单周期控制DC_DC变换器稳定性分析

Filippov 方法[5]，此方法分析扰动采用的是单值矩
阵，即为一个周期内的状态转移矩阵，它对变换器
这种分段光滑系统非常适用。假定一个 T 内，系统
在满足 h（x，t）=0 的时刻进行开关状态转换，从状
态 1 转换到状态 2，然后保持在状态 2，一直到周
期结束，在下一个 T 开始时又运行在状态 1，那么
（1）
式中：M=1-s/zvd，zvd=D′2R/L；ω0=D′/姨LC ；Q=D′R 姨C/L ；He（s）=
1-Ts/2+（Ts/π）2；T 为周期。
对式（1）进行分析可知，只要工作在连续工作
模式下，单周期控制 Boost 变换器就会有准确。
采 样 -数 据 模 型 是 在 每 周 期 固 定 时 刻 ，例 如 起
2 单周期控制工作原理和离散化模型
2.1 工作原理 单 周 期 控 制 Buck 和 Boost 变 换 器 如 图 1 所
示。在图 1a 中，若电路工作于电感电流连续模式， 二极管电压 uVD 在开关管导通时等于负的电源电 压-Uin，在开关管关断时等于零。因为输出电压等 于 uVD 在一个周期内的平均值， 故 将 uVD 进 行 积
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第 45 卷第 7 期 2011 年 7 月
电力电子技术 Power Electronics
Vol.45， No.7 July 2011
分，并与参考电压 Uref 进行比较。在一个周期开始 时，开关管导通，uVD 进行积分，当其积分值达到 Uref 时，RS 触发器输出 Q 端为零，因此开关管关 断，同时，Q 端 输 出 为 1，使 得 积 分 器 的 积 分 电 容 短路，积分器复位。
始时刻，对变换器的状态变量进行采样，从而将其
用离散方程来描述。变换器的设计工作状态是周
期 1 模式，故在离散方程中对应于一个不动点。分
析变换器的稳定性有多种方法，其中一种是分析
初始状态扰动后扰动量的变化，一般通过将采样-
数据模型在不动点处进行线性化后的 Jacobian 矩
阵进行分析得到的。另外一种更直接的方法是
在图 1b 中，若电路工作于电感电流连续模 式 ，当 开 关 管 导 通 时 ，二 极 管 处 于 关 断 状 态 ，其 两 端电压等于负的电容电压-uC；在开关管关断时， 二极管导通，其两端电压等于零。在一个周期开始 时，开关管导通，积分电路对 uVD，即对 uC 进行 积 分，当积分电压达到设定电压时，RS 触发器输出 Q 端为零，关断开关管，同时Q端输出为 1，使得积 分器积分电容短路，积分器复位。需指出的是，因 为 在 稳 态 时 ，uVD = uC - Uin， 所 以 比 较 器 另 一 端 的 电 压应当是 Uref-Uin，而非 Uref。稳态时，稳态占空比 D、输出电压 Uo 和 Uref 满足：Uref -Uin=TDUo/（R0C0）。
而得到 S1=I。从状态 2 再次回到状态 1 时，可认为 坠h/坠t=∞[6]，因此 S2=I。在状态 1 时，Φ1（dT，0）=eA1dT ； 在状态 2 时，Φ2（T，dT）=eA2（1-d）T ，因此：
Φcycle（T，0）=Φ=eA1T
（5）
乙 乙 0 -1/L
式中：A1=A2=
1/C
。 -1/（RC）
图 1 单周期控制 Buck 变换器和 Boost 变换器
2.2 离散化模型
通常使用小信号模型对单周期控制变换器进
行分析。例如，对单周期控制 Boost 变换器进行分
析，占空比和参考电压引入延迟环节[4]，得到的 Uo
对 Uref 的传递函数为：
u赞 o u赞 ref
=
R0C0（Uin/D′2）He（s）M UoT[s2/ω02+s/（Qω0）+1]+UinMHe（s）DT/D′2
在此首先指出常用小信号模型的不足；其次用 Filippov 方法得到单周期控制 Buck 变换器一个完整周期内的状
态转移矩阵并对其进行分析。可知当参考电压小于输入电压时，在任何电路参数情况下，单周期控制 Buck 变
换器都处于稳定运行状态。对单周期控制 Boost 变换器的研究结果表明，该变换器可以工作在稳定运行状态，
定 稿 日 期 ： 2010-12-06 作 者 简 介 ： 王 明 渝 （1960- ）， 男 ， 重 庆 人 ， 博 士 ， 研 究 方 向 为 电机控制及电力电子技术。
采 样-数 据 模 型 是 以 变 换 器 电 路 基 本 运 行 原 理为基础，通过一个周期内不同子周期运行状态 的 叠 加 而 得 到 的 ，它 能 够 精 确 反 映 电 路 的 运 行 [2]。 通过分析采样-数据模型在不动点的稳定性，易于 分析出变换器不稳定运行的状态，可识别出各种 非 线 性 运 行 行 为 [3]。 除 采 样-数 据 模 型 外 ，还 有 Filippov 方法也能直接对变换器的稳定性提供分 析依据。由于采样-数据模型和 Filippov 方法在单 周 期 控 制 功 率 变 换 器 中 的 应 用 尚 未 广 泛 推 广 ，因 此限制了对单周期控制变换器的精确分析。在此 重点研究了它们在单周期控制变换器中的应用， 利用特征根分析单周期控制变换器的工作特性， 讨论其非线性现象发生的原因。
WANG Ming-yu， MA Wei
（State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology， Chongqing University，Chongqing 400044，China）
对值几乎呈线性增长，这与理论分析一致。而当该 值达到设定的 Uref-Uin 时，开关管关断，iL 下降。示 波器显示 iL 在 0.3 A 附近变化。图 2b 表明电容电 压，即输出电压为 8.5 V。此时 iL 连续，电路稳定 的工作在周期 1 状态，这与式（1）采用带延迟环节 的小信号模型结论不同。因此，在该电路中，离散 模型比小信号模型更准确。
对单周期控制 Boost 变换器，取状态变量与上
述 Buck 变换器相同，从状态 1 到状态 2 开关平面：
乙dT
h（x，t）= x2（τ）dτ-（Uref-Uin）=0 0
（6）
求取法向量时，由于开关平面包含了对状态
变量的积分，故法向量的表达式也包含了状态变
量 及 其 导 数 ，这 种 表 达 式 比 较 复 杂 ，这 里 用 采 样 -
第 45 卷第 7 期 2011 年 7 月
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单周期控制 DC/DC 变换器稳定性分析
王明渝， 马 伟 （重庆大学，输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400044）
摘 要 ：单周期控制变换器具有在一个周期内消除输入扰动的优点，在工程中常用小信号模型进行分析和设计。
在一个 T 内，单值矩阵可表示为：
Φcycle（T，0）=S2×Φ2（T，dT）×S1×Φ1（dT，0） （2）
式 中 ：S1，S2 分 别 表 示 从 状 态 1 到 状 态 2 和 从 状 态 2 到 状 态 1 的跃移矩阵；Φ1（dT，0），Φ2（T，dT）分别为状态 1，2 的 状态转移矩阵；d 表示占空比。
数据模型求 Jacobian 矩阵：
乙 Φ=e e -e A2（1-d）T A1dT A2（1-d）T
（f--f+）C y0（dT）
dT eA1τ dτ
0
（7）
乙 乙 乙 乙 0 0
0 -1/L
式中：A1=
0
-1/（RC） ；A2=
1/C
；y0（dT）=Cx0（dT）， -1/（RC）
C=[0 1]，x0（dT）表示 x0（t）在 dT 时刻的值，x0（t）是系统处于
稳定运行时的状态变量，满足 x0（0）=x0（T）。
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单 周 期 控 制 DC/DC 变 换 器 稳 定 性 分 析
无 论 是 采 用 上 述 哪 种 方 法 其 结 果 都 一 样 ，因 为这些方法都是描述轨道的稳定性，都经过了将 连续系统离散化和在不动点处线性化的过程。 Jacobian 矩阵通过采样-数据模型或者 Poincare 映 射得到，而 Filippov 方法直接分析扰动的演化，在 开关时刻引入跃移矩阵，从而使得受扰轨道和原 来的周期轨道在开关前、后经历相同的时间，分析 起来更加直接。
由于变换器在状态 1 和状态 2 期间都是线性
时不变系统，故 Φ1（dT，0），Φ2（T，dT）容易计算。而 计算跃移矩阵 S 要用到状态转换前微分方程右端
表达式 f-和状态转换后微分方程右端表达式 f+：
S=I+
（f+-f-）nT nTf-+坠h/坠t
（3）
式中：I 为单位矩阵；n 为开关面的法向量，开关面由 h（x，
t）=0 决定。
对于单周期控制 Buck 变换器，取状态变量
x=[x1，x2]T，x1，x2 分别是 iL 和 uC，而 从 状 态 1 到 状 态 2 的开关平面：
乙dT
h（x，t）= uin（τ）dτ-Uref=0 0
（4）
在以下分析中，输入电压 Uin 为固定值。此开
关平面与状态变量无关，因此法向量 n=[0 0]T，从
1引言
作为一类典型的分段光滑非线性系统，功率 DC/DC 变换器引起了广泛关注。目前常用的 DC/ DC 变换器采用了外接固定频率的控制芯片，是一 类非自治系统。在一个周期内，变换器工作在多个 子周期，每个子周期内变换器均可用线性系统描 述，而子周期转换时刻则由状态变量决定，变换器 呈现出许多非线性现象，如倍周期分岔、Hopf 分 岔、混沌等。单周期控制 DC/DC 功率变换器具有 在一个周期内消除输入扰动的优点，没有稳态误 差 和 动 态 跟 踪 误 差 ，因 此 得 到 越 来 越 多 的 应 用 [1]。 一般采用小信号模型分析单周期控制功率变换器 的特性，进行电路设计。由于小信号模型是通过平 均、扰动和线性化得到的，所以仅能描述慢时标尺 度下的现象，即表现状态变量波形的轮廓，不能精 确反映每周期内电路的运行规律。