函数总复习

函数总复习

一、内容综述：

四种常见函数的图象和性质总结

图象特殊点性质一

次函数与x轴交点

与y轴交点（0，b）

(1)当k>0时，y随x的增大

而增大；

(2)当k<0时，y随x的增大

而减小.

正比例函数

与x、y轴交点是原点

(0,0)。

(1)当k>0时，y随x的增大

而增大，且直线经过第一、三象

限；

(2)当k<0时，y随x的增大

而减小，且直线经过第二、四象

限

反比例函数

与坐标轴没有交点，

但与坐标轴无限靠近。

(1)当k>0时，双曲线经过第

一、三象限，在每个象限内，y

随x的增大而减小；

(2) 当k<0时，双曲线经过

第二、四象限，在每个象限内，

y随x的增大而增大。

二

次函数

与x轴交点或

，其中是方

程的

解，与y轴交点，

顶点坐标是

(-,)。

(1)当a>0时，抛物线开口向

上，并向上无限延伸；对称轴是

直线x=-, y最小值=。

(2)当a<0时，抛物线开口向

下，并向下无限延伸；对称轴是

直线x=-, y最大值=

注意事项总结：

1．关于点的坐标的求法：

方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和

y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。

2．对解析式中常数的认识：

一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点

式”y=a(x-h)2+k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”

求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

二、例题分析：

例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。

分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。

解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，

∴n=-m+1, ∴m+n=1.

设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,

∴x12+x22=1,

又∵x1+x2=-m, x1x2=n,

∴(x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1

由解这个方程组得：或。

把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,

x2-3x+4=0, Δ<0.

∴m=-3, n=4(舍去).

把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,

x2+x=0, Δ>0

∴点N（2，-1），

把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.

∴点N（2，-1）不在图象y=-上。

说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程

中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。

例2．直线y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y 轴的距离为2，求此抛物线的解析式。

分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。

解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，

由解这个方程组，得x=±1.

∴当x=1时，y=-1.

当x=-1时，y=1.

经检验：，都是原方程的解。

设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。

又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，当对称轴为直线x=2时，

设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1），∴解方程组得

∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-

即y=x2-x-.

当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,

则有解方程组得，

∴抛物线解析式为y=-(x+2)2+

y=-x2-x+.