均值定理专题归纳与训练

均值不等式的应用

一．均值不等式

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”

） (3)若*

,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”

） 3.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”

）;若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x

≠，则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 4.若0>ab ，则

2

≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤

+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 (1)y ＝3x 2

＋12x 2

（2）y ＝x ＋1

x

技巧一：凑项 例2：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值.

技巧二：凑系数 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值.

变式：设2

3

0<

技巧三： 分离 例4. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域. 技巧四：换元 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+

的单调性。例5：求函数22

4

y x =

+的值域.

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231

,(0)x x y x x ++=

> （2）12,33

y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y =.；3．2

03

x <<

，求函数y =值.

条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

变式：若44log log 2x y +=，求11

x y

+的最小值.并求x,y 的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

变式：（1）若+

∈R y x ,且12=+y x ，求y

x

11+的最小值

( 2 ) 已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +的最小值

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝

1

ab

的最小值.

变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

变式: 求函数15

()2

2

y x =<<的最大值。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2

2

2

2. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

应用三：均值不等式与恒成立问题

例7：已知0,0x y >>且19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例8：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，

则R Q P ,,的大小关系是 .

均值不等式的应用

一．均值不等式

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*

,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”

）;若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x ≠，则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 5.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤

+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋

12x

2

（2）y ＝x ＋1

x

解：（1）y ＝3x 2＋1

2x 2

≥23x 2·

1

2x 2

＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1

x ≥2

x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x

）≤－2

x ·1

x

=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例2：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1

(42)

45

x x --不是常数，所以对42x -要进行