高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式各种形式地证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式论在高中应用论文
柯西不等式在高中阶段的应用摘 要：本文主要介绍了在高中阶段利用柯西不等式在证明等式，不等式和求函数最值方面的应用。
关键词：柯西不等式 、等式、不等式、最值、技巧、应用一、引言在高中数学研究中，我们发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，人们称它们为经典不等式，柯西不等式 就是这样的不等式。
2012年湖北省高考的选择题第6题就考到了利用柯西不等式求值问题。
首先我们来看一下柯西不等式定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122(++)(+)()n n n n a a a b b b a b a b a b +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
二、柯西不等式在解等式、不等式、最值等方面的应用。
1 利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例1、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。
本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。
应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。
具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。
利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。
当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。
应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。
给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。
利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。
当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。
应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。
具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。
利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。
当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。
应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。
具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。
柯西不等式在高中数学中的运用(学生论文)
柯西不等式在高中数学中的运用南充一中高2014级9班 尹超 指导老师：蒲有顺在不等式的世界中，可以说是千变万化，在这里我想与大家分享柯西不等式带来的无穷快乐。
一、通过构造二次函数恒不小于零来解决问题 f(x)=(a 1x-b 1)2+(a 2x-b 2)2+、、、+(a n x-b n )2≥0f(x)=（a 21+a 22+、、、+a 2n ）x 2-2(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )x+(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥0 欲使其恒成立，那么∆=4(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2-4（a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≤0则 （a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2 当且仅当x=11b a =22b a =、、、=nn b a 时，取“=”成立 大家请看这就是最原生态的柯西不等式了哦二、下面请跟随我一起来体验柯西不等式的乐趣吧！ 例题1：已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1,求a1+b4+c9的最小值。
解答：根据上述的方法可以构造如下： f(x)=(a1x-a )2+(b2x-b )2+(c3x-c )2=（a1+b4+c9）x 2-12x+(a+b+c)≥0恒成立，那么∆=144- 4（a1+b4+c9）(a+b+c)=144- 4（a1+b4+c9）≤0 则a1+b4+c9≥36当且仅当a=61,b=31,c=21时，取“=”成立 故（a1+b4+c9）min =36这办法超前意识很好，具有很强的操作性，值得大家学习。
在以后的学习中希望不断探索。
（此题也可以用均值定理） 例题2：已知a,b,c 都是正实数，比较cb a+2+ac b+2+ba c+2与2cb a ++的大小证明：根据题中的特点可以构造如下函数： f(x)=(cb a +x-c b +)2+(c a b +x-c a +)2+(ba c +x-b a +)2≥0那么f(x)=(cb a+2+a c b+2+b a c+2)x 2-2(a+b+c)x+2(a+b+c) ≥0则∆=4(a+b+c)2-4（cb a+2+ac b+2+ba c+2）∙2(a+b+c) ≤0又因为a,b,c 都是正实数故cb a+2+ac b+2+ba c+2≥2cb a ++小试牛刀设a,b,c,d 都是正实数，且a+b+c+d=1,比较14+a +14+b +14+c +14+d 与6的大小。
柯西不等式的证明、推广和应用
专 题 研 究
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பைடு நூலகம்
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柯 西不等式的证明、 推广和应用
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【 摘要】 文详细讨论 了柯西不等式的多种不 同的证 明 本
方 法 ， 柯 西 不 等 式进 行 了深 入 理 解 ， 进 一步 地 去 研 究 了 对 并 柯 西 不 等 式 的 几 种 特 殊 的推 广 形 式 ， 且 通 过 列 举 一 系 列 而 范例 揭 示 柯 西 不 等 式 在代 数 、 何 、 最 值 、 导 公 式 、 际 几 求 推 国 数 学 竞 赛 等 各 方 面 的 广 泛 应 用．
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就是 我们 所 说 的 Ｌ ｇａ ｇ 等 式 ． 此 Ｃ ｕ ｈ 不 等 式 ａｒｎ ｅ恒 因 ａ ｃｙ 可 由 Ｌ ｇａ ｇ ａｒｎ ｅ恒等 式 推 导 得 到 ， 以有 时也 称 它 为Ｌ ｇａ ｇ 所 ａ ｒｎ ｅ
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柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文
柯西不等式在高中数学中的应用及推广［摘要］本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用。
同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西(Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明;不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子。
在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重。
而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用。
2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指()n i b a b a ni i n i i n i i i →=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===2,1121221 (1）当且仅当122n ina a ab bb===时，等号成立。
2。
1 构造二次函数证明首先 当120n a aa ====或120n b b b ====时，不等式显然成立.令22111,,nnni i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑当1,2,na aa中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()222,f x Ax Bx C =++展开得()()()22221120nnii i iiii i f x a x a b x ba xb ===++=+≥∑∑故()f x 的判别式2440B AC ∆=-≤，移项得2AC B ≥，得证。
2.2 向量法证明令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==则对向量αβ，有()1,cos ≤=⋅⋅⋅βαβαβαβα 2222112211,,nnn n i i i i a b a b a b a b αβαβ==⋅=++==∑∑得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当()cos ,1αβ=，即,αβ平行式等号成立。
柯西不等式的证明及应用
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柯西不等式的证明及应用
作者：胡向斌
来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第26期
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词：柯西不等式；证明；应用
参考文献：
[1]柯西不等式的微小改动 [J]数学通报2002 第三期
[2]柯西不等式与排序不等式[M]南山湖南教育出版社
[3]普通高中解析几何[M]高等教育出版社
（作者单位：甘肃省榆中县第一中学730100）。
柯西不等式的证明及相关应用
柯西不等式的证明及相关应用一、柯西不等式的证明：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)证明过程如下：1. 首先构造一个关于t的二次函数f(t) = (at - b)^2，其中a和b为任意实数。
2. 将函数f(t)进行完全平方，得到f(t) = a^2t^2 - 2abt + b^23.根据二次函数的性质，可以发现f(t)≥0，即二次函数的图像在t轴上方或与t轴相切。
4.根据二次函数的图像性质，我们可以得到二次函数在顶点处取到最小值。
5.通过求解f(t)对t的导数等于0，得到当t=b/a时，函数f(t)取到最小值。
6. 将f(t)中的a和b代换成数列a和b的对应元素，我们得到f(t) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
7. 将t = b/a = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)代入f(t)，得到f(t) ≥ 0，即(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
8. 由于a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数，因此柯西不等式成立。
二、柯西不等式的应用：1.判定正交性：对于向量空间中的两个向量a和b，根据柯西不等式的等号情况可以判断a和b是否正交。
当且仅当(a·b)^2=，a，^2*，b，^2时，向量a和b正交。
2. 证明向量的长度：根据柯西不等式，可以推导出向量的长度公式。
设向量a = (a1, a2, ..., an)，则有，a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。
论文：柯西—施瓦茨不等式的证明及其应用
摘要柯西—施瓦茨不等式是数学学科中应用较为广泛的一类重要不等式,常常作为重要的基础去架设条件与结论之间的桥梁.柯西—施瓦茨不等式可以证明,推广其它不等式和解竞赛题,而且它也是发现新命题的重要工具.文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法证明了柯西—施瓦茨不等式,介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的表现形式以及柯西—施瓦茨不等式的推广,并且给出了它在初等数学,欧式空间,微积分,级数及概率论中的一些应用.灵活巧妙地运用柯西—施瓦茨不等式,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决,甚至可以得到一步到位的效果.关键词:柯西—施瓦茨不等式;向量;积分;级数;推广The Proof and Application of Cauchy -Schwartz Inequality 09404222 LIANG Xiao-wen Mathematics and Applied MathematicsFaculty adviser ZHANG An -lingAbstractCauchy-Schwartz inequality is a kind of important inequality which is widely used in mathematics,and it is often as an important basis to set up the bridge between condition and conclusion.Cauchy-Schwartz inequality can prove and promote other inequalities and solve contest questions,at the same time it is also the important tool to discover new propositions. The paper mainly uses one-variable quadratic inequality, quadratic equation in one unknown and vector to prove the Cauchy-Schwartz inequality, and this paper introduces the forms of Cauchy-Schwartz inequality in real number field, complex number field, euclidean space, calculus and probability theory and the promotion of Cauchy-Schwartz inequality , and the paper gives some applica- tions of Cauchy-Schwartz inequality in elementary mathematics,euclidean space, calculus, series and probability ing the Cauchy-Schwartz inequality flexibly can make some relatively difficult problems get more simple to slove and can even get an one-off effect.Key words: Cauchy-Schwartz inequality; vector; integral; series; promotion目录1 引言............................................. 错误！未定义书签。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的证明及应用
柯西不等式的证明及应用(a1² + a2² + …… + an²) * (b1² + b2² + …… + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + …… + anbn)²首先，我们定义一个函数f(t) = (t * a1 + b1)² + (t * a2 +b2)² + …… + (t * an + bn)²。
这个函数是一个关于t的二次函数。
接着，我们考虑函数f(t)的值。
由于二次函数的图像形状是一个抛物线，则f(t)的值必然大于等于零。
也就是说，对于任意的t，f(t)≥0。
当函数f(t)的值等于零时，抛物线与横坐标轴相切或相交。
我们可以根据这个条件来求解t的取值。
设函数f(t)的值等于零时的t值为t0，则有以下等式成立：(t0 * a1 + b1)² + (t0 * a2 + b2)² + …… + (t0 * an + bn)² = 0展开左边的平方项，并化简得到：t0² * (a1² + a2² + …… + an²) + 2t0 * (a1b1 + a2b2 + …… + anbn) + (b1² + b2² + …… + bn²) = 0由于左边的各项都大于等于零，所以只有当t0为零时才能使整个等式成立。
也就是说，a1b1 + a2b2 + …… + anbn的平方必大于等于零。
综上所述，我们得到了柯西不等式。
1.已知两个向量的模的乘积，可以获得两个向量之间的夹角的范围。
根据柯西不等式，如果向量a和向量b的模的乘积等于a·b，则夹角的余弦范围在-1和1之间。
2. 柯西不等式可以用于证明一些数列的性质。
例如，对于非负数列{an}，我们可以使用柯西不等式证明其收敛性。
3.柯西不等式还可以用于证明一些积分不等式。
高二数学柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ ()n i Rb a ii 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立设22212ka a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k kka a a ab b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明与应用首先，我们假设有两组实数序列 x1, x2, ..., xn 和 y1, y2, ..., yn ，我们要证明的是：(x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)² ≤ (x1² + x2² + ... + xn²)(y1² + y2² + ... + yn²)我们可以通过数学归纳法来证明柯西不等式。
1.当n=2时，我们有：(x1y1+x2y2)²≤(x1²+x2²)(y1²+y2²)这是由于等式左边是二次多项式的平方，所以一定是非负的。
我们可以展开等式左边并整理得到：(x1y1)²+2x1x2y1y2+(x2y2)²≤x1²y1²+x1²y2²+x2²y1²+x2²y2²可以看出等式两边的差异主要来自于中间的交叉项2x1x2y1y2、由于二次项非负，所以差异总是非负的。
因此，n=2的情况得证。
2.假设当n=k时，不等式成立。
我们要证明当n=k+1时，不等式也成立。
首先，我们取兩個向量 xn = (x1, x2, ..., xk+1) 和 yn = (y1, y2, ..., yk+1)。
根据归纳假设，我们有：(x1y1 + x2y2 + ... + xk+1yk+1)² ≤ (x1² + x2² + ... +xk+1²)(y1² + y2² + ... + yk+1²)现在我们要引入两个新变量 a 和 b，并定义两个新的向量 ak = (x1, x2, ..., xk) 和 bk = (y1, y2, ..., yk)。
那么原始的向量可以表示为xn = (ak, xk+1) 和 yn = (bk, yk+1)。
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用基础知识：定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。
若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是1212n na a ab b b ===……。
我们称不等式（*）为柯西不等式。
证明：1）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数1212,,,a a b b ，恒有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当12210a b a b -=时等号成立。
如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是1212a ab b =。
证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有222222121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当12210a b a b -=时等号成立。
不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式得：|OP|=，|OQ|=|PQ|=设OP 与OQ 的夹角为θ， 由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-==。
因为1cos 1θ-≤≤，所以2cos 1θ≤21≤，即2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立，即OPQ 共线时等号成立。
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用摘要 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较难得问题迎刃而解。
文中给出柯西不等式等几种证明方法，并举例说明柯西不等式在数学中的广泛应用.关键词 柯西不等式； 证明; 应用.中图分类号 O123.11 引言柯西不等式的应用比较广泛，同时与其他科目有很大的联系，因此柯西不等式的研究具有很重要的实际应用意义.本文主要等式文中给出柯西不等式等几种证明方法，并举例说明柯西不等式在数学中的广泛应用.2 预备知识柯西不等式的内容:设有两组数 n a a a ,,,21 和n b b b ,,,21 ，则有))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ , 或简写成))(()(121221∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a , 当且仅当i a 或i b 全为0，或n i R a b i i ,,2,1,, =∈=λλ时取等号.3 柯西不等式的证明方法一： 因为0)(21)())((211211212≥-=-∑∑∑∑∑=====i j n i j i ni n i i i n i i n i i b a b a b a b a ,故原不等是成立.方法二：考查二次函数2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-= ，其中n i a i ,,2,1,0 =≠.将函数解析式展开，有)()(2)()(222212211222221n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f ++++++-+++= ， 注意到0)(≥x f ，对任意R x ∈恒成立，故方程0)()(2)()(222212211222221=++++++-+++=n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f ,判别式0≤∆，从而得 ))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ , 当且仅当 b x a b x a b x a n -==-=- 21, 即nn a b a b a b x ==== 2211，等号成立，故得证. 方2212211)111(n a a a a a a n n =⨯++⨯+⨯≥ ,当且仅当121====n a a a 时，取等号.例2 如果1=++z y x ，求222z y x ++的最小值. 解：31)111(31)111)((312222222222=⨯+⨯+⨯≥++++=++z y x z y x z y x , 当且仅当z y x ==时，等号成立.所以，所求的最小值为31. 4.2 在证明不等式方面的应用例1 已知07522≤+++y x y x ,证明：2533533325-≤+≤--y x . 证明 由已知得474)27()25(22≤+++y x . 由柯西不等式得27)27()25()53()27(5)25(322222≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++y x y x , 两边平方，得33)27(5)25(3≤+++y x ， 所以2533532533-≤+≤--y x ，得证.例2 已知正数c b a ,,满足1=++c b a ，求证：3100)1()1()1(222≥+++++c c b b a a . 证明 有柯西不等式，可得2222222)1()1()1()111()1(1)1(1)1(1c c b b a a c c b b a a +++++++≤+⨯++⨯++⨯， 因为1=++c b a ，所以2222)1111(31)1()1()1(cb ac c b b a a +++≥+++++, 又由于c b a ,,都是正数，且 9133)1111)((33=⨯≥+++++abcabc c b a c b a . 所以 3100)91(31)1()1()1(2222=+≥+++++c c b b a a . 4.3 在几何上的应用例 已知绘室平面为α，0=+++D Cz By Ax ，点),,(000z y x M . 求证：点M 到平面α的距离为222000C B A DCz By Ax d +++++=..柯西不等式在理论中有很重要的地位，充分灵活地应用柯西不等式，会使问题更加方便快捷.参 考 文 献[1] 李玉琪,初等代数研究[M],北京:中国矿业大学出版社出版,1986,8:45.[2] 李凋惠,一类不等式的证明[J],数学通报, 2000（8）.[3] 杜座山,柯西不等式的一些应用[J],1982（1）.。
柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用。
说明：不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。
本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解题中的应用。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 221()ni i i i ia ab b =≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则21()ni i i i i ia ab a b =≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()n n n niji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111n n n ni ji i j ji j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 2111()02n ni j j i i j a b a b ===-≥∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即 (2222222)11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -== 即…………(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠时等号成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各样形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分nnn2析中的“流数”问题时获得的。
但从历史的角度讲，该不等 a k 2 b k2a kb k式应该称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，由于，k 1k 1 k1正是后两位数学家相互独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完美的地步。
柯西不等式特别重要，灵巧奇妙地应用它，能够使一些较为困难的问题水到渠成。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面获得应用。
一、柯西不等式的各样形式及其证明二维形式在一般形式中， 令 n 2, a 1 a, a 2 b,b 1 c,b 2d ，得二维形式a 2b 2c 2d 2ac bd 2等号成立条件： ad bc a / b c / d扩展： a 12a 22 a 32a n 2b 12b 22b 32 b n 2a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3a nb n 2当 a i或时， a i 和 b i 都等于 ， 等号成立条件：0 ba 1 :b 1 a 2 : b 2a n: b n不考虑 a i : b i ,i1,2,3, , n二维形式的证明：a 2b 2c 2d 2a, b, c, d Ra 2 c 2b 2 d 2 a 2 d 2 b 2c 2a 2 c 22abcdb 2 d 2 a 2d 2 2abcdb 2c 2acbd 2ad2bcac bd 2等号在且仅在 ad bc 0即 ad =bc 时成立三角形式a 2b 2c 2d 22 2a cb d等号成立条件： ad bc三角形式的证明 ：a 2b 2c 2 2a 2b 2c 2d 2 2 a 2 b 2 c 2 d 2d 2a 2b 2c 2d 2 2 acbd注： 表示绝对值a 2 2ac c 2b 2 -2bd d 2a 2b d 2c两边开根号，得a 2b 2c 2d 2a 22c b d向量形式， = a 1, a 2 , a 3 ,a n ,b 1, b 2 ,b 3 , b nn N , n 2等号成立条件：为零向量，或=R向量形式的证明 ：r ur令 m= a 1, a 2 , a 3 ,L , a n , n b 1, b 2 ,b 3,L , b nur r ur r L ur rm n a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a n b n m n cos m, na 12 a 22a 32 L a n 2b 12 b 22 b 32 Lb n 2 ur rcos m , nur r 1 Q cos m, nab a b a b L a ba 2 a 2a 2 L a 2b 2b 2 b 2 L b 21 12 23 3n n123n123n一般形式nnn222a kb ka kb kk 1k 1k 1等号成立条件： a 1 : b 1 a 2 : b 2a n :b n ，或 a i 、 b i 均为零。
柯西不等式的证明及应用
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221nn b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a ii2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120nn a a a +++≥()()()044222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a bb a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++2C AB ≥∴则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式的证明和应用
摘要：柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式灵活多样.虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美.本文归纳总结了它的几种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的一些形式，证明方法和应用，所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.关键词：柯西不等式，证明，联系，应用Abstract:.Cauchy Inequality in mathematics is a very important inequality, which in different fields has different forms. Cauchy Inequality has an extremely wide range of applications in every branch of mathematics and proving. It has many branches of different forms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows the harmony and beauty of mathematics. This article summarizes its several types, proofs and applications in the Elementary Algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variables and probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fully embody the mathematical connection of between fields, penetration and uniformity.Key words:Cauchy Inequality,Proving,Contaction, Application目录1.引言2．柯西不等式的形式和证明2.1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明2.2柯西不等式在数学分析中的形式和证明2.3柯西不等式在高等代数中的形式和证明2.4柯西不等式在复变中的形式和证明2.5柯西不等式在概率论中的形式和证明3.柯西不等式每种形式间关系4.柯西不等式的应用总结参考文献感谢1. 引言柯西不等式是大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中“留数”问题时得到的, 因而被命名为柯西不等式.柯西(Cauchy, 1789－1857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职.由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒.他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名.他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究, 并获得了许多重要成果, 著名的柯西不等式就是其中之一,但从历史的角度看, 该不等式应当命名为Cauch - Buniakowsky - Schwarz 不等式.因为这一不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之, 并应用到近乎完善的地步.2. 柯西不等式的形式和证明[]121⋅柯西不等式在初等代数研究中的形式,,1,2...i i a b R i ∀∈=()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤当且仅当存在不全为零的常数k 使i i ka b =时，等号成立（n i 2,1=）证 这定理在120a a === 或120b b === 时明显成立，所以在该证明中 不妨设12,,n a a a 中至少有一个不为零，21,,n b b b 中也至少有一个不为零。
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality.Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。
本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 221()ni i i ii a a b b =≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则21()ni i i i i ia ab a b =≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即………………222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==即…………(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠时等号成立。
2）利用判别式证明（构造二次函数法）若210ni i a ==∑，则12....0.n a a a ====此时不等式显然成立。
若210ni i a =≠∑，构造二次函数()2221112n n n i i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=•-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()210ni i i a x b ==-≥∑对于x ∈R 恒成立，所以此二次函数()f x 的判别式△≤0，即得证。
3）用数学归纳法证明i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。
当n=2时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++222222222222121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。
因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即1212a ab b =时等号成立。
ii ）假设n k =时不等式成立。
即 (222222)211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===时等号成立。
那么当1n k =+时，当且仅当……1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立， 即 (112)121k k k k a a a a b b b b ++====时等号成立。
于是1n k =+时不等式成立。
由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。
4）用向量法证明设n 维空间中有二个向a ……12(,,,)n a a a =，b ……12(,,,)n b b b =，其中…………1212,,,;,,,n n a a a b b b 为任意两组实数。
由向量的长度定义，有a =b=又由内积的定义，a b ⋅ =a b cos θ,其中θ是a ,b 的夹角， 且有a b ⋅……1222n n a b a b a b =+++。
因|cos θ|1≤，故a b ⋅≤a b ，于是|……1122n n a b a b a b +++|即当且仅当|cos θ|1=时，即a 与b 共线时等号成立。
由a ,b 共线可知……1122,,,n n a b a b a b λλλ===()R λ∈ 即 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠= 由以上，命题得证。
5) 利用均值不等式当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++=0时不等式显然成立当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++≠0柯西不等式可化为1 ≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++。
由均值不等式可知()()()211222222221112.........n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++≤2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= (2222)1122222222222212121212 (2)n n n n n na b a b a a a b b b a a a b b b ++++++++++++++++=1即1≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠=时等号成立。
从而柯西不等式得证。
而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。
三、柯西不等式的应用： 1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。
有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。
例 a>b>c>d ，求证：1119a b b c c a a d++≥----。
证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知()111()a d a b b c c a-++--- =[(a-b)+(b-c)+(c-d)] 111()a b b c c a++--- ≥()2111++=9 从而1119a b b c c a a d++≥----。
例2221222212 (1)...1n na a a x x x +++=+++=，求证：1122...1n n a x a x a b +++≤证法一：（常用证法）221111222222222,...2,2,nnn n a x a x a x a x a x a x +≥+≥+≥把上面n 个不等式相加，得()()22222212121122......22...2,n n n n aa a x x x a x a x a x +++++++≥+++即()1122112222 (1)n n n n a x a x a x a x a x a x ≥+++∴+++≤证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...n n a a a x x x 由柯西不等式（A ）有()()()2222222112212121122 (1)n n n n n n a x a x a x a a a x x x a x a x a x +++≤++++++∴+++≤两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例i x R +∈，2，…n ）且111ni i i x x ==+∑，求证：112ni i j i i j nx x x =≤<≤≥∑∑[5]证 注意到恒等式12i j i j nx x ≤<≤∑=()22i i x x -∑∑，只需要证明1nii x =∑≥()22iix x-∑∑即()221ni ii i x x x =≤+∑∑∑上式左边=2⎛ ⎝≤()()11i i i i x x x x ⎛⎫+• ⎪+⎝⎭∑∑ =21nii i x x =+∑∑，得证。
例,,a b c , λ满足a ≥λ>0,b ≥λ ,c ≥λ求证2≥证因为a≥λ>0,≤2aλλ+-=2a2b≤2c，故+≥222222a b cb c c a a b+++++由柯西不等式可知()()()222a b c b c a c a b+++++⎡⎤⎣⎦222222a b cb c c a a b⎛⎫++⎪+++⎝⎭()22a b c≥++从而222222a b cb c c a a b+++++≥()()()()22222a b ca b c b c a c a b+++++++=()()223a b cab bc ac++++又()22a b c++=6()ab bc ac+++()()()222b c c a a b-+-+-()6ab bc ac≥++故222222a b cb c c a a b+++++≥2≥2 当且仅当2a b cλ===时等号成立。