230x -≤，()()()3232ln232x f x x ∴-≥--，即()()()ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤--， 当322x ≤<时，()332ln 22f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，而230x -≥，()()()3232ln 232x f x x ∴-≥--，即()()()2ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤-- 综上，对于任意()1,2x ∈，都有()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--， ()()()()()()()23ln 23ln 3332ln 232ln 232ln 22611222x x y y x y x y x y --∴+≤-+-=+---0=，结论得证. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将()()23ln 1x xx --进行放缩，属于难题.21.曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=． （1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量． 【答案】（1）3001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦和01⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）根据对应关系可得到x axy by''=⎧⎨=⎩，代入椭圆方程整理，结合圆的方程可构造方程组求得,a b ，从而求得结果； （2）由()3001f λλλ-==-可求得1λ=或3，分别在1λ=或3两种情况下求得特征向量.【详解】（1）设曲线221x y +=上的任意一点(),x y 在矩阵A 的对应变换作用下得到的点为(),x y ''，则00a x x b y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x ax y by =∴=''⎧⎨⎩，222219a x b y ∴+=，22191a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩， 又0,0a b >>，3a ∴=，1b =，3001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）由()()()331001fλλλλλ-==--=-得：1λ=或3；当1λ=时，由200000x y x y -+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩得对应的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，由000020x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+=⎩得对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上所述：矩阵A 的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=． （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）直线l的普通方程为1y =++．圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2）12．（1）根据参数方程化普通方程方法、极坐标与直角坐标的互化原则可直接化简得到结果；（2）设曲线C 上任一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，利用点到直线距离公式可将问题转化为三角函数值域的求解问题，由正弦型函数性质可确定6πθ=时，d 最小，进而得到结果.【详解】（1）直线l 的参数方程消去参数t得普通方程为：1y =++；由2cos 0ρθ+=得：22cos ρρθ=-，222x y x ∴+=-，∴圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2）在圆C 上任取一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，则P 到直线l 的距离为d ==当6πθ=时，min12d=，此时11,22P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、利用参数方程求解曲线上的点到直线距离的最值问题；求解最值问题的关键是能够利用圆的参数方程将问题转化为三角函数值域的求解问题. 23.已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值． 【答案】12 【解析】 【分析】利用柯西不等式可知()14936a b c a b c ⎛⎫∴++++≥ ⎪⎝⎭，由此求得结果.【详解】,,a b c Q 均为正实数，()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=（当且仅当22249b c a ==时取等号），又3a b c ++=，14912a b c ++≥∴，即149a b c++的最小值为12. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.24.五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【答案】（1）35；（2）分布列详见解析，()45E ξ=． 【解析】【分析】（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）确定ξ所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）记“2和4不相邻”为事件A ，则()32345535A A P A A ==； （2）ξ的所有可能取值为0,1,2，()22322355125A A A P A ξ===，()222223552215A A A P A ξ===，()121212242424225522205C A C A C A A P A ξ++===， ξ∴的分布列如下：()22140125555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求得每个取值对应的概率.25.已知*n N ∈，数列12:,,...,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,...,M n =中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+．例如2n =时，数列T 为1,2或2,1．（1）当3n =时，试求满足条件的数列T 的个数；（2）当*n N ∈，求所有满足条件的数列T 的个数．【答案】（1）4；（2）12n -．【解析】【分析】（1）分别假设13a =，23a =和33a =，根据已知关系式可求得21,a a ，从而得到结果；（2）①当1a n =时，可确定满足条件的数列只有1个；②当()2i a n i n =≤≤时，可知i a n =以后的各项是唯一确定的，根据i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -可整理得到1112n n n n b b b b ---=+=，由等比数列通项公式可求得12n n b -=，由此可确定结果.【详解】（1）若13a =，则2132a +≤+，故22a =，则31a =；若23a =，则2323a a +≤+，32a ∴≥，故32a =，则11a =；若33a =，则11a =，22a =或12a =，23a =；∴当3n =时，满足条件的数列T 为3,2,1；1,3,2；1,2,3；2,1,3；故满足条件的T 的个数为4；（2）设满足条件的数列T 的个数为n b ，显然11b =，22b =，34b =，不等式i j i a j a +≤+中取1j i =+，则有11i i i a i a ++≤++，即11i i a a +≤+，①当1a n =时，则21a n =-，同理32a n =-，．．．，1n a =，满足条件的数列只有1个；②当()2i a n i n =≤≤，则11i a n +=-，同理22i a n +=-，．．．，n a i =，即i a n =以后的各项是唯一确定的，又i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -，∴当2n ≥时，1211n n n b b b b --=++⋅⋅⋅++（*），当3n ≥时，1211n n b b b --=+⋅⋅⋅++，代入（*）式得到1112n n n n b b b b ---=+=，且满足212b b =， ∴对任意2n ≥，都有12n n b b -=成立，又11b =，12n n b -∴=；综上，满足条件的数列T的个数为12n ．【点睛】本题考查了数列中的新定义运算的问题，关键是能够通过分类讨论的方式确定所求数列个数所构成的数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得结果.。
2020届金陵中学、南外、海安中学第四次联考卷答案
三校联考答案1、D2、A3、D①七夕，七月初七；②“黄梅时节”农历五月；③腊月，农历十二月；④“近重阳”，农历九月九日；⑤“寒食”：清明前两天4、C二、文言文阅读(20分))5、D莅：到。
6.C“以德和民”“众叛亲离”、引火“自焚”等说法来自于众仲对鲁隐公提问的回答。
7.把文中的画线句翻译成现代汉语。
（10分）⑴统治国家的人应当致力于除去祸端，现在却反而招致灾祸，恐怕不可以吧？（建议“君人者”务“速”“无乃”各1分，“祸是务去”句式1分。
）⑵州吁杀害他的国君并且虐待他的百姓，在这时不致力于修养美德，却想要凭借战乱来成就自己，一定不会免于灾祸的。
（建议“弑其君”“于是”“务令德”“以乱成”“免（于灾祸）”各1分。
）8．①直言向庄公进谏；②禁止儿子与州吁往来；③联合陈国杀死州吁；④大义灭亲，杀死儿子。
三、古诗词鉴赏（1 1分）9.苏轼将壁上欧阳修的笔迹比喻为“龙蛇飞动”；（2分）称欧阳修为老仙翁，以书法艺术上的灵动昂扬，颂恩师的悠游自在、洒脱出尘；（1分）多年不见恩师，此刻睹物思人，借此表达对恩师的思念、追忆。
（2分）10.白居易的诗句表达了人生短暂，万事转眼成空的意思，（1分）苏轼在化用白居易诗句的基础上，翻出新意，说未待转头时，世事皆已成梦；（1分）更进一层，直指人生虚无（2分）暗寓其自身经历坎坷、仕途多舛的遭遇，在其豁达情怀的背后，也流露出深深的无奈与愤懑。
（2分）四、名句名篇默写（8分）11.（1）入则无法家拂士（2）凌万顷之茫然（3）而御六气之辩（4）沧海月明珠有泪（5）以手抚膺坐长叹（6）雕阑玉砌应犹在（7）执事敬（8）波涛如怒五、文学类文本阅读（15分）12、C（施存志这么说为了刺激诱导日本人放心大胆地喝，从而达到文末鬼子死伤大半的目的。
）13.（1）以神态（外貌）描写，塑造黑泽奸滑的形象；与其他评委的表现形成对比；（2）黑泽对酒的高下不表态，推动情节发展，为“比试”结果设置悬念；（3）为下文写无需计分评判输赢皆由他定等情节做铺垫。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含答案解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。
10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知U={1,2,3,4,6,7,8,9}，A={1,2,3}，B={2,6,7}，则∁U(A∪B)=_____．2.复数z=i1−i在复平面内所对应的点在第______象限．3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为_______________．4.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的准线方程为______．6.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为2，则输出y的值为____________．7.已知α∈(0,3π2),sin(π+α)=√32则cos(α−3π2)=______．8.函数y=√x+5x+2的定义域为______ ．9.已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.已知一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角的大小为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是圆柱底面半径的______倍. 11.在平面直角坐标系xOy中，设P为圆C: (x−1)2+y2=4上的任意一点，点Q(2a,a−3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．12.已知a2−3a=1，b2−3b=1，且a≠b，则1a2+1b2=____.13. 在△ABC 中，已知AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为______ ． 14. 已知tan (α+π4)=−2，则sin 2α+cos 2α=__________． 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =12．(1)求角A 的大小；(2)若b =2，c =3，求a 的值．16. 已知如图P 为平面ABCD 外一点，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF//平面PCE ．17. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，a 2c =2，又离心率为√22，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于A 、B 任意一点． (1)求椭圆的方程；(2)若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM ⋅BN 为定值．18.2012年4月开始，大蒜价格上涨较快．某地准备建一个圆形大蒜储备库(如图所示).它的斜对面是一条公路BC，从中心O处向东走1km是储备中心的边界上的点A，接着向东再走2km到达公路上的点B；从O向正北方向3km到达公路的另一点C．(1)建立适当的坐标系，求圆O及直线BC的方程；(2)现在准备在储备库的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，从成本考虑，使得所修的专用线最短，求DE的长度及点D的位置．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n(n∈N∗).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n+2}是等比数列；(3)求{a n}的通项公式．20.已知函数f(x)=e ax．x(1)若f(x)在区间[1,+∞)单调递增，求实数a的取值范围；(2)当a=1时，求函数f(x)在区间[m,m+1](m>0)上的最小值．221.求曲线y=4x在矩阵[0−1]对应的变换作用下所得到的曲线方程．−1022.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数，r>0).以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线M的普通方程；(2)若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．23. 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x +y +z =3√3.求证：x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥√32．24. 布袋中有六个只有颜色不同，其它都相同的球，其中红球有4个，白球有2个．现在从中随机抽取2个球，设其中白球个数为X ． (1)求X =1时的概率； (2)求E(X)．25. 证明：(1)∑2k n k=0C n k =3n(n ∈N )；(2)2C 2n 0+C 2n 1+2C 2n 2+C 2n 3+⋯+C 2n 2n−1+2C 2n 2n =3·22n−1(n ∈N )；(3)2<(1+1n )n<3(n ∈N )；(4)C n 1·12+C n 2·22+⋯+C n n·n 2=n (n +1)·2n−2-------- 答案与解析 --------1.答案：{4,8,9}解析：【分析】本题考查集合的并集和补集的混合运算，属于基础题．根据条件求A∪B，再求补集即可．【解答】解：因为U={1,2,3,4,6,7,8,9}，A={1,2,3}，B={2,6,7}，则A∪B={1,2,3,6,7}，所以∁U(A∪B)={4,8,9}．故答案为{4,8,9}．2.答案：二解析：解：∵z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴数z=i1−i 在复平面内所对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故答案为：二．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z=i1−i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3.答案：3136解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有5种，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个点数之积不小于4的概率．【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，共5种，∴两个点数之积不小于4的概率p=1−536=3136．故答案为3136．4.答案：100解析：【分析】本题考查频率分布直方图，属于基础题，注意纵坐标的意义．【解答】解：三等品的频率为5×(0.0125+0.0250+0.0125)=0.25，所以样本中三等品的件数为400×0.25=100，故答案为100．5.答案：x=−12解析：解：抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离为：p=1．抛物线的准线方程为：x=−12．故答案为：x=−12利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.答案：7解析：【分析】本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．【解答】解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y−x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y−x|≥4，退出循环;故输出的y值为7，故答案为7．7.答案：√32解析：本题考查三角函数的诱导公式，属容易题． 【解答】解：由诱导公式sin(π+α)=−sinα，即 sinα=−√32，所以 cos(α−3π2)=−sinα=√32， 故答案为√32．8.答案：{x|x ≥−5且x ≠−2}解析：解：要使函数有意义，则{x +5≥0x +2≠0，即{x ≥−5x ≠−2，即x ≥−5且x ≠−2， 即函数的定义域为{x|x ≥−5且x ≠−2}， 故答案为：{x|x ≥−5且x ≠−2}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：n 2解析： 【分析】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题． 利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，a 2+a 3=8， ∴2×1+3d =8，解得d =2． 则数列{a n }的前n 项和S n =n +n(n−1)2×2=n 2．故答案为：n 2．10.答案：2√2解析： 【分析】本题考查了圆柱体与圆锥的几何特征与应用问题，是基础题．设圆锥与圆柱的底面半径为R ，圆柱的高为h ，根据已知条件求得h 与R 的关系．解：画出圆柱、圆锥的轴截面，如图所示：设圆锥与圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的外接球的表面积是(ℎ2+4R2)π；∵圆锥的母线与底面所成角为60°，∴圆锥的母线长为2R，∴圆锥的侧面积是2R2π；由题意得：(ℎ2+4R2)π=6×2R2π，化简得ℎ2=8R2，即ℎR=2√2．故答案为：2√2．11.答案：0解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．根据点Q的坐标可得点Q在直线x−2y−6=0上，求出圆心(1,0)到直线x−2y−6=0的距离，再将此距离减去半径，即得所求．【解答】解：设点Q(x,y)，则x=2a，y=a−3，消去参数a得x−2y−6=0，故点Q在直线x−2y−6=0上．由于圆心(4,0)到直线x−2y−6=0的距离为d=1+4=2√55<2，所以直线x−2y−6=0与圆x相交，故线段PQ长度的最小值为0．故答案为0．12.答案：11解析：【分析】本题考查了二元一次方程根与系数的应用，考查转化思想，是基础题．a ，b 转化为一元二次方程x 2−3x −1=0的两根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：由题意可知a ，b 是方程x 2−3x −1=0的两个实数根， 由根与系数的关系可知a +b =3，ab =−1， 所以1a 2+1b 2=a 2+b 2a 2b 2=(a+b)2−2aba 2b 2=32−2×(−1)=11．故答案为11．13.答案：10解析：解：如图所示，△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)×32+λ×32+3×3×32+32−422×3×3=10． 故答案为：10．根据题意画出图形，结合图形用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )即可． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．14.答案：710解析： 【分析】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求值．把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得tanθ，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：由，得，解得．所以．，．故答案为71015.答案：解：(1)△ABC中，∵cosA=1，0<A<π2∴A=π．3=7，(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bcosA=4+9−12×12∴a=√7．解析：(1)直接根据特殊角的三角函数值即可求出，(2)根据余弦定理即可求出．本题主要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，属于基础题．16.答案：证明：如图，取PC的中点M，连接ME、MF，CD．则FM//CD，且FM=12又∵AE//CD ，且AE =12CD ， ∴FM//AE ，且FM =AE ， 即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF//ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，ME ⊂平面PCE ， ∴AF//平面PCE ．解析：本题考查线面平行的证明，属于简单题．取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，推导出四边形AFME 是平行四边形．从而AF//ME ，由此能证明AF//平面PCE ．17.答案：解：(1)∵离心率为√22，可得ca =√22,a 2c=2 ，又a 2=b 2+c 2 ，解得a =√2，b =1，∴椭圆的方程为：x 22+y 2=1;(2)证明：由(1)知A(−√2,0)，B(0,1)，设P(x 0,y 0)，则x 02+2y 02=2，当x 0=0时，M(0,0)，N(0,−1)，|BN|⋅|AM|=2ab =2√2，当x 0≠0时，直线PA 的方程为：y =0x +√2(x +√2)，令x =0，得：y N =√2y0x +√2，故：|BN|=|1−√2y 0x+√2|， 直线PB 的方程为：y =y 0−1x 0x +1，令y =0，得：x M =x 01−y 0，|AM|=|√2+xy 0−1|， 即|BN|⋅|AM|=|0√2−√2y 02(x+√2)(y −1)|=|0202√2x 00√2x 00x y −x +√2y −√2|=2√2为定值．综上所述，|AM|⋅|BN|为定值为定值2√2．解析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，两点之间的距离公式，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． (1)由离心率为√22，可得a 2c=2,ca =√22解得a ，b 即可．(2)求得直线PA 和PB 的直线方程，求得点M 和N 的坐标，求得|AM|和BN|，即可求得|AM|⋅|BN|为定值．18.答案：解：(1)以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题意可得O(0,0)，A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)， 圆O ：x 2+y 2=1，直线BC ：x3+y3=1，即x +y −3=0；(2)点O 到直线BC 距离d =√2=3√22，由题意可得当中心O 到直线BC 的距离减去半径可得到DE 的最小值， 即 |DE|=d −r =32√2−1(km)．由于直线OE 垂直直线BC ，所以OE 方程为：y =x ． 由{y =x x 2+y 2=1，可得x =y =√22(负值舍去)， ∴D 点坐标为(√22,√22)．解析：本题考查建立适当的坐标系，求圆O 及直线BC 的方程，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，确定O ，A ，B ，C 的坐标，即可求圆O 及直线BC 的方程；(2)由题意可得当中心到直线BC 的距离减去半径得到DE 的最小值，即可求DE 的长度；由直线OE 垂直直线BC ，可得直线OE 方程为：y =x ，与圆的方程联立即可求点D 的位置．19.答案：(1)解：∵a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n=(n −1)S n +2n(n ∈N ∗)， ∴当n =1时，a 1=2×1=2；当n =2时，a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4，∴a 2=4；当n =3时，a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6，∴a 3=8． (2)证明：∵a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗)， ① ∴当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n −1)a n−1 =(n −2)S n−1+2(n −1). ②①−②得na n=(n−1)S n−(n−2)S n−1+2=n(S n−S n−1)−S n+2S n−1+2=na n−S n+2S n−1+2．∴−S n+2S n−1+2=0，即S n=2S n−1+2，∴S n+2=2(S n−1+2)．∵S1+2=4≠0，∴S n−1+2≠0，∴S n+2S n−1+2=2，故{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(3)解：由(2)知S n+2=4·2n−1=2n+1．∴S n=2n+1−2．n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1−2−(2n−2)=2n．n=1时，a1=S1=22−2=2适合上式．∴a n=2n，n∈N∗．解析：本题主要考查数列的递推关系，考查等比数列的证明及通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，对n分别赋值，即可求a2，a3的值；(2)由题意，利用数列的递推关系，化简即可得到结论；(3)由(2)知S n+2=4·2n−1=2n+1，则S n=2n+1−2，进而利用n≥2时，a n=S n−S n−1得出答案，注意检验n=1是否满足该通项公式．20.答案：解：(1)由题知：函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，故(e axx )′=e ax(ax−1)x2≥0在[1,+∞)上恒成立，又由e ax>0，x2>0，则ax−1≥0，即a≥1x在[1,+∞)上恒成立，又(1x)max=1，故a≥1．(2)当a=12时，f(x)=ex2x(x≠0)，f(x)′=ex2(x2−1)x；当x2−1>0时，即x>2时，f′(x)>0；当x2−1<0时，即x<0或0<x<2时，f′(x)<0；则f(x)的增区间是(2,+∞)，减区间是(−∞,0)，(0,2)，由于m>0，则m+1>1，当m+1≤2时，即0<m≤1时，f(x)在[m,m+1]上单调递减，则f(x)min =f(m+1)=em+12m+1；当m <2<m +1时，即1<m <2时，f(x)在[m,2]上单调递减，在(2,m +1]单调递增． 则f(x)min =f(2)=e2；当m ≥2时，f(x)在[m,m +1]上单调递增． 则f(x)min =f(m)=e m2m， 综上可知：当0<m ≤1时，f(x)min =f(m +1)=em+12m+1；当1<m <2时，f(x)min =f(2)=e2； 当m ≥2时，f(x)min =f(m)=e m2m．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，综合性逻辑性强，属于较难题． (1)函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，故(e ax x)′=e ax (ax−1)x 2≥0在[1,+∞)上恒成立，即可解得；(2)利用导数判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，注意对m 的讨论．21.答案：解：设P(x,y)为y =4x 上任一点，在[0−1−10]变换作用下的对应点为P′(x′,y′)，则[0−1−10][xy ]=[x′y′]得[−y −x ]=[x′y′]， y =−x′，x =−y′代入y =4x 中，得−x′=−4y′，所以曲线y =4x 在矩阵[0−1−10]对应的变换作用下所得到的曲线方程y =14x ．解析：本题给出矩阵变换，求直线y =4x 在矩阵对应变换作用下得到的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．利用[0−1−10]可得坐标之间的关系，代人直线y =4x 整理，即可求曲线的方程．22.答案：解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ.∴ρ2=8ρsinθ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−8y =0，即x 2+(y −4)2=16， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −4)2=16．∵曲线M 的参数方程为{x =1+rcosαy =1+rsinα(α为参数，r >0)，∴曲线M 的普通方程为(x −1)2+(y −1)2=r 2． (2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2， ∵圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8， ∴直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)，则2×0−6×4=2−r 2，r 2=26， 又r >0，∴r =√26．解析：本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查圆的半径的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)圆C 的极坐标方程化为ρ2=8ρsinθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；曲线M 的参数方程消去参数，能求出曲线M 的普通方程．(2)联立{x 2+(y −4)2=16(x −1)2+(y −1)2=r 2，得2x −6y =2−r 2，由圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8，得到直线2x −6y =2−r 2经过圆C 的圆心(0,4)，由此能求出r 的值．23.答案：证明：由柯西不等式及题意得，(x 2+y 2+z 2)· [(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2=27．又(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y) =6(x +y +z)=18√3， 所以x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥18√3=√32， 当且仅当x =y =z =√3时，等号成立．解析：本题考查柯西不等式的应用，由柯西不等式得到(x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y )·[(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2，即可证明．24.答案：解：(1)从六个球中随机抽取2个球，抽法总数为C 62=15， 其中一个白球，一个红球的抽法总数有C 21⋅C 41=8，P(X =1)=C 21⋅C 41C 62=815．(2)由题意知X =0，1，2， P(X =0)=C 42C 62=615=25，P(X =1)=815， P(X =2)=C 22C 62=115，∴E(X)=0×25+1×815+2×115=23．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于基础题．(1)从六个球中随机抽取2个球，抽法总数为C 62，其中一个白球，一个红球的抽法总数有C 21C 41，由此能求出X =1时的概率．(2)由已知条件知X =0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)．25.答案：解：(1)由二项式定理可得3n =(1+2)n=C n 020+C n 121+C n 222+⋯…+C n n 2n =∑2k n k=0C n k；(2)原式左边=(C 2n 0+C 2n 1+C 2n 2+⋯…+C 2n 2n )+(C 2n 0+C 2n 2+C 2n 4+⋯…+C 2n 2n )=(1+1)2n +12(1+1)2n =22n +22n−1=22n−1(2+1)=3·22n−1．(3)(1+1n )n=1+C n 11n +C n 21n +⋯C n n 1n =2+C n 21n +⋯C n n 1n >2，另一方面，1+C n 11n +C n 21n 2+⋯C n n1n n<1+1+12！+13！+1n ！<1+1+12+122+⋯+12n−1<1+11−12=3.则原式得证．(4)C n k ·k 2=C n k ·[k (k −1)+k ]=k (k −1)C n k +kC n k=k (k −1)n!()+k n!()=n (n −1)C n−2k−2+nC n−1k−1(k ≤2) 原式左端=C n 1+[n (n −1)C n−20+nC n−11]+[n (n −1)C n−21+nC n−12]+⋯+[n (n −1)C n−2n−2+nC n−1n−1]=n +n (n −1)(C n−20+C n−21+⋯+C n−2n−2)+n (C n−11+C n−12+⋯+C n−1n−1)=n +n (n −1)2n−2+n (2n−1−1)=n (n +1)2n−2．解析：本题考查组合数公式和放缩法证明不等式以及二项式定理的应用，属于难题． (1)由二项式定理展开3n =(1+2)n 可证；(2)原式左边=(C 2n 0+C 2n 1+C 2n 2+⋯…+C 2n 2n )+(C 2n 0+C 2n 2+C 2n 4+⋯…+C 2n 2n )，分别由二项式定理逆用可得；(3)由二项式定理展开，然后由放缩法可证不等式；(4)由组合数的性质可得C n k ·k 2=n(n −1)C n−2k−2+nC n−1k−1，代入不等式的左边化简可得答案．。
浙江省2020届高三新高考名校联考信息卷(五)数学Word版含解析
A. 15B. C. D. 33
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，可以去掉绝对值符号，令 ，先求 的范围，再求 的最大值，也可以将问题转化为求可行域内的点到直线 的距离的最大值问题进行求解.
【详解】解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示.
故 ，显然 随 的增大而减小，
故当 最小，即 时， 最大.
连接 ，因为 平面 ，所以 .
所以当 时， 平面 ，所以易知 三点共线.
因为 与平面 所成的角为 ，所以 .
因为 平面 ，所以 ，所以 ，故此时 ，故 .
应选：C.
【点睛】此题主要考查空间中直线和平面所成的角、直线和平面的位置关系等，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.
令 ，作出直线 ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点 时， 取得最大值，当平移后的直线经过点 时， 取得最小值.
由 ，得 ，所以
由 得 ，所以 .
所以 ，故 的最大值是33.
解法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示
表示可行域内的点到直线 的距离的5倍.
作出直线 ，结合图形可知，点 到直线 的距离最大，
先构造函数证明 成立，再利用此不等式对 进行放缩，得到 ，即可得到结果.
【详解】设 ，那么 ，
所以，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，所以 ，
所以 .
应选：A.
【点睛】此题主要考查数列不等式的证明、放缩法的应用，考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.
的展开式中二项式系数最大项确实定方法：〔1〕如果 是偶数，那么中间一项〔第 项〕的二项式系数最大；〔2〕如果 是奇数，那么中间两项〔第 项和第 项〕的二项式系数相等并且最大.
2020重点中学高高考最后演练试卷数学(含详解答案)
数 学（文科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设f x x ：→2是集合A 到B 的映射，如果B ＝｛1，2｝，则A B I 只可能是A. ∅或｛1｝B. ｛1｝C. ∅或｛2｝D. ∅或｛1｝或｛2｝2、条件:12p x +>，条件:2q x >，则p ⌝是q ⌝的A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 3、44cos sin y x x =-的最小正周期为A.4πB.2π C.π D.2π4、曲线y=x 3在点P 处的切线斜率为k ，当k=3时的P 点坐标为 A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1) C.(2,8) D.(－1 ,－1 )5、若2005220050122005...(12)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++=A ．2003B ．0C ．2004D ．20066、向量(2,0)OA =u u u r，(22cos ,2sin )OB θθ=+u u u r ，则向量OA u u u r 与向量OB uuu r 的夹角的范围是A ．[0,]4π B ．[,]62ππC ．5[,]122ππ D ．5[,]1212ππ 7、已知函数2()f x ax c =+，且满足2(1)1f -≤≤-，1(2)2f -≤≤，则(3)f 的取值范围是 A ．26[1,]3- B ．]7,21[- C ．]9,21[-D ．]1,31[8、函数1x y a +=与log (1)a y x =+ ,(其中0a >且1a ≠)的图象关于 A ．直线y x =对称 B ．直线1y x =-对称 C ．直线1y x =+对称 D ．直线1y x =-+对称9、设集合A=}0|),{(},02|),{(≤-+=≥+-n y x y x B m y x y x ,若点P （2，3）)(B A I ∈，则m+n 的最小值是A ．-6B ．1C ．4D ．510、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面ABC 1D 1的距离为 A ．23 B ．22 C ．21D ． 33 11、已知集合A ={a ,b ,c ,d ,e },B ={1,2,3,4,5},则从A 到B 的所有函数中， 存在反函数的概率为A ．312524 B ．12524 C ．625124 D ． 6252412、已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2(1)2(1)(---+=x f x f x f ，若32)2(+=f ，则)2006(f 的值为A ．23-B ．23+C ．32-D ．32--第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考数学试卷及答案解析
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知集合，，则A B I ＝ ▲ ． 2．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ．3．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ▲ ．6．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-（第4题图）Read x If x ≥0 Theny ←2x ＋1 Else7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙（第6题图）A CB A 1B 1C 1D（第10题图）7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．(本小题满分14分)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．(本小题满分14分)ABCFED（第15题图）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O 点2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和 ）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．(本小题满分16分)已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；xy OCBDMA （第18题图）ABOD（第17题图）（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．20．(本小题满分16分)各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n aa a a n λ+==+∈N ．（1）当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；（2）当2λ=时，令12n nb a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题注意事项：1．本试卷共2页，包括选做题（第21题）、必做题（第22题～第23题）两部分．本试卷满分为40分，考试时间为30分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)已知在二阶矩阵M 对应的变换下将点(－2,1)与(1,0)分别变换成点(3,0)与(1,2)．求矩阵M 的特征值．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,x y θ⎧=⎨=⎩(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．若点P 在曲线C 上运动，当三角形P AB 的面积最大时，求点P 的坐标及三角形P AB 的最大面积．C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥．22．(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ，设P A ＝1，AD ＝2． （1）求平面BPC 的法向量； （2）求二面角B －PC －A 的正切值．（第22题图）23．(本小题满分10分)设21(1n n n a ++=（*,N Z,Z n n n a b ∈∈∈）．（1）求证：228n n a b -能被7整除；（2）求证：n b 不能被5整除．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以BD ∥EF ．…………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD ．…………………… 8分 因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分 又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f′(x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 若g′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f′(x )＜f′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+， 所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==L L ，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-L ，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，max d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥． 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥． 所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB u u u r 、AD u u u r 、AP u u u r 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC u u r＝(b,2，－1)，DB u u u r ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分 所以PC u u u r ·DB u u u r ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB u u u r＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC u u r ，n ⊥PC u u r ，即n ·BC u u r ＝0，n ·PC u u r ＝0．因为BC u u r ＝(0,2,0)，PC u u r ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB u u r〉，则cos ||||DB DB θ⋅===u u u r u u u r n n 8分sin θ，tan θ＝3．由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++L ，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-L ，又因为21(1n n n a ++=+，所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-，即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+，因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n n n n n n n n n n n C C C C ---==-=+-++-+-L 除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-，又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9，所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除， 所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。
全国大联考2020届高三第三次联考数学试卷-(海南新高考卷)及解析word版
全国大联考2020届高三第三次联考·数学试卷考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：前两次联考内容（30%），数列（35%），不等式（35%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{|60},{|27}M x x N x x =-<=-<<，则M N ⋂=（ ） A.{|76}x x -<< B.{|72}x x -<< C.{|26}x x -<< D.{|27}x x -<<2.在等差数列{}na 中，28310,7aa a +==，则数列{}n a 的公差为（ ）A.1-B.2-C.1D.23.设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >>4.数列{}n a 满足12019a =，且对任意的*n N ∈，有32n n n a a +-=，则7a =（ ）A.2021B.2035C.2037D.20415.若0,0a b d c >><<，则一定有（ ）A.ac bcB.11a b b>- C.a c b d ->- D.ad bc <6.已知数列{}n a 为等比数列，21416,64a a a ==，数列的前n 项和为nS ，则6S 等于（ ）A.634B.6316C.638D.63327.若3log (2)1a b +=+，则42a b +的最小值为（ ）A.6B.83 C.163D.1738.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即()*(1)(2)1,()(1)(2)3,F F F n F n F n n n N ===-+-∈，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A.1347B.1348C.1349D.13469.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF 在向量BC 方向上的投影为（ ）A.2B.32C.1D.311.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（ ）A.2-B.0C.2D.412.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为123,,,M M M ，则114M M =（ ）A.193πB.376πC.7πD.316π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式40x x-≥的解集为________. 14.曲线(1ln )y x x =⋅+在点(1,1)处的切线方程为________.15.若下实数,,a b c ，满足1a b c ++=，则411a b c+++的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 满足()()*115,(1)n n n a n a a a n n n N +=--=++∈，若对于任意的*n N ∈，不等式2217n a t -恒成立，则实数t 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式()2(3)40ax x a --<的解集为M . （1）当1a =时，求集合； （2）当1N ∈且12M ∉时，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n na S ab n +=⨯-=-. （1）证明：数列{}23n n a -⨯为常数列. （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos()0A B C π+-=. （1）判断ABC ∆的形状；（2若7cos 9A =，ABC ∆的周长为16，求ABC ∆外接圆的面积. 20.（本小题满分12分） 已知,,a b c 都是正数，求证：（1）222a b c a b c b c a++++；（2）111111222a b c a c c a a b+++++++. 21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21n n a S S n N +=-=∈. （1）令1n n c S =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11111,2n n n b b b a ++==+. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n ，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若1a >，讨论函数()f x 的单调性；（2）()()(1)ln g x f x a x x =+--，是否存在实数a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.2020届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C 本题考查集合的交集运算.由题知，{|6},{|27}M x x N x x =<=-<<，所以{|26}M N x x ⋂=-<<.2.A 本题考查等差数列的公差.由题知，因为2810a a +=，所以5210a =，即55a =，所以数列{}n a 的公差为57153-=--. 3.B 本题考查比较数的大小.由 1.2xy =在区间(0,)+∞是单调增函数可知，0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>.4.C 本题考查数列指定项.∵32n n n a a +-=，∴4774411122a a a a a a a =-+-+=++，∵12019a =，∴72037a =.5.D 本题考查不等关系.由不等式的性质知，A 选项错误；令5,1,1,8a b c d ===-=-，有11,a c b d a b b<-<--，所以B ，C 选项错误；因为0,0a b d c >><<，所以,ad bd bd bc <<，所以ad bc <.6.A 本题考查等比数列的性质.设数列{}n a 的公比为q ，由题知，3164q =，解得2111,42a q a q =====，所以数列是以8为首项，12为公比的等比数列，所以661812631412S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 7.C 本题考查基本不等式.因为3log (2)1a b +=+23a b ab +=，且0a >，0b >，所以222(2)232a b a b ab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为20a b +>，所以823a b +，当且仅当2a b =，即24,33a b ==时取等号，故42a b +的最小值为163. 8.A 本题考查数列的周期性.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前三项和为1102++=，又因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=.9.C 本题考查等差数列及充分必要条件.必要性显然成立，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-，①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-，②，由①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，故“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 10.A 本题考查向量的综合应用.因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=，所以向量AF 在向量BC 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=.11.C 本题考查数列的最值.因为()2*125n n S S n n n N ++=-+∈，所以当2n 时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-，∴12132a a +=.12.B 本题考查三角函数的性质.由题意可知，()2sin cos sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，所以sin 22x =，解得1237,,636M M M πππ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，…，由此可知114113131437666M M M M M M πππ=+=+=.13.{|04}x x x <≥或 本题考查分式不等式.40x x -等价于(4)00x x x -⎧⎨≠⎩，解得0x <或4x ≥，所以不等式的解集为{|04}x x x <或.14.210x y --= 本题考查导数的几何意义.1(1ln )y x x x'=++⋅，∴1|2x y ='=，∴所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.15.92本题考查基本不等式的应用.由题知(1)2a b c +++=，∴4114114()119[1)()]41(54)1212122b c a ca b c a b c a b c a b c ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++++= ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 16.[2,2]- 本题考查数列的综合应用.因为()()*1(1)n n n n a a a n n n N +-=++∈，整理得111n na a n n+-=+，因为15a =-，所以6n a n n=-，所以2(6)(3)99n a n n n =-=---，所以29217t --，解得22t -，故实数t 的取值范围[2,2]-.17.解：本题考查解不等式.（1）当1a =时，()2(3)40(3)(2)(2)0x x x x x --<⇔-+-<，所以{|223}M x x x =<-<<或.（2）因为1M ∈，所以(3)(14)0a a --<，所以14a <或3a >，又因为12M ∉，所以1134024a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立，即1134024a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1616a ，综上可得，实数a 的取值范围11,(3,6]164⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 18.解：本题考查数列的通项公式及裂项求和.（1）当1n =时，11153312a a +=⨯-=，所以16a =.当2n 时，111533n n n S a ---+=⨯-，所以112103n n n a a ---=⨯.所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n na-⨯为常数列.（2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n nb n n n n ⨯===---+-，所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++.19.解：本题考查解三角形.（1）因为sin 2sin cos()0A B C π+-=，所以sin()2sin cos 0B C B C +-=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，所以cos sin sin cos 0B C B C -=，即sin()0C B -=，又因为,B C 为ABC ∆的内角，所以B C =，所以ABC ∆为等腰三角形.（2）由（1）知，22222227,cos 229b c a b a b c A bc b +--====，解得32a b =，又因为16a b c ++=，解得4,6a b c ===，因为7cos ,(0,)9A A π=∈，所以sin 9A = 设ABC ∆外接圆的半径为R，所以29R =R =，故ABC ∆外接圆的面积为818π. 20.解：本题考查基本不等式的应用.（1）∵0,0,0a b c >>>，∴2222a a b b a b b+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，同理可得222,2b c c b a c c a++， ∴222222a b c b c a a b c b c a +++++++，即222a b c a b c b c a++++.（2）因为0,0,0a b c >>>，所以11112222a b a bab⎛⎫+⎪+⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，同理可得1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴111111111111222222222a b b c c a a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111222a b c b c c a a b+++++++. 21.解：本题考查数列的综合应用.（1）因为121n n S S +-=，所以()1121n n S S ++=+，即12n n c c +=，又因为11a =，所以11S =，即12c =，所以数列{}n c 是以2为公比和首项的等比数列，所以2n n c =.（2）①由（1）知，21n n S =-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，又因为11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为12n -，因为1112n n n b b a ++=+，所以1122n n n b b +=+，所以11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是以1为首项和公差的等差数列，所以12n n b n -=，故12n n nb -=. ②设123n n T b b b b =+++⋯+，则01211232222n n nT -=+++⋯+， 所以123112322222n n nT =+++⋯+，两式相减得， 0121111111122212222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋯+-=-=--， 所以12424422n n n n n T -++=-=-，∵()1123252n n b b b b n -++++⋅=+，∴12(2)52n n n +-+=+，即：2270n n --=.令()227(1)x f x x x =--，()2ln 212ln 210x f x '=⋅-->，∴()227xf x x =--在[1,)+∞上单调递增，且(5)0f =，所以存在唯一正整数5n =，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立.22.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）211(1)[(1)]()(1)x ax a x x a f x x a a x x x -+----'=-+-==，①若11a -=，则2(1)2,()0,()x a f x f x x-'==>在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，则2a <，而1a >，∴12a <<，当(1,1)x a ∈-时()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)+∞时()0f x '<，所以()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -及(1,)+∞上单调递增；③若11a ->，则2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)及(1,)a -+∞上单调递增.（2）21()(2)ln 2g x x x a x =-+-， 假设存在a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，不妨设120x x <<，只要()()12120g x g x a x x -+>-，即()()2211g x ax g x ax +>+，令()()h x g x ax =+，只要()h x 在(0,)+∞上为增函数，21()(1)(2)ln 2h x x a x a x =+-+-， 22(1)2(1)(2)()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-+-+-++-'=+-+==，只要()0h x '在(0,)+∞恒成立，只要20,2x a a +-，故存在[2,)a ∈+∞时，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)最后一卷 数学试题附答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线y =f (x )及y =g (x )都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学II(附加题)21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，每小题10分. 请选定其中两．．．．．小．题．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)求曲线C 1的普通方程； (2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.C . 【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a +b +c =7，求证：a 2+4b 2+9c 2≥36.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值；(2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈．（第22题）ABCDA 1D 1 C 1BM N2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ .{―1，1} 2．已知复数z 满足1－iz ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . ―13. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .24. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6,10)上的频数是 ▲ .70 5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．236．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ . 47． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m ＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ．28．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ . -69．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.16910. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u r▲ ．26（第3题）Read xI f x ≤0 Theny ←x 2＋2 Elsey ← log 2x End If Print y（第4题）0.2000.025468 10 12 频率组距0.075 20.050 xy y 011π24-y 05π24O （第6题）（第10题）FECBAP（第15题）11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ．2―15612. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．223(()12x y +-= 13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．)3log 2,2(5--14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 817二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，10AB =， 6BC =，8AC PC ==，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．【证】（1）在△PAC 中，E F ，分别是PA PC ，的中点，所以EF ∥AC ． …… 2分 又因为EF BEF ⊂平面，AC BEF ⊄平面， 所以AC ∥平面BEF ． …… 4分 （2）在△ABC 中，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． …… 6分 因为PC ABC ⊥平面，BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥． …… 8分 又因为BC PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ． 所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥． …… 10分 在△PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点，所以PA EC ⊥． …… 12分 又因为PA BC ⊥，CE BC C =I ，CE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．【解】（1）因为102cos-=∠ADB ，所以sin ADB ∠==. ………………… 2分 A B CD（第17题） MA DCBN又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠45=. ……………………6分 （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.…………… 8分又11sin 72210ABD S AD BD ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=，解得5=BD . ………………… 10分 在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos 82525(37,AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=所以AB. …………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值． 【解】方法一：（1）设∠ANM =θ，()π02θ∈，， 半圆的直径MN =2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以AM =2r sin θ，AN =2r cos θ．因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12×2r sin θ×2r cos θ= r 2sin2θ=400， …… 2分所以r 2=400sin 2θ，所以喷泉区域面积S 喷泉=π2r 2=200π200πsin 2θ≥，当且仅当sin2θ=1，即θ=π4时取等号．此时r =20． …… 5分因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－r sin θ=75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－r cos θ=100－102＞20=r ，即d 2＞r ．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当θ=π4时，S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2r =100， AM =100sin θ，AN =100cos θ．所以点O 到CD 的距离d 1=75－r sin θ=75－50sin θ，点O 到BC 的距离d 2=100－50cos θ， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以12d r d r ⎧⎨⎩≥，≥，即7550sin 5010050cos 50θθ-⎧⎨-⎩≥，≥，所以1sin 2θ≤．又因为()π02θ∈，，所以(π06θ⎤∈⎥⎦，． …… 11分 所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12×100sin θ×100cos θ=2500sin2θ，因为(π06θ⎤∈⎥⎦，，所以(π203θ⎤∈⎥⎦，， 所以当π6θ=时，假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法二：（1）设AM =x m ，AN =y m ，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12xy = 400，所以xy =800， …… 2分所以喷泉区域面积S 喷泉=2π()22MN =22ππ(2200π88x y xy +⋅=)≥，当且仅当x y ==r =20． …… 5分 因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－2x =75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－2y=50－102＞20=r ，即d 2＞r ． 所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当x y ==S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2210000x y +=．所以点O 到CD 的距离1752x d =-．因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以d 1≥r ，即75502x -≥，所以50x ≤，注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050x <≤． …… 9分所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12xy =12…… 11分=， 所以当50x =时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法三：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (k <0，b >0)，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ，则AM =b m ，AN =b k-m ， ()22b b O k -，，在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r = 因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12b (b k⋅-= 400，所以b 2=－800k ，所以喷泉区域面积S 喷泉=()2π22MN =()()222π1π111(800)1100π()200π88()b k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥-⎣⎦==≥， 当且仅当1k =-时，取等号．此时b =202，r =20，O ．所以半圆方程为22((400(0)x y x y -+-=+->．因为AB =100 m ，AD =75 m ，所以直线BC ，CD 方程分别为x ＝100，y ＝75， 所以点O 到CD 的距离d 1=75－102＞20=r ， 点O 到BC 的距离d 2=100－102＞20=r ，所以AM =202＜75=AD ，AN =202＜100=AB ，所以满足以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉． 所以S 喷泉取得最小值200π m 2． 答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2．（2）由（1）知，AM =b m ，AN =b k-m ，()22b b O k -，，若MN =100 m ，则22210000b b k+=，所以k =点O 到CD 的距离1752b d =-，点O 到BC 的距离21002b d k =+．因为以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉， 所以1d r ≥，2d r ≥，即75502b -≥，100502b k +≥，所以50b ≤，0k ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭． 注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050b <≤．所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=12所以当50b k ==，时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．（另解）假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=250001k k-+，记25000()(0)1k f k k k -=<+，则2225000(1)()0(1)k f k k -'=<+， 所以()250001k f k k -=+在0⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是单调减函数，所以当k =S 假山取得最大值1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程; (2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内；(3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．【解】(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >，因为12OA F F =，所以2a c =， 由当直线l 垂直于x 轴时，3PQ =，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b+=，解得2b y a =±所以223bPQ a ==， …………………………………2分联立2222223+a c b aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩解得2, 1.a b c === 所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………4分（2）证明：当直线l 斜率为0时，此时P ,Q 位于长轴两个顶点，原点O 为圆心，满足题意. ……………………6分 当直线l 斜率不为0时，设l 方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=， 由求根公式可得1,2y = 故122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， ……………………8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 12121212(1)(1)OP OQ x x y y my my y y ⋅=+=+++u u u r u u u r21212(1)()1m y y m y y =++++222296(1)()13434m m m m =+--+++22125034m m +=-<+. 故原点O 总在以PQ 为直径的圆内. …………………………………10分（3）因为(2,0)A -,(2,0)F -，由AP ⊥F 1Q 得：10AP FQ ⋅=u u u r u u u r，即 1122(2,)(1,)0x y x y +⋅+=，121212220x x x x y y ++++=，212122(1)2()60m y y m y y my +++++=， ……………………………12分因为点P 在x轴上方，所以268y m =+，代入上式得：22296(1)2()603434m m m m m m -++-++=++，整理得：2252m =-， …………………………14分 两边平方得：22425m =，解得m 舍去) 所以直线l 得方程为1x y =+，即1)y x =-. ………………………………16分19．( 本小题满分 16 分）已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线及都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值 【解】（1）当2a =-时，()2x f x e =-，设曲线y =f (x )上的切点为11,2x x e -（），则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线y =g (x )上的切点为2221,2x x （），则切线方程为22221()2y x x x x -=-.由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则12=0=2x x ⎧⎨-⎩， 所以公切线方程为22y x =--. ………………4分（2）①因为21()()2x y f x g x ae x =-=-，所以'x y ae x =-，令x x ae x ϕ-（）=，则'1x x ae ϕ=-（）， 当0a <时，'0x ϕ<（）所以x ϕ（）单调递减，不合题意. ………………6分 当0a >时，令10x ae -=，得1lnx a=， 当x <ln 1a 时，'0x ϕ<（）；当x > ln 1a时，'0x ϕ>（）， 所以x ϕ（）在1(,ln )a -∞上单调递减，x ϕ（）在1(ln ,)a+∞单调递增， 若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2，则1ln 111ln ln 1ln 0a ae a a aϕ=-=-<（）， 解得10a e<<． ……………………………8分因为00a ϕ=>（），1211110a ae a a a a aϕ=->⋅-=（）(可以证明：当x >0时，e x >x 2)所以10ln 0a ϕϕ⋅<（）（），11ln 0a aϕϕ⋅<（）（）因为函数的图象连续不断，所以函数在1(0,ln )a ，11ln ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭各存在一个零点，故实数a 的取值范围是10.e ⎛⎫⎪⎝⎭， …………………………10分②令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1kx k =-， ………………………12分 令ln ()(3)1x h x x x =≥-，则'211ln (),(1)xx h x x --=- 又令1()1ln (3),t x x x x =--≥则'21()0,xt x x-=<所以()t x 在[3，＋∞）上单调递减，所以2()(3)ln 30,3t x t ≤=-<所以'()0,h x <即()h x 在[3，＋∞）单调递减，ln 3()(3),2h x h ≤=故1x 的最大值是ln 3.2……………………………16分20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-．由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. …… 3分（2）由（1）知，1(1)2n n Sn a =+，n *∈N ，即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． …… 5分 两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n *∈N ），所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =，所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． …… 8分（3） 因为nn n S b a =，所以1(1)122n n n n n S a a ++==，所以111(1)22nn n a na S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n *∈N 时，)2111223n n n ⎡=-∈⎢++⎣，． …… 10分 显然10a ≠，①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则11132a <， 11022a n n -<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； …… 12分 ③若12log 3a =，则11132a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<．当1221a n <-，且n *∈N 时，1n n c c +>，{}n c 单调递增；当1221a n >-，且n *∈N 时，1n n c c +<，{}n c 单调递减，不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=．综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． ……16分数 学II(附加题)附加题共四道题，三选二为容易题，第22题为中档题，第23题最后一问题较难．解答附加题不要急于求成，要确保将这 30 分收入囊中．三选二注意事项：(1)切记根据要求填涂选定题号前小方框；(2)如无特殊情况应选择A 、B ，不选择其他题目，如 A 、B 确实有困难可尝试选择C 题目．21．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．【解】（1）由已知，得114a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝λ11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即114a λλ+=⎧⎨-+=⎩,解得a =2. …… 5分 (2) 由特征多项式12()(1)(4)214f λλλλλ--==--+-， 令()0f λ=，得2560λλ-+=，解得1223λλ==，，属于特征值13λ=的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值22λ=的一个特征向量2α＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以12=+ααα，33331131233221243132135λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A ααααα …… 10分B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求曲线C 1的普通方程；(2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.【解】(1) 曲线C 1的普通方程为x 2-y 2=1. ……………………………2分(2)曲线C 1的极坐标方程为2cos 21ρθ=，令6πθ=，得1ρ=M6π). ………………………………4分曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，令6πθ=，得2ρ=即N(6π)．…6分所以MN＝………………………………8分又点Q (4，0) 到射线(0)6πθρ=>的距离为4sin 6π=2,所以△QMN的面积为………………………………10分A C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥．【证】因为222111()()23⎡⎤++⎢⎥⎣⎦222211(49)(23)23a b c a b c +++⋅+⋅≥， …… 5分所以2222()49111++49a b c a b c ++++≥．又7a b c ++=，所以2224936a b c ++≥． …… 10分 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值； (2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．【解】连结BD ，取AB 的中点E ．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以△ABD 是正三角形， 所以DE AB ⊥， 因为//AB DC ，所以DE DC ⊥．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC DE ⊂，平面ABCD ，所以1D D DC ⊥，1D D DE ⊥． …… 2分 分别以直线1DE DC DD ，，为x y z ，，轴建立如 图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则(000)D ，，，10)A -，，10)B ，，(020)C ，，，1(002)D ，，，(001)M ，，．所以1(12)BD =-u u u u r，，(11)AM =u u u ，． 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则111cos cos ||||BD AMBD AM BD AM θ⋅=<>===⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u ur u u u u r ，， 所以异面直线1BD 与AM ． …… 4分（2）由（1）知，(30)AC =u u u r ，(11)AM =u u u u r，． 设平面AMC 的法向量为1111()x y z =，，n ，则11AC AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u u r ，，n n 即1100AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u ru u u ur ，=，n n 所以11111300.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩， 取1x 11y =，12z =，即平面AMC 的一个法向量为112)=，n ． …… 6分 设(02)N λ，，，02λ≤≤，则(022)CN λ=-u u u r，，． 设平面ACN 的法向量为2222()x y z =，，n ，则22AC CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r ，，n n 即2200AC CN ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u r u u u r，=，n n 所以222230(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， （第22题） AB CD A 1D 1 C 1 B MN取2x =21y =，222z λ-=，即平面ACN的一个法向量为221)2λ-=，n ． …… 8分则121212cos cos 4|||⋅π=<⋅>===⋅n n n n |n n 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． …… 10分23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值．参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈． 【解】(1)X 的可能值为1，n.p (X ＝1)＝(1-p )n ，p (X ＝n +1)＝1-(1-p )n .p )n . (2) 若E (X )≤n ，则1n ≤(1-p )n ，两边取自然对数，得ln n ≥-n ln(1-p )，因为1p =，所以ln n ≥n 4．设f (x )=ln x -14x ，则f ´(x )=4-x4x，当x >4时f ´(x )<0，当0<x <4时f ´(x )＞0，所以f (x )在(0，4)上是增函数，在(4，＋∞)上是减函数， 又f (4)＝ln4-1>0，f (8)＝3ln2-2>0，f (9)=2ln3-94<0，故n 的最大值为8．。
江苏省2020年高三数学最后一卷试题(含解析)
高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．答案：2 考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a ＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥2，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
海南省2020届高三第二次联合考试数学试题(解析版)
海南省2020届高三第二次联合考试数学试题一､单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则A B =（ ）A. (0,)eB. (1,2)-C. (1,)e -D. (0,2)『答案』D『解析』因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<. 故选:D. 2.已知复数z =z 的共轭复数z =（ ）A.i 12- B.12i 2- C.2i 12+ D.12+ 『答案』A『解析』因为z ===，所以12i z =-.故选:A.3.抛物线218y x =的焦点坐标是（ ） A. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,032⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,2D. ()2,0『答案』C『解析』由题得28x y =， 所以抛物线的焦点坐标为(0,2). 故选：C4.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定『答案』B『解析』甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 5.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]-ππ的图像大致为（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D.6.把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60时，三棱锥D ABC -的体积为( )A.3B.C.D.『答案』C『解析』取AC 的中点O ，连接,BO DO ，作DM BO ⊥AD DC =，AB BC = AC DO ∴⊥，AC BO ⊥,BO DO ⊂平面BOD ，BO DO O = AC ∴⊥平面BODDM ⊂平面BOD DM AC ∴⊥又DM BO ⊥，,BO AC ⊂平面ABC ，BO AC O ⋂= DM∴⊥平面ABCBD ∴与平面ABC 所成角即为DBO ∠，则60DBO ∠=DO BO = DBO ∴∆为等边三角形12BO DO === DM ∴=11144332D ABC ABC V S DM -∆∴=⋅=⨯⨯⨯=故选：C.7.楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( ) A. 10 B. 15C. 20D. 24『答案』A『解析』问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A. 98πB. 196πC. 784πD.13723π 『答案』B『解析』连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE EOB∴∠异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则BE 8AB =，6AD =，5,OB OC OE ===在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠22362525x x +=++-x =12CC x ==14 所以长方体的外接球的半径为7， 所以长方体外接球的表面积为196π. 故选:B二､多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，点P 是双曲线上的动点，则PM PF +的值可能为( )A. 4B. C. 2D. 『答案』ABD『解析』由双曲线方程得渐近线方程为：by x a=±(1,M -在渐近线上 ∴渐近线方程为y =设坐标原点为O ，则OM OF = 2c ∴== 当,,P M F 三点共线且P 在双曲线右支上时，PM PF +最小()minPM PF MF ∴+===又P 为双曲线上的动点 PM PF ∴+无最大值,,A B D 选项中的值均大于C 选项中的值小于,,A B D ∴选项中的值均有可能取得故选：ABD.10.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A. 若//αβ，则m α⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l m ⊥，则//l βD. 若//m α，则αβ⊥『答案』AD『解析』若一条直线垂直于两平行平面当中的一个，则一定垂直于另一个，可知A 正确；αβ⊥，m β⊥ //m α∴或m α⊂，又//l α ,l m ∴可能平行、相交或异面，B错误；m β⊥，l m ⊥ //l β∴或l β⊂，C 错误；//m αα内必存在直线m 的平行线n ，又m β⊥ n β∴⊥n α⊂ αβ∴⊥，D 正确.故选：AD11.已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( ) A.M的最小值为25 B. 当M 最小时，2125x =C.M 的最小值为45D. 当M 最小时，265x =『答案』BC『解析』由111ln 20x x y --+=得：111ln 2y x x =-+()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方由ln 2y x x =-+得：11y x'=- 与直线242ln 20x y +--=平行直线的斜率为12-则令1112x -=-，解得：2x = ∴切点坐标为()2,ln 2()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d ==即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=()()221212x x y y ∴-+-的最小值为245d =过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=- 即24ln 20x y --+=由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =故选：BC12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意的,x y R ∈恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，若存在正数t ，使得()0f t =.给出下列四个结论:①()01f =；②2124t f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 为偶函数；④()f x 为周期函数.其中正确的结论的编号是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④『答案』ACD『解析』取0x y ==，则()()()20020f f f+=()00f ≠ ()01f ∴=，①正确；取2t x y ==，则()()2022t f t f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122t f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，②错误； 取0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-== ()()f y f y ∴-=()f x ∴偶函数，③正确；取0x x t =+，y t =，则()()()()000220f x t f x f x t f t ++=+=()()002f x t f x ∴+=- ()()()00042f x t f x t f x ∴+=-+=()f x ∴为周期函数，④正确.故选：ACD三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,)a m =，2(,b =，若a b ⊥，则m =__________． 『答案』1 『解析』由221(022m ⨯+⨯-=，得1m =. 故答案为:114.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答） 『答案』560-『解析』712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式的通项为()()()71772177212rrrrr r r r T C x x C x ----+=-=-，7213r r -=⇒=，展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=-故答案为560-.15.已知,a b ∈R ，且240a b +-=，则24a b +的最小值为______. 『答案』8『解析』由240a b +-=得：24a b +=224228a b a b ∴+=+≥===（当且仅当222a b=，即2a b =时取等号） 故答案为：816.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________. 『答案』 (1). 2 (2). 4『解析』因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =.因为()2353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8四､解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n kn k =++.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）当1n =时，1122a S k ==+，当2n ≥时，2212[2(1)(1)]42n n n a S S n kn k n k n k n k -=-=++--+-+=-+{}n a 是等差数列，41222k k ⨯-+=+，得0k =所以42n a n =-（2）因为111111()(42)(42)82121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以11111111(1)()()8383582121n T n n =-+-++--+ 11(1)82184nn n =-=++ 18.明初出现了一大批杰出的骑兵将领，比如徐达、常遇春、李文忠、蓝玉和朱棣.明初骑兵军团击败了不可一世的蒙古骑兵，是当时世界上最强骑兵军团.假设在明军与元军的某次战役中，明军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；元军有8位将领，善用骑兵的有4人. （1）现从明军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率； （2）在明军和元军的将领中各随机选取2人，X 为善用骑兵的将领的人数，写出X 的分布列，并求EX .解：（1）设从明军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为4548517014C P C ===，故从明军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为11413114P =-=. （2）由题意知，0,1,2,3,4X =，则()2234228893920C C C C P X ===， ()1121125344432288169392C C C C C C P X C C +===，()111122225344543422881592392P X C C C C C C C C C C +==+=，()21111254453422881253392C C C C C C P X C C +===，()2254228830153929416C C C C P X ====，所以X 的分布列为6915912530912343923923923924EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,Cπ∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴=23A C π∴+=2sin sin 23A C B π+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin 32B π==2sin sin sin a c bA CB ∴==== 2sin cC ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=--==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(20.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ⎫⎪⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线1y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值. 解：（1）由2c e a ==，2c =得：1a = 22212b a c ∴=-= ∴椭圆C 的标准方程为22112y x += （2）设(),1A t ，()00,B x yOA OB ⊥ 000OA OB tx y ∴⋅=+=若00x =，则00y =，此时B 不在椭圆C 上 00x ∴≠ 0y t x ∴=-又220021x y += ()()()2222222200000000200111y y AB x t y x y x y x x ⎛⎫∴=-+-=++-=+++ ⎪⎝⎭222200002200111112222x x x x x x --=+++=++ (]200,1x ∈ 2111222AB ∴≥++=（当且仅当21x =时取等号）min AB ∴=21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值.（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =， 则11GBCDD C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D GC B .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C .（2）解：作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所 在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()10,0,1D，)11,1A -，)1,0A-，()10,0,1D，)G，所以()113,1,0D A =-，()13,2,1D G =-，()0,3,0AG =.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =，则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令11x =，得(1,3,3m =.设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =，则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令21x =，得(1,0,3n =.所以cos ,m n == 因为二面角11A D G A --为锐角，所以其余弦值为31. 22.已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=，当0x ≥时，'()f x x <. （1）判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明；（2）若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，设正数0x 为函数()(1)1x x g x xe a e x =+-++的一个不动点，且0001()(1)2f x f x x +≥-+，求a 的取值范围.解：（1）令2()()2x x f x ϕ=-，则'()'()x f x x ϕ=-，∵当0x ≥时，'()f x x <，∴'()0x ϕ<，∴2()()2x x f x ϕ=-在[0,)+∞上单调递减，又∵2()()f x f x x -+=，∴22()()()()022x x x x f x f x ϕϕ+-=-+--=，∴()x ϕ为奇函数，∴2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减.又∵22x y =在(,0]-∞上单调递减，∴2()()2x f x x ϕ=+在(,0]-∞上单调递减.（2）由（1）可知，2()()2x x f x ϕ=-在R 上单调递减.∵0001()(1)2f x f x x +≥-+，∴00()(1)x x ϕϕ≥-， ∴001x x ≤-，故012x ≤. ∵正数0x 为函数()g x 上的一个不动点，∴方程()g x x =在1(0,]2上有解，即方程(1)10x xxe a e +-+=在1(0,]2上有解，整理得：1(1)11111x x x x xxe x e x x a x e e e +-+++===+---. 令1()1x x m x x e +=+-，2(2)'()(1)x x x e e x m x e --=-，设()2x h x e x =--，1(0,]2x ∈，则'()10xh x e =->，∴()h x 在1(0,]2上单调递增，又15()022h =<， ∴()20xh x e x =--<，∴2(2)'()0(1)x x x e e x m x e --=<-， ∴()m x 在1(0,]2上单调递减，∴12()()222e m x m e +≥=-（或()m x ≥），即a 的取值范围是)+∞（或)+∞）.。