(全国通用版)19版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座(三)数列、不等式及推理与证明优选学案

高考必考题突破讲座(三)数列、不等式及推理与证明

1．数列的通项与求和

数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算．求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法，常考的求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．

2．数列与函数的综合问题

数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选．

3．数列与不等式的综合问题

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等．如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等．

【例1】 S n 为数列{}a n 的前n 项和，已知a n ＞0，a 2

n ＋2a n ＝4S n ＋3.

(1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝

1

a n a n ＋1

，求数列{}b n 的前n 项和．

解析 (1)由a 2

n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2

n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.

可得a 2n ＋1－a 2

n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，

即2(a n ＋1＋a n )＝a 2

n ＋1－a 2

n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2.

又由a 2

1＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{}a n 是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝

1

a n a n ＋1

＝

1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.

设数列{}b n 的前n 项和为T n ，则

T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝12×⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

15－17＋…＋

⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3(2n ＋3). 【例2】 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *

)，且S 3

＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设T n ＝S n －1S n

(n ∈N *

)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．

解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，

于是q 2

＝a 5a 3＝14

.

又{a n }不是递减数列，且a 1＝32，所以q ＝－1

2

.

a n ＝3

2

×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12

n －1＝(－1)n －1·32

n .

(2)由(1)得S n

＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

1＋1

2n

，n 为奇数，1－12n

，n 为偶数.

当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1

2，T n 随n 的增大而减小，

故0

6

.

当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以3

4＝S 2≤S n <1，T n 随n 的增大而增大，

故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7

12.

综上，对于n ∈N *

，总有－712≤S n －1S n ≤56.

所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7

12

.

【例3】 已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，

n ∈N *.

(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)设双曲线x 2

－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3

n

3

n －1.

解析 (1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.

又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，从而a n ＝q n －1

.由2a 2，a 3，a 2＋2成等

差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，

即2q 2

＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 又因为q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1

(n ∈N *

)．

(2)由(1)可知a n ＝q

n －1

.

所以双曲线x 2

－y 2a n

＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1

).

由e 2＝1＋q 2

＝53，q >0，解得q ＝43.

因为1＋q

2(k －1)

>q

2(k －1)

，所以1＋q 2(

k －1)

>q

k －1

(k ∈N *

)．

故e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1

＝q n －1q －1＝4n －3n

3

n －1.

1．(2018·河北石家庄二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，

S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．

(1)求m 的值；

(2)若数列{b n }满足a n

2＝log 2b n (n ∈N *

)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．

解析 (1)因为S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14，