高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 教案1
3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程 教案(人教A版必修2)
3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】 能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定． 直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程． 【思路探究】 思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】 法一 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1， 所以直线l 的方程为x ＋y ＝1， 即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 【解】 由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1， 整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】 如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0， 得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】 本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】 建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分 设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )， 则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】 由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________． 【解析】 直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】 化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】 把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 【解析】 由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)， 整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】 要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。
【精品】高中数学必修2《直线的两点式方程》教案
3.2.2直线的两点式方程教学内容：人教A版必修2第三章95至97页教学目标:1.掌握直线的两点式和截距式方程,并能运用这两种形式求出直线的方程。
2.了解两点式和截距式的形式特点及适用范围，从而培养学生形成严谨的科学态度。
3.培养学生数形结合的数学思想.教学重点、难点：重点:直线方程的两点式和截距式。
难点：学生对斜率k不存在或斜率k=0时直线方程的理解及其例3。
教材处理及教法分析：本节课中，教师先指导学生推导出了直线的两点式方程和截距式方程，再通过例题练习解决了这两个方程的应用问题，然后再回头处理两点式方程的限制条件，这样将重点和难点分开处理，以便让学生更好的理解掌握。
在教法上采用探究讨论教学法和计算机辅助教学。
学法分析：根据本节课的教学特点，学生的学习方法定为发现学习和接受学习相结合，最大限度的发挥学生的主体参与,并引导学生尝试运用直线方程的多种形式去解题，以培养学生灵活的解题能力。
教具准备：多媒体课件。
实例引入教学环节火箭高度为多少？测点远的观问：在距离发射点测得火箭高度为测点远的观约在距离发射点，８观测点Ａ测火箭高度为远的约２在距离发射点升，时间内按照直线轨迹上号火箭在发射后的一段神州,Ckm7,km11km3km7BOkmO创设问题情景，激发学生的求知欲望。
教师引导学生:在解决该实例时，其中的一种办法是利用已有两点求出直线方程，再代入点P的横坐标来求解高度。
那么利用两点怎样求解直线的方程呢？引出本节课的内容。
教学设计师生内容意图活动提出问题探究解答已知两),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx≠≠，求通过这两点的直线方程。
遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。
使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
引导学生归纳引例中已知两点坐标,求解直线方程的方法，推广到一般情形，推导直线的两点式方程：学生口述，老师板书；得代入点斜式斜率所以并且经过因为直线121221222111,),,(),(xxyykxxyxPyxPl--=≠)(112121xxxxyyyy---=-当21yy≠时，方程可以写成),(2121121121yyxxxxxxyyyy≠≠--=--教师指出：为了与点斜式方程区别，简化解答过程,可以把以上方程直接当成公式来应用由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
直线的两点式方程第一课时教案-人教A版数学必修2第三章直线方程3.2.2
第三章直线方程3.2.2 直线的两点式方程1 教学目标[1]体会直线方程的两点式和截距式的发现和推到过程[2]会运用这两种形式求出相关的直线方程[3]了解直线的两点式和截距式特点及适用X围[4]培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线的方程的两点式和截距式的推导和使用教学难点：两种直线方程的适用X围3专家建议通过引导学生用点斜式方程的求法由特殊到一般推导出直线方程的两点式，培养学生的推理能力和严谨的思维能力.本节课的两点式方程是在已知两点坐标情况下利用上节课的点斜式方程推导而出，因此上节课的点斜式方程的掌握是本节课所需要的基础知识；此外对于垂直于x 轴或y轴的的直线是否可以应用两点式写出直线方程是本节课另一重点；而截距式方程适用的X围是什么？在涉及解决与截距有关的直线问题时，应该如何使用截距是方程是学生不易掌握的内容，教学中应该着重解决。
4 教学方法启发式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】我们上节课学习了直线的点斜式方程和斜截式方程，你能回答他们的一般形式吗？ 【板演/PPT 】引导学生回答点斜式方程：y - y 0= k (x - x 0)，K 为斜率，(x 0,y 0)为直线所过的已知定点。
直线的斜截式方程为：y kx b =+，k 为斜率，b 为纵截距。
【师】他们所适用的X 围是什么？ 【生】斜率存在才能适用上述方程5.2 新知介绍 [1] 直线的两点式方程【师】利用我们所学过的知识思考：已知直线l 过A （3，-5）和B （-2，5），如何求直线l 的方程? 【板书/PPT 】解：∵直线l 过点A （3，-5）和B （-2，5）将A （3，-5），k=-2代入点斜式，得 y －(－5)=－2( x －3 )()23255-=----=∴l k即 2x+y －1=0【师】由特殊到一般,请同学们思考：设直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，（其中x 1≠x 2，y 1≠y 2），你能写出直线l 的点斜式方程吗？ 【生】讨论与计算 【板书/PPT 】利用点斜式写出直线的方程：.)(,,12112121112121121221x x x x y y y y y y x x x x y y y y x x y y k x x --=--≠---=-∴--=≠时，方程也可以写成当直线的方程为【师】根据方程的特点和所借助的条件引导学生总结直线方程两点式的概念 【板书/PPT 】经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.[2] 两点式方程适用X 围【师】那么是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？ 【生】交流和讨论，准备发言),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--【学生表达/PPT 】当x 1 ＝x 2或y 1= y 2时，直线P 1P 2没有两点式程.( 因为x 1 ＝x 2或y 1= y 2时，两点式的分母为零，没有意义) 因此两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线.【师】若点P 1 （ x 1 , y 1 ），P 2（ x 2 , y 2）中有x 1 ＝x 2 ,或y 1= y 2,此时过这两点的直线方程是什么？【生】思考，组织语言 【学生发言/PPT 】当x 1 ＝x 2 时方程为： x ＝x １；当 y 1= y 2时方程为：y= y １【师】同学们，下面看看我们能否运用新学知识解决下面问题 【PPT 】练习：写出过下列两点的直线的两点式方程： 1、M （2，1），N （0，－3） 2、A （5，0），B （0，5）2021311--=---x y 、答案：5050502--=--x y 、155=+⇒y x[3] 探究直线的截距式方程【师】我们已经掌握的根据直线已知的两个点可以直接写出直线方程的两点式方程，下面请同学思考以下问题 【板书/PPT 】例：如图，已知直线 l 与x 轴的交点为A(a,0),与y 轴的交点为B(0,b),其中a ≠0,b ≠0,求直线l 的方程． 【生】思考，计算【师】同学们，说说你的思路和结果 【板书/PPT 】1=+by a x ：师生总结直线方程结果【师】给出直线的截距式方程的定义 【板书/PPT 】当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1x yab+= , 方程称为直线的截距式方程,其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b .【师】截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，下面我们试试应用新知。
高中数学 必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。
高中数学人教A版必修2《3.2.2直线的两点式方程》教案1
必修二《3.2.2直线的两点式方程》教学案一、教学目标1、知识与技能(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3、情态与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)培养学生用联系的观点看问题.二、教学重点、难点：1、 重点：直线方程两点式.2、难点：两点式推导过程的理解.三、教学过程Ⅰ.复习回顾师:上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，首先我们作一简要的回顾(略)， 这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式. Ⅱ.讲授新课1. 直线方程的两点式:),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，并且21x x ≠，所以它的斜率1212x x y y k --=.代入点斜式，得，)(112121x x x x y y y y ---=-. 当12112112,x x x x y y y y y y --=--≠方程可以写成时. 说明:①这个方程由直线上两点确定；②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程. 2. 直线方程的截距式:1=+by a x ，其中a ，b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；②截距式的推导由例2给出.3. 例题讲解:例2.已知直线l 与x 轴的交点为(a ，0)，与y 轴的交点为(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程.解:因为直线l 经过A (a ，0)和B (0，b )两点，将这两点的坐标代入两点式，得:.1,000=+--=--by a x a a x b y 就是 说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.例3.三角形的顶点是A (-5，0)、B (3，-3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.解:直线AB 过A (-5，0)、B (3，-3)两点，由两点式得)5(3)5(030----=---x y 整理得：01583=++y x ，即直线AB 的方程.直线BC 过C (0，2)，斜率是3530)3(2-=---=k ， 由点斜式得:)0(352--=-x y整理得:0635=-+y x ，即直线BC 的方程.直线AC 过A (-5，0)，C (0，2)两点，由两点式得:)5(0)5(020----=--x y 整理得：01052=+-y x ，即直线AC 的方程.说明:例3中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明了求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意.Ⅲ.课堂练习：课本P 97练习 1、2、3Ⅳ.课堂小结师:通过本节学习，要求大家掌握直线方程的两点式，并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.Ⅴ.课后作业:P 100习题3.2 2、3、4。
3.2.2直线的两点式和截距式方程教案高中新人教A版必修2
课题：2.3.2.2直线的两点式和截距式方程
课型：新授课
课程目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
课程重点：直线方程两点式。
课程难度：两点式推导过程的理解
1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
作业训练：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题
课后记:
————————————————以下无正文————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。
【优质文档】人教A版数学必修二教案：§3.2.2直线的两点式方程
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x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线
y
讨论结果： ①若 x 1≠ｘ2 且 y 1≠ｙ2 ,则直线 l 方程为
y1
y2 y1
x x1 . x2 x1
②当 x 1=x 2 时，直线与 x 轴垂直，直线方程为 x=x1；当 y1=y 2 时，直线与 y 轴垂直，直 线方程为 y=y 1.
③倾斜角是 0°或 90°的直线不能用两点式公式表示 (因为 x1≠ｘ2,y1≠ｙ2).
图1 活动 :根据 A 、 B 、 C 三点坐标的特征，求 AB 所在的直线的方程应选用两点式；求 BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求 AC 所在的直线的方程应选用截距式 .
解： AB 所在直线的方程，由两点式 ,得
y 0 x ( 5)
,即 3x+8y+15=0.
3 0 3 ( 5)
5
BC 所在直线的方程，由斜截式 ,得 y=- x+2, 即 5x+3y-6=0.
xy
④
=1.
ab
⑤ a、 b 表示的截距分别是直线与坐标轴
x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点的纵坐标，而
不是距离 .
⑥截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程， 即过原点或
与坐标轴平行的直线不能用截距式 .
（三）应用示例
思路 1 例 1 求出下列直线的截距式方程：
（ 1)横截距是 3，纵截距是 5； （ 2)横截距是 10，纵截距是 -7； （ 3)横截距是 -4，纵截距是 -8. 答案：（ 1） 5x+3y-15=0 ；（ 2)7x-10y-70=0 ；（ 3） 3x+4y+12=0. 变式训练
高中数学：3.2.2《直线的两点式方程》教案(新人教A版2)
使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.
教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当 时,直线与 轴垂直，所以直线方程为： ;当 时,直线与 轴垂直，直线方程为： 。
问 题
设计意图
师生活动
3、例3 教学
已知直线 与 轴的交点为A ,与 轴的交点为B ，其中 ,求直线 的方程.
教师提出：（1)到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
(2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业
巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。
学生课后完成
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3。2.2 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（பைடு நூலகம்)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.
3、情态与价值观
(1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。
教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.
5、课堂练习
第102页第1、2、3题。
学生独立完成，教师检查、反馈.
6、小结
增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式)互相之间的联系的理解。
(2）培养学生用联系的观点看问题.
二、教学重点、难点：
新人教A版必修2高中数学学案教案： 3.2.2直线的两点式方程
数学 3.2.2直线的两点式方程教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：掌握直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法：在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：重点：直线方程的两点式。
难点：直线两点式推导过程的理解。
三、教学过程（一）创设情景，引入新课思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ，求直线l 的方程。
[)1(232-=-x y ] （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
（二）讲授新课1、直线的两点式方程：问题解答：因为21x x ≠，所以1212x x y y k --=，由直线的点斜式方程，得： )(112121x x x x y y y y ---=-，因为21y y ≠，所以),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--为直线的两点式方程。
说明（1）这个方程由直线上两点确定；（2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。
（此时方程如何得到？）思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？（1）当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；（2）当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =。
2、直线的截距式方程：例1、如图，已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
分析：由直线的两点式方程得：⇒--=--aa xb y 0001=+b y a x ，为直线的截距式方程。
高二数学人教A版必修2《3.2.2直线的两点式方程》教案
3.2．2直线的两点式方程
教师姓名
学生年级高二ຫໍສະໝຸດ 课时1课程标准描述
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的两点式和截距式。
考试大纲描述
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的两点式和截距式。
教材内容分析
（概述这节课的价值及学习内容的重要性）
由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式．
学生分析
（学生学习基础准备及学习起点，学习者特征分析等）
在点斜式的基础上，推导出两点式方程，思路自然。
学习目标
1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
重点
直线方程的两点式、截距式，以及根据具体条件求出直线的方程．
难点
直线的两点式方程特殊形式的限制条件。
检查结果及修改意见：
合格[ ]不合格[ ]
教学环节
教学活动
教师复备
导
1.经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？
2.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直线l的方程.
思
1.已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？
2.从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？
当x1=x2时,直线l的方程是;
当y1=y2时,直线l的方程是.
3.已知直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，其中 ，则直线 的方程为；a叫做直线的截距，b叫做直线的截距；把这个方程叫做直线的式方程。
4.直线的截距式方程和两点式方程有什么联系？
精品人教版 必修2 322 直线的两点式方程自用教案.doc
3.2.2直线的两点式方程(一)教学目标1.知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2.过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3.情态与价值观一(1)认识事物之间的普通联系与相互转化；(2)培养学生用联系的观点看问题。
(-)教学重点、难点：1.重点：直线方程两点式。
2.难点：两点式推导过程的理解。
(三)教学设计1、复习点斜式方程：直线/经过点PoSodo)，且斜率为k其方程可表示为为：y-yo = k(x- x0)经过点P o Uo,为)且平行于%轴(即垂直于y轴)的直线方程是y =儿经过点Po氐,为)且平行于y轴(即垂直于%轴)的直线方程是x = x()2、提出问题引入课题得出概念(1)利用点斜式解答如下问题：已知直线/经过点P(l, 2),且斜率A =2求直线/的方程解得：y-2 = 2x(x-l),整理得：2x-y = 0问题1：由前面知识可知，只要知道直线一定点和斜率即可求其方程，如果知道直线上两个点可否求其方程？例如：已知直线/经过两点Pi(l, 2), P2(3, 5),求直线/的方程。
根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？(定点和斜率) 能不能把问题转化为已经解决的问题？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：5-2 3解：设直线/的斜率为贝—=-,3-1 2选Pi(l, 2)为定点，则套用直线的点斜式得：y-2=|(x-l)整理得：3x-2y + l = 0(2)问题2：以上方法是否具有一般性？仿照上面的方法，解决下题已知两点Pl (Xi，Vi), P2(.X2, V2)其中(X1#X2, 求通过这两点的直线方程.解：因为如工心设直线/的斜率为匕则k=^^,x2 -Xj选P1(M,力)为定点，则套用直线的点斜式得：丫-力=巴二巴(―和x2一旺当旳工力时'方程可写成 ~ =兀西(兀1工兀2，”工旳)力一％吃一兀1故只要知道直线上的两点P1(X1, yi)9 P2 (%2＞歹2)其中(兀1H兀2，丁1工丁2)，则其直线方程为：—―=兀西(兀1 H兀2，开工旳)力一必兀2一兀1请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式(two-pointform).3、概念深入：问题3：如果把以上题目的题设条件兀1工兀2，改为：Xi=X29或力=歹2, 此时这两点的直线方程是什么？引导学生通过画图、观察和分析，发现X l=x2时，直线与X轴垂直，所以直线方程为：x = xi；当YI = y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：丁=刃.记忆公式：要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x 代换得到.4、练习(与前面的解法做对比)：已知直线/经过两点Pi (1, 2), P2 (3, 5),用两点式求直线/的方程？解得：—_ =—_，得：—_ =—_ 即：2(v-2) = 3(x-l),整理得：3x —2y + l = 0 5-2 3-1 3 25、例3：已知直线/与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B (00),其中aHO, b H0.求直线I的方程.引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线1的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程。
高中数学必修二3.2.2直线的两点式方程教案新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程（一）导入新课 思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点经过两点P P 1(1,2),P 2(3,5),(3,5),求直线求直线l 的方程的方程. .（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)()(其中其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程，求通过这两点的直线方程. . 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，①A(8，-1)-1)-1)，，B(-2B(-2，，4)4)；；②A(6，②A(6，-4)-4)-4)，，B(-1B(-1，，2)2)；； ③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程及求解过程) )这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢一个什么名字呢? ?（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)()(其中其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程，求通过这两点的直线方程. . ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)A(a,0)，与，与y 轴的交点为B(0,b)B(0,b)，其中，其中a≠0,b≠0，求直线l 的方程的方程. .⑤a、⑤a、b b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程..师生共同归纳：师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.a.利用直线的斜率公式求出斜率利用直线的斜率公式求出斜率k;b.b.利利用点斜式写出直线的方程用点斜式写出直线的方程. .∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --,∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).①).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.②.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. .注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆..如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. .②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件③引导学生注意分式的分母需满足的条件. .④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形..教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程方法更为简捷？然后求出直线方程. .因为直线l 经过经过(a (a (a，，0)和(0(0，，b)b)两点，两点，将这两点的坐标代入两点式，得aa xb y --=--000.①.① 就是b y a x +=1.②=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观②这个方程形式对称、美观,,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；轴上的截距，简称横截距；b b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距简称纵截距. .因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式距式. .⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离轴交点的纵坐标，而不是距离. .⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. .讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--.②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示90°的直线不能用两点式公式表示((因为x 1≠x 2,y 1≠y 2).④by a x +=1. ⑤a、⑤a、b b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离不是距离. .⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式与坐标轴平行的直线不能用截距式. .（三）应用示例思路1例1 1 求出下列直线的截距式方程：求出下列直线的截距式方程：求出下列直线的截距式方程：（1)1)横截距是横截距是3，纵截距是5；（2)2)横截距是横截距是1010，纵截距是，纵截距是，纵截距是-7-7-7；；（3)3)横截距是横截距是横截距是-4-4-4，纵截距是，纵截距是，纵截距是-8. -8.答案：（1）5x+3y-15=05x+3y-15=0；；（2)7x-10y-70=02)7x-10y-70=0；；（3）3x+4y+12=0. 变式训练已知已知Rt△ABC 的两直角边AC=3AC=3，，BC=4BC=4，，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程所在的直线方程. .答案：4x-3y+12=0.例2 2 如图如图1,1,已知三角形的顶点是已知三角形的顶点是A(A(－－5，0)0)、、B(3B(3，－，－，－3)3)3)、、C(0C(0，，2)2)，求这个三角形三边所，求这个三角形三边所在直线的方程在直线的方程. .图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式所在的直线的方程应选用截距式..解：AB 所在直线的方程，由两点式所在直线的方程，由两点式,,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0.BC 所在直线的方程，由斜截式所在直线的方程，由斜截式,,得y=-35x+2,x+2,即即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式所在直线的方程，由截距式,,得25yx +-=1,=1,即即2x-5y+10=0. 变式训练如图如图2,2,已知正方形的边长是已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程及对称轴所在直线的方程. .图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程..而正方形的对称轴PQ PQ，，MN MN，，x 轴，轴，y y 轴则不能用截距式，其中PQ PQ，，MN 应选用斜截式；应选用斜截式；x x 轴，y 轴的方程可以直接写出轴的方程可以直接写出. .解:因为因为|AB|=4|AB|=4|AB|=4，所以，所以，所以|OA|=|OB|=|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为的坐标分别为(2(22,0),0)、、(0,22)、(-22,0),0)、、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222y x+=1,=1,即即x+y-22=0.2222-22222--22222-2x-y+11=0. 42+-31+-22)51()11(-++5=-6，设y-3=61(x-4),(x-4),即设直线方程为b y a x +=1,=1,则由题意知有21ab=3,∴ab=4.ab=3,∴ab=4. 则直线方程是14+=1或41+=1,=1,即时，设a y a x +=1或a ya x -+=1,=1,过点（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升问题：把函数y=f(x)y=f(x)在在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，之间的一段图象近似地看作直线，设设a≤c≤b，证明f(c)f(c)的近似值是的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］. 证明：∵A、∵A、B B 、C 三点共线，∴k AC =k AB ,即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(.∴f(c)∴f(c)-f(a)=-f(a)=a b a c --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］.（六）课堂小结 通过本节学习，通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用并能运用这两种形式求出直线的方程这两种形式求出直线的方程..理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础为今后的学习打下良好的基础..了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神的数学精神. .（七）作业课本习题3.2 A 组9、10.。
高中数学 §3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 教案(系列四)
3.2.2 直线的两点式方程一、教材分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
三、教学重点与难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.1（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程.思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程.②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a 、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).①当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x =1. ⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.（三）应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222y x+=1,即x+y-22=0. BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为by a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b ，证明f(c)的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. 证明：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(. ∴f(c)-f(a)= a b a c --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)］.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（七）作业课本习题3.2 A 组9、10.。
直线的两点式方程教案(定稿)
《3.2.2直线的两点式方程》教案教学目标：1、掌握直线的两点式方程（直线方程的两点式）形式特点及适用范围；2、会灵活运用直线的两点式方程（直线方程的两点式）解答相关问题. 教学重点：直线方程的两点式的推导及运用其解答相关问题. 教学难点：运用直线方程的截距式解决有关问题. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程： 一、情景再现1.提问前面我们已经学习了直线的哪几种方程形式？ 点斜式方程： 斜截式方程： 特殊情况下： 2.小练习 问题1:过点(2,-3)，斜率是1的直线方程为 ； 问题2:已知直线l 经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l 方程. 设计意图：让学生熟练掌握使用点斜式的两个条件，使学生熟练掌握运用两点的坐标和直线的点斜式方程解题的能力. 二、新知探究思考1、已知两点()112,P x x ，()222,P x y 其中()1212,x x y y ≠≠，求通过这两点的直线方程.解：1、当21x x ≠时，直线斜率存在，且斜率2121y y k x x -=-，所以根据直线的点斜式方程()00y y k x x -=-得：()()2111121y y y y k x x x x x x --=-=--即设计意图：教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，可求出直线方程，从而引出直线的两点式方程.公式特点：思考2：已知任一直线中的两点坐标，是否可以用两点式写出该直线方程呢？思考3：若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？2、当12x x =时，直线斜率不存在，此时直线垂直于x 轴，且过定点()1,0x ，所以直线的方程为1x x =.注：（1）、当12y y ≠时，方程可以写成()1112122121,y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.（2）、()112,P x x ，()222,P x y 中有12x x =，此时这两点的直线方程是什么？ 当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：12x x x ==.（3）、()112,P x x ，()222,P x y 中有12y y =，此时这两点的直线方程是什么？ 当12y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：12y y y ==.例1.已知直线l 经过两点P1（2,2），P2(6,-2),求直线的方程。
人教A版高中数学必修二 3-2-2 直线的两点式方程 导学
3.2.2直线的两点式方程学习目标：1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围重点：直线的两点式方程 难点：直线的截距式方程 学习过程 一、知识链接复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 .2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 . 3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.（预习教材P 95~ P 97，找出疑惑之处）二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示）1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的 方程，简称两点式注意：哪些直线不能用两点式表示？2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程 叫做直线的截距式方程.注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标 叫做直线在y 轴上的截距.3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？例1、求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程. ⑴(2,1),(0,3)A B -；⑵(4,5),(0,0)A B --.例2 、已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 学习小结1.直线方程的各种形式总结为如下表格：2.中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==当堂检测：1. 直线l 过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b 在l 上，则b 的值为（ ）. A ．2003 B ．2004 C ．2005 D ．20062. 若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件( )A. ,,A B C 同号B. 0,0AC BC <<C. 0,0C AB =<D. 0,0A BC =< 3. 直线y ax b =+（0a b +=）的图象是( )4. 在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为3- 的直线方程 .5. 直线21y x =-关于x 轴对称的直线方程 ，关于y 轴对称的直线方程 关于原点对称的方程 .6、已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，求此直线l 的方程．7．求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l 的方程．8、．直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．。
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3.2.2《直线的两点式方程》教案
【教学目标】
1.直线的两点式方程的推导过程；
2.直线的截距式方程的构成，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围； 3 截距的含义。
掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。
【导入新课】 问题导入：
利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。
（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121
y y x x ≠≠，求通过这两点的直
线方程。
新授课阶段
1.直线的两点式方程的推导过程
已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
（1）)1(2
3
2-=-x y
（2）)(11
21
21x x x x y y y y
---=
-
指出：当21y y ≠时，方程可以写成
),(21211
21
121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21
x x =，或21y y =，此时这两点的直线方
程是什么？
当21
x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y
轴垂直，直线方程为：1y y
=。
例1 已知直线l ：120kx y k -++= (1) 证明直线l 经过定点；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；
（3） 若直线不经过第三象限，求k 的取值范围。
解：（1）（－2，1）；（2）由直线l 的方程得A （－12k
k
+，0），B （0，1＋2k)，由题知：－
12k
k
+＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0 ∵S=12 |OA||OB|=11
(44)2k k
++≥4．
当且仅当k ＞0,4k=1k ,即k=1
2
时，面积取最小值4，此时直线的方程是：x －2y ＋4=0．
(3)由（2）知直线l 在坐标轴上的截距，直线不经过第四象限则－
12k
k
+≤0，且1＋2k≥0，∴k ＞0。
2.直线的截距式方程
设直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，此
时直线l 的方程为
1=+b
y
a x ，称此方程为直线的截距式方程。
例2一条直线经过点M （2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。
解：设所求直线为x a +y
b =1（ab≠0），由已知得 ⎩
⎪⎨⎪⎧a+b=6，2a + 1b =1，
解得 ⎩
⎪⎨⎪⎧a=3，b =3，或⎩⎪⎨⎪
⎧a=4，b =2．
此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。
当a 、b 中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和是6 ，因而舍去。
故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。
课堂小结
1.直线的两点式方程的推导与应用；
2.直线的截距式方程的应用。
作业
见同步练习部分 拓展提升
1．过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距为 （ ）
A ．－32
B ．－23
C ．2
5
D ．2
2．已知两点A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3. 已知两直线：1170a x b y ++=,2270a x b y ++=,都经过点（3，5），则经过点（a 1,b 1),(a 2,b 2)的直线方程是 。
4. 直线l 上有两点A （2，0）、B （6，4），直线l 绕A 旋转90°后得l ′，同时B 点到达C 点，求C 点的坐标。
参考答案
1．A【解析】用两点式直线方程。
2．B【解析】用截距式方程，结合基本不等式。
3．3x＋5y＋7=0【解析】两点（a1,b1),(a2,b2)都适合方程3x＋5y＋7=0，而过这两点的直线是惟一的。
4．解：数形结合解三角形得：顺时针转90°时，C点的坐标为（6，－4）；逆时针转90°时，C点的坐标为（－2，4）。