6、不等式解法2(绝对值、根式)
根式不等式公式大全
根式不等式公式大全
1.平方根不等式
对于任意正实数a和正整数n,有：√a<√(a+n)
例如：√2<√3
2.平方根与绝对值的关系
对于任意实数a，有：，√a，=√(，a，)
例如：，√9，=√，9，=√9=3
3.两个根式的比较
对于任意正实数a和正实数b，有：√a<√b当且仅当a<b 4.平方根与常数的比较
对于任意正实数a和正实数c，有：√a<c当且仅当a<c²5.平方根积的比较
对于任意正实数a和正实数b，有：√a×√b≤√(a×b)例如：√2×√3≤√(2×3)=√6
6.平方根和幂函数的关系
对于任意正实数a和正整数n，有：√a<a⁽¹/ⁿ⁾
例如：√2<2⁽¹/⁴⁾
7.平方根的和的不等式
对于任意正实数a和正实数b，有：√(a+b)≤√a+√b
例如：√(2+3)≤√2+√3
8.平方根的差的不等式
对于任意正实数a和正实数b，有：，√a-√b，≤√(a-b)
例如：，√2-√3，≤√(2-3)=√(-1)，但由于√(-1)不存在实数解，所以该不等式不成立。
9.平方根与倒数的不等式
对于任意正实数a和正整数n，有：1/√a>1/a⁽¹/ⁿ⁾
例如：1/√2>1/2⁽¹/⁴⁾
10.平方根和倒数的乘积
对于任意正实数a和正实数b，有：√a×1/√b>1/√(a×b)
例如：√2×1/√3>1/√(2×3)。
不等式解法-图表
解无理不等式的基本思想就是讨论不带根式一边的正负情况并用乘方转化为有理不等式组求解。但一定要注意偶次根式下非负及使用偶次乘方的前提条件： （ 是正偶数）。简单的无理不等式用数形结合法求解更好。
1． 2．
3． 或
对数指数不等式解法
解对数指数不等式的指导思想就是利用对数指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解。但必须注意对数真数大于0，底数大于0且不等于1。
高次分式不等式解法
穿根法：把高次分式不等式分解成一次因式的乘积和商（要求每一个一次因式中 的系数是正数），然后把各因式的根从小到大标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（不穿过偶次根），最后根据符号规律写出不等式解集（注意偶次根是否需要排除）
分式不等式一般用移项通分法或分组分解法求解，分组分解法的常见类型为： 或
1．
2．
3． ；
4． 或
绝对值不等式
解绝对值不等式的基本思想就是根据绝对值定义或基本绝对值不等式去掉绝对值。
基本绝． 法一： 或
法二：
2． 法一： 或
法二： 或
3.． （然后移项分解因式）
4．含二个以上绝对值的不等式的解法常用零点分区间去绝对值的思想求解
不等式解法整式分式根式.doc
§不等式的解法（一）【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：分式不等式整不式等根式不等式不式绝对值不等式等的函数不等式式解3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法：( 一 ) 、整式不等式的解法1、一元一次不等式标准形式：ax b 或 ax b(a 0) .解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若a0 则不等号要反向。
2、一元二次不等式标准形式：ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 （其中 a 0 ）。
解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求方程ax2bx c 0 的根。
（3）写解：根据方程ax2 bx c 0根的情况写出对应不等式的解集。
当两根明确时，可由“大于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解，当0 时，则可由函数 y ax 2 bx c 的草图写解。
3、一元高次不等式（可分解因式型）标准形式：a( x x1 )( x x 2) (x x n)0 或a (x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 a 0 。
解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（ 4 ）写解：数轴上方所对应曲线的区间为a( x x1 )( x x2 ) ( x x n ) 0 的解，数轴下方所对应曲线的区间为a(x x1)(x x 2) (x x n) 0 的解。
（二）、分式不等式的解法标准形式：g ( x)0，或 g ( x ) 0 。
不等式知识点总结全面版
3. 整式形式
基
本
不
等
式 根式形式
定
理
分式形式
倒数形式
a 2 b 2 2 ab
a2 b2
1 (a b ) 2 2
ab
a
b
2
2
ab a 2 b 2 2
（9）数学归纳法：
不等式知识点
7.绝对值的定义
8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0,(a
0)
a, (a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式知识点
别 式
法法 法
数 学
构 造
换
归 函元
纳 法
数 法
法
解不等式 不等式的应用
整式不等式 可化为整式不等式的不等式
不等式知识点
二.知识要点
1.两实数大小的比较 2.不等式的性质
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
对称性a b b a
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
高三数学各种不等式的解法
loga N logan N n logan N
n
返回
例4:
1 log1 (5 x ) log2 2 2 0 x 2
2
解：原不等式等价于：
1 log1 (5 x ) log1 x log1 0 2 2 2 4
2 2
等价吗？
1 log1 [(5 x ) x ] log1 1 4 2 2
x2 ③解不等式： 1 x 3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正；
2、求零点x；
3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
例题3、①解不等式x（x 1） （x 3） （x 1） 0
3 3
例2：
log1 ( x 3x 4) log1 (2 x 10)
2 3 3
解：原不等式等价于不等 式组
x 3x 4 2 x 10
2
x 3x 4 0
2
2 x 7 x 1 或 x 4
x 5
2 x 10 0
解之得 数轴
x 2 x 1,或 4 x 7
x 1
2
8
5 (2 )
x 1 2
解法2
2
4
x4
x
256 5 2
2
8
2 x2
2 2
4t 64 5t (t 0)
2
5 2 2
2
2x
解法1
2
x4
256 5 2
2 x2
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数，在将具体化为，利用零点分析法化为不等式组，通过解不等式组解出的解集；（Ⅱ）利用零点分析法，通过分讨论将的解析式化为分段函数，作出函数的图像，由函数知，函数图像是恒过（3,0），斜率为的直线，由对任意的都成立知，函数的图像恒在函数的上方，作出函数的图像，观察满足的条件，求出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或． 5分（Ⅱ）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为. 10分【考点】根式性质，含绝对不等式解法，分段函数，数形结合思想，分类整合思想2. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质3.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．4.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．5.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.（1）由得，，或，或，解得：或，原不等式的解集为；（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则，解得：或所以实数的取值范围为.【考点】1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立6.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.7.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.8.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.9.A．不等式的解集为B.如图，已知的两条直角边的长分别为3cm,4cm，以为直径的圆与交于点，则．C.已知圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标系为_______【答案】A．；B．；C．和【解析】A．当时，原不等式等价于，即不成立；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，即恒成立，所以原不等式的解集为．B．在中，．∵以为直径的圆与交于点，∴，∴，∴，∴．C．由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为．联立方程，得或，故所求交点的直角坐标为和．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、与圆有关的比例线段；3、直线与圆的参数方程．10. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.11.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题12.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法13.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．【答案】【解析】因为，所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方，所以因此有，解得．试题解析：解：的最小值为， 5分由题设，得，解得． 10分【考点】绝对值不等式的应用14.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) a＝2 (2) (－∞，5]【解析】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．15.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．16.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.【答案】2【解析】由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.17.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.18.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．19.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．20.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
绝对值不等式讲义全
解绝对值不等式1、解不等式| x - 5x 51 ：： 1.［思路］利用| f(x) | <a(a>0) - -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等变形一右边的常数变代数式22、解下列不等式：(1)| X+1|>2 —x ；(2)| x —2X —6|<3 x［思路］利用I f(x) | <g(x) = -g(x)<f(x)<g(x)和丨f(x) | >g(x) = f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3x3、解不等式 (1 )| x-x2-2 | >X2-3X-4 ; ( 2) —<1x —44、解不等式(1) |x —1|<|x+a|；( 2) | x-2 | + | x+3 | >5.［思路】(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用| f(x) |〈|g(x)| = f2(x) g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
(2)题可采用零点分段法去绝对值求解5、解关于x 的不等式|log a(1 -x)| | log a(1 x) | (a>0 且a 工1)x6.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为2 ----------------------------------8、解关于x 的不等式 -x 2 -4mx - 4m 2m 3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解 ，运算理较大。
若化简成|x-2m 「m ，3 ,则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对 m 3的正负进行讨论。
2)形如 |f(x)|<a , |f(x)|>a (a ，R )型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当 a >0 时，| f (x) |<a = — a < f (x) < a ； | f (x) |> a =f (x) > a 或 f (x) < — a ；② 当 a =0 时，| f (x) |<a 无解，| f (x) |> a f (x)丸 ③当 a <0 时，|f(x)|<a 无解，| f(x) |> a=f (x)有意义。
解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式
ii：向量式
a •b | a | | b |
14 排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个排列,
四、解根式不等式
1.数法： 2.形法：
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
如果a-b是正数，那么a＞b； a b a b 0 ；
法2：因 (x2-2x-2)(x2-2x-8)≤0 x2-2x-8≠0
解得 -2≤x≤1- 3. 或1 3 ≤x≤4
x≠2且x≠4
即 -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 故所求解集为{x| -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 }
三、解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型： 2.单绝对值号+右端变量型： 3.双绝对值号型：
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
解一元二次不等式
1.图象(标根)法：
2.公式(口诀)法：
口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
解分式不等式
1.“左右”去分母法
小于号要中间 无根大全小为空
2.“上下”去分母法
§151 解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式 一、解不等式组
初中不等式知识点总结及公式大全
初中不等式知识点总结及公式大全初中不等式知识点总结及公式大全不等式作为数学中的重要内容之一，在初中阶段是学习数学的重点之一。
通过学习不等式，可以培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
下面将对初中不等式的知识点进行总结，并列出了一些常用的不等式公式，以供学生参考。
一、不等式基本概念不等式是指关系的式子，表示的是两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号有：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
在不等式中，常常使用字母表示变量，例如x、y等。
并且不等式还有一些基本概念，如不等式的解集、等式、判定等。
二、不等式的基本性质1. 加减等性质：若不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。
2. 乘除等性质：若不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；若不等式两边同时乘除一个负数，不等号的方向反向。
3. 反称性质：若a＜b，则b＞a；若a≤b，则b≥a。
三、常见不等式公式1. 加减平方不等式：若a＞b，则a²＞b²；若a＜b，则a²＜b²。
2. 平均数不等式：对任意n个非负实数a₁、a₂、…、aₙ，有（a₁＋a₂＋…＋aₙ）/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a＋b| ≤ |a|＋|b|。
4. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数a₁、a₂和b₁、b₂，有|(a₁b₁＋a₂b₂)| ≤ √(a₁²＋a₂²)√(b₁²＋b₂²)。
5. 马可夫不等式：若f(x)是定义在[a,b]上非负的可积函数，且g(x)是单调的非负的，则有∫(a到b)f(x)g(x)dx ≥(∫(a到b)f(x)dx)(∫(a到b)g(x)dx)。
四、常见的不等式类型1. 等式：等号成立的不等式，例如a＜a。
2. 严格不等：等号不成立的不等式，例如a≠a。
3. 一次不等式：不等式中变量的最高次数为1，例如2x+3＞4。
绝对值-二次根式-分式
(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________A B C P |x －1||x －3|图1．1－12．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b21x +，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x =-<．例2 计算：(3．解法一： (3＝393-＝1)6＝12．解法二： (3． 例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2解： （1===，===，>（2）∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1 （22．3．例4 化简：20042005⋅-．解：20042005+⋅＝20042004⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅⋅-⎣⎦＝20041⋅．例 5 化简：（1； （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题： （1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___； （4）若x ==______ __． (5)=成立的条件是 。
高二数学解二次根式方程与不等式的方法与技巧
高二数学解二次根式方程与不等式的方法与技巧解二次根式方程与不等式是高二数学中的重要内容，掌握解题方法和技巧对于深入理解数学知识和应对考试具有至关重要的意义。
本文将介绍解二次根式方程与不等式的几种常用方法和技巧。
一、分离平方项对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的二次根式方程，一种常见的解法是利用“分离平方项”的方法，将方程转化为平方完全平方的形式。
举例说明：解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$。
首先将方程进行变形，得到$(x+2)^2 - 9 = 0$，然后移项得到$(x+2)^2 = 9$。
进一步开方可得$x+2 = ±3$，解得$x = 1$和$x = -5$。
因此，方程的解为$x = 1$和$x = -5$。
二、配方法配方法是解二次根式方程的另一种常用技巧，适用于形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程。
具体步骤如下：1. 将方程的一元二次项与常数项的系数分别除以首项系数$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。
2. 根据二次项与一次项的中间项是$a×c$的结果，设法将一元二次方程配成一个完全平方。
3. 根据配方的思想，将一元二次方程配成$(x + m)^2 = k$的形式。
4. 利用解方程的方法，解出方程中的未知数$x$。
举例说明：解方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$。
首先将方程分别除以首项系数2，得到$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$。
通过配方法，我们可以得到$(x - \frac{5}{4})^2 - \frac{9}{16} = 0$。
进一步化简，得到$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$。
解得$x -\frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$，即$x = \frac{2}{4}$和$x = 2$。
因此，方程的解为$x = \frac{2}{4}$和$x = 2$。
高二数学人选修课件绝对值不等式的解法
在数轴上标出绝对值符号内表达式的 零点，然后根据不等式的性质确定解 集所在的区间，用实心点或空心点表 示区间的端点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
一元一次绝对值不等式解法
转化为一元一次不等式组求解
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化 为两个一元一次不等式组。
解一元一次不等式组
分别解出两个不等式组的解集。
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值性质
绝对值具有非负性，即$|x| geq 0$；同时满足三角不等式$|x + y| leq |x| + |y|$和$||x| - |y|| leq |x - y|$。
平方消去根号
通过对不等式两边平方，消去根 号，转化为普通的不等式求解。
分类讨论
根据根式内表达式的正负情况， 将原不等式分为几种情况进行讨
论，分别求解。
换元法
通过换元将根式不等式转化为普 通的不等式，简化求解过程。
混合型复杂问题处理策略
综合运用
针对混合型复杂问题，需要综合 运用分式型、根式型绝对值不等 式的处理方法，以及普通绝对值
04
含参数绝对值不等式解法
参数分类讨论思想在解题中应用
参数取值范围确定
根据题目中给出的条件，确定参数的可能 取值范围。
分类讨论
针对不同的参数取值范围，分别讨论不等 式的解集情况。
汇总结论
将不同参数取值范围下的解集情况进行汇 总，得出最终结论。
含参数问题转化为标准形式求解
01
02
03
绝对值不等式讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。
变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。
不等式知识点归纳
不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1）a b b a <⇔>对称性 （2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法： 注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式∣χJ5x 5卜：1.［题根4］解不等式I x ? —5x 5| ：：：1.［思路］利用I f(x) I <a(a>O) u -a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等«■ 22X —5X 5 ：： 1式组「1 ：：： X —5x 5 ：： 1 即 2X -5x+5>-1［解题］原不等式等价于2X - 5x 5 -.1 即2 X - 5x 5 占-12一 1 ：： X -5x5 ：： 1,⑴(2)由(1)得：1 ：：： X ：：： 4 ；由(2)得：X ：：： 2或 X 3,所以，原不等式的解集为 {X |1 ：：：X ：：： 2或 3 ：：： x ：：： 4}.［收获］1) 一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值 不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
y = χ2 -5x + 5与y = 1的的图象，解方程x 2-5x÷5 =1 ,再对照图形写出此不等式的解集。
第1变 右边的常数变代数式［变题 1 ］解下列不等式：(1)| X +1∣>2 — X ; (2)| X 2— 2X — 6|<3 X ［思路］利用 I f(x) I <g(x)-g(x)<f(x)<g(x) 和 I f(x) I >g(x) = f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴ 原不等式等价于 X +1>2— X 或X +1<— (2 — X )11解得X >1或无解，所以原不等式的解集是{ X | X >1}22(2)原不等式等价于—3x < X 2— 2X — 6<3XIir*7 *rOr rrrrHnX —2x —6 —3x — I X x —60 — !(X 3)(x -2) 0— ! x ：： —3或X 2即2:2::X -2x-6：：3XX -5x-6 ：：0 (x 1)(x-6) ：：0 -1 ：： x ：： 62<X <6所以原不等式的解集是{ X |2< X <6}［收获］形如 | f(x)∣v g(x) , | f(x)∣> g(x)型不等式⑴求解(2)2)本题也可用数形结合法来求解。
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§6.6 不等式的解法（二）【一线名师精讲】基础知识要点（四）、绝对值不等式的解法标准形式: a x f >|)(|；a x f <|)(|；|)(||)(|x g x f >； )(|)(||)(|a a x g x f <>±或。
解法要点：解根式不等式的关键是去绝对值符号。
一般可用公式、乘方、分类讨论、数形结合等方法解决：a x f >|)(|⎪⎩⎪⎨⎧<=≠>-<>⇔)0()()0(0)()0()(,)(a x f a x f a a x f a x f 不存在或a x f <|)(|⎩⎨⎧≤><<-⇔)0()()0()(a x f a a x f a 不存在|)(||)(|x g x f >)()(22x g x f >⇔)(|)(||)(|a a x g x f <>±或型不等式一般可抓住`)(x f 及)(x g 大于、小于、等于零进行分类讨论去绝对值。
其中，)(||||a a n x m x <>+±+或型的不等式用数形结合法解答较为简便。
（五）、函数型不等式的解法 标准形式：)]([)]([x h f x g f >。
解法要点：用函数)(x f y =的单调性去掉函数符号“f ”，把函数型不等式转为非函数型不等式： )]([)]([x h f x g f >⎩⎨⎧<>⇔))(()()())(()()(为减函数为增函数x f x h x g x f x h x g基本题型指要【例1】 解下列不等式 （1）2|12|2≥-+x x （2）||1212x x ≤- （1）解析：原不等式即2122≥-+x x ……① 或2122-≤-+x x ……………… ②由①得13≥-≤x x ，或， 由②得 10)1(2-=≤+x x ，故，故原不等式解集为{}113|≥-=-≤x x x x ，或，或。
（2）思路导引：本题可对x 分类讨论去除绝对值。
解析：原不等式可化为：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧≤->xx x 12102或（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<x x x 12102由（Ⅰ）解得220≥<<x x ，或， 由（Ⅱ）解得022<<--≤x x ，或。
所以，原不等式的解集{}220022|≥<<<<-≤x x x x x ，或，或，或－。
误区警示：注意等号的处理。
点评：本题也可对22-x 实施分类讨论，利用a x >||的转化公式去除绝对值。
【例2】已知定义域R 的偶函数()x f 在)0[∞+，是增函数，且0)21(=f 。
求不等式0)(l o g 4>x f 的解集。
思路导引：关键是弄清函数的单调性，去除函数符号，将原不等式化简。
解析：因为()x f 为偶函数，且0)21(=f ，所以0)21(=-f 。
又因为()x f 在)0[∞+，是增函数，所以()x f 在)0(，-∞为减函数。
由图6－ 易知，原不等式等价于21log 4>x ，或21log 4-<x 。
解得：2210><<x x ，和。
所以，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<2210|x x x ，和。
误区警示：本题容易忽视)21(0-=f ，从而漏掉式子21log 4-<x 。
点评：数形结合也是解函数不等式的重要方法。
【例3】解关于x 的不等式： （1）b b ax <-||（2）2|log ||)(log |2+<x ax a a )1,0(≠>a a （1）思路导引：关键是抓住b 进行分类讨论，去除绝对值符号。
解析：1）当0≤b 时，Φ∈x 。
2）当0>b 时，原不等式可化为b b ax b <-<-，即b ax 20<<。
若ab x a 200<<>，则；若020<<<x aba ，则； 若Φ∈=x a ，则0。
误区警示：不区分b 的范围就把原不等式转化 为b b ax b <-<-，或者是进行两边乘方处理都是典型的错误。
（2）思路导引：本题有两个绝对值符号，一般应对绝对值符号里面的两个式子统一进行分类讨论。
若令t x a =log 进行换元，则可使解题过程简化。
解析：令t x a =log ，则t ax a 21log 2+=，原不等式可化为2|||21|<-+t t 。
（1）当21-<t 时，可化为2)21(<++-t t ，解得3->t ，所以，213-<<-t ； （2）当021<≤-t 时，可化为221<++t t ,解得31<t ，所以，021<≤-x ； （3）当0≥t 时，可化为221<-+t t ，解得1<t ，所以10<≤t 。
综上所述，13<<-t ，即1log 3<<-x a 。
1)当时1>a ，解得a x a <<31；2）当3110a x a a <<<<时，解得。
所以，原不等式的解集当时1>a ，为a x a <<31；当3110a x a a <<<<时，为。
误区警示：在解不等式2|||21|<-+t t 的过程中，t 的每一小类得出的不等式的解必须与t 的分类范围求交集，最后应对所有分类的结果求并集。
但在解不等式1log 3<<-x a 时，在a 的不同分类中却不能将x 的解求交集或并集。
【例4】已知不等式1)lg()520lg(2+->-x a x 的整数解只有1，求a 的取值范围。
思路导引：本题属解不等式的反向题型，应在试解不等式的同时，结合已知的解集信息列出参数a 的不等式。
解析：原不等式即)(10lg )520lg(2x a x ->-，所以易得：⎪⎩⎪⎨⎧->->->-)3()(10520)2(0)(10)1(052022 x a x x a x 由（1）得：22<<-x 。
由（2）得：a x <。
因为原不等式的解有1，所以应有1>a 。
由（3）得：04222<-+-a x x 。
因为原不等式有解，所以本不等式应该有解，并且它的解为a x a 251251-+<<--。
要使原不等式的整数解只有1，易知1250≤-<a ，解得252<≤a 。
综上所述，252<≤a 。
不等式）在（b a x f ,0)(>恒成立的实质就是该不等式的“解集是)(b a ，的子集”。
恒成立问题最基本的题型模式为：“0)(>k x f ，在)(b a ，恒成立，求参数k 的取值范围”。
它可以被视为“已知不等式的解集求参数值（或范围）”的一种特殊情况，因此解法上有一定的相似性，应注意它们的异同。
本题型一般可用“分离变量法”、“数形结合法”、“解集对照法”等方法获得解答。
【例5】已知关于x 的不等式032≥++k x x 。
若该不等式在)2[∞+-∈，x 时恒成立，求实数k 的取值范围。
解析1：（分离变量法）原不等式可化为xx k 32--≥。
易知，4949)23(322≤++-=--x x x （当23-=x 时取等号），由题意，49≥k 。
解析2：（数形结合法）如图，作出函数k x x x f ++=3)(2的图象。
由题意0432≤-=∆k ，解得49≥k 。
解析3：（解集对照法）当049>-k 时，不等式的解为2493k x ---<，或2493kx -+->由题意：22493-≤-+-k，即149-≤-k ，该式无解。
当049≤-k 时，原不等式解集为R,符合题意，所以，49≥k 。
【例6】若对于一切2||≤P ，R P ∈不等式恒成立P x x P x +>++2222log 21log )(log ，求实数x 的取值范围。
思路导引：在本题中，已知的不等式 P x x P x +>++2222log 21log )(log 既可看作x 的不等式，又可看作p 的不等式，应根据题意灵活处理。
在不等式恒成立问题中，求取值范围的字母一般应看成参数。
解析：令t x =2l o g 这原不等式可化为0)12()1()(2>+-+-=t t P t P f 。
1）当1=t 时，该式化为00>，不符题意。
2）当1≠t 时，只需⎪⎩⎪⎨⎧>+-+-=>+-+--=-0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22t t t f t t t f 解得31>-<t t ，或， 3log 1log 22>-<x x ，或。
解得8210><<x x ，或。
点评：本题也可用分离字母P x 与的方法求解，但过程较为繁琐。
【阅卷老师评题】（１－３个例题, 难度系数可灵活，与基本题型一起，共５－６个例题．）【例7】(2002年全国新教材高考) 不等式()()011>-+x x 的解集是（）{}10)(<≤x x A {}10)(-≠<x x x B 且 {}11)(<<-x x C {}11)(-≠<x x x D 且命题目的：本题主要考查含绝对值不等式的求解、基本运算以及逻辑判断技能。
考情分析：该题虽难度较小，但当年考生的得分率却不理想，他们的失误主要集中在两个地方：一是部分考生对绝对值的处理缺少办法，二是去绝对值后解不等式组出现错误。
思路导引：关键是对x 进行分类讨论去除绝对值，转为整式不等式组求解。
此外，作为选择题，也可用验证法排除。
解析1：原不等式可化为⎩⎨⎧>-+≥0)1)(1(0x x x 或⎩⎨⎧>++<0)1)(1(0x x x ，由此易得11-≠<x x ，且 解析2：原不等式可化为：⎩⎨⎧>->+0||101x x 或⎩⎨⎧<-<+0||101x x ，然后易得结论。
解析3：取2-=x 检验，可排除A 、C ；取0=x 可排除B 。
【例8】（2004年辽宁高考）设全集U=R ， （1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+-0)3cos(3)3sin(|ππππx x x ，若（C ∪A ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.命题目的：本小题主要考查集合的有关概念， 含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力。