《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题

1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '.

2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim

x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22

)(lim

2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy .

5.函数)(x f 有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，求)()(x f n .

6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''.

7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2

1(的切线方程. 8.设函数⎩⎨⎧≥+<=0

),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.设函数⎩

⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？

10.求曲线⎩⎨⎧==t

y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.设()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,.

12.设)(x y y =由x y y 223=+确定，求其在点)1,0(-处的切线方程和法线方程.

13.设函数x

x x y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=1，求其导数y '. 14.设曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e y e x 23，求22dx y d . 15.求由方程12

2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 16.求椭圆124322=+y x 上点)2

3 ,1(的切线方程. 17.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求()

1,1dx dy .

18.曲线)0(2<+=x x x y 在)0,1(-处的曲率为多少？

19.当1±=x 时，函数133++=px x y 取得极值，求p .

20.求抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率半径.

21.曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数有几个？

22.若曲线为()23

5y x x =-，则其拐点坐标为多少？

23.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 24.证明：当0>x 时，x x +>+1211.

25.证明：当20π<

1tan x x x +>. 26.证明，当1>x 时，ex e x >.

27.证明：当0>>b a ，1>n 时，)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---.

28.证明：当0>x 时，有x x x

x <+<+)1ln(1. 29.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸km 40的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距km 50，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米a 3元和a 5元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？

30.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？

31.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定位1000元时，

公寓会全部租出，

当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需要花费100元维修费，试问房租定位多少可获得最大收入？最大收入是多少？32.用铝合金制造容积为V的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的. 设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍，问如何确定它的底半径和高才能使得用料最省？

5m，问底宽x为多少时，33.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为2

才能使截面周长最小，从而使建造材料最省？

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