轴对称和平移知识点总结
轴对称和平移知识点
轴对称和平移知识点轴对称和平移是数学中重要的几何变换，它们在日常生活中的应用广泛存在。
无论是建筑设计、绘画艺术还是机械制造，轴对称和平移都发挥着重要的作用。
首先，我们来看轴对称。
轴对称是指图形相对于某条轴线对称。
轴对称的图形，在轴线两侧的各个点关于轴线位置对称。
这种对称性的特征在自然界中随处可见，比如花朵、昆虫、人体等。
在建筑设计中，轴对称的运用可以使建筑物更加整齐美观。
另外，在对称性的笔画绘画中，轴对称图形也是重要的构图手法之一。
轴对称还有一个重要的性质是，轴对称的图形与其镜像是重合的，这为对称性的研究提供了便利。
接下来，我们来了解一下平移。
平移是指将一个图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动一段距离。
平移的应用非常广泛，比如我们坐公交车或开车时，车辆的位置在不停地平移。
同样，在建筑设计和绘画艺术中，平移也是基本的构图手法。
通过平移，我们可以产生出规律的重复和变化，使作品更有节奏感和动感。
轴对称和平移在几何学中还有一种密切的联系，那就是轴对称可以通过平移来实现。
具体来说，如果一个图形相对于某条轴线对称，那么它可以通过在轴线两侧进行平移来实现。
这种关系在证明轴对称和平移之间的联系时，非常有用。
通过这种联系，我们可以更加深刻地理解轴对称和平移。
不仅在数学中，轴对称和平移还在日常生活中有许多实际应用。
比如，在机械制造中，许多机械部件需要进行轴对称的制造，以确保其性能稳定。
而在设计家具和服装时，平移是常见的设计手法，以保持整体造型的平衡与美感。
总之，轴对称和平移是数学中重要的几何变换。
轴对称通过某条轴线实现图形的对称，而平移则使图形能够在平面上自由地移动。
它们不仅在数学中有重要应用，而且在日常生活中也有广泛的实际应用。
通过对这两个概念的理解和应用，可以帮助我们更好地探索和理解周围的世界。
旋转平移和轴对称的知识点
旋转平移和轴对称的知识点
嘿，朋友！今天咱来好好唠唠旋转、平移和轴对称这些超有意思的知识点！
先说旋转吧，你就想象一下，一个东西像个小陀螺一样围着一个中心点转圈，这就是旋转啦！比如说，家里的电风扇在呼呼转，那就是在做旋转运动呀！旋转可是有角度的哦，转多少度可是很关键的呢！
平移呢，就好像一个小玩具车在直直地往前跑，没有拐弯，也没有转圈，就是平平地移动。
就像你在操场上笔直地向前走，这就是平移呀！教室里的桌子从这边挪到那边，也是平移呢！
接下来就是轴对称啦！哎呀呀，这就像是有个神奇的镜子，能把一个东西分成两边，两边完全对称，可神奇啦！你看，蝴蝶的翅膀不就是轴对称的嘛！
旋转、平移和轴对称在生活中可到处都是呢！它们可不只是书本上的知识哟！你想想看，那些漂亮的图案、建筑，不都有它们的功劳嘛！它们就像隐藏在生活中的小魔法，让一切变得更有趣、更有秩序！难道不是吗？所以呀，好好了解它们，会发现好多好玩的东西呢！。
《轴对称再认识(一)》轴对称和平移
对称变换在经济学中 的应用
在对称经济学中，对称原则被用来建 立经济模型，从而对经济现象进行分 析和研究。此外，在对称金融学中， 对称变换也被广泛应用于金融衍生品 定价和风险管理等领域。
对称变换的未来展望
随着科学技术的发展，对称变换将在 更多领域得到应用和发展。例如，在 人工智能领域，通过对称变换可以研 究深度学习和神经网络等算法的本质 和结构；在数据科学领域，通过对称 变换可以挖掘数据中的模式和规律； 在生物医学领域，通过对称变换可以 研究分子结构和生物大分子的性质等 。
对称变换在现代数学中的应用
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对称变换在几何学中的应用
对称变换被广泛应用于几何学中，例如在平面几何、立体几何和解析 几何中，通过对称变换可以解决许多问题，如证明定理、求解方程等 。
对称变换在代数中的应用
对称变换也被广泛应用于代数中，例如在矩阵变换、群论和李代数中 ，通过对称变换可以研究问题的本质和结构。
平移和轴对称的关系
平移和轴对称都是图形的基本变换，它们之间存在密切 的关系。例如，可以通过平移将两个图形重合，也可以 通过轴对称将两个图形重合。
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轴对称的实例
生活中的轴对称实例
建筑物
许多建筑物，如中国的故宫、 美国的自由女神像，都利用了 轴对称的设计，使建筑在视觉
上更具美感。
植物
自然界中许多植物也呈现出轴对 称的特点，如向日葵、睡莲等。
轴对称图形的特点
轴对称图形是左右或上下对称的，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等 。
轴对称的判断，通过折叠或比较对应 部分来判断是否为轴对称图形。
常见的轴对称图形
正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、圆形、菱形等 。
轴对称的应用
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形：五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。
(完整版)五上轴对称和平移知识点
知识要点
1、轴对称图形的意义
如果一个图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
2、平移的特点
一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，这种运动现象叫做平移。
图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
3、在方格纸上平移图形的方法步骤
（1）找出原图形的关键点（如顶点或端点）
（2）按要求分别描出各关键点平移后的对应点
（3）按原图将各对应点顺次链接。
4、平移图形或物体时，可以一次平移，也可以多次平移，物体的方向都不会发生改变。
5、运用轴对称设计图案的方法
选好基本图形——画出对称轴——画基本图案的对称图形
6、运用平移设计图案的方法
选好基本图案——确定平移格数（或距离）和方向——按平移格数（或距离）和方向进行平移。
五年级数学上册第二单元 轴对称和平移 知识点+练习
第二单元轴对称和平移轴对称：1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4轴对称图形的法：（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数，而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法：平移、对称1.运用平移设计图案的方法：（1）选好基本图案；（2）根据所选的基本图案确定平移的格数和方向；（3）平移，描出对应点；（4）按顺序连接对应点。
2.运用对称设计图案的方法：（1）先选好基本图案；（2）依据基本图案的特点定好对称轴；（3）选好关键点，并描出关键点的对应点；（4）按顺序连接对应点，画出基本图形的对称图形。
北师大版小学五年级上册数学第2单元《轴对称和平移》1、把图形向右平移7格后得到的图形涂上颜色。
（1）向左平移2格2、把图形向左平移5格后得到的图形涂上颜色。
（2）向右平移5格3、把图形向右平移4格后得到的图形涂上颜色。
4、画出小船向右平移6格后的图形。
5、画出向右平移6格后的图形6、（1）小汽车向（）平移了（）格。
专题16 图形变换之平移与对称(解析版)
专题16图形变换之平移与对称考纲要求:1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.基础知识回顾:知识点一：图形变换1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.知识点二：网格作图坐标与图形的位置及运动图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图形关于原点成中心对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．应用举例:招数一、变换图形的形状问题【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选C.招数二、平面坐标系中的图形变换问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）请写出A1.A2的坐标．【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标．招数三、函数中的图形变换问题【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜yP【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），∴抛物线G1∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB ＜yP＜yA，∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3，招数四、三角形、四边形中图形变换问题【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．【答案】A【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，∴正方形EFGH的边长GF＝＝[∴HF＝GF＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷＝故选：A．【例5】如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC 上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．【答案】或【解析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点落在MH上时，设，由题意可知：，，，，在中，，，解得；如图2中，当点落在GH上时，设，在中，，，，∽，∴，，；综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．招数五、图案设计方案问题【例6】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析．【解析】如图所示方法、规律归纳:1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看能否找出其对称轴或对称中心，再作出判断.2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.实战演练:1.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】如图所示，n的最小值为3，2. 如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．无法计算【答案】A【解析】如下图所示，∵抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S=2．故选A．3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 【答案】D【解析】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．5. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .【答案】.【解析】试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．【解析】DE⊥FG．理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B 的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n ＞0，求m ，n 的值．【答案】（1）26x -；（2）72，1．【解析】（1）令0y =，则212602x x -++=，解得，12x =-，26x =，(2,0)A ∴-，(6,0)B ， 由函数图象得，当0y 时，26x -；（2）由题意得，1(6,)B n m -，2(,)B n m -， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==， 点1B ，2B 在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6()22n n -+-=，1n ∴=， ∴217(1)2(1)622m =-⨯-+⨯-+=， m ∴，n 的值分别为72，1． 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．由B 到B ′，可得方程组：⎩⎨⎧=+⨯=+2023n a m a ，解得：a =12，m =12，n =2． 设F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y x x 2212121 ，解得：⎩⎨⎧==41y x ，即F（1，4）．9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．点B 的坐标为（8，4），将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D ，OD 与BC 交于点E ． （I ）证明：EO=EB ；（Ⅱ）点P 是直线OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点P 的坐标； （Ⅲ）点M 是OB 上任意一点，点N 是OA 上任意一点，若存在这样的点M 、N ，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）P 的坐标为（4，2）或（，）或P （﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，∴DG=，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=+4=．即：AM+MN的最小值为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t ＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.【解析】（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），∴，解得：，直线l1的表达式为y=﹣x+10，解方程组得，∴点P坐标为（8，6）；（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，则点A的坐标为：（，），则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=；如图，当点B在l2直线上时，∵AB=6，∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得，﹣x+10﹣x=6，解得x=，y=﹣x+10=，则点A坐标为（，）则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=，故t值为或；②如图，设直线AB交l2于点H，设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，由①中方法可知：MN=，此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，∵△PMN的面积等于18，∴=18，解得a1=-1，a2=﹣-1（舍去），∴AF=6﹣，则此时t为，当t=时，△PMN的面积等于18.。
《轴对称图形》平移、旋转和轴对称
对于任何一对对称点，它们到对称轴的距离相等，且连线垂直于对 称轴。
旋转与轴对称的关系
一个图形以某点为旋转中心旋转一定角度后与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条旋转中心成轴对称。
轴对称应用
艺术领域
许多艺术作品都利用了轴对称原 理，如建筑、雕塑、绘画等，给
人以美的感受。
自然界中
自然界中许多物体也具有轴对称 性，如叶子、花朵、动物身体等 ，这反映了自然界中一种平衡和
平移的性质
平移不改变图形的形状、 大小和方向，只改变图形 的位置。
平移性质
对应线段相等
平移后得到的图形与原图形对应线段相等。
对应角相等
平移后得到的图形与原图形对应角相等。
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
平移后得到的图形与原图形对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
平移应用
平行四边形的判定
旋转定义
旋转
在平面内，将一个图形绕 一个定点沿某个方向转动 一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
旋转角
图形旋转时转动的角度。
旋转中心
图形旋转时，定点所在的 位置称为旋转中心。
旋转性质
旋转方向：可以是顺时针或逆 时针方向。
旋转角度：可以是任意角度， 但必须是0°的整数倍。
旋转前后图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线 段长度、对应角大小相等。
根据平行四边形对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另 一个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四 边形。
梯形的判定
根据梯形一组对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另一 个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是梯形。
初中数学轴对称知识点总结归纳
初中数学轴对称知识点总结归纳轴对称是几何学中的一个重要概念，关于轴对称的知识在初中数学中有着广泛的应用。
下面是初中数学轴对称的知识点总结归纳。
一、轴对称的定义及性质轴对称即物体围绕条线旋转180度后仍然与原来位置重合。
1.定义：轴对称是指平面内的点、线、图形等围绕条线旋转180度后仍然与原来位置重合。
2.性质：a.旋转中心即轴对称的轴上的任意点保持不动。
b.旋转中心与轴对称的物体上的任意点之间的距离保持不变。
二、轴对称的判断判断一个图形是否轴对称的方法有以下几种：1.观察法：观察图形是否看起来关于条线对称。
2.折叠法：将图形沿着条疑似对称轴对折，观察是否能够将两部分完全重合。
3.旋转法：将图形围绕一个疑似对称轴旋转180度，观察是否与原来位置完全重合。
4.对称性质法：观察图形是否具有对称性质，例如左右对称、上下对称等。
三、轴对称的应用1.确定轴对称图形：a.线段的中点是线段轴对称的轴。
b.两个且只有两个端点在同一直线上的线段是轴对称的轴。
c.两条平行线是轴对称的轴。
d.三个且只有三个顶点都在同一直线上的三角形是轴对称的轴。
e.按顺时针方向给出的相邻边相等的凸多边形是轴对称的轴。
f.所有与自己相似的图形都是轴对称的轴。
2.轴对称图形的性质：a.轴对称图形是左右对称的，即图形的左半部分和右半部分完全一样。
b.轴对称图形的最小单位即轴上的点称为轴对称图形的旋转中心。
c.轴对称图形的每个点的两边都有另一个对称点。
d.轴对称图形上的点与旋转中心距离相等的点是该图形上的点与旋转中心的对称点。
3.构造轴对称图形：a.已知轴对称图形的一部分，可以使用对称性质构造其他部分。
b.可以将点在轴上折叠，或者将线段、角度在轴上旋转，得到图形的对称部分。
四、轴对称图形的操作1.旋转：将轴对称的物体沿着轴旋转180度，使得物体的每个点都与轴上的对称点相重合。
2.平移：将轴对称的物体沿着与轴垂直的平行线平移，使得物体与原来位置的对称关系保持不变。
平移旋转轴对称知识点总结
《平移的奇妙世界》咱们在生活中啊，经常能碰到平移的现象。
比如说，小朋友们玩的滑梯，当你从上面滑下来的时候，其实你整个人就是在做平移运动。
还有那在铁轨上奔跑的火车，一节节车厢沿着笔直的轨道向前，这也是平移。
平移呢，简单来说，就是一个物体沿着直线移动，移动过程中它的形状、大小和方向都不变。
就像我们在纸上画一个小房子，然后把这张纸往左或者往右移动，小房子的样子可一点都没变。
想象一下，你在搬家的时候，把桌子从一个房间推到另一个房间，桌子的每条边、每个角都还是原来的样子，这就是平移在生活中的实际例子。
平移可太有用啦！在建筑工地上，工人师傅用塔吊把建筑材料平移到指定的位置，又快又准。
在工厂里，生产线上的产品通过平移运输，高效又便捷。
所以啊，平移就在我们身边，让我们的生活变得更方便、更有趣！《聊聊平移那些事儿》嘿，朋友！今天咱们来聊聊平移。
你知道吗？平移就像是一个物体在直线上“散步”。
比如说，你在黑板上用直尺画一条直线，然后把一块小橡皮沿着这条直线移动，这小橡皮的移动就是平移。
再想想家里的窗户，当你把它推开或者关上的时候，窗户是不是也是在做平移运动呀？还有啊，我们在电脑上玩拼图游戏的时候，拖动那些小图片，让它们找到正确的位置，这也是平移的一种表现呢。
平移的特点就是物体移动前后，形状、大小和方向都不会改变。
就好像是一个忠实的“卫士”，坚守着物体原本的模样。
平移在生活中的应用可多了去了。
像超市里的货架，工作人员可以轻松地把它们平移来调整布局；停车场里的车辆，也是通过平移来停放得整整齐齐。
怎么样，平移是不是很有趣呀？《平移，你了解多少？》亲爱的小伙伴们，咱们一起来看看平移这个神奇的东西！你有没有玩过那种可以滑动的拼图？当你把一块拼图从一个地方滑到另一个地方，让整个图案变得完整，这就是平移。
再比如说，每天上学坐的公交车，它在路上平稳地行驶，从一个站点到另一个站点，这也是平移哦。
还有家里的抽屉，你把它拉出来，再推进去，抽屉的运动也是平移。
坐标平面内图形的轴对称和平移(基础) 知识讲
坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）责编：杜少波【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______.【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b ＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】(1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x＋a，y)或(x－a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=A△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．。
图形的平移与轴对称
图形的平移与轴对称一、平移把一个图形整体沿着某一条直线方向上移动，会得到一个新的图形，图形的这种变化叫做平移。
特征：图形平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行且相等。
平移后，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同，平移前后的图形全等。
二、轴对称1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，把这条直线叫做对称轴，这个时候，我们说这个图形关于这条直线成轴对称。
2. 轴对称图形的性质（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对称点所连线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（3）成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或者延长线相交，则交点一定在对称轴上。
三、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两端点的距离相等判定：与一条线段两端点距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。
四、经典练习题A．坐标的平移如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）B、轴对称C.轴对称图形D、线段垂直平分线的应用E、利用平移求图形的面积五、总结1.在解答图形平移的问题中，找准平移的方向和平移的距离是最重要的，在平面直角坐标系中求图形平移后的点的坐标，一般遵循“上加下减、左减右加”的原则，这个千万不要跟二次函数的图像平移相混淆，二次函数图象平移的原则是“上加下减，左加右减”。
2.在解答轴对称类的问题时，一般要运用轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分等性质，尤其要特别注意，折叠是一种轴对称，折叠前后图形全等。
3.图形成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念，链各个概念之间也有很密切的关系，图形成轴对称是一种关系，轴对称图形是“图形”。
我们通常会说某两个图形关于某直线对称，或某两个图形成对称轴，又会说某一个图形是轴对称图形。
平移-旋转-轴对称-知识点总结培训资料
旋转180°能否与自身重合
对应点间的连线是否经过同一点，并被这一点平分
各边对应相等
各角对应相等
找对称轴：找一组对应点连线，做其垂直平分线。找两组对应点连线，过两条中点的直线
找对称中心：找一组对应点连线找其中点
两组对应点连线的交点
画法
找关键点
过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应点
垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等。④角平分线的性质：角平分线上任意一点到叫两边的距离相等。⑤对称轴垂直平分对称点间的连线。
多次平移相当于一次平移
两条对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移
线段旋转90°后与原来的位置垂直
两条对称轴相交时，两次轴对称相当于一次旋转。
中心对称一定是旋转对称，旋转对称不一定是中心对称。
平移-旋转-轴对称-知识点总结
第10章知识点总结
轴对称
平移
旋转
中心对称
全等
定义
一个（两个）平面图形沿某条直线对折能够完全重合
平面图形在它所在平面上的平行移动。
决定要素：平移的方向、平移的距离
一个平面图形绕一定点按一定的方向旋转一定的角度的运动。
一个图形旋转180°能与自身重合
能够完全重合的两个图形
表示方法：
图形上每一点都绕同一点按相同的方向和角度旋转
对应点到旋转中心的距离相等
对应边相等，对应角相等，图形的性状大小不改变
连结对应点的线段必然经过对称中心，并被对称中心平分成相等的两部分。
对应边相等，对应角相等
判断方法
沿着某条直线对折看是否重合。
找平移的方向和距离：
找一组对应点，连线即是他平移的方向和距离
平移旋转轴对称的总结归纳
平移旋转轴对称的总结归纳平移、旋转、轴对称是几何学中常见的变换操作，它们在图形的变换中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和轴对称进行总结归纳，以便加深对这些概念的理解。
一、平移平移是指沿着固定的方向和距离，将一个点或者图形在平面内移动。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只是改变了图形的位置。
1. 平移的特点- 平移是一种向量运算，其运算结果仍然是一个向量。
- 平移过程中，所有点的位移矢量都相等。
- 平移可以用向量表示，平移向量的起点为原图形上的一个点，终点为其平移后的位置。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量运算的方式进行表示，如设平移向量为AB，其中A为原图形上的一个点，B为其平移后的位置。
3. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变图形的大小、形状和方向。
- 平移保持图形之间的相对位置关系不变。
二、旋转旋转是指将一个点或者图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
旋转可以改变图形的方向，但保持其大小和形状不变。
1. 旋转的特点- 旋转是一种变换运算，将一个点或者图形按照一定的角度绕固定点旋转。
- 旋转可以用角度来描述，旋转角度可以是正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
- 旋转中心可以是任意点，也可以是图形的某个顶点。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用坐标变换的方式进行表示，如设旋转中心为O，旋转角度为θ，则旋转过程中，点P(x, y)绕点O旋转后的新坐标为P'(x', y')。
3. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变图形的大小和形状。
- 旋转改变图形的方向。
- 旋转保持图形上的点与中心点之间的距离不变。
三、轴对称轴对称是指图形相对于某条直线对称。
对称轴可以是任意直线，轴对称的图形可以通过对称轴翻转得到自身。
1. 轴对称的特点- 轴对称是一种空间变换，将图形相对于某条直线进行翻转。
- 轴对称的图形具有镜像对称性，即沿对称轴折叠后，两侧图形完全一致。
2. 轴对称的表示方法轴对称可以使用对称关系进行表示，如设对称轴为l，点P关于l的对称点为P'，则P'与P关于l对称。
坐标平面内图形的轴对称和平移
第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移学习目标1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化.2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系.3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标.4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形.知识点01 坐标平面内图形的轴对称在直角坐标系中，点(a,b )关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b ),关于y 轴的对称点的坐标为(-a,b).1. 关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数2.关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变知识点02 坐标平面内图形的平移平移：上加下减，右加左减考点01 坐标平面内图形的轴对称【典例1】已知点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，那么a +b ＝ ﹣1 ．【思路点拨】关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a ，b 的值．【解析】解：∵点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，∴，解得，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【即学即练1】平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．【思路点拨】（1）根据点A 、B 、C 的坐标及坐标的概念描点即可；（2）根据三角形的面积公式求解可得；（3）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解析】解：（1）如图所示，点A 、B 、C即为所求；能力拓展（2）△ABC的面积为：＝5；（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．考点02 坐标平面内图形的平移【典例2】用（﹣2，4）表示一只蚂蚁的位置，若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，则此时这只蚂蚁的位置是（ ）A．（1，6）B．（﹣5，2）C．（1，2）D．（2，1）【思路点拨】根据平移规律解答即可．【解析】解：自点（﹣2，4）先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，此时这只蚂蚁的位置是（﹣2+3，4﹣2），即（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【即学即练2】三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）分别写出下列各点的坐标：A （1，3） ，A′ （﹣3，1） ；（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 （x﹣4，y﹣2） ．（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？【思路点拨】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的规律解决问题即可；（3）根据平移变换的性质解决问题．【解析】解：（1）A （1，3），A ′（﹣3，1）．故答案为：（1，3），（﹣3，1）；（2）∵△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′，∴P （x ，y ）的对应点P ′（x ﹣4，y ﹣2），故答案为：（x ﹣4，y ﹣2）；（3）△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称关系【思路点拨】直接利用关于关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解析】解：∵点A （3，2）与点B （3，﹣2），横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是关于x 轴对称．故选：A．分层提分【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（6，3）D．（﹣6，﹣3）【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【解析】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得a＝﹣2，b＝﹣3，再代入计算即可．【解析】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．若点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解析】解：∵点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，∴2a＝4，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．5．把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（ ）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）【思路点拨】根据平移的基本性质，向上平移a，纵坐标加a，向右平移a，横坐标加a；【解析】解：∵A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，∴1+2＝3，﹣2﹣3＝﹣5；点B的坐标是（﹣5，3）．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y），①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b），①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．6．在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（ ）A．﹣5B．3C．﹣4D．4【思路点拨】根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，即可求解．【解析】解：∵直线PQ∥y轴，∴P，Q横坐标相等，∴a＝4，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等是解题的关键．7．如图，将线段AB向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【思路点拨】利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可．【解析】解：如图，观察图象可知点A′的坐标是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴．（1）m＝ ﹣2 ；（2）点M关于y轴对称的点的坐标为 （3，﹣3） ．【思路点拨】（1）根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解析】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴，∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．9．△ABC的三个顶点坐标分别是A（a，5），B（7，b），C（4，9），将△ABC平移后得到△A1B1C1，其中A1（3，8），B1（6，3），则点C1的坐标是 （3，12） ．【思路点拨】由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，由此可得结论．【解析】解：由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，∴C1（3，12）．故答案为：（3，12）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．已知点A（a﹣3，a2﹣4），求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）已知点B（2，5），且AB∥x轴．【思路点拨】（1）根据x轴上的点的坐标特征可得a2﹣4＝0，求出a的值，进一步可得点A的坐标；（2）根据AB∥x轴，可得a2﹣4＝5，求出a的值，进一步可得点A的坐标．【解析】解：（1）∵点A在x轴上，∴a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（2）∵AB∥x轴，∴a2﹣4＝5，∴a＝3或a＝﹣3，∴点A坐标为（0，5）或（﹣6，5）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系内坐标轴上的点和平行于坐标轴的点的坐标特征是解题的关键．11．如图在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2） ．（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为 （2，0） ．（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用四边形ABCD所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示：D（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C（2，0）；故答案为：（2，0）；（3）如图所示：四边形ABCD的面积为：4×5﹣×1×4﹣×5×2＝13．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．题组B 能力提升练12．若点A（6，6），AB∥x轴，且AB＝2，则B点坐标为（ ）A．（4，6）B．（6，4）或（6，8）C．（8，6）D．（4，6）或（8，6）【思路点拨】根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等，点B的纵坐标为6，根据AB＝2分两种情况求点B的坐标即可．【解析】解：∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等，∴点B的纵坐标为6，∵AB＝2，∴当点B在点A左侧时，B（4，6）；当点B在点A右侧时，B（8，6）；故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等是解题的关键．13．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）【思路点拨】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．【解析】解：如图，观察图像可知，B′（1，1）．故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．14．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（ ）A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【思路点拨】首先根据纵坐标上移加，下移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解析】解：将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（2，﹣1+4），即（2，3），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，3）．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）A．a＞B．a＜C．a＜﹣1D．﹣1＜a＜【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，故，解得a＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中有A（m，3），B（4，n）两点，若直线AB平行于y轴，且AB＝4，则m+n＝ 3或11 ．【思路点拨】先根据直线AB平行于y轴可得出m＝4，再由AB＝4可得出n的值．【解析】解：∵点A（m，3），B（4，n），直线AB平行于y轴，∴m＝4．∵AB＝4，∴|3﹣n|＝4，解得n＝﹣1或7．∴m+n＝4﹣1＝3，或4+7＝11故答案为：3或11．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．17．已知点M（3，﹣2）与点M'（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是 （4，﹣2）或（﹣4，﹣2） ．【思路点拨】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标．【解析】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y＝﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．【点睛】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解．18．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 0 ．【思路点拨】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解析】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得（舍去），，∴4a+b＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键．题组C 培优拔尖练19．在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4【思路点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．【解析】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），由题意，，解得，故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【思路点拨】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等．22．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，∴，解得，∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．23．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）A．①④B．②③C．①③④D．①②④【思路点拨】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③到点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．【解析】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，故①符合题意；②∵m2≥0，∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），∴P点共有4个，故③不正确；④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），∴M、N两点在y＝3的直线上，∴MN∥x轴，故④符合题意；故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．25．如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为 （8085，） ．【思路点拨】作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，则∠B3KE＝60°，B3K＝2，∴KE＝B3K＝2，B3E＝B3K＝2，∴OE＝3×4﹣2＝10，∴K（8，0），B3（10，2）．∴M′（9，）．由图象可知，翻滚三次为一个循环，∵2022＝3×674，∴翻滚2022次后AB 中点M 的纵坐标与点M ′的纵坐标相同，横坐标为2022×4﹣3＝8085，∴翻滚2022次后AB 中点M 的坐标为（8085，）．故答案为：（8085，）．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．26．如图①，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （b ，0），点C （0，2），且|a +2b |+＝0．（1）求点A ，B 的坐标；（2）将三角形ABC 平移，平移后点C 的对应点的坐标为（7，6），点B 的对应点为点D ，如图②．求三角形ACD 的面积；（3）P （m ，3）是一动点，若三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，求出点P 的坐标．【思路点拨】（1）由|a +2b |+＝0，根据非负数的性质可得出a 和b 的值，即可确定点A 和B 的坐标；（2）连接OD ，根据S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC 计算即可求解；（3）根据三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，列出方程计算即可求解．【解析】解：（1）∵|a +2b |+＝0，∴，解得．故点A （4，0），点B （﹣2，0）；（2）∵将三角形ABC 平移，平移后点C （0，2）的对应点的坐标为（7，6），∴三角形ABC 是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴三角形ABC 平移后点B （﹣2，0）的对应点D 的坐标为（5，4），连接OD ，∴S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC＝×4×4+×2×5﹣×4×2＝9；（3）依题意有：×2|m|＝×4×2，解得m＝±4，故点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，关键是能根据|a+2b|+＝0的非负性确定a和b的值，求出点A，B的坐标．27．在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 （5，﹣1） ；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．【思路点拨】（1）根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．【解析】解：（1）∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（2，3），∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴B（1，﹣3）的对应点B'的坐标为（1+4，﹣3+2），即（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）；（2）m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），∴3m﹣m＝6n﹣2n，∴m＝2n；（3）∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），∴2n﹣5﹣m＝2m+3﹣（n﹣1），2m+3﹣（n+1）＝（n+3）﹣（n﹣2），解得m＝6，n＝9，∴点A的坐标为（6，10），点B的坐标为（8，7）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．28．我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P k成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是P k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．【思路点拨】（1）构建方程组求解即可；（2）构建不等式组解决问题即可；（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．【解析】解：（1）由题意，解得，，∴P（﹣1，2）；（2）由题意，，解得，t＞﹣；（3）由题意，，解得，，∵x＜y＜2x，∴＜＜，解得，＜k＜5，∵k是正整数，∴K＝2或3或4，∴或或，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．。
第六单元 平移、旋转和轴对称(复习课件)三年级数学上册期末核心考点(苏教版)
有4条对称轴，
有无数条对称轴。
故选：D。
考点精讲练
考点02
确定轴对称图形的对称轴条数及位置
【真题强化】（2023秋•岷县期中）如图所示是轴对称图形的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
点拨：根据轴对称图形的概念：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，由此对各图形 分析判断后即可求解．
）运动后可变成图形B。
点拨：根据图形的旋转和平移知识，图形A经过绕Q点顺时针旋转90°，再向下平移2格运动后可变成图形B，据此解答即可。
解：图形A经过绕Q点顺时针旋转90°，再向下平移2格运动后可变成图形B。 故选：B。
考点精讲练
考点10 作旋转一定角度后的图形
【真题强化】（2023秋•庆云县期中）按要求画一画。 ①画出梯形绕A点顺时针旋转90°后的图形。 ②把平行四边形向右平移6格，画出平移后的图形。 ③把如图所示图形补全，使它成为一个轴对称图形。
解：如图，图形甲先向右平移3格，再向下平移3格才能将最下面一行填满。 故选：C。
考点精讲练
考点07 平移的概念
【真题强化】（2023春•吉利区期末）如图，由图A到图B是向
平移了
格，由图B到图C是向
平移了
格．
点拨：根据图中两图的相对距离及箭头指向即可确定平移的方向和距离，所以图A到图B是向 右平移了 6格，由图B到图C是向 下平移了 2格；由此解答即可．
点拨：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，结合题意分析分析解答即可。
解：图一中左侧的图形先向下平移2格，再向右平移3格就得到右侧的图形。图二中左侧的图形先向上平移3格，再向右平移 3格就得到右侧的图形。 故答案为：下，2，右，3，上，3，右，3。
《平移》轴对称和平移
平移和轴对称是几何学中非常重要的两种变 换，它们在解决几何问题、设计几何图案等 方面有着广泛的应用。通过平移和轴对称， 可以将一个图形变成另一个图形，从而方便 解决一些几何问题。
平移和轴对称在其他学科 中的应用
除了在几何学中有广泛的应用，平移和轴对 称在其他学科中也有广泛的；在工程学中，平移和轴对称被用来设 计建筑结构、机械部件等；在计算机科学中 ，平移和轴对称被用来进行图像处理、计算
在几何学中，平移被广泛应用于图 形的变换和构造。
在物理学中，平移被用于描述物体 的运动和力的传递。
在日常生活中，平移也经常被用来 进行物体的移动和搬运。
在计算机图形学中，平移被用于实 现图形的位移和动画效果。
02
轴对称的定义和性质
轴对称的定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称在物理学中的应用
轴对称在物理学中也有广泛的应用，如晶体结构、电磁场、光学等。晶体结构中的对称性可以描述晶 体的空间排列，电磁场中的对称性可以描述电磁波的传播特性，光学中的对称性可以描述光的反射和 折射等。
平移和轴对称在艺术和设计中的应用
平移在艺术和设计中的应用
在艺术和设计中，平移也被广泛应用于各种场景，如建筑设计、平面设计、服装设计等。建筑设计中的平移可 以描述建筑物的空间排列，平面设计中的平移可以描述图形的排列和组合，服装设计中的平移可以描述服装的 花纹和图案。
轴对称的意义
轴对称是指将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫 做对称轴。轴对称是一种常见的几何变换，也是图形的基本 性质之一。
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第二单元轴对称和平移
轴对称：
1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4轴对称图形的法：
（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；
（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；
（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；
（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：
1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：
（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：
（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数，而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法：平移、对称
1.运用平移设计图案的方法：
（1）选好基本图案；（2）根据所选的基本图案确定平移的格数和方向；
（3）平移，描出对应点；（4）按顺序连接对应点
2.运用对称设计图案的方法：
（1）先选好基本图案；
（2）依据基本图案的特点定好对称轴；
（3）选好关键点，并描出关键点的对应点；
（4）按顺序连接对应点，画出基本图形的对称图形。