高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5

3.3排序不等式
一、教学目标
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．
四、教学难点
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．
五、教学过程
（一）导入新课
某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.
所以最少花费为19元，最多花费为25元．
【答案】19 25
（二）讲授新课
教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和．
教材整理2 排序不等式
设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．
（三）重难点精讲
题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab
；
(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c
2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1
b
.
又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1
ca ，
同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1
c
， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1
ab
，
从而1bc ≥1ca ≥1ab
.
(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1
ab
>0且a ≥b ≥c >0，
∴
1
b 2c
2
≥
1
c 2a
2
≥
1
a 2b
2
，a 2
≥b 2≥c 2
.
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
a 2
b 2
c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c
2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
[再练一题]
1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2
c
3.
【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5
≥b 5
≥c 5
， 1
c ≥1b ≥1
a
＞0.
∴1bc ≥1ac ≥1ba
，
∴
1
b 3c
3≥
1
a 3c
3≥
1
b 3a 3
，由顺序和≥乱序和得
a 5
b 3
c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5
b 3a 3 ＝b 2
c 3＋c 2a 3＋a 2
b
3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c
3. 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明
例2设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3
ab
.
【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；
(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．
【自主解答】 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3
≤b 3
≤c 3
， 0<1
bc ≤1ca ≤1
ab
，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得
a 3·1ca ＋
b 3·1ab ＋
c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，
a 3·1
ab ＋b 3·1
bc ＋c 3·1
ca ≤a 3·1
bc ＋b 3·1
ca ＋c 3·1
ab
. 将上面两式相加得
a 2＋
b 2
c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 3bc ＋
b 3ca ＋
c 3
ab ， 将不等式两边除以2，
得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab
.
规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
[再练一题]
2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n
a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n .
【证明】 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则
a 21≤a 22≤…≤a 2
n ，1a 1≥1a 2≥…≥1
a n
.
由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以
a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n . 题型三、利用排序不等式求最值
例3 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cC
a ＋
b ＋c
的最小
值(A ，B ，C 用弧度制表示)．
【精彩点拨】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解． 【自主解答】 不妨设a ≥b ≥c ， 则A ≥B ≥C . 由排序不等式，得
aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，
将以上三式相加，得
3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )， 当且仅当A ＝B ＝C ＝π
3时，等号成立．
∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π
3，
即
aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π
3
.
规律总结：
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．
2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值． [再练一题]
3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2
x
的最小值．
【解】 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2
，1z ≥1y ≥1x
.
由排序不等式，乱序和≥反序和．
x 2y ＋y 2z ＋z 2
x
≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2
·1z
＝x ＋y ＋z .
又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2
x
≥1，
当且仅当x ＝y ＝z ＝1
3
时，等号成立．
故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2
x
的最小值为1.
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
【精彩点拨】 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．
【自主解答】 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小． 规律总结：
1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．
2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
[再练一题]
4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少． （四）归纳小结
排序不等式—⎪⎪⎪
—反序和、乱序和、顺序和
—排序原理
—排序原理的应用
（五）随堂检测
1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N C．M<N D.M≤N
【解析】由排序不等式，知M≥N.
【答案】 B
2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D.P≤Q
【答案】 B
3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.
【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，
∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
【答案】32 28
六、板书设计
七、作业布置
八、教学反思。