[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(理科)

2014年湖南省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）

1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）

A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（）

A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3

3．（5分）已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）﹣g （x）=x3+x2+1,则f（1）+g（1）=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）

A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20

5．（5分）已知命题p:若x＞y,则﹣x＜﹣y；命题q:若x＞y,则x2＞y2,在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中,真命题是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

6．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（）

A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6]

7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A． B． C．pq D．﹣1

9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）,且f（x）dx=0,则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）

A．x=B．x=C．x=D．x=

10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是（）

A．（﹣）B．（）C．（）D．（）

二、填空题（共3小题,每小题5分,满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）

11．（5分）在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,（α为参数）交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是．

12．（5分）如图所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O 的半径等于．

13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜},则a=．

（二）必做题（14-16题）

14．（5分）若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k=．

15．（5分）如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b）,原点O为AD的中点,抛物线y2=2px（p＞0）经过C,F两点,则=．

16．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的最大值是．

三、解答题:本大题共6小题,共75分

17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（Ⅱ）若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（12分）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．

（Ⅰ）求cos∠CAD的值；

（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长．

19．（12分）如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

（Ⅰ）证明:O1O⊥底面ABCD；

（Ⅱ）若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．

20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1,|a n+1﹣a n|=p n,n∈N*．

（Ⅰ）若{a n}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值；

（Ⅱ）若p=,且{a2n

}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{a n}的通项公式．

﹣1

21．（13分）如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1；双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值．

22．（13分）已知常数a＞0,函数f（x）=ln（1+ax）﹣．

（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0,+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1,x2,且f（x1）+f（x2）＞0,求a的取值范围．

2014年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）

1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）

A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．

【解答】解:∵=i,

∴z+i=zi,

即z===﹣i,

故选:B．

【点评】本题主要考查复数的计算,比较基础．

2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（）

A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3

【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．

【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,

即P1=P2=P3．

故选:D．

【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础．

3．（5分）（2014•湖南）已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1,则f（1）+g（1）=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3