[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(理科)

2014年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P33．（5分）已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）﹣g （x）=x3+x2+1,则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．205．（5分）已知命题p:若x＞y,则﹣x＜﹣y；命题q:若x＞y,则x2＞y2,在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中,真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④6．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（）A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A． B． C．pq D．﹣19．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）,且f（x）dx=0,则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二、填空题（共3小题,每小题5分,满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11．（5分）在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,（α为参数）交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是．12．（5分）如图所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O 的半径等于．13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},则a=．（二）必做题（14-16题）14．（5分）若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k=．15．（5分）如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b）,原点O为AD的中点,抛物线y2=2px（p＞0）经过C,F两点,则=．16．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的最大值是．三、解答题:本大题共6小题,共75分17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（12分）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长．19．（12分）如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明:O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1,|a n+1﹣a n|=p n,n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值；（Ⅱ）若p=,且{a2n}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{a n}的通项公式．﹣121．（13分）如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1；双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值．22．（13分）已知常数a＞0,函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0,+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1,x2,且f（x1）+f（x2）＞0,求a的取值范围．2014年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．【解答】解:∵=i,∴z+i=zi,即z===﹣i,故选:B．【点评】本题主要考查复数的计算,比较基础．2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,即P1=P2=P3．故选:D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础．3．（5分）（2014•湖南）已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1,则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】将原代数式中的x替换成﹣x,再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f （x）+g（x）,再令x=1即可．【解答】解:由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1,将所有x替换成﹣x,得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1,根据f（x）=f（﹣x）,g（﹣x）=﹣g（x）,得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1,再令x=1,计算得,f（1）+g（1）=1．故选:C．【点评】本题属于容易题,是对函数奇偶性的考查,在高考中,函数奇偶性的考查一般相对比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．4．（5分）（2014•湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,求解所求项的系数即可．【解答】解:由二项式定理可知:T r=,+1要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数,所以r=3,所求系数为:=﹣20．故选:A．【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用,基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖南）已知命题p:若x＞y,则﹣x＜﹣y；命题q:若x＞y,则x2＞y2,在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中,真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解:根据不等式的性质可知,若若x＞y,则﹣x＜﹣y成立,即p为真命题,当x=1,y=﹣1时,满足x＞y,但x2＞y2不成立,即命题q为假命题,则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q 为假命题,故选:C．【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题p,q 的真假是解决本题的关键,比较基础．6．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（）A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论．【解答】解:若0≤t≤2,则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3,﹣1],若﹣2≤t＜0,则满足条件,此时t=2t2+1∈（1,9],此时不满足条件,输出S=t﹣3∈（﹣2,6],综上:S=t﹣3∈[﹣3,6],故选:D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键,比较基础．7．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则8﹣r+6﹣r=,∴r=2．故选:B．【点评】本题考查三视图,考查几何体的内切圆,考查学生的计算能力,属于基础题．8．（5分）（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A． B． C．pq D．﹣1【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,可得（1+p）（1+q）=（1+x）2,解出即可．【解答】解:设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,则（1+p）（1+q）=（1+x）2,解得x=﹣1,故选:D．【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．9．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）,且f（x）dx=0,则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0,故有φ+=kπ+,k∈z．可取φ=,则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+,求得x的值,可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解:∵函数f（x）=sin（x﹣φ）,f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0,∴φ+=kπ+,k∈z,即φ=kπ+,k∈z,故可取φ=,f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+,求得x=kπ+,k∈Z,则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=,故选:A．【点评】本题主要考查定积分,函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性,两角和差的三角公式的应用,属于中档题．10．（5分）（2014•湖南）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根,函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解:由题意可得:存在x0∈（﹣∞,0）,满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a）,即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根,∵当x趋近于负无穷大时,e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大,且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数,∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0,∴lna＜ln,∴a＜,∴a的取值范围是（﹣∞,）,故选:A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的性质,函数的极限,是函数图象和性质较为综合的应用．二、填空题（共3小题,每小题5分,满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,（α为参数）交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b,曲线方程化为直角坐标,表示一个圆,由于弦长正好等于直径,可得圆心（2,1）在直线l上,由此求得b的值,可得直线的方程．【解答】解:设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b,曲线C:（α为参数）,即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1,表示以（2,1）为圆心、半径等于1的圆．由于弦长|AB|=2,正好等于直径,故圆心（2,1）在直线l上,故有1=2+b,解得b=﹣1,故直线l的方程为y=x﹣1,即x﹣y﹣1=0．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,即ρ（cosθ﹣sinθ）=1故答案为:ρ（cosθ﹣sinθ）=1．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,直线和圆的位置关系,属于基础题．12．（5分）（2014•湖南）如图所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O的半径等于 1.5．【分析】设垂足为D,⊙O的半径等于R,先计算AD,再计算R即可．【解答】解:设垂足为D,⊙O的半径等于R,则∵AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,∴AD=1,∴R2=2+（R﹣1）2,∴R=1.5．故答案为:1.5【点评】本题考查垂径定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题．13．（2014•湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},则a=﹣3．【分析】由题意可得﹣和是|ax﹣2|=3的两个根,故有,由此求得a的值．【解答】解:∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},∴﹣和是|ax﹣2|=3的两个根,∴,∴a=﹣3,故答案为:﹣3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题．（二）必做题（14-16题）14．（5分）（2014•湖南）若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k=﹣2．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定z 的最优解,然后确定k的值即可．【解答】解:作出不等式对应的平面区域,（阴影部分）由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6,由,解得,即A（﹣2,﹣2）,∵点A也在直线y=k上,∴k=﹣2,故答案为:﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）（2014•湖南）如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b）,原点O为AD的中点,抛物线y2=2px（p＞0）经过C,F两点,则=．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系,写出C,F两点的坐标,再将坐标代入抛物线方程中,消去参数p后,得到a,b的关系式,再寻求的值．【解答】解:由题意可得,,将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得∵a＞0,b＞0,p＞0,两式相比消去p得,化简整理得a2+2ab﹣b2=0,此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得,取,从而,故答案为:．【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系,这样才能顺利写出C,F 的坐标,接下来是消参,得到了一个关于a,b的齐次式,应注意根的取舍与细心的计算．16．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C （3,0）,动点D满足||=1,则|++|的最大值是+1．【分析】由题意可得,点D在以C（3,0）为圆心的单位圆上,设点D的坐标为（3+cosθ,sinθ）,求得|++|≤|++|+||,可得|++|的最大值．【解答】解:由题意可得,点D在以C（3,0）为圆心的单位圆上,设点D的坐标为（3+cosθ,sinθ）,则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1,故答案为:+1．【点评】本题主要考查参数方程的应用,求向量的模,属于中档题．三、解答题:本大题共6小题,共75分17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式,计算即可,（Ⅱ）求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可．【解答】解:（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=,再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=,故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得,,,,,所以X的分布列如下:X0120100220P（x）则数学期望E（X）==140．【点评】本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力,也是近几年高考题目的常考的题型．18．（12分）（2014•湖南）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理,利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD,cos∠BAD的值分别,求得sin∠BAD和sin∠CAD,进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC．【解答】解:（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣,∴sin∠BAD==,∵cos∠CAD=,∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=,∴由正弦定理知=,∴BC=•sin∠BAC=×=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．（12分）（2014•湖南）如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明:O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．（Ⅰ）由已知中,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1【分析】∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC,BB1⊥BD,进而OO1⊥AC,OO1⊥BD,再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a,设AB为2,若∠CBA=60°,OA=OC=1,OB=OD=,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OO1为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值．【解答】证明:（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,∴四边形ABCD为菱形,又∵AC∩BD=O,故O为BD的中点,同理O1也是B1D1的中点,又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC,BB1⊥BD,∴OO1⊥AC,OO1⊥BD,又∵AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,∴O1O⊥底面ABCD；解:（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等,所以四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又∵O1O⊥底面ABCD,∴OB,OC,OO1两两垂直,如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O ﹣xyz．设AB=2,∵∠CBA=60°,∴OA=OC=1,OB=OD=,则O（0,0,0）,B1（）,C1（0,1,2）易知,=（0,1,0）是平面BDD1B1的一个法向量,设=（x,y,z）是平面OB1C1的一个法向量,则,即取z=﹣,则x=2,y=2,所以=（2,2,﹣）设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ,易知θ是锐角,于是:cosθ=|cos＜,＞|=||==,故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键．20．（13分）（2014•湖南）已知数列{a n}满足a1=1,|a n+1﹣a n|=p n,n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值；（Ⅱ）若p=,且{a2n}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{a n}的通项公式．﹣1【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值,分别令n=1,2代入求出a2和a3,再由等差中项的性质列出关于p的方程求解,利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；﹣a n|=p n”、不等式的可加性,求出（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1和a2n﹣a2n=,再对数列{a n}的项数分类讨论,利用累加法+1和等比数列前n项和公式,求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式,再用分段函数的形式表示出来．【解答】解:（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列,∴a n+1﹣a n＞0,则|a n﹣a n|=p n化为:a n+1﹣a n=p n,+1分别令n=1,2可得,a2﹣a1=p,,即a2=1+p,,∵a1,2a2,3a3成等差数列,∴4a2=a1+3a3,即4（1+p）=1+3（p2+p+1）,化简得3p2﹣p=0,解得或0,当p=0时,数列a n为常数数列,不符合数列{a n}是递增数列,∴；﹣a n|=,（2）由题意可得,|a n+1则|a2n﹣a2n﹣1|=,|a2n+2﹣a2n+1|=,}是递增数列,且{a2n}是递减数列,∵数列{a2n﹣1∴a2n﹣a2n﹣1＞0,且a2n+2﹣a2n＜0,+1﹣a2n）＞0,两不等式相加得则﹣（a2n+2a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0,即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n,又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=,∴a2n﹣a2n﹣1＞0,即,﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n,即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|,同理可得:a2n+3则a2n﹣a2n=+1当数列{a n}的项数为偶数时,令n=2m（m∈N*）,,,,…,,这2m﹣1个等式相加可得,==,则；当数列{a n}的项数为奇数时,令n=2m+1（m∈N*）,,,…,,这2m个等式相加可得,…﹣…+=﹣=,则,且当m=0时a1=1符合,故,综上得,．【点评】本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前n项和公式、数列的单调性,累加法求数列的通项公式,不等式的性质等,同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大．21．（13分）（2014•湖南）如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1；双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e1,e2,把双曲线的焦点用含有a,b的代数式表示,结合已知条件列关于a,b的方程组求解a,b的值,则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB所在直线方程,和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到AB中点M的坐标,并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度,写出PQ的方程,和双曲线联立后解出P,Q的坐标,由点到直线的距离公式分别求出P,Q 到AB的距离,然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积,再由关于n的函数的单调性求得最值．【解答】解:（Ⅰ）由题意可知,,且．∵e1e2=,且|F2F4|=﹣1．∴,且．解得:．∴椭圆C1的方程为,双曲线C2的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1,0）．∵直线AB不垂直于y轴,∴设AB的方程为x=ny﹣1,联立,得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x0,y0）,则,．则==．∵M在直线AB上,∴．直线PQ的方程为,联立,得．解得,代入得．由2﹣n2＞0,得﹣＜n＜．∴P,Q的坐标分别为,则P,Q到AB的距离分别为:,．∵P,Q在直线A,B的两端,∴．则四边形APBQ的面积S=|AB|．∴当n2=0,即n=0时,四边形APBQ面积取得最小值2．【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法,是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题,考查了椭圆与双曲线的基本性质,关键是学生要有较强的运算能力,是压轴题．22．（13分）（2014•湖南）已知常数a＞0,函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0,+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1,x2,且f（x1）+f（x2）＞0,求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性,注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值,注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解:（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==,∵（1+ax）（x+2）2＞0,∴当1﹣a≤0时,即a≥1时,f′（x）≥0恒成立,则函数f（x）在（0,+∞）单调递增,当0＜a≤1时,由f′（x）=0得x=±,则函数f（x）在（0,）单调递减,在（,+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a≥1时,f′（x）≥0,此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1,x2,则必有0＜a＜1,又f（x）的极值点值可能是x1=,x2=﹣,且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2,∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2,解得a≠,则x1,x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点,∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x,由0＜a＜1且a≠得,当0＜a＜时,﹣1＜x＜0；当＜a＜1时,0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时,g（x）=2ln（﹣x）+﹣2,∴g′（x）=﹣=＜0,故g（x）在（﹣1,0）上单调递减,g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0,∴当0＜a＜时,f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2,g′（x）=﹣=＜0,故g（x）在（0,1）上单调递减,g（x）＞g（1）=0,∴当＜a＜1时,f（x1）+f（x2）＞0；综上所述,a的取值范围是（,1）．【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断,考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力,考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力,逻辑性综合性强,属难题．参与本试卷答题和审题的老师有:maths；任老师；qiss；刘长柏；沂蒙松；caoqz；智者乐水；尹伟云；whgcn；wsj1012；豫汝王世崇；gongjy；sxs123；liu老师（排名不分先后）菁优网2017年3月24日。