基于刚柔耦合模型的行星传动固有特性分析_张俊

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第 50 卷第 15 期期
运动微分方程将有所改变。 1.3 内齿圈运动微分方程 图 2 所示为弹性内齿圈微元段的受力示意图。 其中，定义 u 、 w 分别为齿圈微元段的切向和径向 位移； N11 、 Q13 、 M 11 分别为内齿圈微元段截面所 受的轴向力、剪切力以及弯矩； Ft 、 Fr 分别为齿圈 微元段所受的切向和径向载荷。
图1
行星传动刚柔耦合动力学模型
图 1 中，系杆随动坐标系 Oxy 的原点 O 取为系 杆的理论安装中心，其 x 轴指向行星轮 1 的平衡位 置，且以系杆理论角速度 c 绕原点 O 匀速转动。不 失一般性，设定初始时刻 x 轴恰好通过行星轮 1 的 质心。各构件连体坐标系 Oi xi yi ( i c,s,1, 2, , N ；N 为均布行星轮的数目 ) 的原点取各自质心且与 Oxy 平行。 ksn 、 krn 分别为太阳轮与行星轮及行星轮与 kij 为太阳轮和系 内齿圈的啮合刚度( n 1, 2, , N )； 杆的支承刚度( i c,s ， j x, y, u )； kp n 为行星轮支 n 为第 n 个行星轮的理论位 承刚度( n 1, 2, , N )； 置与 x 轴正向的夹角( n 2π(n 1) / N )； ( xi , yi , ui ) 为 太 阳 轮 、 系 杆 及 各 行 星 轮 的 位 移 ( ui ri i ；
Frn krn rn
对位移。由二者之间的变形协调条件可知
(6)
rn 为行星轮和内齿圈沿理论啮合线方向的相 式中，
rn u ( , t ) n
(7)
n xn sin rn yn cos rn un ， rn r n ， 式中，
声抑制等多个方面。这其中，动力学建模和固有特 性分析是进行后续动力性能研究及减振降噪的 基础。 按建模方法的不同，大致可将行星传动的动力 学模型分为集中参数模型、有限元模型和刚柔耦合 [1] 模型三类 。其中，集中参数模型因建模简单、求 [2] 解容易等优点而被广泛采用。LIN 等 通过建立计 入构件平移、扭转运动的集中参数模型获得了直齿 行星传动固有特性的解析表达式，并将系统的自由
i c,s,1, 2, , N )。其中， ri 为构件的回转半径。若
i c ，则为行星轮轴心到系杆中心的距离；若
1
1.1
行星传动动力学模型
建模假设
i s,1, 2, , N ，则为太阳轮以及各行星轮的基圆半 其径向位移 w( , t ) 径。u ( , t ) 为内齿圈的周向位移，
(1. 安徽工业大学机械工程学院 马鞍山 243032； 2. 天津大学机械工程学院 天津 300072)
摘要：采用动态子结构法建立计入内齿圈柔性的行星传动刚柔耦合动力学模型，将内齿圈视为弹性连续体，导出内外约束条 件下的运动微分方程，并将其与刚体构件的集中参数方程相结合，构建出系统的运动微分方程。基于所建模型，进行柔性齿 圈直齿行星齿轮系的自由振动分析和相关试验验证。 理论分析揭示出此类系统的振型可归结为 4 类： 中心构件扭转振动模式、 中心构件平移振动模式、行星轮振动模式和内齿圈振动模式，并给出每类振动模式的特征和降阶计算公式。数值仿真表明， 内齿圈柔性使系统低阶固有频率降低，且新呈现的内齿圈振动模式对应的固有频率位于整个系统固有频率的中低频段，故在 后续行星轮系的动态设计中应计及齿圈柔性的影响。振动试验则表明，内齿圈柔性对系统振动特性存在一定影响，除啮频激 励和箱体结构共振外，行星传动中还存在低阶谐振现象；对于中低速工况下且太阳轮浮动的行星传动而言，减小齿圈柔性有 利于降低系统振动。 关键词：行星传动；动力学建模；固有特性；刚柔耦合模型 中图分类号：TH132
Abstract：A discrete-continuum dynamic model for spur planetary gear trains (SPGTs) is developed by using the sub-structure synthesis method. By combining the equation of motion of an elastic continuum ring subjected to internal and external constraints with lumped parameter equations of motion of rigid bodies, the system governing equations are obtained. A modal analysis is conducted to reveal the modal properties of spur planetary gear trains. The free vibration characteristics of the system are classified into four distinct modes: rotational, translational, planet and ring. For each vibration mode, the properties and reduced-order formulae are derived. The effect of ring elasticity on system natural characteristics is then discussed. The simulation results show that the elastic ring gear decreases the lower order natural frequencies and introduces a new vibration mode i.e. the ring mode. And the natural frequencies of the ring mode locate at the middle and low region of the overall system frequencies. The simulation indicates that the elasticity of ring gear must be considered during the dynamic design of planetary gear trains. A back-to-back test rig is constructed and some vibration tests are conducted. The experimental results agreed well with the theoretical and numerical analysis. Key words：planetary gear trains；dynamic modeling；natural frequency；discrete-continuum model
0
前言*
行星齿轮传动的振动和噪声是影响系统可靠 性、寿命及操作环境的关键因素。围绕该类传动的 动力学问题，学术界开展了大量研究，内容涉及动 力学建模、固有特性分析、动态响应求解、振动噪
* 国 家 自 然 科 学 基 金 (50905122, 51375013) 和 安 徽 省 自 然 科 学 基 金 (1208085ME64)资助项目。20131012 收到初稿，20140522 收到修改稿
Vibration Analysis of Planetary Gear Trains Based on a Discrete-continuum Dynamic Model
ZHANG Jun1 LIU Xianzeng1 JIAO Yang1 SONG Yimin2
(1. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan 243032; 2. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072)
第 50 卷第 15 期 2014 年 8 月
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Vol.50 Aug.
No.15 2014
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
DOI：10.3901/JME.2014.15.104
基于刚柔耦合模型的行星传动固有特性分析*
张 俊1 刘先增 1 焦 阳1 宋轶民 2
为方便建模并不失一般性，做如下假设。 (1) 计入内齿圈的柔性，将其简化为具有等效 半径的矩形截面弹性圆环，且满足不可延展条件。 (2) 与内齿圈相比，太阳轮、行星轮及系杆的 柔性较小，故将其视为刚体，并设定各行星轮均布 安装且质量、转动惯量分别相等。
可由不可延展条件获得。为方便表达，下文如不做 特别说明，一律将 u ( , t ) 简写为 u 。为清晰计，图 1 中未示出弹性内齿圈的支承刚度，其刚度处理详见 后文。 太阳轮、系杆运动微分方程的推导与文献[14] 中集中参数模型相同，篇幅所限此处不再赘述。相 反，由于计入了内齿圈的弹性，内齿圈和行星轮的
Байду номын сангаас
月 2014 年 8 月
张
俊等：基于刚柔耦合模型的行星传动固有特性分析
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振动归纳为扭转、平移和行星轮三种模式。采用类 [3] 似建模方法，学者们进一步研究了参数灵敏度 、 [4] [5] [6] 模态跃迁 、参数稳定性 、非均布行星轮系统 、 [7] 复合行星轮系 及斜齿、人字齿、锥齿行星轮系模 [8-10] 态 等问题。 上述研究所采用的集中参数模型，均将轮系中 各构件视为刚体，建模时仅计及轮齿啮合变形和构 件支承变形。但理论分析和试验研究均表明，在某 些重要场合内齿圈柔性对系统动态特性的影响不能 [11-14] [12] KAHRAMAN 等 运用有限元法建立了 忽略 。 行星轮系的准静态受力模型，分析了内齿圈柔性对 齿轮应力和行星轮载荷分配的影响。 采用类似手段， [13] KAHRAMAN 等 又进一步研究了内齿圈柔性对 系统动态特性的影响。文献[12-13]的研究表明，减 小齿圈厚度有助于补偿因齿轮和系杆制造安装误差 引起的非均载效应，且在内齿圈浮动或采用薄缘结 构的工况下， 其柔性对系统动态特性具有重要影响。 由于有限元模型的建立和求解均较为费时，故 不适用于需要反复迭代的初始设计阶段。鉴于此， [14] 张俊等 借鉴有限单元思想，将连续内齿圈离散为 若干由虚拟弹簧连接的刚性齿圈段，建立了计入内 齿圈柔性的行星传动集中参数模型，并依据该模型 进行了直齿行星系统的固有特性分析，其仿真结果 与文献 [15-16] 提出的刚柔耦合模型的分析结果相 符。需要指出的是，采用该模型进行系统固有特性 性分析时，需要先借助虚拟样机技术将内齿圈柔性 拟合成具有等效刚度的径/周向弹簧， 此举在一定程 度上增加了建模工作量。 针对上述问题，拟采用动态子结构思想，将内 齿圈视为环状弹性连续体，而将其他构件仍视为刚 体，分别采用弹性力学方法和集中参数法建立两类 构件的运动微分方程，进而根据构件间的运动和约 束关系，建立传动系统的刚柔耦合动力学模型。在 此基础上，进一步开展系统固有特性研究，希冀揭 示内齿圈柔性对系统固有特性的影响规律，从而为 后续动态设计与性能优化提供理论依据。