1990高考数学全国卷及答案理

1990年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是

(A)1(B)2(C)3 (D)4

(5)

(A){-2,4}(B){-2,0,4}

(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6

(A)圆(B)椭圆

(C)双曲线的一支(D)抛物线

(B){(2,3)}

(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}

(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°

(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满

足│a－1│

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

(C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有

(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是

(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)

(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于

(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是

(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝

三、解答题.7

(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度

数.

(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)

参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A(8)D (9)B (10)D

(11)C(12)B (13)B(14)C（15)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:

①

由②式得d=12-2a.③

整理得a2-13a+36=0

解得a1=4,a2=9.

代入③式得d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①

由①式得x=3y-12.③

将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,

整理得y2-13y+36=0.

解得y1=4,y2=9.

代入③式得x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).

于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),

或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).

于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),

即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.