图形的平移翻折与旋转

图形的平移翻折与旋转

知识要点:这部分题目的主要特征是在图形的平移、翻折、旋转等运动变化中寻找不

变的量，把握规律，探求关系。另一个主要特征是把图形的对称性与分类讨论思想结合在一起，也就是平常所说的一题多解。这样的题目一般布局在中考试卷填空题或选择题

的最后两道题，作为基础部分的选拔题

典型例题：

例1.如图，O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BＣ、AB相交，交点分别为M、N.如果ＡB=4,AD=6,OＭ=x,ＯＮ=y则y与x的关系是

Ａ.2 3

y

x

=B．6

y

x

=

C.y x

=ﻩD．

3

2

y x

=

类题训练:

已知∠AOB=900，在∠ＡOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与ＯA、OB（或它们的反向延长线)相交于点Ｄ、E．当三角板绕点C旋转到CD与ＯＡ垂直时(如图１）,易证：ＯD+OE=错误!OC.

当三角板绕点C旋转到CＤ与ＯA不垂直时，在图２、图３这两种情况下,上述结论是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．

图1 图2 图3

N O

A

B

D

C

M

例1题图

例2.如图１,已知矩形ABCＤ的顶点Ａ与点O重合,ＡD、AB分别在ｘ轴、y轴上，且Ａ

D=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(４,0）

(１）当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?

（2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图１所示的位置沿ｘ轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向Ｂ匀速移动．设它们运动的时间为ｔ秒(0≤ｔ≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).

①当时,判断点Ｐ是否在直线ＭE上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能，请说明理由．

例３.已知:把Ｒt△AB Ｃ和Ｒt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C (E )、F 在同一条直线上．∠AC Ｂ = ∠E ＤF = 90°,∠ＤEF = 45°，ＡＣ = ８ c ｍ,BC ＝ 6 c ｍ，E Ｆ = 9 c ｍ.如图（2)，△ＤE Ｆ从图（1)的位置出发,以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动,在△ＤＥF 移动的同时，点P 从△AB Ｃ的顶点Ｂ出发，以２ c ｍ/s 的速度沿B Ａ向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时,△DEF 停止移动,点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ,连接ＰＱ,设移动时间为t (s)(0

（1）当t 为何值时,点A 在线段ＰQ 的垂直平分线上?

（2)连接ＰE ,设四边形APE Ｃ的面积为ｙ(c ｍ２

),求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在,求出y 的最小值;若不存在，说明理由.

(3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值;若不存在,说明理由.（图（3)供同学们做题使用)

A D

B

C E ） 图（1） 图（2） A B

C

图（3）

课堂练习:

1.把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合,其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，

4AB DE ==,把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射

线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．

（1)如图９,当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△.此

时,AP

CQ =· ．(２分) (2）将三角板DEF 由图9所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中

090α<<，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由.(5分) （3)在(２）的条件下,设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ,求y 与x 的函数关系式.(图

１0,图11供解题用）（6分）

E 图

9

图10

Ｂ

作业:

1.如图１，Rt △ABC ≌Rt △ＥDF ，∠ACB =∠F =９0°，∠A ＝∠Ｅ=３0°．△E ＤF 绕着边AB 的中点D 旋转, DE ,DF 分别交线段．．A Ｃ于点Ｍ，K ．

（１)观察: ①如图2、图３,当∠CDF =0° 或60°时,AM ＋C Ｋ___＿＿__ＭK (填“>”,“<”

或“=”).

②如图4，当∠CD Ｆ=3０° 时,AM +C Ｋ＿＿＿ＭK (只填“>”或“<”）.

（2）猜想:如图1，当０°<∠C ＤF <60°时，AM +ＣK ＿______MK ,证明你所得到的结论． （3）如果222AM CK MK =+,请直接写出∠CDF 的度数和AM

MK 的值.

图1

图2

图3

E

E

E

图

4

A

２． 如图１，已知∠ＡB Ｃ=90°，△ABE 是等边三角形,点P 为射线BC 上任意一点(点

Ｐ与点B 不重合),连结ＡP ,将线段AP 绕点A 逆时针旋转6０°得到线段AQ ，连结QE 并

延长交射线BC 于点F ．

(１)如图2，当BP =BA 时,∠E ＢＦ= ▲ °,猜想∠QFC = ▲ °；

(２)如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时,猜想∠ＱFC 的度数,并加以证明;

（3)已知线段AB =32，设B Ｐ=x ，点Ｑ到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式.

图2

A

B

E Q

P F 图1

A

B E Q

F

P