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2０05年１月高等教育自学考试全国统考课程《高数（二)》预测试题命题老师:林士中(一)单项选择题(２０×2分＝４０分) (１）Ａ与Ｂ都是ｎ阶方阵,则成立的是（）A.(A-B)（A ＋B ）＝22B A - B ．ＡB=０则Ａ=0或B=０ C.|AB ｜＝|A||Ｂ| D ．222B A )AB (=（２)若A 可逆且k ≠0,则=-1)KA (（）A ．A* Ｂ．1kA -C.1A k1- D.12A k - (3）若向量组321,,ααα线性相关,则必有（）A.321,,ααα中有零向量 Ｂ．21k α=αC ．321,,ααα中有一个可以由其余两个线性表示 D.32211k k α+α=α（4)若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=300320121A ,则不是2A 的特征值的是(）A ．1B ．-2C ．4D ．9（5)若AP P B 1-=且α是A 的特征向量，则B 的特征向量是（)A.α B ．P αＣ．α-1P Ｄ.Ａα（6)ｎ个未知数m 个方程的齐次线性方程组A ｘ=0有非零解的充分必要条件是()Ａ．m ≤n B ．m<n C.m ＞n D.ｒ(A)＜ｎ(7)若二次型的矩阵Ａ的特征值为１,2,0，则二次型的标准型中完全平方项的个数为()A ．0 B.1 C.２ D.3(8）若321,,ααα都是非齐次线性方程组A ｘ＝B 的解,则必为对应的齐次方程组Ax ＝０的解是（）A ．321α+α+α Ｂ.321α-α-αC ．321α+α-α D.3212α-α-α（9）A 与Ｂ为两事件,则A 与B 中恰有一个发生的事件是()A ．A ＋B B.ABＣ．B A D ．B A B A + (１0)P(Ａ)=0．８,Ｐ(B)=0．7，则P(AB ）的最小值为Ａ.0.3 B.0．４ C.0.7 D.0.６ (1１）若ξ~B(１０0，0.2），η～Ｎ(１0,4），0,=ρηξ,则D （ξ－η)＝()A ．１２B ．14C ．1８D ．2０（12)若ξ的概率分布为，F(x)是ξ的分布函数,则F(2)＝（）Ａ．0.１ B ．０.3 Ｃ．０．4 D.0.7（13)设θˆ是未知参数θ的估计量且θˆE =θ,则θˆ是θ的() A ．最大似然估计 Ｂ．矩估计 C ．有效估计 Ｄ.无偏估计(１4）若ξ的密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,0bx 0,x 21)x (p ，则b ＝(）A ．1B ．2C ．３ D.4(15)若321x ,x ,x 是ｘ的一个样本,Ｅx=μ,若321ax x 31x 21ˆ++=μ是μ的无偏估计,则a=（) A ．21 B.31C.61D.121 （1６)设总体),(N x 2σμ～，∑=--=n1i 2i 2)x x (1n 1S ，S)x (n Y μ-=,则Y ～（)A ．)n (2χ B.)1n (2-χ C.ｔ(n) D.t(n －1)（１7)若ｘ在[0，４θ］ 上服从均匀分布,n 21x ,,x ,x 是ｘ的样本,∑==n1i ixn1x ，则θ的无偏估计为(）A ．x 41B ．x 21C.x 31D ．x(18）设)2,(N x 2μ～,随机抽样１0件,欲对均值μ进行检验，应采用（）Ａ.z —检验法 Ｂ．t —检验法 C.2x —检验法 D ．F —检验法（19)总体),(N x 20σμ～,μ的置信区间)nz x ,nz x (095.0095.0σ+σ-的置信度为（）A ．０.8 B.0.9C.0.９５ D ．0．9７５ （20)反映数据n 21x ,,x ,x 的变异特征的是（)A.众数 B ．平均数 Ｃ．极差 Ｄ．中位数 (二）计算题（12×４分=4８分)（21)若1α=(１，1,a)，2α＝(1,a,１),3α=（a,１，1)线性相关,求a 。

(２２)若0A 2=,验算)A I ()A I (1+=--(２3)某产品使用１０００小时仍正常的概率０.8,使用200０小时仍正常的概率０．４，从中任取一件已使用1０00小时仍正常的产品，求所取的这件产品能正常使用２０00小时的概率。

(24）设随机变量⎩⎨⎧≤≤=ξ其它～,02x 0,k )x (p ，求（ｉ）k (ii)ξE （iii ）2E ξ (iv)ξD(25)已知方程组1x x 21=-,1x x 32=-，1x x 43=-，1x x 54=-，a x x 15=-有解，求 （ｉ)a （ii ）求它的全部解和基础解系 (26）已知E ξ=3，D ξ=2，求])2[(E 2-ξ (２７)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3211B 解方程 AX=Ｂ＋X (２8）甲、乙、丙三人独立射击目标,甲的命中率为0．3,乙的命中率为０.4，丙的命中率为０.5。

求目标被击中的概率。

（29)⎩⎨⎧≤≤=其它ξ～,01x 0,x 2)x (p ,求ξ~F （x ）。

(30))2,100(N 2ξ～，求P （|ξ-100｜≥2)（Φ(1）=0.8４13） （３1）已知⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他～ηξ,01y 0,1x 0,xy 4)y ,x (p ),(求:（ｉ)Ｅξ(ｉi ）Ｅη(ｉi ｉ)E （ξη)(iv ）co ｖ(ξ，η) （3２)经试验对一组数据)y ,x ()y ,x ()y ,x ()y ,x (44332211经计算得3000x57000yx 2000y100x41i 2i41i ii 41i i41i i====∑∑∑∑====请写出ｙ对x 的线性回归方程。

(三）综合题(2×6分=12分）（33）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x 10100002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000y 0002B ,已知A ～Ｂ求(i ）x ，(ｉi ）ｙ，(iii ）Ａ的特征向量(３4)若⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤θ=其它ξ～,0x 0,1)x (p 是ξ的样本n 21x ,,x ,x用最大似然估计法求θˆ。

高数(二)预测试题答案（一)（1）选C(2）∵I AA )kA )(A k1(11==-- ∴选Ｃ（3)(A ）（B)(Ｄ)都不对,例如1α=（1，０,０）2α=（0,1，０)3α=(0,2,0）应选C 。

（4）∵A 的特征值为-1，-2,-3，∴2A 的特征值为222)3(,)2(,)1(--- ∴选Ｂ(5）∵)P (P A P )P )(AP P ()P (B 111111αλ=λα=α=α=α------∴选C(６)r(A)＜ｎ表示保留方程个数<未知数个数n∴选D（7）二次型f 的标准型为2n n 222211y y y f λ++λ+λ= 其中)n ,2,1i (i =λ为ｆ的矩阵A 的特征值。

∴选C（8）∵0B B B 2A A A 2)2(A 321321=--=α-α-α=α-α-α∴选D （9）选Ｄ(１0)∵P(AB)=P(A ）+Ｐ（Ｂ）-Ｐ(A+B)＝0.8+０.7-P(A+B ）Ｐ(A ＋B)的最大值为1∴P(A Ｂ)的最小值为0.8+０.7-1=0.５(1１)D ξ＝n ｐ(1-ｐ）＝100×0.2×0．8＝16 D η=4∴ρ=0时，Ｄ（ξ-η）=D ξ+Ｄη=20 选Ｄ（1２)Ｆ(2)＝Ｐ(ξ≤2）=P （ξ=0)＋P （ξ=1）+P （ξ=2)=０.4 选C (13）选D(14）∵14b x 41xdx 21dx )x (p 2b 02b====⎰⎰∞+∞- ∴选B (１５)∵1a a a x a x a x a n 21n n 2211=+++⇔+++=μ 无偏∴1a 3121=++ ∴61a = 选C (16）选Ｄ（１7)∵x 在[4，４θ］上服从均匀分布∴θ=θ+=μ2240 ∴μ=θ21取x 21ˆ=θ,则θ=μ===θ21x E 21)x 21(E ˆE 选Ｂ。

(18）选A (19）选Ｂ （20)选C（二）(21）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-+-)a 2)(a 1(00a 11a 0a11a 1a 10a 11a 0a 1111a 1a 1a 11A 2a ③②③①②① ∵321,,ααα线性相关∴ｒ（A ）<3 ∴①a=1，②a=-2 (22)∵I A A A I )A I )(A I (22=--+=+-∴∴A I )A I (1+=--（２３）用Ａ表示产品正常工作１000小时以上Ｂ表示产品正常工作2000小时以上 ∴A ⊃B则B|A 表示产品正常工作1000小时的条件下,正常工作200０小时的事件。

P(B|A)5.08.04.0)A (P )B (P )A (P )AB (P ====(24）（i ）1k 2|kx kdx dx )x (p 2020====⎰⎰+∞∞- ∴21k =（ii ）1x 41xdx 21dx )x (xp E 222====⎰⎰∞+∞-ξ(iii)34x 61dx 21x dx )x (p x E 232222====⎰⎰⋅∞+∞-ξ （ｉv ）31134)E (E D 222=-=-=ξξξ （2５)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4a 000111000101100100110100011a 10001111000101100100110100011)B ,A (∴a+4=0即a=－4时有解，这时 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→0000001110002101003100104100010000111000101100100110100011B ,A ）（∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=54535251x 1x x 2x x 3x x 4x基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=η11111 特解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01234ξ∴全部解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111C 01234X(2６）)44(E )2(E 22+-=-ξξξ 3412924E 4)E (D 4E 4E 22=+-+=+-+=++=ξξξξξ （２７）∵AX ＝B+X∴(A-Ｉ)X=Ｂ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3320I A∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--032361)I A (1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-3331613211032361B )I A (X 1 (28）用A 表示目标被击中∴)(P )(P )(P 1)(P 1)A (P 1)A (P 丙乙甲丙乙甲-=-=-==1-0.7×0.６×0.5=1-0.21=0．79（29）(i ）x<0时，0dx 0dx )x (p )x (P )x (F xx===≤=⎰⎰∞-∞-ξ(ii ）0≤x ≤1时,⎰∞-=≤=xdx )x (p )x (P )x (F ξ2xxx dx x 20dx )x (p dx )x (p =+=+=⎰⎰⎰∞-（ｉｉｉ)1＜x 时，⎰∞-=xdx )x (p )x (F1xdx x 20dx)x (p dx )x (p dx )x (p 1021x11==++=++=⎰⎰⎰⎰∞-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=x 1,11x 0,x 0x ,0)x (F 2＜＜（３0）P(|ξ-100|≥2）=１-Ｐ(|ξ-100｜≤２)=1-P （98≤ξ≤102)=１-｛Φ(1）-Φ（-1）｝=1-{2Φ(1)-1}=2-2Φ（1） =2×(1-０.8413)＝０.317４（31）(i)E ξ=32x 32dx x 2dx y x 2xydy 4x dx 131021010221010====⎰⎰⎰⎰⋅（ｉi)E η＝32x 32dx x 34dx xy 34xydy 4y dx 121113110====⎰⎰⎰⎰⋅ (iii)Ｅ(ξη）=⎰⎰⎰⎰==⋅⋅12101321010dx x 34dx y 31x 4xydy 4xy dx 94x 9413== （ｉv)cov(ξη）＝E(ξη)-(E ξ)(E η)=0(32）（ｉ)50041003000)x (n 1xl 2241i i 41i 2ixx =-=-=∑∑== (i ｉ)700010020004157000)y )(x (n1yx l ii41i iixy =⨯⨯-=-=∑∑∑=（i ｉi)145007000l l bˆxxxy === （iv ）2510041x41x 41i i=⨯==∑= 500200041y 41y 41i i =⨯==∑= （ｖ)1502514500x b ˆy aˆ=⨯-=-= （vi)x 14150x b ˆa ˆyˆ+=+= (三）(33）(i)B 的特征值为2，－1,y∵A~B ∴A 的特征值与B 相同为2，－1,y ∴－1是A 的特征值∵|A －λＩ |＝０ ∴|A+I|=0 ∴01x 10110003=+ ∴3x=0 ∴x ＝0 （ii ）∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002AA 的特征值为|A －λI |=01(210100022=-λλ-=λ-λ-λ-））（ ∴A 的特征值为2,-１,１∴B 的特征值也为２,-1,1∴y=１（iii)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λ-=λ000100010000300210210120000)I A (211时 ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α0011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λ-=λ000110001110110001I A 122时∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α1102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ--=λ000110001110110003I A 133时 ∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α1103(34)（i)∵⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤θ=θ其它,0x 0,1)(L n∴ θ≥m ａx )x ,,x ,x (n 21 时,n )(L -θ=θ (ii)0nn )(L 1n 1n ＜+--θ-=θ-=θ'∴Ｌ(θ）单减即θ越小，Ｌ（θ)越大θ取最小值时Ｌ(θ)取最大值 ∵θ≥max )x ,,x ,x (n 21 ∴θ的最小值为max )x ,,x ,x (n 21 ∴)x ,,x ,x max(ˆn21 =θ。