初三数学图形的旋转练习

2011-2012学年九年级数学（人教版上）同步练习第23章第一节图形的旋转一. 教学内容：图形的旋转1. 旋转的概念和性质．2. 按要求作出简单平面图形旋转后的图形．3. 应用旋转进行简单的图案设计．二. 知识要点：1. 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．2. 一般地，可以根据定义得出旋转的以下性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．（3）旋转前、后的图形全等．3. 画已知图形旋转后的图形时，首先要确定一些对应点的位置，这主要由旋转角度及对应点到旋转中心的距离相等等条件确定，也可以利用一些特殊图形的性质．4. 利用旋转设计图案时，要注意到影响设计效果的三个主要因素：基本图形，旋转中心，旋转角度．多试验才能得出美丽的图案．三. 重点难点：本讲的重点是旋转的基本性质，难点是利用旋转解决相关问题．【典型例题】例1.如图所示，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置，则旋转中心是哪点？旋转方向是什么？旋转角度是多少？点B的对应点是什么？分析：（1）从旋转前后的图形对比，点A没有改变位置，△ABC是绕着点A旋转的，旋转中心为点A．（2）由于AC是正方形ABCD的对角线，则∠BAC＝45°，△ABC绕着点A逆时针方向旋转45°到达△AEF位置，点B的对应点是线段AC上的点E．解：旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，旋转角为45°，点B的对应点是点E．评析：在旋转中找出旋转中心、旋转角度及方向是研究旋转的基础，在找角度时，也可以采取测量或计算的方法，本题中由于是特殊图形（正方形），角度易算出．例2.选择题：（1）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）（2）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）分析：（1）根据题意可求得线段AB＝4，将月牙①旋转90°后得到月牙②，所以∠ABA’＝90°．所以A’的坐标为（2，4）．（2）选项A用轴对称或旋转；B用平移；C用平移或旋转；D用旋转，故选C．解：（1）B（2）C例3.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是斜边上任意一点，以A点为中心，把△ACD顺时针旋转30°，画出旋转后的图形．分析：要画出旋转后的图形（三角形），关键是确定三个顶点，它们分别是△ACD的三个顶点的对应点．由旋转的性质，可以找出各个量之间的关系，从而确定它的位置．解：首先确定三个顶点的位置．点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身（位置没有变）．由∠BAC＝30°，所以点C的对应点E在直线AB上，由对应点到旋转中心A的距离相等得AE＝AC．在AB上取点E，使AE＝AC．由旋转前后的图形全等，设点D的对应点为F，则△AEF≌△ACD，以AE为一边作△AEF，使AF＝AD，EF＝CD，则△AEF为旋转后的图形．评析：在确定对应点的位置时，一般先确定比较特殊的点，如本题中A的对应点是A．点C的对应点在AB上，在确定点E时用了EA＝CA，对应点到旋转中心的距离相等．第三点可通过作全等三角形或作∠FAE＝30°，FA＝DA得出．例4.如图所示，用图（1）中的等腰直角三角形经过旋转，可以得到图（2）与图（3）中的图形，请说明旋转的方法．分析：要说明旋转的方法，就要求找出旋转中心，旋转角度．解：图（2）中的图案是图（1）中三角形绕着三角形外一点O按顺（或逆）时针方向每次旋转90°，共旋转3次得出的．图（3）中的图案是由图（1）中的三角形绕着点A按顺（或逆）时针方向每次旋转45°，共旋转7次得出．评析：旋转中心比较明显，但旋转角度要通过观察与计算得出，其中图（3）稍复杂．由于三角形的底角为45°，从图中可以看出旋转角等于45°．例5.观察下图①和②，请回答问题：（1）简述由图①到图②的变化过程；（2）若AD＝3，DB＝4，求△ADE与△BDF的面积之和．分析：从图中可以看出，△AED绕D点作旋转90°的变换，到△A’FD位置，由旋转的性质，A’D＝AD，DE＝DF，∠ADE＝∠A’DF，由于∠EDF＝90°，∠A’DB＝90°，R t △A’DB的面积为1/2×A’D×BD＝1/2×3×4＝6．解：（1）图①到图②的变化过程是△AED绕点D逆时针旋转90°到达△A’FD的位置，其中A’是点A的对应点；（2）由于旋转的性质得A’D＝AD，∠A’DF＝∠ADE，∵∠EDF＝90°，∴∠A’DF＋∠BDF＝∠ADE＋∠BDF＝90°，即∠A’DB＝90°，∴1/2A’D·BD＝1/2AD·BD＝×3×4＝6．评析：在讨论与计算图形面积时，可以使用旋转变换将图形拼接或拆开，以便于计算．要掌握好旋转的性质，说明计算的依据．例6.如图所示，分别以△ABC的两边为边向外作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC、BF，运用旋转的观点解释．（1）CD与BF相等吗？为什么？（2）CD与BF互相垂直吗？为什么？分析：这是道几何证明题，从题中可以看出，∠DAB＝∠CAF＝90°，DA＝BA，CA ＝FA．可以把△ABF看成由△DAC绕点A旋转得到的．解：（1）∵四边形ADEB，ACGF都是正方形．∴∠DAB＝∠CAF＝90°．AD＝AB，AC＝AF．于是可以得到△DAC绕点A逆时针旋转90°将到达△BAF的位置，点D与点B对应，点C与点F对应．即△BAF是△DAC绕点A逆时针旋转90°得到的，由旋转的性质△DAC ≌△BAF，∴DC＝BF．（2）由（1）得，线段DC绕点A旋转90°得到BF，∴DC与BF相交得夹角为90°（等于旋转角），即DC⊥BF．评析：这是一道几何中的老题，用旋转变换的观点去考虑，会使思路更清晰．判断两个三角形是否有旋转变换的关系，一般看各个点之间是否存在与例题中类似的对应关系（点D 旋转90°到点B，点C旋转90°到点F，点A与点A对应）．判断对应点的关系时通常要用到各点与中心连线所成夹角相等，都等于旋转角；到中心距离相等．【方法总结】1. 确定旋转中心与旋转角的常用方法是：当变换后的两图形中有一个点的位置不改变，则这个点是旋转中心，否则可以由对应点到旋转中心距离相等找到旋转中心，确定了旋转中心后可以通过计算或度量的方法确定旋转角度．2. 旋转的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与中心的连线夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等．这些性质除了可以帮助画出有关旋转图形外，还可以帮助解决一些几何计算与证明题．在解这类题时，关键是要找出旋转关系．一. 预习前知1. 在平面直角坐标系x O y中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA’，则点A’在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2. 如图，点A关于y轴的对称点的坐标是__________．二. 预习导学1. 在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2. 下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）4. 点P（－2，1）关于y轴对称的点P1的坐标是__________；关于原点对称的点P2的坐标是__________．反思：（1）中心对称和旋转有什么关系？中心对称有什么性质？（2）两个关于原点对称的点的坐标间的关系是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 下面生活中的实例，不是旋转的是（）A. 传送带传送货物B. 螺旋桨的运动C. 风车风轮的运动D. 自行车车轮的运动2. 中国国旗上有五个五角星，其中四个小五角星可以看作是其中一个旋转得到的，旋转中心是（）A. 最上面的小五角星中心B. 最下面的小五角星中心C. 大五角星中心D. 长方形左上角的顶点3. 将一个三角形旋转，旋转中心应选在（）A. 三角形的顶点B. 三角形的外部C. 三角形的三条边上D. 平面内的任意位置4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′.若∠BAC=50°，则∠CAB′的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 80°5. 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（）**6. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 如果4张扑克按图1的形式摆放在桌面上，将其中一张旋转180°后，扑克的放置情况如图2所示，那么旋转的扑克从左起是（）A. 第一张B. 第二张C. 第三张D. 第四张*8. 如图所示，请你先观察（1）～（3），然后确定第四张为（）A. B. C. D.二. 填空题1. 图形的旋转是由__________和__________所决定的，旋转不改变图形的__________．2. 由8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为__________，时针旋转的角度为__________．3. 如图所示，其中的图（2）可以看作是由图（1）经过__________次旋转，每次旋转__________得到的．4. 1～9九个数字中绕中心旋转180°，仍和原数完全相同的有__________．*5. 如图所示，正方形CEFG可以看成正方形ABCD经过旋转得到的，它的旋转中心为__________，旋转的角度为__________．如果用平移的观点看，正方形CEFG是正方形ABCD 沿__________方向，平移__________的长度得到的．**6. 如图所示，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝31°，△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，此时点C恰好落在A’C’边上，且A’B与AC交于点D点，那么∠BDC ＝__________．三. 解答题1. 如图所示，已知△ABC和旋转中心点O及点A的对应点D，请画出△ABC旋转后的图形△DEF．2. 如图所示，某战士在训练场上练习射击，发现子弹均击中靶子上的阴影部分，你知道阴影部分的面积是多少吗？3. 如图所示是两个全等的三角形，△ABC经过怎样的变化可以得到△EDF？*4. 如图所示，长方形ABCD绕它的顶点A旋转，当点D旋转到AC边上，即在四边形AB'C'D'的位置上时，点B恰好在边B'C'上吗？试说明理由．**5. （1）如图（1）所示，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形①得到图形②，再由图形②得到图形③？（对于平移变换要求出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）（2）如图（1）所示，如果点P、点P3的坐标分别为（0，0），（2，1），写出点P2的坐标；（3）如图（2）所示是某设计师设计的图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后得到的图形，你会得到一个美丽的图案，注意涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．【试题答案】一. 选择题1. A2. C3. D4. A5. D6. B7. B8. C二. 填空题1. 旋转中心；旋转角；形状和大小2. 150°；12.5°3. 5；60°4. 1；85. 点C，180°，AC方向，线段AC6. 93°（提示：BC＝BC’，得旋转角是62°，即∠ABD＝62°）三. 解答题1. 提示：∠AOD为旋转角2. 靶子面积的1/43. △ABC绕点B旋转180°再平移4. 点B不在B'C'上．若点B在B'C'上，则根据旋转特征有AB'＝AB，∠AB'C'＝90°，在R t△AB'B中，直角边AB'等于斜边AB是不可能的．5. （1）将图形①向上平移4个单位长度，得到图形②；将图形②以点P1为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形③，或将图形②向右平移4个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形③（2）P2（4，4）（3）如图所示：。