2017石家庄一模理科数学试卷
石家庄市一模理科数学试题及答案
届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =I ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A ．2 B ．2C ．1D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程$0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量$y 平均增加个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a r ，b r ，c r 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=r r ，则||a b c +-r r r的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ） A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =u u u r u u u r，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D =I ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则2,3)SB =-u u r，3)SA =-u u r，(2,3)SC =-u u u r，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =u r，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--u r ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =u u r，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅u r u u r u r u u r19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得D x =，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x +=，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
2017年石家庄一模理科数学试卷含答案
2016-2017学年度石家庄市第一次模拟考试数学理科答案一、选择题（A 卷）1-5 CCDCB, 6-10ACBCB, 11-12 AB选择题（B 卷）1-5 DDCDB, 6-10ADBDB, 11-12 AB二、填空题13 0200,2n n n ∃∈≥N 14 1024 15 31 16 7a >- 三、解答题 17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=--由正弦定理可得c a b a b a c +=-- ()()()c a c a b a b ∴-=-+ 即222a c b ac +-= ………………………2分又 2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴= ……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴= ……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分 ()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c + 的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin 60oa c BAD ADB ===∠∠2,,a BAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 2216sin cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠+∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+ ……………………………………10分 250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠= 时2a c + 的最大值为6……………………………………12分18.（Ⅰ）在三角形ABD 中， sin sin AB AD ADB DBA=∠∠,由已知 60=∠DBA，AD =4BA =，解得， sin 1ADB ∠=,所以90ADB ∠= ，…………………2分即AD BD ⊥， 可求得2=BD在三角形SBD 中， 32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴……………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴…………………………5分（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为Z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知，平ABCD SAD ⊥面平面，∴S 在面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作AD SE ⊥于E ，则3,3==SE DE ，则）（3,0,3-S ，…………………………7分 易求）（0,0,32A ，）（0,2,0B ,）（0,2,32C - 则）（3,2,3-=SB ,）（3,0,33-=SA ，）（3,2,3--=SC ……………………………8分设平面SBC 的法向量）（z y x n ,,1=，230230y z y z +-=+-=⎪⎩， 解得）（2,3,01--=n …………………………10分同理可求平面SBA 的法向量）（3,3,12=n91273571335cos -=⋅-==∴θ…………………………12分 19（1 ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4.4641015P 0==210C C X =（），134641080P 1==210C C C X ⋅=（），224641090P 2==210C C C X ⋅=（）， 314641024P 3==210C C C X ⋅=（），444101P 4==210C C X =（） X 的分布列为：………………………………………………………………………………………4分（说明：上述5个数据错一个扣1分，错两个扣2分，错3个及以上扣4分）158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------- 6分 ( 2 ) 序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种， ----------------------------- 8分当=0Y 时，1234=1,=2,=3,=4.a a a a ------------------------------------------ 9分 当12341234=2Y a a a a=-+-+-+-时，1234,,,a a a a 的取值为123412341234=1,=2,=4,=3=1,=3,=2,=4=2,=1,=3,=4.a a a a a a a a a a a a ；；.故41P 2==246Y ≤（）.------------------------------------------ 12分 20．（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=2分==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立. ∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分 法二：∴(0,)M m ， (0,)N n ，∵MF ⊥NF ， 可得1m n =- ， 1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯ ，当且仅当||||MF NF =时等号成立. min ||2MN ∴= ∴min 1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m-=+，得221)1E m x m -=+，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分222211)1111D m m m n x m m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭-⎥⎣⎦=-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，②故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E D E Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.(Ⅰ) 法一：函数()f x 的定义域为(),1- . 由题意222()2,111a x x a f x x x x x-+-¢=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-……………………………………………2分①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立 则()f x 在(),1- 上为单调减函数，…………………………………3分 ②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两个根为121122x x -+==，当()1,x x ∈-∞时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。
石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学理)(含答案)word版
试卷类型：A2017年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学(理科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn p k (1-p) k n - (k=0，l ，2，…，n)球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，周期为π的是A ．y=sin2x B ．y=sin2x C ．y=cos 4x D ．y=tan2x 2．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则S 6的值为A ．30 8．35 C ．36 D ．243．已知函数f(x)的反函数f 1-(x)的图象经过4(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点A ．(1，1)B ．(0，1)C ．(一1，2)D ．(一l ，1)4．动点P 到A(0，2)点的距离比它到直线l ：y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为A ．y 2=4xB ．y 2=8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y5．设(1-2x)10=a 0 + a 1x+ a 2x 2+…+ a 10x 10，则a 1+22a +232a +…+9102a 则的值为 A ．2 8．-2 C ．2043 D ．20466．若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0， 1]上的图象如图所示，则不等式)()(x g x f <0的解集为A ．(-31,0)∪(31,1) B ．(-31,31) C ．（-1，-31)∪(31,1) D ．(-31，0) 7．过直线y=x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为 A ．22 B. 223 C ．210 D.2 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则A 1E 与BD 所成角的余弦值为A ．53 B. 1030 C ．43 D ．77 9．等腰直角三角形ABC 中，A=2π，AB=AC=2，M 是BC 的中点，P 点在∆ABC 内部或其 边界上运动，则即BP ·AM 的取值范围是 A ．[-l ，0] B ．[1，2] C ．[-2，-1] D ．[-2，0]10．函数f(x)=sinx+2x f '(3π) ，f '(x)为f(x)的导函数，令a=-21，b=log 32,则下列关系正确的是A ．f(a) > f(b)B ．f(a) ＜ f(b)C ．f(a) = f(b)D ．f(|a|) ＜ f(b)11．如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为A ．21B ．73C ．53 D. 5212．椭圆22a x +22by =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[22,23] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分． 13.复数ii ++13的虚部为 14．已知集合A={x ︱︱x-a ︱≤l}，B={x ︱0652≥--x x }，若A ∩B=φ，则实数a 的取值范围是15．奇函数f(x)的图象按向量a 平移得到函数y=cos(2x 一3π)+1的图象,当满足条件的 ∣a ∣最小时，a=16．三棱锥A —BCD 内接于球0，BC=AD=32，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=2π，顶点 A 在面BCD 上的射影恰在BC 上，。
2017石家庄高三理科数学一模试卷
2016-2017学年度石家庄市第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷1-5 CCDCB, 6-10ACBCB, 11-12 AB B 卷1-5DDCDB, 6-10ADBDB 11-12AB二、填空题13 0200,2nn n ∃∈≥N 14 1024 153116 7a >- 三、解答题 17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=--由正弦定理可得c a ba b a c+=--()()()c a c a b a b∴-=-+ 即222a cb ac +-=………………………2分又 2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴=……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴=……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos 603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c + 的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin 60oa c BAD ADB ===∠∠2,,a BAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 2216cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠+∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+ ……………………………………10分250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠=时2a c + 的最大值为6……………………………………12分18.（Ⅰ）在三角形ABD 中，sin sin AB ADADB DBA =∠∠,由已知 60=∠DBA，AD =4BA =，解得，sin 1ADB ∠=,所以90ADB ∠=，…………………2分即AD BD ⊥， 可求得2=BD 在三角形SBD 中，32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴……………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴…………………………5分（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为Z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知，平ABCD SAD ⊥面平面，∴S 在面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作AD SE ⊥于E ，则3,3==SE DE ，则）（3,0,3-S ，…………………………7分 易求）（0,0,32A ，）（0,2,0B ,）（0,2,32C -则）（3,2,3-= ,）（3,0,33-=，）（3,2,3--=……………………………8分设平面SBC 的法向量）（z y x n ,,1=，230230y z y z +-=+-=⎪⎩， 解得）（2,3,01--=n …………………………10分 同理可求平面SBA 的法向量）（3,3,12=n91273571335cos -=⋅-==∴θ…………………………12分 19（1 ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4.4641015P 0==210C C X =（），134641080P 1==210C C C X ⋅=（），224641090P 2==210C C C X ⋅=（）， 314641024P 3==210C C C X ⋅=（），444101P 4==210C C X =（） X 的分布列为：………………………………………………………………………………………4分（说明：上述5个数据错一个扣1分，错两个扣2分，错3个及以上扣4分）158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------- 6分 ( 2 ) 序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种， ----------------------------- 8分当=0Y 时，1234=1,=2,=3,=4.a a a a ------------------------------------------ 9分 当12341234=2Y a a a a =-+-+-+-时，1234,,,a a a a 的取值为123412341234=1,=2,=4,=3=1,=3,=2,=4=2,=1,=3,=4.a a a a a a a a a a a a ；；. 故41P 2==246Y ≤（）.------------------------------------------ 12分 20．（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=2分==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立.∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分 法二：∴(0,)M m ， (0,)N n ，∵MF ⊥NF ， 可得1m n =- ，1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯ ，当且仅当||||MF NF =时等号成立.min ||2MN ∴= ∴min 1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m -=+，得221)1E m x m -=+，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分222211)1111D m m m n x m m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭-⎥⎣⎦=-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，② 故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E DE Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.(Ⅰ)法一：函数()f x 的定义域为(),1-?.由题意222()2,111a x x af x x x x x-+-¢=-=<--，224(2)()48a a ∆=---=-……………………………………………2分①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立 则()f x 在(),1-?上为单调减函数，…………………………………3分②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两个根为12x x ==，当()1,x x ∈-∞时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。
2017石家庄市一模理科数学试题及答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =- D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--，∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E ，则DE =，3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(C -，则3)SB =-，3)SA =-，(3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =-- ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-， 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ=+=+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==，sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
河北省石家庄市高三第一次模拟考试——数学理数学(理)
河北省石家庄市 2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,{}*|12B x N x =∈-≤,则 ( ) A ． B ．C ．D ．2.若是复数, ,则 ( ) A ． B ．C ．1D ．3.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 4.函数 (为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为( ) A ． B ．C ．D ．6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A．48 B．54 C．64 D．608.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为( )A． B．C．D．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10.已知，满足约束条件20,220,220,x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若恒成立,则直线被圆22(1)(2)25x y-+-=截得的弦长的最大值为( )A． B．C．D．11.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A． B．C．D．12.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．或 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题:，，则为 ．14.程序框图如图所示,若输入, , ,则输出的为 ．15.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则 （注：、、分别为、、的面积）．16.已知数列中, , ,若为递增数列,则实数的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角，，的对边分别是，，，且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值. 18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，（其中，，，为1,2,3,4的一个排列）．若为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求的概率．20.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值； （Ⅱ）证明：，，三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-． （Ⅰ）当时，的最小值为1，求实数的值； （Ⅱ）当时，求的取值范围．参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题13.， 14.1024 15. 16. 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴， ∵，∴．（Ⅱ）在中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴， ∵ ，∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知，，， 解得，所以，即，可求得． 在中， ∵, , , ∴,∴,∵平面, ,∴平面．（Ⅱ）过作直线垂直于，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，过作于，则，，则， 易求，，， 则，，，设平面的法向量，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得．同理可求得平面的法向量，∴1212cos ||||13n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， 的分布列为：0 1 2 3 4158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号，，，的排列总数为种， 当时，，，，．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，，，，的取值为，，，；，，，；，，，． 故．20.解：（Ⅰ）设，，∵，可得，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当时等号成立． ∴，∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形的面积的最小值为1． （Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=， 由，得，① 同理可得，∵，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+②故由①②可知：， 代入椭圆方程可得 ∵，故，分别在轴两侧，， ∴，∴，，三点共线．21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意222'()2,111a x x af x x x x x-+-=-=<--，224(2)()48a a ∆=---=-．①若，即，则恒成立， 则在上为单调减函数；②若，即，方程的两根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意． 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为． （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即在有两个不等的实根，，于是，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足，， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，．[]22'()2ln (1)1xg x x x x x=--++-，， ∵，∴，又时，，∴，则在上单调递增， 所以，即，得证． 22.解：（Ⅰ），（为参数）． （Ⅱ）设四边形的周长为，设点，))θθθϕ=+=+， 且，，所以，当（）时，取最大值， 此时，所以，2cos 2sin θϕ==，此时，，的普通方程为．23.解：（Ⅰ）当时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当时，的最小值为，解得．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当时，成立， 所以，当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是．。
【河北省石家庄二中】2017年高考模拟数学试卷(理科)-答案
河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I 所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B CD E -．于是)()()()1,0,0,0,2,,BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v1,1设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==u r r,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u vgv u u u v g ,令1a =,得1,n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos ,0m n <>=u v v所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率3c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---； 而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =u u u u v ,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +=+丨丨,则PQM S =△令()23,0t mm +=＞,则PQMS =△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故PQM S =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =； 又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤．所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα, 同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=g,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以||||OP OQ g的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q ,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I ,, 所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ． 因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B CD E -，，，．于是)()()()100,0,2BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v，，,1,1,设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==u r r,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u v g v u u u v g ,令1a =,得1,33n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos 0m n <>=u v v,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =u u u u v ，,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣ ,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m+=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当6x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α•=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ •的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。
2017年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷_0
2017年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16个小题，共42分）1．（3分）比2的相反数小的是（）A．5B．﹣3C．0D．﹣12．（3分）图中所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2b）3=a6b3B．a6÷a2=a3（a≠0）C．a﹣2=﹣（a≠0）D．=24．（3分）如图，已知直线a∥b，则∠1+∠2﹣∠3=（）A．180°B．150°C．135°D．90°5．（3分）不等式组的解集是（）A．x＜3B．3＜x＜4C．x＜4D．无解6．（3分）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形7．（3分）计算：（﹣）÷=（）A．B．C．b D．﹣8．（3分）下列命题是假命题的是（）A．三角形的内心到三角形三条边的距离相等B．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等C．对于实数a，b，若|a|≤|b|，则a≤bD．对于实数x，若=x，则x≥09．（3分）九年级学生从学校出发，去相距10km的博物馆参观，第一组学生骑自行车先走，过了20分钟后，第二组学生乘汽车出发，结果两组学生同时到达，第二组学生的速度是第一组学生速度的2倍，设第一组学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（）A．﹣=20B．﹣=20C．﹣=D．﹣=10．（3分）某圆形零件的制作成本y（元）与它的面积成正比例，设半径为r（cm），当r=2cm时，y=20元，那么当制作成本为125元时，半径是（）A．5cm B．cm C．10cm D．25cm 11．（2分）如图是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+3=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是（）A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．﹣613．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），14．（2分）如图，是某副食品公司销售糖果的总利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数图象（总利润=总销售额﹣总成本），该公司想通过“不改变总成本，提高糖果售价”的方案解决销售不佳的现状，下面给出的四个图象，虚线均表示新的销售方案中总利润与销售量之间的函数图象，则能反映该公司改进方案的是（）A．B．C．D．15．（2分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20，有一个半径为10的圆分别与AB、BC相切，则此圆的圆心是（）A．AB边的中垂线与BC中垂线的交点B．∠B的平分线与AB的交点C．∠B的平分线与AB中垂线的交点D．∠B的平分线与BC中垂线的交点16．（2分）如图，对△ABC纸片进行如下操作：第1次操作：将△ABC沿着过AB中点D1的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h1，然后还原纸片；第2次操作：将△AD1E1沿着过AD1中点D2的直线折叠，使点A落在D1E1边上的A2处，折痕D2E2到BC的距离记作h2，然后还原纸片；…按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到的折痕D n E n到BC的距离记作h n，若h1=1，则h n的值不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分）17．（3分）已知m=﹣2，a，b为两个连续的整数，且a＜m＜b，则a﹣b=．18．（3分）如图，甲、乙是两个不透明的圆桶，甲桶内的三张牌分别标记数字2，3，4乙桶内的两张分别标记数字1，2（这些牌除所标数字不同外，其余均相同）．若小宇从甲乙两个圆桶中各随机抽出一张牌，其数字之和大于4的概率是．19．（4分）如图，在边长均为1的正方形ABCD和ABEF中，顶点A，B在双曲线y1=（k1≠0）上，顶点E，F在双曲线y2=（k2≠0）上，顶点C，D分别在x轴和y轴上，则k1=，k2=．三、解答题（本大题共7个小题，共68分）20．（9分）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；（2）求小彬家与学校之间的距离；（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？21．（9分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F 在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．22．（9分）某班男生分成甲、乙两组进行引体向上的专项训练，已知甲组有6名男生，并对两组男生训练前、后引体向上的个数进行统计分析，得到乙组男生训练前、后引体向上的平均个数分别是6个和10个，及下面不完整的统计表和统计图．甲组男生训练前、后引体向上个数统计表（单位：个）根据以上信息，解答下列问题：（1）a=，b=，c=；（2）甲组训练后引体向上的平均个数比训练前增长了%；（3）你认为哪组训练效果好？并提供一个支持你观点的理由；（4）小华说他发现了一个错误：“乙组训练后引体向上个数不变的人数占到该组人数的50%，所以乙组的平均个数不可能提高4个这么多．”你同意他的观点吗？说明理由．23．（9分）嘉淇同学大学毕业后借助低息贷款创业，他向银行贷款30000元，分12个月还清贷款，月利率是0.2%，银行规定的还款方式为“等额本金法”，即每月除归还等额的本金为30000÷12=2500元外，还需要归还本月还款前的本金的利息，下面是还款的部分明细．第1个月，由于本月还款前的本金是30000元，则本月应归还的利息为30000×0.2%=60元，本月应归还的本息和为2500+60=2560元；第2个月，由于本月还款前的本金是27500元，则本月应归还的利息为27500×0.2%=55元，本月应归还的本息和为2500+55=2555元．…根据上述信息，则（1）在空格处直接填写结果：（2）设第x个月应归还的利息是y元，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）嘉淇将创业获利的2515元用于还款，则恰好可以用于还清第几个月的本息和？24．（10分）如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°，到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连结AQ，PM，PN，作直线QN．（1）求证：AM=QN；（2）直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由；（3）当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．25．（10分）如图1，抛物线L：y=ax2+2（a﹣1）x﹣4（常数a＞0）经过点A（﹣2，0）和点B（0，﹣4），与x轴的正半轴交于点E，过点B作BC⊥y轴，交L于点C，以OB，BC为边作矩形OBCD．（1）当x=2时，L取得最低点，求L的解析式．（2）用含a的代数式分别表示点C和点E的坐标；（3）当S=4时，求a的值．矩形OBCD（4）如图2，作射线AB，OC，当AB∥OC时，将矩形OBCD从点O沿射线OC 方向平移，平移后对应的矩形记作O′B′C′D′，直接写出点A到直线BD′的最大距离．26．（12分）如图1，等边△ABC中，BC=4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．【发现】当点P与点B重合时，线段MN的长是．当AP的长最小时，线段MN的长是；【探究】如图2，设PB=x，MN2=y，连接PM、PN，分别交AB，AC于点D，E．（1）用含x的代数式表示PM=，PN=；（2）求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；（3）当点P在直线BC上的什么位置时，线段MN=3（直接写出答案）【拓展】如图3，求线段MN的中点K经过的路线长．【应用】如图4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，则△PQR周长的最小值是．（可能用到的数值：sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）2017年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷参考答案一、选择题（本题共16个小题，共42分）1．B；2．D；3．A；4．A；5．B；6．C；7．D；8．C；9．D；10．A；11．B；12．A；13．B；14．C；15．D；16．C；二、填空题（本大题共3个小题，共10分）17．﹣1；18．；19．1；3；三、解答题（本大题共7个小题，共68分）20．；21．；22．7；4；6.5；75；23．20000；40；24．；25．；26．4；6；x；（4﹣x）；2+；。
【全国市级联考】河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测理数(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}{}|130,|24A x x x B x x =+-<=<<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|14x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 【答案】D 【解析】试题分析：因为{|(1)(3)0}{|13}A x x x x x =+-<=-<<，所以{|23}A B x x =<<,故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.若复数z 满足23zi i =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．32i -- B ．32i -+ C ．23i + D ．32i - 【答案】B 【解析】考点：复数的概念及运算．3. 下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C ．命题“()*1,322nn n N n -∀∈>+”的否定是“()*1,322nn n N n -∀∈≥+”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点()f x ”的逆命题为假命题【答案】D 【解析】试题分析：A 中，因为函数ln (0)y x x =>是增函数，所以0a b >>，则ln ln a b >，故A 错；B 中，若a b ⊥，则(21)0m m m +-=，解得0m =，故B 错；C 中，命题“n N +∀∈，13(2)2n n ->+⋅”的否定是“1,3(2)2n n N n +-∃∈≤+⋅”，故C 错；D 中，命题的逆命题是“若区间(,)a b 内至少有一个零点，则()()0f a f b ⋅<”是假命题，如函数2()23f x x x =--在区间(2,4)-上的图象连续不断，且在区间(2,4)-内有两个零点，但(2)(4)0f f -⋅>，故D 不正确，故选D ．考点：1、命题真假的判定；2、向量垂直的充要条件；3、全称命题的否定．4.已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =（ ） A ．80 B ．85 C. 90 D ．95 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得2111(5)(45)a a a +=+⨯，解得152a =，所以65656522S ⨯=⨯+⨯＝90，故选C ． 考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等比数列的性质．5.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-，则输出的S 的值为 （ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．9 【答案】C 【解析】考点：程序框图．6.某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面1(12)232S =+⨯=，高为2，所以该几何体的体积1132223V Sh ==⨯⨯=，故选A ． 考点：空间几何的三视图及体积．7.若函数()()()()2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．-1 B．12- D．【答案】B 【解析】考点：1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的图象与性质．【知识点睛】正弦、余弦函数的图象的对称中心就是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高（低）点且平等于y 轴（或与y 轴重合）的直线．应熟记这两类函数图象的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．8.若,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩且3z x y =-的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．13 B ． 23C. 1 D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，令2z =，联立323220y x x y =-⎧⎨-+=⎩，得(2,4)A ，直线0mx y -=经过点A ，即240m -=，解得2m =，故选D ．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤：(1)在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线；(2)将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求区域的公共部分．9.若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为t =取得最大值时a 的值为 （ ）A ．12 B D ．34【答案】D 【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式．【技巧点睛】在解直线与圆相交的弦长问题时，经常采用几何法．当直线与圆相交时，半径长、半弦长、弦心距离所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意所它和点到直线的距离公式结合起来使用．10.已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 【答案】B【解析】试题分析：因为当1x ≥时，3()2f x x x =+≥；当1x <时，1()22x f x e-=<，所以(())2f f x <，等价于()1f x <，即121x e -<，解得1ln 2x <-，所以(())2f f x <的解集为(,1ln 2)-∞-，故选B ． 考点：1、分段函数；2、函数的单调性；3、不等式的解法．11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，点P 在棱AC 上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．【答案】A 【解析】考点：函数的图象．12.若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(),0-∞ B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,0,2e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】考点：1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性．【规律点睛】根据导数与函数单调性的关系可知，在(),a b 内可导的函数()f x ，若此函数在指定区间上单调递增(减)，则函数在这个区间上的导数()0f x '≥（0≤），且不在(),a b 的任意子区间内恒等于0．求解后注意进行验证.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开工的二项式系数之和为64，则含3x 项的系数为 ．【答案】20 【解析】试题分析：由题意，得264n =，所以6n =，所以22611()()n x x x x+=+展开式的通项公式为261231661()()r r r r r r T C x C x x--+==．令1233r -=，得3r =，所以展开式中含3x 项的系数为3620C =． 考点：二项式定理．14.已知AB 与AC 的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且0AM BC =，则λμ的值为 ． 【答案】14【解析】考点：向量的坐标运算．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 为1121231234121,,,,2334445555n n nn-,,,,,,,,,,,，若14k S =，则k a = ．【答案】78【解析】 试题分析：因为121121122n n n n nn n -+++-+++==-，12111nn n n ++++++＝1212n n n +++=+，所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，…，12111n n n n ++++++是首项为12公差为12的等差数列，所以数列的前n 和21312224n n n n S +=++++=．令24k k kS +=＝14，解得7k =，所以78k a =． 考点：等差数列的前n 和公式．【规律点睛】一般地，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，除非公差为0；公差不为0的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且常数项为0，若某数列的前n 项和公式是关于n 的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．16.已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．【解析】考点：双曲线的定义及几何性质．【技巧点睛】离心率e 的求解中可以不求出,a c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到,a c 的齐次方程；②同时除以2a ，化简齐次方程，得到关于e 的一元二次方程；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围取舍．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()2234a cb ac -=-. （1）求cos B 的值；（2）若b =，且sin sin sin A B C 、、成等差数列，求ABC ∆的面积.【答案】（1）58；（2．【解析】试题分析：（1）根据已知条件结合余弦定理即可求得cos B 的值；（2）首先利用余弦定理得到,a c 的一个关系式，然后根据等差数列的性质与正弦定理得到,a c 的另个关系式，从而利用三角形面积公式求解即可． 试题解析：（1）由，可得……………2分∴ ，……………4分即．………………6分考点：1、余弦定理与正弦定理；2、等差数列的性质；3、三角形面积公式．【方法点睛】在解三角形时使用三角恒等变换，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦定理、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD⊥====为AD的中点，N为PC上一点，且//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M=.3PC PNMN平面PAB；（1）求证：//--的余弦值.（2）求二面角P AN M【答案】（1）见解析；（2．【解析】试题分析：（1）在平面PBC内作NH BC交PB于点H, 连接AH，易证明得AMNH为平行四边形，从而利用平行四边形的性质使问题得证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面AMN与平面PAN的法向量，进而利用空间夹角公式求解．试题解析：（1）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H, 连接AH,在△PBC中,NH∥BC,且,又,∴NH∥AM且NH=AM,∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，……………2分，MN平面PAB，∴MN∥平面PAB.…………………4分设平面PAN 的法向量，……………10分则二面角……………12分考点：1、线面平行的判定定理；2、二面角．19.（本小题满分12分）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【解析】试题分析：（1）首先根据茎叶图列出二维列联表，然后根据公式计算出2K，从而与临界表对比作出结论；（2）首先求得X的所有取值，然后分别求得相应概率，由此列出分布列，求出数列期望．====所以X 的分布列为所以EX==2.8此项血液指标为正常的人数X 的数学期望为2.8……………12分考点：1、茎叶图；2、独立性检验思想；3、离散型随机变量的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比. 【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义求解；（2）首先根据条件设出直线1l 的方程，然后联立抛物线方程，求得点,A B 的坐标，再利用点到直线的距离公式结合基本不等式求得距离的最小值，从而求得两个三角形面积的比．解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、点到直线的距离公式；4、基本不等式．【方法点睛】设而不求就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的关系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．此法在圆锥曲线问题解答中常与韦达定理联用． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()221ln ,1,,x f x x a bx g x bx e x a a b R e b=+-=-++∈为自然对数的底数，且()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1ln 22y x =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若0x ≥，求证：()()f x g x ≤. 【答案】（1）11,2a b ==；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先求得()f x '，然后利用导数的几何意义建立关于,a b 的方程组求解即可；（2）首先根据函数的单调性证得1ln(1)2x x x +-≤，由此将问题转化为证明21(1)102x x e x -++≥，从而令()h x ＝21(1)12x x e x -++，然后通过求导研究函数()h x 的单调性，并求得其最值，进而使问题得证．试题解析：（1），，且，以点为切点的切线方程为即：…………………2分由②得，代入①得：又为单调递增函数……………………4分所以可得；……………………………5分.思路：易知：，证明如下：，显然，当，，即又，（当时取等号）. ……………………7分要证：，即：只需证：，即证：考点：导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明【思路点睛】研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，证明不等式时，可构造一个新函数，将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题，即利用求导方法求单调区间，比较函数值与0的关系．请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 2sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； （2）在（1）的条件下，若6AP AQ =，求直线l 的普通方程.【答案】（1）C ：22212x y +=，(2,0)A ；（2）2)y x =-或2)y x =-． 【解析】试题分析：（1）根据cos ,sin x y ρθρθ==可求得曲线C 的普通方程，根据参数方程的意义可求得点A 的坐标；（2）根据参数的几何意义求得sin α的值，由此求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的普通方程． 试题解析：（1）……..2分恒过的定点为…….4分因此，直线直线的方程或分.考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求参数m 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x x ≤-≥或；（2）{|82}m m -≤≤． 【解析】试题分析：（1）首先利用零点分段法将不等式分类三段，然后分别求出解集，最后取它们的交集即可；（2）分3m -≤、3m ->化函数解析式为分段函数形式，然后根据不等式的解集不是空集求出m 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：分分解得：分法2.分分考点：绝对值不等式的解法、三角绝对值不等式的性质。
2017届河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（解析版）
2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．648．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣509．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．311．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣112．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）（注：S、S△=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．18．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．19．（12分）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．20．（12分）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】容易求出B={1，2，3}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={1，2，3}，且A={x|0≤x≤5}；∴A∩B={1，2，3}．故选C．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z•计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z•=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用导数判断f（x）的单调性和单调区间，根据单调性和单调区间得出答案．【解答】解：f′（x）=e x﹣3，令f′（x）=0得x=ln3．∴当x＜ln3时，f′（x）＜0，当x＞ln3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增．故选D．【点评】本题考查了函数单调性与单调区间的判断，属于中档题．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用它的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2．根据其图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，则|φ|的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1， +1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．8．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．9．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】解：在①和④中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，∴①④这两个几何体的体积一定相等．故选：D．【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出2x+y的最小值，结合2x+y+k≥0恒成立求得k的范围，再由直线与圆的关系可得当k=6时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，从而求得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．由2x+y+k≥0恒成立，得﹣k≤2x+y恒成立，即﹣k≤﹣6，则k≥6．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心（1，2）到直线2x+y+k=0的距离d=，当k≥6时，d．∴当d=时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，利用四边形AA1CF的面积为12，建立方程，求出m，即可求出准线l的方程．【解答】解：设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，∵四边形AA1CF的面积为12，∴=12，∴m=，∴=，∴准线l的方程为x=﹣，故选A．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为∃n0∈N，n02≥．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：￢p：∃n0∈N，n02≥，故答案为：∃n0∈N，n02≥【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为1025．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，n=10，i=0，执行循环体，s=2，i=1满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025，故答案为：1025．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）△【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径r，运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径r，由满足S=S+λS，可得△r•|PF1|=r•|PF2|+λ•r•|F2F1|，即为|PF1|=|PF2|+λ•|F2F1|，即为|PF1|﹣|PF2|=λ•|F2F1|，由点P为双曲线右支上一点，由定义可得2a=λ•2c，即a=λc，由e===3，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n+1=3a n+8n+6，a1=a，可得：n=1时，a2=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，数列{a n}是单调递减数列，舍去．由数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得a n，根据{a n）为递增数列，因此∀n∈N*，a n+1＞a n都成立．解出即可得出．【解答】解：∵a n+1=3a n+8n+6，a1=a，∴n=1时，a2=3a1+14=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n=3a n﹣3a n﹣1+8，变形为：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，则a n+1﹣a n=﹣4，是单调递减数列，舍去．∴数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．∴a n+1﹣a n+4=（2a+18）×3n﹣1．∴a n+1﹣a n=（2a+18）×3n﹣1﹣4．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2a+18）×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）﹣4（n﹣1）+a=（2a+18）×﹣4n+4+a=（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．＞a n都成立．∵{a n）为递增数列，∴∀n∈N*，a n+1∴（a+9）（3n﹣1）﹣4（n+1）+4+a＞（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．化为：a＞﹣9，∵数列{}单调递减，∴n=1时取得最大值2．∴a＞2﹣9=﹣7．即a＞﹣7．故答案为：（﹣7，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•安徽一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；又线段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2•c•2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c•2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．18．（12分）（2017•石家庄一模）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面BCS的法向量=（a，b，c），则，取b=3，得=（0，3，2），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．19．（12分）（2017•石家庄一模）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意得X的可能值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为，计算Y≤2对应的种数为Y=0或Y=2时共4种，求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能值为0，1，2，3，4，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.6；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为=24种，∵Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，当Y=0时，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4；当Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|=2时，a1，a2，a3，a4的可能取值为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=3；a1=1，a2=3，a3=2，a4=4；a1=2，a2=1，a3=3，a4=4；∴Y≤2的概率为P（Y≤2）==．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．20．（12分）（2017•安徽一模）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k OE，k OD．只要证明k OE=k OD．即可得出E，O，D三点共线．【解答】（I）解：F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．∴△MFN的面积的最小值为1．（II）证明：A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．联立，化为：（1+t2）x2+2t2x+2t2﹣2=0，∴﹣x E=，可得x E=，y E=×+t=，可得k OE=．联立，化为：（1+t2）x2+2x+2﹣2t2=0，可得：x D=，解得x D=，y D=×﹣=，可得k OD=．∴k OE=k OD．∴E，O，D三点共线．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与三点共线关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•石家庄一模）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导，由二次函数的性质，当a≥，函数f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，a＜，函数的两个极值点，根据函数的单调性即可求得实数a 的取值范围；（Ⅱ）由题意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，利用韦达定理即可求得x1，x2，分别求得﹣，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得﹣＞0，即可求得＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）=2x﹣=，x＜1，令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，则△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a=0的两个根为x1=，x2=，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围（，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）=0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：=﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）=﹣2ln[x（1﹣x）]+ +，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）=0，则﹣＞0，∴＞成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调及极值的关系，二次函数的性质，考查构造法，考查计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽一模）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，由此，可求直线l1的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2： +y2=1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，α+θ=+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=，sinα=cosθ=，A（，），∴直线l1的普通方程为y=x．【点评】本题考查求直线l1的普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽一模）已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）由条件求得（2x+4）•（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|的零点为﹣2和a，当a＜﹣2时，f（x）=，∴f（x）min=f（﹣2）=2﹣4﹣a=1，得a=﹣3＜﹣2（合题意），即a=﹣3．（Ⅱ）由f（x）=|2x+4|+|x﹣a|，可得|2x+4|+|x﹣a|=|x+a+4|．由于|2x+4|+|x﹣a|≥|x+a+4|，当且仅当（2x+4）•（x﹣a）≤0时，取等号．当a=﹣2时，可得x=2，故x的范围为{2}；当a＞﹣2时，可得﹣2≤x≤a，故x的范围为[﹣2，a]；当a＜﹣2时，可得a≤x≤﹣2，故x的范围为[a，﹣2]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
【河北省石家庄市第二中学】2017届高考高三模拟联考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷答 案一、选择题（每小题5分，共60分）1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 二、填空题（每小题5分，共20分）13．240 1415．34a ≤ 16．2 三、解答题17．解：（1）当3n ≥时，可得n n 1n 1n 2n 1(42)(42)04n S S S S a a ---------=⇒= 又因为12a =，代入已知等式，可得28a =，满足上式.所以数列是首项为12a =，公比为4的等比数列，故：121242n n n a --==g . （2）212log 221n n b n -==-，213...(21)n T n n =+++-=.22211111...12nk kTn ==+++∑≤11111+++...+221223(1)n n n=-⨯⨯-⨯＜. 18．解：（1）因为A ，B 是PQ 的三等分点，所以PA AB BQ CA CB ====， 所以是等边三角形，又因为M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥.因为，AB BC B =I ，所以平面ABC ， 又EA DB ∥，所以EA ⊥平面ABC ；CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥.因为AM EA A =I ， 所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM ， 所以CM EM ⊥.（2）以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -.因为DB ⊥平面ABC ，所以DBM ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 由题意得tan 2DBDAB MB∠==，即BD =2MB ， 从而BD AC =.不妨设2AC =，又2AC CE =，则CM =1AE =. 故(0,1,0)B，(0C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -.于是1,0)BC =-u u u r ，(0,0,2)BD =u u u r，(1,1)CE =-u u u r，(CD =u u u r， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =u r ，222=(,,)n x y z r， 由=0=0m BC m BD ⎧⎪⎨⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g得111020y z -==⎪⎩，令11x =，得1y所以m u r.由=0=0n CE n CD ⎧⎪⎨⎪⎩r u u u r g r u u u r g得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =得2y =2z =.所以(1,n =r .所以cos ,0||||m nm n m n ==u r u u ru r r g u r r . 所以二面角B CD E --的平面角的大小为90︒.19．解：（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为0.6，即1800.6600x+=，可得：180x =， 又180********x y ++++=，所以60y =，则根据分层抽样法：抽取10人中选修线性代数的人数为：18010=3600⨯人；选修微积分的人数为：18010=3600⨯人；选修大学物理的人数为：12010=2600⨯人；选修商务英语的人数为：6010=1600⨯人；选修文学写作的人数为：6010=1600⨯人；（1）现从10人中选3人共有310120C =种选法，且每种选法可能性相同，令事件A 选中的3人至少两人选修线性代数，事件选中的3人有两人选修线性代数，事件选中的3人都选修线性代数，且为互斥事件，()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+=. （2）记为3人中选修线性代数的人数，的可能取值为0，1，2，3，记为3人中选修微积分的人数；:B :C ,B C X X Y的可能取值也为0,1,2,3，则随机变量||x X Y =-的可能取值为0，1，2，3；111333443310101(0)(0,0)(1,1)3C C C C P P X Y P X Y C C ξ====+===+=g g ; 123233443310109(1)(0,1)(1,0)(1,2)(2,1)2220C C C C P P X Y P X Y P X Y P X Y C C ξ====+==+==+===+=g g g g ; 21343101(2)(0,2)(2,0)25C C P P X Y P X Y C ξ====+====g g ; 333101(3)(3,0)(3,0)260C P P X Y P X Y C ξ====+====g ，所以的分布列为:所以19119(3)012332056010E ξ==⨯⨯⨯+⨯+⨯=.20．解：（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2226,2,4a b c ===，故椭圆方程为：22162x y +=. （2）①由题意可知直线的斜率存在，设直线l 的方程：y kx m =+，因为点(3,t)M 在直线上，所以3t k m =+，联立直线与椭圆方程： 由22360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩可得222(13)6360k x kmx m +++-=，又直线与椭圆有且只有一个公共点，故0D =，即2262m k =+. 由韦达定理，可得P 点坐标223(,)1313km mP k k -++.因为直线PQ 过椭圆右焦点为(2,0)F ，所以直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---； 而直线OM 的斜率333OM t k mk +==，所以： 233263OM PQ m k m k k km k +=---g g 2231=3263km m km k +---g 2311=333km km m =---g . ②因为(1,)FM t =u u u u r ，222326(,)1313km k mFP k k ---=++u u u r ，所以22326=013mt km k FM FP k ---=+u u u u r u u u r g ，即FM PF ⊥； Y x 2c l所以三角形PQM 的面积1||||2PQM S PQ MF =△；||MF ，由直线FM 的斜率为t ，可得直线PQ 的方程：2x ty =-+，与椭圆方程联立可得：|PQ所以PQMS =△23(3)t m m +=g，则PQM S =△故PQMS △当且仅当0t =时成立. 21．解：（1）由题意可得：1()2f x ax x'=-，(1)1f '=-，可得：1a =； 又2()()ln 31y f x xf x x x '=+=-+，所以21166(0)x y x x x x-'=-=＞；当6x ∈时，0y '＞，y 单调递增；当时)x ∈+∞，0y '＜，y单调递减；故函数的单调增区间为x ∈.（2）21()ln (1b)2g x x x x =+-+，21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=，因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程2(1)10x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩，12x x Q ＜，可知101x ＜＜，又1111+=1+e+e x b x ≥， 令1t x x =+，可证t 在(0,1)递减，由11()()e h x h ≥，从而可证110ex ＜≤. 所以1121212122ln 1()()()()(1)()ln 2x g x g x x x x x b x x x -=+-+-+-1121212122ln 1=()()()()ln 2x x x x x x x x x x +-+-+- 2221121211111=ln +(0)222ex x x x x --＜≤.令222111()ln ,(0,22e h x x x x x ⎤=-+∈⎥⎦，321()h x x x x'=--422233-21(1)=0x x x x x +---=≤，所以单调减，故2min21e 1()()2e 22e h x h ==--，所以22e 1222e k --≤，即2max 2e 1222ek =--.22．解：（1）1C 的普通方程为24y x =，2C 的极坐标方程为=2sin ρθ. （2）由（1）可得1C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ，与直线=a θ联立可得：24cos sin ar a=，即24cos sin a OP a =，()h x同理可得2sin OQ a =.所以8cos 8||||sin tan OP OQ ααα==g ，在ππ64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以max ||||OP OQ =g 23．（1）解：当3a =，()|23|3f x x =-+.解不等式|23|36x -+≤，得03x ≤≤， 因此，()6f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤.（2）当x ∈R 时，()()|2||12||212|f x g x x a a x x a x a +=-++--+-+≥=|1|+a a -， 当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，2()()213f x g x a +-≥等价于2|1|+213a a a --≥.①当1a ≤时，①等价于21213a a a -+-≥，解得a ， 当1a ＞时，①等价于260a a --≤，解得13a ＜≤，所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷解析1．略2．略3．略4．略5．略6．略7．略8．略9．略10．11．12．13．略14．略15．16．17．18．19．20.21．22．23．。
河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题-Word版含答案
2017 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试一试卷数学(理科)B 卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.已知会合A x | 0x 5, B x N *| x 1 2 ,则 A I B( )A．x |1x 3B．x | 0x 3 C． 0,1,2,3D．1,2,32.若 z 是复数,z12i, 则z z ()1iA．10B．5C． 1D．5 2223.以下说法错误的选项是 ( )A．回归直线过样本点的中心( x, y)B．两个随机变量的线性有关性越强, 则有关系数的绝对值就越靠近于1C．对分类变量X 与 Y ,随机变量 K 2的观察值 k 越大,则判断“ X 与 Y 有关系”的掌握程度越小D．在回归直线方程$0.2x 0.8$y中, 当解说变量x每增添 1 个单位时 , 预告变量y均匀增添0.2 个单位4. 函数f ( x)e x3x 1 ( e 为自然对数的底数) 的图象大概是 ( )5. 函数f ( x) Asin(x ) (A 0,0 )的最小正周期为, 其图象对于直线x对3称,则|| 的最小值为()A．B．C．5D．51266126.r r r r rr r r已知三个向量 a ，b ，c 共面，且均为单位向量， a b，则 | a b c |的取值范围是（）A．21,21B．1, 2C．2,3D． 2 1,17.某几何体的三视图以下图（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A． 48B． 54C． 64D． 608. 已知函数 f (x) 在 ( 1,) 上单一,且函数 y f (x2) 的图象对于x 1对称,若数列a n 是公差不为0 的等差数列 , 且f (a50) f (a51 ) ,则a n的前 100 项的和为 ( )A．200B．100C．0D．509. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家， 5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” ．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积都相等，那么这两个几何体的体积必定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则知足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④x y20,10. 已知x，y知足拘束条件x 2 y20, 若 2x y k0 恒成立,则直线 2x y k 02x y20,被圆 ( x1)2( y2) 225 截得的弦长的最大值为()A．10B．2 5C．4 5D．3 5y2 2 px( p uuur uuur11. 已知过抛物线0) 的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且 AF3FB ,抛物线的准线 l 与x轴交于点 C ,AA1l 于点 A1,若四边形 AA1CF 的面积为12 3 ,则准线l 的方程为 ( )A．x2B．x22C．x2D．x112. 已知函数f ( x)ax eln x 与 g(x)x2, 此中e为自的图象有三个不一样的公共点x eln x然对数的底数, 则实数a的取值范围为 ( )A．a e B．a1C．a e D．a3或 a1第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.已知命题 p : n N ，n22n，则p 为．14.程序框图以下图, 若输入s0 , n10 , i0 ,则输出的s为．15.x2y21（a0 ， b0 ）的左、右焦点，点P 为双曲线右已知 F1、 F2分别为双曲线b2a2支上一点， M 为PF1F2的心里，知足 S MPF1SMPF2S MF1F2，若该双曲线的离心率为3，则（注： S MPF1、 S MPF2、S MF1F2分别为MPF1、MPF2、MF1F2的面积）．16.已知数列a n中 , a1 a , a n 13a n8n 6 ,若a n为递加数列 , 则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a， b ，c，且sin C a b .sin A sin B a c （Ⅰ）求角 B 的大小；uuur uuur（Ⅱ）点 D 知足BD 2BC，且线段 AD 3 ，求 2a c 的最大值.18.在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DBA 60， SAD30，AD SD 2 3， BA BS 4.（Ⅰ）证明：BD平面SAD；（Ⅱ）求二面角 A SB C 的余弦值．19. 人耳的听力状况能够用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25 db（分贝），并规定测试值在区间 (0,5] 为特别优异，测试值在区间(5,10] 为优异．某班50 名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频次散布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10] 的同学中随意抽拿出 4 人，记听力特别优异的同学人数为X ，求 X 的散布列与数学希望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的 4 人中任选一人参加一个更高级其他听力测试，测试规则以下：四个音叉的发生状况不一样，由强到弱的序次分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机摆列，被测试的同学挨次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1， a2， a3， a4（此中 a1， a2， a3，a4为1,2,3,4的一个摆列）．若 Y 为两次排序偏离程度的一种描绘，Y |1 a1 || 2 a2| | 3a3 | | 4 a4 | ，求Y 2 的概率．20. 已知椭圆C：x2y21的左极点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的2两个动点，且MF NF ，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E ， D 两点．（Ⅰ）求 MFN 的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E，O， D三点共线.21. 已知函数 f ( x) x2 1 a ln(1x) ，a R．（Ⅰ）若函数 f (x) 为定义域上的单一函数，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ）若函数 f (x) 存在两个极值点x1， x2，且 x1x2，证明： f ( x1 )f (x2)．请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为本来的1，得2到曲线 C2，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，C1的极坐标方程为2 ．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点 O 且对于 y 轴对称的两条直线l1与 l2分别交曲线 C2于A、C和B、D，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l1的一般方程．23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x)| 2x 4 | | x a |．（Ⅰ）当 a2时， f ( x) 的最小值为1，务实数a的值；（Ⅱ）当 f ( x)| x a 4 |时，求 x 的取值范围．2017 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试一试卷数学( 理科 )B 卷答案一、选择题1-5: DDCDB6-10:ADBDB11 、 12：AB二、填空题13. n0N ， n022n014.102415.116. a 73三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵sin C a b，由正弦定理得c a b ，sin A sin B a c a b a c ∴ c(a c)(a b)(a b) ，即a2c2b2ac ，又∵ a2c2b22ac cos B ，1∴ cosB，2∵B (0,)，∴B3．（Ⅱ）在ABC 中由余弦定理知：c2(2 a)2 2 2a c cos6032，∴ (2 a c)29 3 2ac ，∵ 2ac( 2a c )2，23(2a c) 2，即(2 a3∴ (2a c)29c)236 ，当且仅当2a c ，即 a， c 3 时取等42号，因此2a c 的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD 中，AB AD，由已知DBA60， AD 2 3 ，ADB sinsin DBABA 4 ，解得sin ADB1，因此 ADB90，即 AD BD ，可求得 BD 2．在 SBD中，∵SD 2 3,BS4, BD 2,∴ DB2SD2BS2,∴SD BD ,∵ BD平面 SAD, SDI AD D ,∴ BD平面 SAD ．（Ⅱ）过 D 作直线 l 垂直于 AD ，以 D 为坐标原点，以DA 为x轴，以 DB 为 y 轴，以 l 为z 轴，成立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面 SAD平面 ABCD ，∴ S 在平面 ABCD 上的投影必定在AD 上，过 S 作 SE AD 于 E，则DE3，SE3，则S(3,0,3)，易求 A(23,0,0)， B(0,2,0)， C (23, 2,0)，uur(3, 2,uur(3 3,0,uuur(3,2, 3)，则 SB3)，SA3)，SCur( x, y, z) ，3x2y3z0,ur2) ．设平面 SBC 的法向量 n13x 2 y3z0,解得 n1 (0, 3,uur同理可求得平面SAB的法向量n2ur uur∴ cosn1n2 5 3ur uur13 7| n1 || n2 |(1, 3,3) ，5 273.9119. 解：（Ⅰ） X 的可能取值为： 0,1,2,3,4 ．P( XC 6415C 41C 6380C 42 C 62900)， P(X 1)C 104， P(X 2)C 104，C 104 210210210P( XC 43C 61 243)，C 104210 P( XC 4414)，C 104 210X 的散布列为：X 012 34P1580 90 24 1210210210 210210E(X )15180 902441210231.6．210 210 210210（Ⅱ）序号 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的摆列总数为 A 44 24 种，当 Y0 时， a 1 1 ， a 2 2 ， a 3 3 ， a 4 4 ．当 Y |1 a 1 | | 2 a 2 | |3 a 3 | | 4a 4 | 2 时， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的取值为a 1 1，a 2 2 ，a 3 4 ，a 4 3 ；a 1 1，a 23 ，a 32 ，a 4 4 ；a 1 2 ，a 21，a 3 3 ，a 44 ．故 P(Y2)4 124 ．620. 解：（Ⅰ）设 M (0, m) ， N (0, n) ，∵ MF NF ，可得 mn1 ，S1 | AF ||MN | 1|MN |，AMFN2 2∵|MN |2|MF |2 |NF|22|MF | | NF |，当且仅当 |MF | | NF | 时等号成立．∴ | MN |min2，∴( S MFN )min11 ，|MN |2∴四边形 AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵ A(2,0) ， M (0, m) ，∴直线AM的方程为 y m x m ，2 y m x m,2 2m2 x 2( m2 1) 0 ，由2得 (1 m2 ) x2x2 2 y22,由 2x E2(m21)，得 x E2( m2 1) ，①1 m2m2 1同理可得 x D2( n21) ，n212(1)212(12∵ m n1，∵x Dm m )1m2, ②()211m故由①②可知：x E x D，代入椭圆方程可得 y E2y D2∵ MF NF ，故 M ， N 分别在x轴双侧，y E y D，∴yEyD，∴ E ， O ， D 三点共线．x E x D21. 解：（Ⅰ）函数f ( x)的定义域为(,1) ，由题意 f '( x) 2xa 2x22x a, x 1，1 x1 x224( 2)( a) 4 8a ．①若4 8a 0 ，即 a1 ，则 2x2 2x a 0 恒成立，2则 f ( x) 在 (,1) 上为单一减函数；②若4 8a 0 ，即 a1 ，方程 2x2 2x a0 的两根为 x 11 1 2a，221 1 2a，当 x (, x 1) 时， f '( x)0 ，因此函数 f ( x) 单一递减， 当 x1x 22( x 1, ) 时，2f '(x)0 ，因此函数 f (x) 单一递加，不切合题意．1综上，若函数 f (x) 为定义域上的单一函数，则实数a 的取值范围为 ( ,) ．2（Ⅱ）由于函数 f (x) 有两个极值点，因此 f '( x)0 在 x 1上有两个不等的实根，即 2x 22xa 0 在 x 1有两个不等的实根 x 1 ， x 2 ，1x 1 x 2 1,1 1于是 0a 且知足x 1 ) ，a ，x 1x 2 (0, x 2 ( ,1) ，2 ,2 22f (x 1) x 12 1 aln(1 x 1 ) ( x 1 1)(x 11) 2x 1x 2 ln(1 x 1 )x 1) 2x 1 ln(1 x 1 ) ，x 2x 2x 2(1同理可得f (x 2 )(1 x 2 ) 2x 2 ln(1 x 2 ) ．x 1f (x 1) f ( x 2 ) x 2 x 1 2x 1 ln(1x 1) 2x 2 ln(1 x 2 )2x 2 1 2(1 x 2 )ln x 2 2x 2 ln(1 x 2 )x 2x 1，令 g(x)2x 1 2(1 x)ln x2 xln(1 x) ， x ( 1,1) ．2 2 x(1,1) ， 2g '(x)2ln x(1 x)， x1x 1 x 2∵ x(1，∴2ln x(1 x) 0 ，x)4又 x (12x0 ，∴ g '(x)0 ，则 g(x) 在 x 1,1)上单一递加，,1) 时，x 1 x(22因此 g ( x) g (1) 0 ，即 f ( x 1 )f ( x 2 )0 ，得证．2x 2x 122. 解：（Ⅰ）x 221，x 2cos （为参数）．4yy sin（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为 l ，设点 A(2cos q,sin q) ，l 8cos4sin45( 2cos 1 sin )4 5 sin() ，5 5且 cos1 ， sin2，55因此，当k（ kZ ）时， l 取最大值，2此时2k2，因此， 2cos2sin 4， sin cos1，55此时， A( 4 ,1 ) ， l 1 的一般方程为 y 1x ．5543x a 4, x a,23. 解：（Ⅰ）当 a2时，函数 f ( x) | 2x4 | | xa |x a 4, a x2,3x a 4, x2.可知，当 x 2 时， f ( x) 的最小值为 f ( 2)a2 1，解得 a3 ．（Ⅱ）由于 f ( x) | 2x 4 | | x a | | (2 x4) ( x a) | | xa 4 | ，当且仅当 (2 x 4)( x a) 0 时， f (x) | xa 4|成立，因此，当 a 2 时， x 的取值范围是x | a x2 ；当 a 2 时， x 的取值范围是 2 ；当 a2 时， x 的取值范围是x | 2 xa ．。
2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷附答案解析
2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分）1．﹣7的相反数是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣2．下列图形中，∠2＞∠1的是（）A．B．C．D．3．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）A．B．C． D．4．在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格5．下列运算中，正确的是（）A．4m﹣m=3 B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6D．m2÷m2=m6．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．80°B．50°C．40°D．20°7．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．1 B．2 C．3 D．49．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④10．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C． D．12．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）A．﹣=4 B．﹣=20C．﹣=4 D．﹣=413．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（）A．B．C．D．14．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．15．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．60 B．80 C．30 D．4016．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）17．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为．18．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．19．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）（t 为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线F，现有点A（2，0）和抛物线F上的点B（﹣1，n），下列结论正确的有．①n的值为6；②点A在抛物线F上；③当t=2时，“再生二次函数”y在x＞2时，y随x的增大而增大④当t=2时，抛物线F的顶点坐标是（1，2）三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．计算： +问：小明在第步开始出错，小红在第步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程．21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画B．保龄球C．航模D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考：小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形请你利用小亮的发现解决下列问题：（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程；证明：．（2）解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是．23．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．25．如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作a；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：（1）若R=2，m=1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是；如图2，当a=°时，半圆O与射线AB相切；（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα=（用含有R、m的代数式表示）拓展：（4）如图5，若R=m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）26．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是；（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分）1．﹣7的相反数是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣7的相反数是7，故选：A．2．下列图形中，∠2＞∠1的是（）A．B．C．D．【考点】平行四边形的性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质求解，即可求得答案．【解答】解：A、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；B、∠1=∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误；C、∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），故本选项正确；D、如图，∵a∥b，∴∠1=∠3，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项错误．故选C．3．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）A．B．C． D．【考点】数轴；绝对值．【分析】根据|a|=a得出a是正数，根据|b|=﹣b得出b是负数，根据a+b＜0得出b的绝对值比a大，在数轴上表示出来即可．【解答】解：∵a、b是两个非零的有理数满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，∴a＞0，b＜0，∵a+b＜o，∴|b|＞|a|，∴在数轴上表示为：故选B．4．在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格【考点】生活中的平移现象．【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．【解答】解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N向下移动2格．故选：D．5．下列运算中，正确的是（）A．4m﹣m=3 B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6D．m2÷m2=m【考点】整式的混合运算．【分析】根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为4m﹣m=3m，故本选项错误；B、应为﹣（m﹣n）=﹣m+n，故本选项错误；C、应为（m2）3=m2×3=m6，正确；D、m2÷m2=1，故本选项错误．故选C．6．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．80°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理．【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．故选A．7．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二元一次方程组的解．【分析】将x=1代入方程x+y=3求得y的值，将x、y的值代入x+py=0，可得关于p的方程，可求得p．【解答】解：根据题意，将x=1代入x+y=3，可得y=2，将x=1，y=2代入x+py=0，得：1+2p=0，解得：p=﹣，故选：A．8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】位似变换．【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．9．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，∴a===3．①a=3是无理数，说法正确；②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；④a是18的算术平方根，说法正确．所以说法正确的有①②④．故选C．10．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，得45分的人数最多，众数为45，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，平均数为：=44.425．故错误的为D．故选D．11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【考点】等腰三角形的判定．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．12．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）A．﹣=4 B．﹣=20C．﹣=4 D．﹣=4【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时=4．【解答】解：设原计划每天挖x米，那么原计划用时为：，实际用时为：．根据题意，得：﹣=4，故选D．13．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】两条直线相交或平行问题；在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据勾股定理即可得出OB的长度，由此可得出点B的坐标，由OA、OD的长度可得出点A、D的坐标，根据点A、D、B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AD、BC的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）结合点B以及交点的横坐标即可得出结论．【解答】解：∵AB=5，OA=4，∴OB==3，∴点B（﹣3，0）．∵OA=OD=4，∴点A（0，4），点D（4，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，，解得：，∴直线AD的解析式为y=﹣x+4；设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（﹣3，0）、C（0，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣1．联立直线AD、BC的解析式成方程组，，解得：，∴直线AD、BC的交点坐标为（，﹣）．∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），∴﹣3＜a＜．故选D．14．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选：D．15．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．60 B．80 C．30 D．40【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．得出S△AOF【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a==48，解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，=S菱形OBCA=OB•AM=40．∴S△AOF故选D．16．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE【考点】动点问题的函数图象．【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时，x的范围，结合图象得到答案．【解答】解：设边长AC=a，则0＜x＜a，根据题意和等边三角形的性质可知，当x=a时，线段PE有最小值；当x=a时，线段PC有最小值；当x=a时，线段PD有最小值；线段DE的长为定值．故选：C．二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）17．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为1．【考点】代数式求值；倒数．【分析】由m，n互为倒数可知mn=1，代入代数式即可．【解答】解：因为m，n互为倒数可得mn=1，所以mn2﹣（n﹣1）=n﹣（n﹣1）=1．18．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．【考点】圆锥的计算．【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴AB==2，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=•2π•1•2=2π．故答案为2π．19．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）（t 为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线F，现有点A（2，0）和抛物线F上的点B（﹣1，n），下列结论正确的有①②③．①n的值为6；②点A在抛物线F上；③当t=2时，“再生二次函数”y在x＞2时，y随x的增大而增大④当t=2时，抛物线F的顶点坐标是（1，2）【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】①已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n 的值．②将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；③代入t=2得到二次函数，从而确定其增减性即可．④将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标．【解答】解：①将x=﹣1代入抛物线E的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6，正确．②将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y=0，∴点A（2，0）在抛物线E上，正确．③当t=2时，y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，对称轴为x=1，开口向上，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，正确；④将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2），错误；故答案为：①②③三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．计算： +问：小明在第②步开始出错，小红在第②步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程．【考点】分式的加减法．【分析】根据分式的加减，可得答案．【解答】（1）②，②原式=﹣=．21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画B．保龄球C．航模D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷=200（人）；故答案为：200；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人）；补充如图．（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）==．22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考：小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形请你利用小亮的发现解决下列问题：（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程；证明：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴AC=BF；．（2）解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是10+8．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先判断出△BDF≌△CDM进而得出MC=BF，∠M=∠BFM．再判断出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出结论；（2）先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．【解答】（1）延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；故答案为：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；（2）如图，∵MN∥BC，FM∥GN，∴四边形MFGN是平行四边形，∴MF=NG，MN=FG，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=4，DE∥BC，∴MN=FG=BC=4，∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，∴MF⊥BC时，MF最短，即：四边形MFGN的周长最小，过点A作AH⊥BC于H，∴FM=AH在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，∴AH==5，∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10+8．故答案为10+8．23．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【考点】反比例函数的应用．【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；（3）利用已知由x=5代入求出饮水机内的温度即可．【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y=10x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，依据题意，得：100=，即m=800，故y=，当y=20时，20=，解得：t=40；（3）∵45﹣40=5≤8，∴当x=5时，y=10×5+20=70，答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意设y1=kx、y2=ax2，将表格中数据分别代入求解可得；（2）由种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，根据“总利润=花卉利润+树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可；（3）根据获利不低于22万，列出不等式求解可得．【解答】解：（1）设y1=kx，由表格数据可知，函数y1=kx的图象过（2，4），∴4=k•2，解得：k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；∵设y2=ax2，由表格数据可知，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，解得：a=，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2（x≥0）；（2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，w=2（8﹣m）+m2=m2﹣2m+16=（m﹣2）2+14，∵a=0.5＞0，0≤m≤8，∴当m=2时，w的最小值是14，∵a=＞0，∴当m＞2时，w随m的增大而增大∵0≤m≤8，∴当m=8时，w的最大值是32，答：他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元．（3）根据题意，当w=22时，（m﹣2）2+14=22，解得：m=﹣2（舍）或m=6，故：6≤m≤8．25．如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作a；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：（1）若R=2，m=1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是+1；如图2，当a=60°时，半圆O与射线AB相切；（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα=（用含有R、m的代数式表示）拓展：（4）如图5，若R=m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE是矩形，EF=AM=1．如。
河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测理数试题
高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}{}|130,|24A x x x B x x =+-<=<<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|14x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x <<2.若复数z 满足23zi i =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．32i -- B ．32i -+ C ．23i + D ．32i -3. 下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C ．命题“()*1,322nn n N n -∀∈>+”的否定是“()*1,322nn n N n -∀∈≥+”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点()f x ”的逆命题为假命题4. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =（ ） A ．80 B ．85 C. 90 D ．955.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-，则输出的S 的值为 （ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．96. 某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．67. 若函数()()()()2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．-1 B． C. 12-D．8. 若,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩且3z x y =-的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．13 B ． 23C. 1 D ．2 9.若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为，则t =取得最大值时a 的值为 （ ）A ．12 B．3410. 已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，点P 在棱AC 上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．12.若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(),0-∞ B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,0,2e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开工的二项式系数之和为64，则含3x 项的系数为 ．14.已知AB 与AC 的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且0AM BC =，则λμ的值为 ． 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 为1121231234121,,,,2334445555n n nn-,,,,,,,,,,,，若14k S =，则k a = ．16.已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()2234a cb ac -=-.（1）求cos B 的值；（2）若b =，且sin sin sin A B C 、、成等差数列，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M ⊥====为AD 的中点，N 为PC 上一点，且3PC PN =.（1）求证：//MN 平面PAB ； （2）求二面角P AN M --的余弦值. 19. （本小题满分12分）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比.21. （本小题满分12分） 已知函数()()()()()221ln ,1,,x f x x a bx g x bx e x a a b R e b=+-=-++∈为自然对数的底数，且()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1ln 22y x =-+.（1）求实数,a b 的值；（2）若0x ≥，求证：()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 2sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； （2）在（1）的条件下，若6AP AQ =，求直线l 的普通方程. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求参数m 的取值范围.石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）数学（理科答案）一、选择题：1-5 DBDCC 6-10 ABDDB 11-12AD二、填空题:13. 20 14.15．16..三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可得……………2分∴，……………4分即．………………6分（Ⅱ）∵，由余弦定理，得又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得∴，解得．……………8分由，得，……………10分∴△的面积．……………12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H,连接AH,在△PBC中,NH∥BC,且 ,∴MN∥平面PAB.…………………4分（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，， .分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，……………6分设平面AMN 的法向量则……………8分设平面PAN 的法向量……………10分则二面角……………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表……………2分…………4分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系．………………………5分（II）由样本数据可知，男性正常的概率为，女性正常的概率为．…………6分此项血液指标为正常的人数X的可能取值为====所以X的分布列为………………11分所以EX==2.8此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分20.（本小题满分12分）.解：（Ⅰ）由题意得，点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，点的轨迹的方程为…………………4分（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．∴当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分21．（本小题满分12分）解：（I），，且以点为切点的切线方程为即：…………………2分由得，代入得：又为单调递增函数……………………4分所以可得；……………………………5分（II）由（I）可知，思路：易知：，证明如下：令则当时，,即：……………………………7分思路：易知：，证明如下：，显然，当，，即又，（当时取等号）. ……………………7分要证：，即：只需证：，即证：令则，令……………………………9分则（只有时，等号成立）在为增函数，在为增函数，，即.…………………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：.解：（I）……..2分恒过的定点为…….4分（II）把直线方程代入曲线C方程得：分由的几何意义知.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以………………7分，，，……………9分因此，直线直线的方程或分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）解：分分解得：分（II）法1.化简得当时……..6分当时……..7分由于题意得：即…….8分或即…….9分……..10分法2.分分分。
(全优试卷)河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测理数试题
高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.设会合 A x |x 1 x30 , B x | 2 x 4 ，则A B（）A．x | 1 x 3B． x | 1 x 4C．x |1 x 2D．x | 2x32.若复数 z 知足zi23i（ i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为（）A．3 2i B． 3 2i C．2 3i D．3 2i3.以下选项中，说法正确的选项是（）A．若a b0，则 ln a ln bB．向量a1,m ,b m,2m 1 m R 垂直的充要条件是 m1C．命题“n N* ,3n n 2 2n 1”的否认是“n N* ,3n n22n1”D．已知函数f x在区间a,b上的图象是连续不停的，则命题“若 f a f b0，则f x 在区间a, b内起码有一个零点f x ”的抗命题为假命题4.已知等差数列a n的公差为5，前n项和为S n，且a1, a2, a5成等比数列，则S6（）A． 80B． 85 C. 90D．955. 以下图的程序框图，程序运转时，若输入的S12 ，则输出的 S 的值为（）6. 某几何体的三视图以下图（在下面的网格线中，每个小正方形的边长为 1），则该几何体的体积为（）A ．2B ．3 C.4D ． 67. 若函数 f x3sin 2xcos 2x的图象对于,0 对称，则2函数 fx 在, 6 上的最小值是（ ）4A ． -1B．3C.1 D．322x y 18. 若 x, y 知足mxy 0 且 z 3xy 的最大值为 2，则实数 m 的值为（）3x 2 y 2 0A ．1B．2C. 1D． 2339. 若 a, b 是正数，直线 2ax by2 0 被圆 x 2y 2 4 截得的弦长为 2 3 ，则t a 1 2b 2 获得最大值时 a 的值为 （）A ．1B． 3C.3D．3224410. 已知函数 fx2e x 1 , x 1，则 f f x 2 的解集为（）x 3 x, x 1A ． 1 ln 2,B．,1 ln 2C.1 ln 2,1D． 1,1 ln 211. 在《九章算术》 中，将四个面都是直角三角形的四周体称之为鳖臑，在鳖臑 A BCD 中，AB平面 BCD ，且 BDCD, AB BDCD ，点 P 在棱 AC 上运转，设 CP 的长度为x ，若PBD 的面积为 f x ，则 f x 的图象大概是（）A ．B ． C.D ．12. 若存在正实数 m ，使得对于 x 的方程 x a 2x 2m 4ex ln x mln x0 有两个不一样的根，此中 e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．,0B ．0,1C.,01 , D．1 , 2e2e2e第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）若二项式 x 21n13. 展动工的二项式系数之和为64，则含 x 3 项的系数为．x14. 已知 AB 与 AC 的夹角为 90°， AB 2, AC1,AMABAC , R ，且AM BC 0，则的值为 ．15. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，数列 a n 为1 , 1 ,2 , 1 , 2 ,3 , 1 , 2 , 3 , 4, , 1 , 2 , , n 1 , ，若 S k 14 ，则 a k．2 334445555n nn16. 已知 F 为双曲线x 2y 2 1 a 0,b 0 的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于a 2b 2M , N 两点，且 MF NF 0, MNF 的面积为ab，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、 c，且a223ac .cb4（1）求cosB的值；（2）若b13 ，且 sin A、sin B、sin C 成等差数列，求ABC 的面积.18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥P ABCD 中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD / / BC,CD BC, AD 2, AB BC 3,PA 4, M 为 AD 的中点，N为PC上一点，且PC 3PN.（1）求证：MN/ /平面PAB；（2）求二面角P AN M 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了检查某地域成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20 人构成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，获得了以下茎叶图. 依据医学知识，我们以为此项指标大于 40 为偏高，反之即为正常 .（1）依照上述样本数据研究此项血液指标与性其他关系，列出二维列联表，并判断可否在出错误的概率不超出 0.01的前提下以为此项血液指标与性别相关系？（2）以样本预计整体，视样本频次为概率，现从当地域随机抽取成年男性、女性各 2 人，求此项血液指标为正常的人数X 的散布列及数学希望.2附：K2a b n ad bcb d，此中 n a b c d .c d a cP K 2k00.0250.0100.005k0 5.024 6.6357.87920. （本小题满分12 分）在平面直角坐标系中，已知点F1,0，直线 l : x1，动直线 l垂直 l 于点H，线段HF 的垂直均分线交 l于点 P ，设点 P的轨迹为C.（1）求曲线C的方程；（2）以曲线C上的点P x0, y0y00为切点作曲线 C 的切线 l1，设 l1分别与x, y轴交于A, B 两点，且l1恰与以定点M a,0a 2 为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF 与PAM 面积的比.21. （本小题满分12 分）已知函数f x ln x a bx 2 ,g x bx2 1 e x 1x a a, b R,e为自然对数的底数，且1 x bf x 在点 1, f1处的切线方程为y ln 2 .2（1）务实数a, b的值；（2）若x 0，求证：f x g x .请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 2 t cos（ t 为参数），以 O 为极点，在平面直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程是t sinyx 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos2 2 2 sin212 ，且直线 l 与曲线 C 交于P,Q两点.（1）求曲线C的一般方程及直线l 恒过的定点 A 的坐标；（2）在（ 1）的条件下，若AP AQ 6 ，求直线 l 的一般方程.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x x 3x m x R .（1）当m1f x6的解集；时，求不等式（2）若不等式f x 5 的解集不是空集，求参数m 的取值范围.石家庄市 2017 届高三复习教课质量检测（一）数学（理科答案）一、：1-5 DBDCC 6-10 ABDDB11-12AD二、填空 :13. 2014.15 ．16..三、解答：本大共 5 小，共60 分．解答写出文字明、明程或演算步．17．（本小分12 分）解：（Ⅰ）由，可得⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分即．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）∵，由余弦定理，得又∵、、的成等差数列，由正弦定理，得∴，解得．⋯⋯⋯⋯⋯8 分由，得，⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴△的面．⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．（本小分12 分）（Ⅰ）明：在平面PBC内作 NH∥ BC交 PB于点 H,接 AH,在△ PBC中 , NH∥ BC,且,∴MN∥平面 PAB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（II ）在平面 ABCD内作 AE∥CD交 BC于 E，，.分以AE， AD，AP 所在直x ， y ， z 成立空直角坐系.，，，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分平面 AMN的法向量⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分平面 PAN的法向量⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分二面角⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小分12 分）解：（Ⅰ）由茎叶可得二列表正常偏高合男性16420女性12820合281240⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⋯⋯⋯⋯ 4 分所以不可以在犯的概率不超0.01 的前提下此血液指与性相关系．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（II ）由本数据可知，男性正常的概率，女性正常的概率．⋯⋯⋯⋯6分此血液指正常的人数X 的可能取====所以 X 的散布列X01234P⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以 EX==2.8此血液指正常的人数X 的数学希望 2.8⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20. （本小分12 分）. 解：（Ⅰ）由意得，点到直的距离等于它到定点的距离，⋯⋯⋯⋯ 2 分点的迹是以准，焦点的抛物，点的迹的方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解法一：由意知切的斜率必定存在，，．由，得，即由，获得．∴，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分解法二：由，当，，以切点的切的斜率以切点的切即，整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分令，令，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分点到切的距离( 当且当，取等号 )．∴当，足意的的面最小．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分∴，．，．⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴．△与△面之比．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分21．（本小分12 分）解：（I ），，且以点切点的切方程即：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分由得，代入得：又增函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以可得；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（II ）由（ I ）可知，思路：易知：，明以下：令当，, 即：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分思路：易知：，明以下：，然，当，，即又，（当取等号）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分要：，即：只要：，即：令，令⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分（只有，等号成立）在增函数，在增函数，，即. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分考生在第22、 23 中任一做答，假如多做，按所做的第一分．做答把所号涂黑．22. （本小分10 分）修4-4 ：坐系与参数方程：. 解：（I ）⋯⋯..2分恒的定点⋯⋯.4 分（II ）把直方程代入曲 C 方程得：分由的几何意知. 因点 A 在内，个方程必有两个根，所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分，，，⋯⋯⋯⋯⋯9 分所以，直直的方程或分23.（本小分 10 分）修 4-5 ：不等式解：（Ⅰ）解：分分解得：分（II ）法 1.化得当⋯⋯ ..6分当⋯⋯..7 分因为意得：即⋯⋯.8分或即⋯⋯.9分⋯⋯ ..10分法 2.分分分。
2017年河北省石家庄四十二中中考数学一模试卷(解析版)
2017年河北省石家庄四十二中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共16个小题，共42分）1．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a6÷a3=a2B．3a﹣a=3 C．（﹣a）2•a3=a5D．（a2）3=a54．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球5．已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）千米．A．5.5×106B．5.5×107C．55×106D．0.55×1087．化简的结果是（）A． B． C．x+1 D．x﹣18．估计+1的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间9．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 11．如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB 上，且PB=PQ．若点P对应140°（40°），则∠PQB的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°12．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π13．如图，在Rt△ABC中，CA=CB=2，M为CA的中点，在AB上存在一点P，连接PC、PM，则△PMC周长的最小值是（）A．B．C． +1 D． +114．如图中的图①、②、③所示，阴影部分面积的大小关系正确的是（）A．①＞②＞③B．③＞②＞①C．②＞③＞①D．①=②=③15．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣216．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点A（﹣3，y1），点B（﹣12，y2），点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共3个小题，共10分）17．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为．18．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．19．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O 正方形A2B2C2C1﹣1，…使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B1的坐标是，B n的坐标是．三、解答题（本大题共7个小题，共68分）20．计算：2sin45°﹣3﹣2+（﹣）0+|﹣2|+．21．由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示．方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．（1）请在下面方格纸中分别画出这个几何体的正视图和左视图．（2）根据三视图，请你求出这个组合几何体的表面积（包括底面积）．22．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：八年级2班参加球类活动人数统计表项目篮球足球乒乓球排球羽毛球人数 a 6 5 76根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约人；（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．23．如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．24．如图，已知A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y=ax+b与反比例函数（m ＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．25．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC 垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．2017年河北省石家庄四十二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，共42分）1．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】有理数大小比较．【分析】利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案．【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，∴比﹣2小的数是：﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键．2．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对选项C进行判断；根据圆周角定理对选项D进行判断．【解答】解：A、∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1＞∠2，故本选项正确；C、∠1=∠2，故本选项错误；D、∠1=∠2，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了对顶角、平行线的性质、三角形外角性质．3．下列运算正确的是（）A．a6÷a3=a2B．3a﹣a=3 C．（﹣a）2•a3=a5D．（a2）3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；B、合并同类项得到结果，即可作出判断；C、利用积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；D、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a6÷a3=a3，本选项错误；B、3a﹣a=2a，本选项错误；C、（﹣a）2•a3=a2•a3=a5，本选项正确；D、（a2）3=a6，本选项错误，故选C【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，根据该几何体的主视图和左视图都是长方形，可得该几何体可能是圆柱体．【解答】解：∵如图所示几何体的主视图和左视图，∴该几何体可能是圆柱体．故选C．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．5．已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【解答】解：由点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，得1﹣2m＞0，m﹣1＜0．解得m＜，故选B．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．6．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）千米．A．5.5×106B．5.5×107C．55×106D．0.55×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为5.5×107千米，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．化简的结果是（）A． B． C．x+1 D．x﹣1【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故选A【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．估计+1的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴+1在3和4之间．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．9．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵EG=EH，∴△EGH是等腰三角形．B、错误．∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．C、正确．∵EG=EH=HF=FG，∴四边形EHFG是菱形．D、正确．∵EH=FH，∴△EFH是等腰三角形．故选B．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．11．如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB 上，且PB=PQ．若点P对应140°（40°），则∠PQB的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理求出∠ABP=70°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵点P对应140°，∴∠ABP=70°，∵PB=PQ，∴∠PQB=∠ABP=70°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π【考点】圆锥的计算．【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr=×2π×10，解得r=6．故选B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，CA=CB=2，M为CA的中点，在AB上存在一点P，连接PC、PM，则△PMC周长的最小值是（）A．B．C． +1 D． +1【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】作点C关于直线AB的对称点D，连接DM交AB于点P，此时△PCM周长最小，根据△PCM周长=PC+PM+CM=PD+PM+CM，求出DM即可解决问题．【解答】解：作点C关于直线AB的对称点D，连接DM交AB于点P，此时△PCM周长最小．∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=∠BAD=45°，在RT△ADM中，∵∠DAM=90°，AD=2，AM=1，∴DM==，∴此时△PCM的周长为PC+PM+CM=PM+PD+CM=+1．故选C．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称找到点P位置，属于中考常考题型．14．如图中的图①、②、③所示，阴影部分面积的大小关系正确的是（）A．①＞②＞③B．③＞②＞①C．②＞③＞①D．①=②=③【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据图①中直线的解析式找出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式即可得出S的值；根据图②中反比例函数的解析式结合反比例函数系数k的几何意义即可得出S的值；根据图③中点的坐标利用待定系数法找出函数解析式，由此得出顶点坐标，再根据三角形的面积公式找出S的值．综上即可得出结论．【解答】解：①当x=0时，y=1；当y=0时，x=1，∴S=×1×1=；②∵点在反比例函数y=的图象上，∴S=k=×3=；③由点（1，0）、（3，0）、（0，3）利用待定系数法求出抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴S=×（3﹣1）×|﹣1|=1．∵＜1＜，∴②＞③＞①．故选C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据三角形的面积公式求出3个图中阴影部分的面积是解题的关键．15．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点A（﹣3，y1），点B（﹣12，y2），点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】①正确．根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．③正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．④错误．利用函数图象即可判断．⑤正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：①正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．②错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．③正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴，解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b+2c＞0，故③正确．④错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵3.5﹣2=1.5，2﹣（﹣0.5）=2.5，∴1.5＜2.5∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣0.5＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故④错误．⑤正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故⑤正确．∴正确的有三个，故选B．【点评】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共3个小题，共10分）17．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为﹣5．【考点】相反数．【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：由题意，得2（a+3）+4=0，解得a=﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了相反数，利用相反数的意义是解题关键．18．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O 正方形A2B2C2C1﹣1，…使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B1的坐标是（1，1），B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点B n是线段C n A n+1的中点，由此即可得出点B n的坐标．【解答】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，∴A n（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）．观察图形可知：B1（1，1）；点B n是线段C n A n+1的中点，∴点B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（1，1），（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“A n（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）”是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共68分）20．计算：2sin45°﹣3﹣2+（﹣）0+|﹣2|+．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣+1+2﹣+=3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示．方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．（1）请在下面方格纸中分别画出这个几何体的正视图和左视图．（2）根据三视图，请你求出这个组合几何体的表面积（包括底面积）．【考点】作图﹣三视图．【分析】（1）主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2；（2）上下共有2×3个正方形；左右共有5个正方形；前后共有4个正方形．【解答】解：（1）图形如下所示（2）几何体的表面积为：（3+4+5）×2=24．【点评】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意应有顺序的找去找组成几何体的表面积．22．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：八年级2班参加球类活动人数统计表项目篮球足球乒乓球排球羽毛球人数 a 6 5 76根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）a=16，b=17.5；（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约90人；（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解；（2）利用总数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用列举法，根据概率公式即可求解．【解答】解：（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，∴b=17.5，故答案为：16，17.5；（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），故答案为：90；（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，∴则P（恰好选到一男一女）==．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；轴对称﹣最短路线问题；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′E A，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴CE=D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∵AB=2，AD=1，∴AD=AD′=BD′=CE=BC=1，∴▱BCED′是菱形，（2）∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=，DG=，∴BG=，∴BD==，∴PD′+PB的最小值为．【点评】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（2016•石家庄二模）如图，已知A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）是一次函数y=ax+b 与反比例函数（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t，t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，0.5），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，，解得，所以一次函数解析式为y=x+；把B（﹣1，2）代入，得m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P点坐标为（t，t+）．∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．25．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x=0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x=2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x=0时，y=﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC=90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB=5，OC=5，由勾股定理得；BC==5，S=π•=π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x=0时，求抛物线与y轴的交点；令y=0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（12分）（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证△PCO∽△CBO，得出=，求出OP=即可；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC 交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出=，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出=，求出R即可．【解答】解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，∴DC=5，OC=4，OB=3，∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP，∵PC∥DB，∴四边形DBPC是平行四边形，∴DC=BP=5，∴OP=5﹣3=2，2÷1=2，即当t为2秒时，PC∥BD；（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，∴∠CPO=∠BCO，。
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2016-2017学年度石家庄市第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷1-5 CCDCB, 6-10ACBCB, 11-12 AB B 卷1-5DDCDB, 6-10ADBDB 11-12AB二、填空题13 0200,2nn n ∃∈≥N 14 1024153116 7a >- 三、解答题 17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=-- 由正弦定理可得c a ba b a c+=-- ()()()c a c a b a b ∴-=-+即222a c b ac +-= ………………………2分又2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴=……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴=……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c +的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin60oa c BADADB ===∠∠2,,a BAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 2216cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠+∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+ ……………………………………10分250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠=时2a c + 的最大值为6……………………………………12分18.（Ⅰ）在三角形ABD 中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠,由已知 60=∠DBA，AD =4BA =，解得，sin 1ADB ∠=,所以90ADB ∠= ，…………………2分即AD BD ⊥， 可求得2=BD 在三角形SBD 中，32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴……………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴…………………………5分（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为Z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知，平ABCD SAD ⊥面平面，∴S 在面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作AD SE ⊥于E ，则3,3==SE DE ，则）（3,0,3-S ，…………………………7分易求）（0,0,32A ，）（0,2,0B ,）（0,2,32C -则）（3,2,3-=SB ,）（3,0,33-=SA ，）（3,2,3--=SC ……………………………8分设平面SBC 的法向量）（z y x n ,,1=，230230y z y z +-=+-=⎪⎩， 解得）（2,3,01--=n …………………………10分 同理可求平面SBA 的法向量）（3,3,12=n91273571335cos -=⋅-==∴n n θ…………………………12分 19（1 ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4.4641015P 0==210C C X =（），134641080P 1==210C C C X ⋅=（），224641090P 2==210C C C X ⋅=（）， 314641024P 3==210C C C X ⋅=（），444101P 4==210C C X =（） X 的分布列为：………………………………………………………………………………………4分（说明：上述5个数据错一个扣1分，错两个扣2分，错3个及以上扣4分）158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------- 6分 ( 2 ) 序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种， ----------------------------- 8分当=0Y 时，1234=1,=2,=3,=4.a a a a ------------------------------------------ 9分 当12341234=2Y a a a a =-+-+-+-时，1234,,,a a a a 的取值为123412341234=1,=2,=4,=3=1,=3,=2,=4=2,=1,=3,=4.a a a a a a a a a a a a ；；. 故41P 2==246Y ≤（）.------------------------------------------ 12分 20．（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=2分==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立.∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分 法二：∴(0,)M m ， (0,)N n ，∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-，1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯，当且仅当||||MF NF =时等号成立.min ||2MN ∴=∴min 1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分222211)1111D m m m n x m m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，② 故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E DE Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.(Ⅰ)法一：函数f x 的定义域为,1.由题意222()2,111ax x af x x x x x，224(2)()48a a ∆=---=-……………………………………………2分①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立 则()f x 在,1上为单调减函数，…………………………………3分②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两个根为1211,22x x -+==，当()1,x x ∈-∞时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。
综上，若函数f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1,2；……………………4分法二：(Ⅰ)函数f x 的定义域为,1.由题意222()2,111ax x af x xx x x，又()f x 为定义域上的单调函数，则()f x 必为定义域上的单调减函数，于是()0f x 对任意1x 恒成立，即222a x x 对任意1x 恒成立，………………………………2分所以12a.………………………………3分 另一方面，若1a 时，则1120f a ，而20aa f，不合题意.综上，若函数f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1,2；………………………………4分（或者有：经检验12a 符合题意，此题也给4分，否则丢掉此步，扣1分）。
(Ⅱ)因为函数()f x 有两个极值点，所以()0f x 在1x 上有两个不等的实根，即2220x xa在1x有两个不等的实根12,x x ，于是102a，121212x x a x x ，且满足1211(0,),(,1)22x x .…………………6分 211111121111222()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x ，同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x .……………………………8分方法一：122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x令1()212(1)ln 2ln(1),(,1)2g x x x x x x x. 221()2ln[(1)],(,1)12xg x x x xxx ，…………………………………10分因为1(1)4x x ，所以2ln[(1)]0x x ，又122(,1)021x x x x时，，所以()0g x ，则()g x 在1(,1)2x 上单调递增， 所以1()()02g x g ，即1221()()0f x f x x x ，得证.………………………………12分 方法二：设12ln 1g x xx x ，10,2x. 则212ln 11x g x xx.设212ln 11x h x xx，10,2x . 又222011h x xx在10,2上恒成立，所以h x 为10,2上的减函数， 于是010h x h ，即0g x在10,2上成立，因此g x 为10,2上的减函数， 所以，11131lnln 22222g x g .……………………10分同理，设12ln 1xxx x，1,12x.易得x 为1,12上的减函数，所以11131ln ln 22222x.综上所述，1221f x f x x x .……………12分方法三: 设12ln 1g x xx x ，0,1x.则212ln 11xg x x x . 设212ln 11xh xxx，0,1x .又222011h x x x 在0,1上恒成立，………………10分所以h x 为0,1上的减函数， 于是010h xh ，即0g x 在0,1上成立，因此g x 为0,1上的减函数，由于121012x x ，可得12g x g x . 综上所述，1221f x f x x x .…………………………12分22.（1）依题意2214x y += ，…………………………2分 ()2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 ……………………4分 （2）设四边形ABCD 的周长为l ,设点(2cos ,sin )A ，8cos 4sin l θθ=+…………………………………………6分)θθ)θϕ+且cos ϕϕ== 所以，当+=2()2k k Z πθϕπ+∈ 时，l 取最大值.……………………8分此时，=22k πθπϕ+-所以，2cos2sin θϕ==.sin cosθϕ==此时，A 1l 的普通方程为14y x = .……………………………10分 23．(1)当a <-2时, 函数()()()()x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩342442342……………………………3分可知，当x =-2时,()f x 的最小值为()f a -=--=221，则实数a =-3.…………………………5分(2)因为()()()f x x x a x x a x a =++-≥+--=++24244……………7分 当且仅当()()x x a +-≤240时，()f x x a =++4成立，所以当a <-2时，x 的取值范围是{}x|a x ≤≤-2；当a =-2时，x 的取值范围是{}-2；当a >-2时，x 的取值范围是{}x|x a -≤≤2.…………………………10分。