刚体转动惯量公式及计算方法

刚体转动惯量计算公式

刚体转动惯量计算公式刚体转动惯量这玩意儿，在物理学里可是个挺重要的概念。

咱们先来瞧瞧啥是刚体转动惯量。

简单说，刚体转动惯量就是衡量刚体转动时惯性大小的一个物理量。

想象一下，你转一个大圆盘和转一个小圆盘，是不是感觉转大圆盘更费劲？这就是因为大圆盘的转动惯量大呀！那刚体转动惯量咋算呢？这就有个计算公式啦。

对于一个绕定轴转动的刚体，其转动惯量 I 等于各个质量元的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。

用数学式子表示就是：I = ΣΔmiri² 。

比如说，有一个均匀的细棒，长度为 L ，质量为 M ，绕通过一端且垂直于棒的轴转动。

那这时候转动惯量 I 就等于 1/3 ML²。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这转动惯量到底有啥用啊？”我笑着给他举了个例子。

我说：“你看啊，咱们骑自行车，车轮就是个刚体。

如果车轮的转动惯量大，那你起步的时候是不是就得费更大的劲儿？但是一旦转动起来，保持转动就相对容易些。

这就好比一个大胖子跑步，一开始跑起来难，但跑起来后惯性大，停下来也不容易。

”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，好像明白了点什么。

再比如说一个圆环，质量为 M ，半径为 R ，绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，转动惯量就是 MR²。

还有那种质量分布不均匀的情况，就得把刚体分成很多小块，分别计算每一小块的转动惯量，然后再加起来。

这就有点像咱们做拼图，一块一块拼出最终的结果。

在实际生活中，转动惯量的应用可多啦。

像工厂里的大型机器轮子，设计的时候就得考虑转动惯量，不然运转起来可就麻烦喽。

总之，刚体转动惯量计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能慢慢搞清楚啦。

就像解一道难题，一开始觉得难，多尝试几次，说不定就豁然开朗啦！希望大家都能把这个知识点掌握好，在物理学的世界里畅游无阻！。

刚体的转动惯量

ol
擦，经过时间 t 后杆静止，
求摩擦力矩 M阻。
解：由匀变速转动公式: 0 t
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力矩为：
M阻
J
1 ml 3
2
0
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
证明：
z
Jx y2dm , J y x2dm
Jz r2dm
(x 2 y2 )dm
o
yy
x
r dm
y2dm x 2dm
刚体的转动惯量
一、转动惯量
刚体的转动惯量的定义是：
n
J miri2 i 1
若刚体为连续体，则用积分代替求和：
J r2dm
比较以下两个式子：
M j
,
F
ma
转动惯量是表示转动惯性的量。
例1、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。解：建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l 2 x2 m dx 1 ml 2
l 2 l
12
x o x dx
例2、长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
解： J x2dm
l x2 m dx 1 ml2
0l

各类刚体转动惯量公式的推导

r
r
2 r 2 dy sin 2 ( y 2 r 2 cos 2 )d

0
由二倍角公式得 sin 则
2

0
1 cos 2 cos 2 1 cos 4 1 , cos 2 , cos 2 2 2 2 2
dJ 2 r 2 dy sin 2 ( y 2 r 2 cos 2 )d
则圆环的转动惯量为 J 0 J 0

2y
0
y 2 dydl 2y 3dy
Rg
整个圆盘的转动惯量为 dJ J 0

0
2y 3dy
r2 z2
0
2y 3dy
(r 2 z 2 ) 2
2

dm (r 2 z 2 )dz dz Rg 2 (r 2 z 2 )
则整个细微圆柱体的转动惯量为 dJ J 0 dJ 0 将 x r cos , z r sin 代入上式得 dJ

r

r
r
2 z ( x 2 y 2 )dxdy

r
2 r sin (r 2 cos 2 y 2 )dxdy
4
2 rdy sin ( y 2 r 2 cos 2 )d (r cos )
dm dl
m m Rd d . 2R 2
1
该质元的转动惯量为
dJ R 2 dm ( R sin ) 2
m mR 2 2 d sin d 2 2

mR 2 1 cos 2 mR 2 mR 2 ( )d ( cos 2 )d 2 2 4 4 mR 2 mR 2 mR 2 mR 2 mR 2 ( cos 2 )d sin 2 4 4 8 2 4 0 mR 2 . 2

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。

惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

刚体定轴转动定律公式

刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。

本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。

1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。

角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。

1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。

1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。

1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。

力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。

2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。

转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。

常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。

(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。

2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。

转动惯量合成公式

转动惯量合成公式首先，让我们来复习一下刚体的转动惯量的定义：刚体的转动惯量描述了刚体绕轴旋转时的惯性。

转动惯量的大小与刚体的质量分布有关。

对于一个质量为m的刚体绕一个与其质心距离为r的轴旋转，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = mr^2其中，I表示刚体绕轴旋转的转动惯量。

然而，当刚体绕不通过其质心的轴旋转时，转动惯量的计算就会复杂一些。

这时候，我们需要使用转动惯量合成公式。

转动惯量合成公式可以通过已知的转动惯量以及刚体质量分布的相关信息，计算出刚体绕其他轴旋转时的转动惯量。

1.平行轴定理：平行轴定理适用于刚体绕与通过其质心平行且偏离其质心的轴旋转的情况。

假设刚体原始绕其质心转动的转动惯量是I_cm，与其质心平行且距离质心为d的轴旋转的转动惯量可以通过以下公式计算：I = I_cm + md^2其中，I表示刚体绕平行于通过其质心的轴旋转的转动惯量，m表示刚体的质量。

2.垂直轴定理：垂直轴定理适用于刚体绕通过其质心的轴旋转的情况。

假设刚体原始绕其质心转动的转动惯量是I_cm，与其质心垂直且偏离质心为d的轴旋转的转动惯量可以通过以下公式计算：I = I_cm + md^2其中，I表示刚体绕与通过其质心垂直的轴旋转的转动惯量，m表示刚体的质量。

通过转动惯量合成公式，我们可以计算出刚体绕不同轴旋转时的转动惯量。

这对于理解刚体的旋转运动和计算刚体的动力学性质非常重要。

最后，需要注意的是，转动惯量合成公式仅适用于刚体绕固定轴旋转的情况。

在一些特殊情况下，需要使用更加复杂的积分运算来计算刚体的转动惯量。

这超出了本文的范围，但是可以通过学习刚体的旋转动力学来深入理解这些情况。

总结起来，转动惯量合成公式是用来计算刚体绕不同轴旋转时的转动惯量的公式。

它可以通过已知的转动惯量和刚体质量分布的相关信息，计算出刚体绕其他轴旋转时的转动惯量。

转动惯量合成公式包括平行轴定理和垂直轴定理两种形式，分别适用于刚体绕通过其质心平行和垂直的轴旋转的情况。

各类刚体转动惯量公式的推导

各类刚体转动惯量公式的推导刚体是物理学中的一个重要概念，用于描述不受力矩作用下保持形态不变的物体。

研究刚体的旋转运动时，转动惯量是一个重要的物理量。

通过推导各类刚体转动惯量公式，我们可以更好地理解旋转运动的特性和规律。

一、点质量的转动惯量首先考虑最简单的情况，即一个质点围绕某个轴旋转。

假设质点的质量为m，离轴距离为r，速度为v，根据牛顿第二定律可以得出转动惯量的定义：L = Iω其中L是质点的角动量，I是转动惯量，ω是角速度。

根据角速度的定义ω = v/r，代入上式可以得到：L = I(v/r)根据角动量的定义 L = mvr，整理后得到质点的转动惯量公式：I = mr²这是点质量的转动惯量公式。

二、细长杆的转动惯量下面我们考虑一个细长杆绕其一端竖直轴旋转的情况。

假设细长杆的长度为L，质量为m，转动惯量为I。

根据定义，转动惯量可以表示为质量对质点到轴线距离的平方乘以质量的累加，即：I = ∫(r²)dm对细长杆来说，可以将其看作许多质点的组合。

假设杆的密度分布为ρ，某一质点到杆一端的距离为x，根据质点位置与质量的联系可以将上式进一步化简为：I = ∫(x²ρdx)对于线密度恒定的细长杆，上式可以进一步简化为：I = (1/3)mL²这是细长杆的转动惯量公式。

三、薄环的转动惯量接下来我们考虑一个薄环绕其对称轴旋转的情况。

假设薄环的质量为m，半径为R，转动惯量为I。

根据定义，薄环的转动惯量可以表示为质量对质点到轴线距离的平方乘以质量的累加，即：I = ∫(r²)dm对于环形结构，我们可以将其视为无数个质点的组合。

假设环的线密度为σ，某一质点与对称轴的距离为r，根据质点位置与质量的联系可以将上式化简为：I = ∫(r²σdθ)根据螺线线积分的性质，上式可以进一步化简为：I = σ∫(r²dθ)对于一个完整的环来说，θ的取值范围为0到2π。

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号〔或积分号〕普及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态〔如角速度的大小〕无关。

规那么形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规那么刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量X量描述。

惯量X量是二阶对称X量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统〔选定一个参考系〕运动的实际能量，〔P势能实际意义那么是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小〕。

E=(1/2)mv^2 〔v^2为v的2次方〕把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

力学中的转动惯量与角动量

力学中的转动惯量与角动量转动惯量和角动量是力学中重要的概念，它们与物体的旋转运动密切相关。

在本文中，我们将深入探讨转动惯量和角动量的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

1. 转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体旋转运动惯性的物理量，通常用字母I表示。

对于质点，其转动惯量可表示为I = mr²，其中m为质点的质量，r为质点到旋转轴的距离。

对于刚体，转动惯量的计算略为复杂。

对于沿轴线旋转的刚体，其转动惯量可表示为I = Σmiri²，其中mi为组成刚体的每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。

对于连续分布的刚体，转动惯量可表示为I = ∫r²dm，其中dm为元素质量。

2. 角动量的定义和计算方法角动量是描述物体旋转运动的动量，通常用字母L表示。

对于质点，其角动量可以表示为L = Iω，其中I为质点的转动惯量，ω为质点的角速度。

对于刚体，角动量的计算公式为L = Iω，其中I为刚体的转动惯量，ω为刚体的角速度。

注意，刚体的转动惯量是相对于刚体自身质心的转动惯量。

3. 转动惯量和角动量的物理意义转动惯量和角动量在物理中具有重要的物理意义。

转动惯量反映了物体对旋转运动的抵抗程度，转动惯量越大，物体越不容易发生旋转。

角动量则反映了物体旋转运动的动量大小，角动量越大，代表物体旋转得越快。

4. 转动惯量和角动量的应用转动惯量和角动量在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在机械工程中，转动惯量的概念常被用于设计机械零件的结构。

在天体物理学中，角动量的概念常被用于描述星体的自转和行星的公转。

此外，转动惯量和角动量的守恒定律也是力学中重要的概念。

根据转动惯量守恒定律，当一个系统没有外力作用时，系统的总转动惯量保持不变。

根据角动量守恒定律，当一个物体在外力作用下发生旋转运动时，其总角动量保持不变。

这些守恒定律在物理学研究和工程实践中有着广泛的应用。

总结起来，转动惯量和角动量是力学中重要的物理概念。

转动惯量与功率计算公式

转动惯量与功率计算公式
转动惯量的计算公式：
1.对于质点转动：转动惯量(J)与质点的质量(m)和质点离旋转轴的距
离(r)的平方成正比，即J=m*r^2
2.对于集中质量的刚体转动：假设刚体由N个质点组成，每个质点的
质量分别为m1，m2，...，mN，它们离旋转轴的距离分别为r1，r2，...，rN，则刚体的转动惯量等于所有质点的转动惯量之和，即
J=m1*r1^2+m2*r2^2+...+mN*rN^2
3. 对于连续分布质量的刚体转动：刚体可以看做由无数个质点组成，质点的质量微元为dm，质点离旋转轴的距离为r，则刚体的转动惯量可以
用积分的形式表示，即J = ∫ r^2 dm，其中积分区间为整个刚体。

计算功率的公式：
功率(P)表示单位时间内所做的功，可以用两种公式计算：
1. 对于匀速直线运动：假设物体做功的力为F，物体的速度为v，角
度为θ，则功率可以用力F和速度v的点积来计算，即P = F * v *
cosθ，其中θ为力和速度之间的夹角。

2.对于旋转运动：假设物体转动的角速度为ω，转动的力矩为τ，
则功率可以用力矩τ和角速度ω的乘积来计算，即P=τ*ω。

对于匀速直线运动和旋转运动，如果力和速度或力矩和角速度的方向
相同，则功率为正值，表示物体在做正功；如果方向相反，则功率为负值，表示物体在受到外力反作用做负功。

以上是转动惯量和功率的计算公式。

在实际应用中，这些公式可以帮助我们计算物体的转动惯量和功率，从而理解并分析物体的运动特性。

转动惯量

转动惯量引自百度百科本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。

转动惯量(MomentofInertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。

[1]在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。

对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

中文名转动惯量外文名MomentofInertia表达式I=mr²应用学科物理学适用领域范围刚体动力学适用领域范围土木工程基本含义质量转动惯量其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。

)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。

此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。

最全的转动惯量的计算(经典实用)

最全的转动惯量的计算（经典实用）
转动惯量是描述物体旋转惯性大小的物理量，通常用I表示。

下面是最全的转动惯量计算方法：
1. 刚体转动惯量的定义公式为：I = ∫r²dm，其中r是质点到转
轴的距离，m是质点的质量。

将质点相加得到刚体的质量分布，因此整个刚体的转动惯量可以表示为：I = ∫r²dm，其中积分是
对整个刚体的所有小质点进行的。

2. 对于均匀密度的均匀球体，转动惯量可以用公式I =
(2/5)MR²来计算，其中M是球体的质量，R是球体的半径。

3. 对于均匀密度的长直圆柱体，转动惯量可以用公式I =
(1/2)MR²来计算，其中M是圆柱体的质量，R是圆柱体的半径，同时也是圆柱体绕着垂直于轴线的质量分布半径。

4. 对于均匀密度的长直棒，转动惯量可以用公式I = (1/12)ML²来计算，其中M是棒的质量，L是棒的长度。

5. 对于精细计算，可以将物体分解为若干个小物体进行计算，然后将它们的转动惯量相加。

这种方法适用于任何形状的物体，但需要计算的小物体数量较大，具有较高的复杂度。

6. 对于不规则物体，可以使用轴绕定理求解物体绕轴转动的转动惯量。

轴绕定理指出，如果一个物体绕一个与其重心相切的轴旋转，那么它的转动惯量等于绕过绕该轴垂直于该轴的一个轴旋转时的转动惯量加上一个关于该轴的平行轴定理项。

刚体转动惯量计算方法

1 m1l 2 1 m1l 2 1 m1l 2
2 12
4
3
J 2O J 2C m2 (l R) 2 1 m2 R 2 m2 (l R) 2 m2 ( 3 R 2 2Rl l 2 )
2
2
J O 1 m1l 2 m2 ( 3 R 2 2 Rl l 2 )
3
2
例 18-4 如图 18-12 所示均质等厚度板，单位面积的质量为
二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆
形状不规则物体的转动
M
dm
dx
如图 18-7 所示，设杆长为 l ，质量为 M。取杆上微段 dx，其质量为
l ，则此
杆对 zc 轴的转动惯量为
图 18-7
J zc
l
2 2 x 2dm 0
2
l
2 x2
M
dx
0
l
1 Ml 2 12
对应的回转半径
2. 均质细圆环
例 18-3 钟摆简化力学模型如图 18-11 所示，已知均质杆质量 m1、杆长 l ，圆盘质量
m2、半径 R，求钟摆对水平轴 O的转动惯量。
图 18-11 解摆对水平轴 O的转动惯量等于杆 1 和圆盘 2 对轴 O的转动惯量之和，即
J O J 1O J 2O
由转动惯量平行移轴定理得
所以
J1O J 1C m1 ( l ) 2
刚体对轴转动惯量的计算
一、转动惯量及回转半径在第一节中已经知道，刚体对某轴 z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到
方的乘积的总和，即 J z
2
mi ri 。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成
z 轴距离平
Jz
r 2 dm

转动惯量与质点转动

转动惯量与质点转动转动惯量是描述刚体绕轴旋转惯性大小的物理量，与刚体的质量分布以及绕轴的几何形状有关。

质点转动则是指质点在给定轴上绕着转动，而不涉及到整个物体的转动。

本文将介绍转动惯量的概念及其计算方法，并探讨质点转动的相关特性。

一、转动惯量的概念与计算方法转动惯量，通常用符号I表示，是描述刚体绕轴旋转惯性大小的物理量。

转动惯量的大小取决于物体的质量分布和绕轴的几何形状。

在经典力学中，转动惯量的计算公式如下：I = ∫ r^2 dm其中，r是质点到轴线的距离，dm是质点的质量元素。

对于质点转动，可以将质点看作具有质量但无大小的点。

质点的转动惯量可以简化为以下公式：I = m r^2其中，m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。

这个公式说明了质点的转动惯量与质点的质量和距离平方成正比。

二、质点转动的基本特性1. 角速度和角加速度：当质点绕给定轴旋转时，质点具有角速度和角加速度。

角速度是指质点绕轴旋转的角度变化率，用符号ω表示；角加速度是指角速度的变化率，用符号α表示。

2. 转动惯量和转动运动：质点的转动惯量与质量和距离的平方成正比，转动惯量越大，质点越难以改变其角速度和角动量。

在转动运动中，质点的角速度和角动量受到转动惯量的影响。

3. 角动量守恒：角动量是与物体转动相关的物理量，用符号L 表示。

当没有外力矩作用于质点时，质点的角动量守恒。

这意味着质点在转动过程中的角动量大小和方向保持不变。

4. 转动定律：质点的转动状态可以由转动定律描述。

转动定律包括转动惯量、角速度和角加速度之间的关系，可以帮助我们理解和计算质点的转动过程。

三、应用与实例转动惯量和质点转动的概念在物理学和工程学中有着广泛的应用。

以下是一些实际应用的例子：1. 刚体力学：转动惯量是研究刚体力学和运动学的重要物理量。

通过计算刚体的转动惯量，可以研究刚体绕轴的转动运动。

2. 机械工程：在机械工程中，转动惯量的计算对设计旋转部件和传动系统非常重要。

各类刚体转动惯量公式的推导

各类刚体转动惯量公式的推导刚体转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它反映了刚体对于旋转运动的惯性大小。

在不同的转动轴上，刚体的转动惯量是不同的。

下面将介绍各类刚体转动惯量公式的推导。

1. 点质量转动惯量公式对于质点，其转动惯量为$I=mr^2$，其中$m$为质量，$r$为质点到转轴的距离。

2. 细杆转动惯量公式对于一根长度为$L$，质量为$m$的细杆，绕过其中心垂直于杆的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{1}{12}mL^2$。

3. 圆环转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$的圆环，绕过其中心垂直于环面的轴转动，其转动惯量为$I=mr^2$。

4. 球体转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$的球体，绕过其中心垂直于球面的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{2}{5}mR^2$。

5. 圆柱转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$，高度为$h$的圆柱，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{1}{2}mR^2+\frac{1}{12}mh^2$。

6. 圆锥转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$，高度为$h$的圆锥，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{3}{10}mR^2+\frac{3}{20}mh^2$。

7. 球壳转动惯量公式对于一个质量为$m$，内半径为$R_1$，外半径为$R_2$的球壳，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{2}{3}m(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)$。

以上是各类刚体转动惯量公式的推导。

需要注意的是，这些公式都是在理想情况下推导出来的，实际情况下可能存在误差。

理论力学第3节刚体对轴转动惯量的计算

O
J O J大圆O J小圆O
J大圆O

1 2
mR 2

1 2
R 4
J小圆O

J小圆O1

r 2
a2

1 2
r 2

r2

r 2

a2
J O J大圆O J小圆O
J大圆O

1 2
R 4
O1
a
J小圆O

1 2
r 2
r2

r 2
a2
O
1 r 2 (r 2 2a2 )
刚体对过质心的轴 z
的与转z 动轴惯平行量的为另J z外，一对
轴z的转动惯量为
J
，
z
两轴间的距离为 d 。 x
z
z
ri
ri mi
o
d
x
C
yi yixi
y xi y
J z miri2 mi (xi2 yi2 )
J z miri2 mi (xi2 yi2 )
平轴O的转动惯量。
解：摆对水平轴 O 的转动惯量等于杆 1 和圆盘 2 对轴O的转动惯量之和，即
JO J1O J 2O
J1O

J1C

m1 (l
/
2)2

1 3
m1l
2
J 2O J 2C m2 (l R)2
O l C1

1 2
m2l 2

m2 (l

R)2

JO

1 3
m1l 2

1 2
a
z

刚体对轴的转动惯量的计算

由于对称性，有
Jx Jy
此外还有
Jz dmr2 dm(x2 y2 ) J x J y
因此得
Jx
Jy
1 2
Jz
1 2
1 MR2 2
1 4
MR2
图10-15
二、回转半径
刚体对轴的转动惯量可写成统一的形式：
Jz
M
2 z
（10-22）
式中， M 为刚体的质量； z 为某特征长度，称为刚体对轴 z 的回转半径。回转半径的物理意义是将刚体质量集中于一点，并令它
1 12
M
(3R3
l2)
z
9π2 32 18π2
R
y
9π2 64 36π2
R2
1 12
l2
x
1 (3R2 l2 ) 12
薄壁空心球
Jz
2 3
MR 2
z
2 R 0.816R 3
物体的形状
实心球
简图
实心半球
圆环
椭圆形薄板
矩形薄板
立方体
转动惯性
回转半径
Jz
2 5
MR 2
z
2 R 0.632R 5
图10-10
2．均质薄细圆环
如图 10-11 所示的均质薄细圆环半径为 R，单位长度质量为，下面计算它对圆环中心 O 并垂直于圆环平面的 z 轴的转动惯量。
在环上任取一微段，其质量为 dm ，则圆环对 z 轴的转动惯量为
Jz
R2dm R2
M
dm MR2
M
式中，M 为整个圆环的质量。
将薄壁圆筒分成许多平行的薄细圆环，如图 10-12 所示，应用上面的结果，
不难求出均质薄壁圆筒对 z 轴的转动惯量为

几种常见刚体的转动惯量

转动惯量是物体在转动时所受到的力的量纲，它可以反映物体的质量，影响物体的转动情况。

转动惯量的大小与物体的形状，质量和分布有关。

转动惯量的单位为克·米2。

常见刚体的转动惯量可分为三类：球体、圆柱体和轴对称体。

球体的转动惯量球体的转动惯量可以用公式表示为：I=2/5 MR2，其中M为球体的质量，R为球体的半径。

由于球体的形状和质量分布恒定，因此球体的转动惯量只与质量和半径有关，与其他参数无关。

圆柱体的转动惯量圆柱体的转动惯量可以用公式表示为：I=1/2 MR2，其中M为圆柱体的质量，R为圆柱体的半径。

由于圆柱体的形状和质量分布恒定，因此圆柱体的转动惯量只与质量和半径有关，与其他参数无关。

轴对称体的转动惯量轴对称体的转动惯量可以用公式表示为：I=1/2 MR2，其中M为轴对称体的质量，R为轴对称体的半径。

由于轴对称体的形状和质量分布恒定，因此轴对称体的转动惯量只与质量和半径有关，与其他参数无关。

以上就是常见刚体的转动惯量的介绍，可以看出，转动惯量与物体的形状，质量和分布有关，因此，在计算物体转动惯量时，必须考虑到这些因素。

转动惯量是物体转动运动中重要的参数，它可以反映物体的质量，影响物体的转动情况。

因此，转动惯量的研究和应用是重要的。

例如，转动惯量可以用来计算物体的角动量，进而计算物体的角速度和角加速度，从而更好地控制物体的运动。

此外，转动惯量也可以用来计算物体的转矩，从而更好地控制物体的运动。

总之，转动惯量是物体转动的重要参数，它可以反映物体的质量，影响物体的转动情况，因此，转动惯量的研究和应用是重要的。

刚体的转动惯量计算

刚体的转动惯量计算在物理学中，刚体的转动惯量是一个非常重要的概念，它对于理解和分析刚体的转动行为起着关键作用。

那么，什么是刚体的转动惯量？又该如何计算它呢？首先，我们来了解一下刚体。

刚体是指在任何情况下，其形状和大小都不会发生改变的物体。

比如说，一个坚固的金属圆盘或者一个实心的球体，在我们所研究的问题中都可以被视为刚体。

而转动惯量呢，简单来说，它是衡量刚体绕某一轴转动时惯性大小的物理量。

就好像质量是衡量物体平动惯性大小的物理量一样，转动惯量则是针对转动的惯性而言。

想象一下，有两个质量相同的圆盘，一个是实心的，一个是空心的。

当我们要使它们以相同的角速度转动起来时，会明显感觉到让空心圆盘转动更费力。

这是因为空心圆盘的转动惯量比实心圆盘大，所以它对于转动的“抵抗”更强。

接下来，我们看看转动惯量的计算公式。

对于一个由多个质点组成的刚体，绕某一轴的转动惯量可以通过积分来计算。

但在实际应用中，对于一些常见的规则形状的刚体，我们有一些简单的公式可以直接使用。

例如，对于一个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘，绕其中心轴的转动惯量为 I ＝ 1/2 m r^2 。

再比如，对于一个长度为 L、质量为 m 的均匀细棒，绕通过一端且垂直于棒的轴的转动惯量为 I ＝ 1/3 m L^2 。

那么，这些公式是怎么来的呢？以均匀圆盘为例，我们可以把圆盘看作是由无数个环形的小质点组成。

每个小质点到中心轴的距离不同，其对转动惯量的贡献也不同。

通过积分运算，就可以得到整个圆盘的转动惯量公式。

在计算转动惯量时，需要注意的是，转动惯量不仅取决于物体的质量，还与质量的分布以及转轴的位置有关。

同一个刚体，绕不同轴的转动惯量通常是不同的。

比如说，一个长方体的木板，绕其中心对称轴的转动惯量与绕其一个短边的转动惯量就不一样。

而且，如果在刚体上增加或者去掉一部分质量，转动惯量也会相应地发生改变。

在实际问题中，我们经常会遇到需要计算复杂形状刚体的转动惯量。

刚体转动惯量公式及计算方法

刚体转动惯量计算公式

刚体的转动惯量

各类刚体转动惯量公式的推导

刚体转动惯量计算方法

刚体定轴转动定律公式

转动惯量合成公式

各类刚体转动惯量公式的推导

刚体转动惯量计算方法

力学中的转动惯量与角动量

转动惯量与功率计算公式

转动惯量

最全的转动惯量的计算(经典实用)

刚体转动惯量计算方法

转动惯量与质点转动

各类刚体转动惯量公式的推导

理论力学第3节 刚体对轴转动惯量的计算

刚体对轴的转动惯量的计算

几种常见刚体的转动惯量

刚体的转动惯量计算

理论力学第3节刚体对轴转动惯量的计算