数字信号的最佳接收

§8.4 随相信号的最佳接收（2）
随机相位信号是指除信号相位 外，其 余参数都确知的信号形式（如具有随机相位 的2ASK，2FSK信号）。
根据差错概率最小准则，可得判决规则为
M1 M 2 , M1 M 2 ,
M 1 {[ M 2 {[
T 0 T
式中
判为s1出现 判为s2出现
， Pe 0
（2）当 P( s1 ) 1
，此时 Pe 仅与两信号
之差的能量 n0 有关。
§8.3 确知信号的最佳接收 （10）
（3）当 P( s1 ) 10或0.1 ，经计算可证此时的 Pe
P ( s2 )
将比先验等概时略小。 左图给出了不同先验概 率时错误概率 Pe 与A的关系， 其中A为

T
0
[ y (t ) si (t )]2 dt}
f Si ( y ) 称为似然函数
§8.2 关于最佳接收准则 （1）
在数字通信中，由于噪声和畸变的作用，会 造成错误接收。自然我们期望错误接收的概率越 小越好。因此，在数字通信中最直观和最合理的 准则便是“最小差错概率”。
对于二进制数字通信系统，每一次判决总的 平均错误概率为
最佳接收概念？ 通信系统传输特性的不理想以及噪声 的存在，都会对接收系统的性能产生影响。 最佳接收理论以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何最好地提取有用信号。 所谓最佳接收，就是在某个准则下构成最 佳接收机，使接收性能达到最佳。
§8.1 数字信号接收的统计表述（1）
从统计学的观点看来，数字通信系统可以用 一个统计模型来表述，如下图
§8.5 实际接收机与最佳接收机的性能比较（3）
S S r N n0 B
Eb ST S n0 n0 n ( 1 ) 0 T
实际接收机与最佳接收机的错误概率在公 式形式上是一样的。由于实际接收机的带通滤 波器B总大于 1 T ，所以在同样输入条件下，最 佳接收机的性能总是比实际接收机的性能好。
1 实际接收系统Pe erfc 2 对于相干2 ASK 最佳接收系统Pe 1 erfc 2 r 4 Eb 4n0
1 r 实际接收系统Pe 2 exp( 2 ) 对于非相干2 FSK Eb 1 ) 最佳接收系统Pe exp( 2 2n0
统计判决模型
§8.1 数字信号接收的统计表述（2）
若发送信号为s(t)，有m中取值 S1 , S 2 ...S m ,
信道噪声n(t)为零均值高斯噪声，则观察空 间状态y(t)为
y(t ) n(t ) s(t )
当出现信号si时，y的概率密度函数为
1 f Si ( y ) exp{ k n0 ( 2 n ) 1
1 实际接收系统Pe 2 erfc r 对于相干2 PSK Eb 1 最佳接收系统Pe erfc 2 n0
1 实际接收系统Pe erfc 2 对于相干2 FSK 最佳接收系统Pe 1 erfc 2 r 2 Eb 2n0
§8.5 实际接收机与最佳接收机的性能比较（2）
Pe P( S1 ) f S1 ( y)dy P( S 2 ) f S2 ( y)dy
' y0

' y0

§8.2 关于最佳接收准则 （2）
由于先验概率 P(s1 )和P(s2 ) 一般认为是确 ' y0 的 定的，因此平均错误概率 Pe 是划分点 函数。采用求极值的分析方法，找到最佳划分 ' 点 y 0 ，使平均错误概率 Pe 满足
Pe 2 erfc 2n0
当 1 时， Pe 有最小值，即
Eb 1 Pe erfc 2 n0
当 0 时， Pe 为
Eb 1 Pe erfc 2 2n0
§8.3 确知信号的最佳接收 （15）
当 1 时，
结论
1 Pe 2
二进制确知信号的最佳形式即为 1 的 形式（如2PSK信号)；使 0 的信号形式(如 2FSK信号）将比 1 的信号在信噪比性能上 差3dB； 使 越接近于1的信号形式，其接收 性能就越差，以致通信无效。
在先验等概的情况下，极限性能 Pe 可简 z 化为 1
2
Pe
2
e
b
2
dz
定义 s1 (t )和s2 (t ) 的互相关系数为
T

s (t ) s (t )dt
1 2 0
E1 E2
1 1
§8.3 确知信号的最佳接收 （14）
当 E1 E2 Eb 时，错误概率 Pe 可表示为 Eb (1 ) 1

0
则判为 s 出现 1
1 P ( s1 ) exp{ n0 1 P ( s2 ) exp{ n0

T
0 T
[ y (t ) s1 (t )]2 dt} [ y (t ) s2 (t )]2 dt}

0
则判为 s 2 出现
§8.3 确知信号的最佳接收 （4）
经简化得
U1 y (t ) s1 (t )dt U 2 y (t ) s2 (t )dt,
ro max | s0 (t0 ) |2 2 E N0 n0
式中
1 E 2



| s( ) |2 d
为信号所s(t)的总能量
§8.6 匹配滤波器 （3）
出现信噪比最大的条件
H ( ) kS* ( )e jt0 H ( ) 就是最佳线性滤波器传输特性，由于该传输 特性与信号频谱的复共轭相一致，故又称其为 匹配滤波器。 匹配滤波器的单位冲击响应为
图8.3.1 确知信号最佳接收机结构
§8.3 确知信号的最佳接收 （6）
简化最佳接收机的原理结构图
图8.3.2 先验等概时最佳接收机结构
§8.3 确知信号的最佳接收 （7）
2. 二进制确知信号最佳接收机的性能
最佳接收机是按最佳判决规则设计的， 因而，具有最小的错误概率。显然，这个 “最小错误概率”表征了最佳接收机的极 限性能，这时的错误概率为
§8.4 随相信号的最佳接收（1）
随机相位信号是指除信号相位 外，其 余参数都确知的信号形式（如具有随机相位 的2ASK，2FSK信号）。
1. 二进制随相信号的最佳接收机
设接收机输入端的两个等概率出现的随相 信号为 s1 (t , 1 ) A0 cos(1t 1 ) s2 (t , 2 ) A0 cos(2t 2 )
§8.3 确知信号的最佳接收 （12）
几点重要概念
因此，若知道先验概率分布，则应按图8.3.1 设计最佳接收机。以便得到最小的 Pe 。但先验 概率分布是不易确知的，故实际中常常选择先验 等概的假设，并按图8.3.2设计最佳接收机的结构。
§8.3 确知信号的最佳接收 （13）
3. 二进制确知信号的最佳形式
h(t ) ks(t0 t )
§8.6 匹配滤波器 （4）
1 A [s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0
T
§8.3 确知信号的最佳接收 （11）
几点重要概念
（1）在A一定的情况下，先验等概时的错误 概率 Pe 最大，这就是说先验等概对于差错性能 而言是一种最不利的情况； （2）若先验不等概，则得到的 Pe 将比等概 时略有下降。
§8 数字信号的最佳接收
第八章 数字信号的最佳接收
数字信号接收的统计表述及最佳接收准则 二进制确知信号的最佳接收原理及抗噪声性能
二进制确知信号的最佳形式
匹配滤波器原理、实现及应用 实际接收机与最佳接收机的性能比较 多进制确知信号的最佳接收原理 基带系统的最佳化
数字信号的最佳接收
§8.6 匹配滤波器 （1）
1. 匹配滤波器的原理 理论分析和实践证明，如果滤波器的输出 端能够获得最大信噪比，则就能最佳地判决信 号的出现，从而获得最佳的性能。匹配滤波器 就是输出信噪比最大的最佳线性滤波器。
2 Eb A0 T 2
§8.6 匹配滤波器 （2）
设匹配滤波器传输函数为 H ( ) ，其输入 信号s(t)的频谱函数是 S ( ) ，输入噪声为白 噪声，其双边带功率谱为 n0 2 。匹配滤波器 在抽样时刻 t 0 上有最大的信号瞬时功率与噪 声平均功率的比值，即
f S1 ( y ) f S2 ( y ), f S1 ( y ) f S2 ( y ), 判为 1 判为 2
最大似然准则时似然比准则的一个特例。
§8.3 确知信号的最佳接收 （1）
经信道到达接收机输入端的信号可分 为确知信号和随参信号两类。确知信号是 指信号的所有参数（幅度、频率、相位、 到达时间等）都是确知的，未知的只是信 号出现与否。
2 T 1 2 2
0
y (t ) cos1tdt] [ y (t ) sin 1tdt] } 0 1 T y (t ) cos2tdt]2 [ y (t ) sin 2tdt]2 }2 0
§8.4 随相信号的最佳接收（3）
根据上述判决规则可以构造二进制随相信 号的最佳接收机
§8.3 确知信号的最佳接收 （2）
1. 二进制确知信号的最佳接收
在观察时间（0，T）内，观察到的波形y(t)可 表示为
y(t ) {S1 (t )或S2 (t )} n(t )
1 f S1 ( y ) exp{ k n0 ( 2 n )
1 f S2 ( y) exp{ n0 ( 2 n ) k 1
Pe P( s1 ) PS1 ( s2 ) P( s2 ) PS2 ( s1 )
1 P ( s1 )[ 2

e
b
z2 2
1 dz] P ( s2 )[ 2

b'
e
z2 2
dz]
§8.3 确知信号的最佳接收 （8）
其中
b 1 [ s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0
0
T
T
T
判为s1
判为s2
0
T
U1 y (t ) s1 (t )dt U 2 y (t ) s2 (t )dt,
0 0
其中
n0 U 1 ln P ( s1 ) 2 n0 U 2 ln P ( s2 ) 2
§8.3 确知信号的最佳接收 （5）
可得二进制确知信号最佳接收机的原理结构图
§8.3 确知信号的最佳接收 （9）
由上看出，最佳接收机的极限性能 Pe 与先 验概率 P( s1 ) 和 P( s2 ) 、噪声功率谱 n0 及两信 号之差的能量有关，而与 s1 (t ) 及 s2 (t ) 本身的具 体结构无关。
讨论 （1）当
P ( s1 ) 0或 P ( s2 ) P ( s2 )
Pe 0 ' y 0
可得似然比准则为
§8.2 关于最佳接收准则 （3）
P ( s2 ) , f S 2 ( y ) P ( s1 )
P ( s2 ) , f S 2 ( y ) P ( s1 ) f S1 ( y )
f S1 ( y )
判为 1
判为 2
当
P(s1 ) P(s2 ) 时，可得最大似然准则为
§8.4 随相信号的最佳接收（4）
2. 二进制随相信号最佳接收机的性能
在发送信号 s1 (t , 1 )和s2 (t , 2 ) 等能量且先 验等概的情况下，最佳接收机的错误概率为
1 Pe e 2
Eb 2 n0
式中
2 Eb A0 T 2
§8.5 实际接收机与最佳接收机的性能比较（1）
1


T
0
[ y (t ) s1 (t )]2 dt}
[ y (t ) s2 (t )]2 dt}
T
0
由判决规则得到：
§8.3 确知信号的最佳接收 （3）
1 P ( s1 ) exp{ n0 1 P ( s2 ) exp{ n0

T
0 T
[ y (t ) s1 (t )]2 dt} [ y (t ) s2 (t )]2 dt}
TlnT源自P ( s1 ) P ( s2 )
1 2 [ s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0 ln
T
b'
1 [ s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0
T
P ( s2 ) P ( s1 )
1 2 [ s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0