高中数学三角函数中的拆角技巧

三角函数中的“拆角”技巧及应用
三角函数的计算是高中的一个重要考点.对于一些和角的计算问题除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”技巧.这样可以简化运算.
有时候，在利用两角和差的余弦、正玄和正切公式时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式。

即要把所求的角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角）的和差，并且这两个角的正、余玄函数值和正切函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解。

这里以正、余玄公式求解为例。

通过认真审题，我们就可以发现已知角和所求角之间的关系，这样我们就可以进去“拆角”。

第一类：只有抽象的角，没有具体的角。

如：已知两个角,(0,)2
παβ∈，那么通过简单变形就可得到：
ββαα-+=)(，αβαβ-+=)(；
2()()ααβαβ=++-，(2)()ααβαβ=+-+，(
)(
)2
2
α
α
αββ=++-；
，2
2
αβ
αβ
α+-=
+
，2
2
αβ
αβ
β+-=
-
；
()(
)2
2
2
αβ
β
α
αβ+=-
--……
……
正确利用它们具有的这些关系进行“拆角”就能避免求某个角的三角函数值而带来的麻烦。

我们来看看具体实例：
例1：已知两角,(0,)2
π
αβ∈满足53cos =
α，135)cos(-=+βα，则____cos =β。

[解析]：由,(0,)2παβ∈，53cos =α，得5
4
sin =α，且),(,πβαo ∈ 。

所以
13
12
)sin(=+βα，那么])cos[(
cos αβαβ-+= =αβααβαsin )sin(cos )cos(+++
=54
131253)135(⨯+⨯-
=65
33 [评注]:通过观察发现所给条件中的角与待求角之间的关系.巧妙地把β拆成αβ+与α差,再利用差角公式进行计算。

例2．若,(0,)2παβ∈，1sin()23βα-=,1sin()24αβ-=-，则cos()2
αβ+的值等于 .
[解析]：由,(0,
)2παβ∈，则242βππα∈－（－，），224αππ
β∈－（－，）
， 又1sin()23βα-=，1
sin()24αβ-=-，
所以，cos()2
3β
α-=
，cos()2αβ-=, 则cos
cos[()(
)]2
2
2
αβ
β
α
αβ+=---
cos()cos(
)sin()sin(
)2
2
2
2
β
α
β
α
αβαβ=-
-+-
-
11()3434=
⨯+⨯-112=.故填:112
. [评注]:本题通过观察角之间的关系,把2
αβ
+拆成()2β
α-
与()2
α
β-差的形式,从而避
免了求
2α与2
β的三角函数值,巧妙地得到了cos()2αβ
+的值。

第二类：有抽象的角，也有具体的角。

有些题目中有具体的角,也有抽象的角.这类问题一般也可以根据具体角和抽象角的关系进行“拆角”.例如:()4
4
π
π
αα=+
-
,(
)()442π
ππαα++-=, ()()362
πππ
αα++-=, ()()44
π
π
ααββ+
=+--等.
例3：已知βα,⎪⎭⎫
⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4πα=___. [解析]： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫
∈+=-
⎪⎝⎭
12sin()413πβ-=，3(,2)2παβπ+∈，
3(,)424π
ππβ-
∈，∴ 4cos()5αβ+=，5
cos()413
πβ-=-， 则cos()4π
α+
=cos[()()]4
π
αββ+--
=cos()cos()sin()sin()44
ππ
αββαββ+-++-
=4531256
()()51351365
⋅-+-⋅
=-. [评注]:通过观察发现所给条件中的角与待求角之间的关系.巧妙地把4
πα+拆成αβ
+与4
πβ-
差,再利用差角公式进行计算。

第三类：有抽象的角，也有具体的角，但不能直接把所求角拆成已知两个的角的和差。

例4：
第四类：倍角公式和半角公式。

应用这类公式进行解题，也是属于“拆角”。

是由角变成其倍角，还是由角变成其半角则需看具体情况。

例5：已知)2,2
3(
ππ
α∈，化简ααsin 1sin 1++-。

[解析]：ααsin 1sin 1++-=2
cos
2
sin
21α
α
-+2
cos
2
sin
21α
α
+
=2)2cos 2(sin
αα
-+2)2
cos 2(sin α
α+ =2
cos
2
sin α
α
-+2
cos
2
sin
α
α
+
因为)2,23(
ππα∈，所以),43(2ππα∈，所以02
cos 2sin α
α-，02
cos
2
sin
α
α
+，所以原式=--2
cos
2
sin
α
α
)2
cos 2(sin
α
α
+
=2
cos
2α
-。

[评注]:本题是带根式的化简，需要去掉根号，则根号里面应该出现一个整体的平方，
那么，则需要把根式里面的正玄用二倍角公式变成半角，即可用完全平方公式变成平方项。

再根据角的象限判断其符号，最后去掉根号。

“拆角”体现了整体与局部之间的关系,是连接题设条件与待求结论的纽带.是三角函数求值的一种常用方法.其实,在具体的角里我们也利用过这种方法搭建非特殊角与特殊角之间的关系.例如,45°=30°+15°；75°=30°+45°,80°=90°—10°等。

具体拆的方法要根据题目而进行灵活选择。